二项式定理知识点总结

二项式定理

一、二项式定理：

()n

n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做

()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k

n C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。

对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项

（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n

（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则

()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）

（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n

b a +展开，得到一个多项式；

另一方面，也可将展开式合并成二项式()n

b a +

二、二项展开式的通项：k

k n k n

k b a C T -+=1 二项展开式的通项k

k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了

二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用

对通项k

k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：

（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n

（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

例1．n

n

n n n n C C C C 13

21393-++++ 等于 （ ） A ．n

4 B 。n

43⋅ C 。134-n D.3

1

4-n

例2．（1）求7

(12)x +的展开式的第四项的系数；

（2）求91

()x x

-的展开式中3

x 的系数及二项式系数

三、二项展开式系数的性质：

①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()

2max

n n

k

n C C =；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即()

2121max

+-==n n

n n

k

n C

C C

③二项展开式的各系数的和等于n 2，令1=a ，1=b 即n

n n n n n C C C 2)11(10=+=+++ ；

④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令1=a ，1-=b 即

131202-=++=++n n n n n C C C C

例题：写出11

)(y x -的展开式中： （1）二项式系数最大的项；

（2）项的系数绝对值最大的项；

（3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和

四、多项式的展开式及展开式中的特定项

（1）求多项式n

n a a a )(21+++ 的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用

二项式定理展开。 例题：求多项式3

2

2

)21(-+

x

x 的展开式

（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。

例题：求5

2

)1()1(x x -⋅+的展开式中3

x 的系数

例题：（1）如果在n

x x ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+4

21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

（2）求3

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式的常数项。

【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k

五、展开式的系数和

求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定

例题：已知72

70127(12)x a a x a x a x -=+++

+，求：

（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.

六、二项式定理的应用：

1、二项式定理还应用与以下几方面： （1）进行近似计算

（2）证明某些整除性问题或求余数

（3）证明有关的等式和不等式。如证明：()N n n n n

∈≥>,322取()n

n 112+=的展开式

中的四项即可。

2、各种问题的常用处理方法