8.1椭圆的标准方程(3)

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人教版高中数学必修第二册8.1椭圆及其标准方程3

椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否那么，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆〞．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．〞“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．〞“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．〞教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，假设同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹〞，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示X引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？〞有的同学说：“立体几何中圆的直观图．〞有的同学说：“人造卫星运行轨道〞等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内〞．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：假设常数=|F1F2|，那么是线段F1F2；假设常数＜|F1F2|，那么轨迹不存在；假设要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|〞．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原那么，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到以下选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，那么有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规X的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否那么化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合以下条件的椭圆的标准方程：练习2 以下各组两个椭圆中，其焦点相同的是[ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．3．求适合以下条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计。

椭圆及标准方程

椭圆及标准方程
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在椭圆中，点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a>b>0。

在这篇文档中，我们将详细讨论椭圆及其标准方程。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆是一个闭合曲线，它有两个焦点和一个长轴和短轴。

长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是垂直于长轴的直线段。

椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c是焦距，a是长轴的一半。

离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于直线段。

接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程是
x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。

在标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的大小和形状。

当a>b时，椭圆的长轴在x轴上；当a<b时，椭圆的长轴在y轴上。

标准方程还可以通过平移和旋转来表示不同位置和方向的椭圆。

此外，我们还可以通过标准方程来求解椭圆的焦点、离心率和
焦距等重要参数。

通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和位置，从而更好地理解和分析椭圆的性质。

总之，椭圆是一个重要的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

通过学习椭圆及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的几何性质讲义

椭圆的几何性质讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March28．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2．标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。

33．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠ 证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

椭圆的定义与标准方程

椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个固定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的定义可以用数学语言描述为，对于给定的两个点F1和F2（焦点），以及一个常数2a（长轴长度），椭圆是满足PF1 + PF2 = 2a的所有点P的集合。

椭圆在平面直角坐标系中的标准方程为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。

其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

椭圆的定义和标准方程是我们研究椭圆性质和方程的基础，下面我们将详细讨论椭圆的性质和相关的数学知识。

首先，我们来看椭圆的性质。

椭圆有许多独特的性质，例如，椭圆的离心率e 满足0 < e < 1，椭圆的焦点到中心的距离等于c，满足a² = b² + c²，椭圆的面积为πab等。

这些性质对于理解椭圆的形状和特点非常重要。

其次，我们将讨论椭圆的参数方程和极坐标方程。

椭圆的参数方程为：x = h + acosθ。

y = k + bsinθ。

其中θ为参数，(h, k)为中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。

而椭圆的极坐标方程为：r(θ) = a(1 e²)/(1 + ecosθ)。

这些方程形式的转化可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和轨迹特点。

最后，我们来讨论椭圆的应用。

椭圆在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，椭圆的反射性质在光学中有重要的应用；椭圆的轨迹特点在天体运动和卫星轨道设计中起着关键作用；椭圆的形状特点在工程设计和建筑中也有重要的应用。

总之，椭圆是数学中重要的几何图形之一，它的定义和标准方程是我们理解和研究椭圆的基础。

通过深入学习椭圆的性质、参数方程、极坐标方程和应用，我们可以更好地理解和应用椭圆这一重要的数学概念。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。

椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。

接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。

除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。

例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。

此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。

这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。

通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。

希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，它由到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。

这两个点通常被称为焦点，相应的常数被称为焦距。

椭圆是一个非常重要的几何图形，出现在许多数学和科学领域中，如天文学、工程学和物理学等。

一个椭圆可以通过其标准方程来描述。

椭圆的标准方程是一个关于x 和y的二次方程，它在平面上表示一个椭圆。

标准方程的形式为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1其中（h，k）是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。

半长轴是椭圆上离中心最远的点到中心的距离，半短轴是椭圆上离中心最近的点到中心的距离。

椭圆的形状由半长轴和半短轴的比例确定。

当a>b时，椭圆的形状更接近于一个圆，当a=b时，椭圆变成一个圆，当a<b时，椭圆更加扁平。

椭圆的离心率是一个重要的参数，对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间。

离心率越小，椭圆越接近于一个圆。

离心率等于1的情况下，椭圆退化成两条互相平行的直线。

椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们具有特殊的性质。

对于任意椭圆上的点P，它到两个焦点的距离之和等于椭圆的焦距。

椭圆的焦距为2a，其中a是半长轴长度。

此外，椭圆的两条主轴是两个焦点之间的直线。

主轴上的点距离中心点的距离等于半长轴的长度。

除了标准方程，椭圆还可以通过其他形式的方程来进行描述。

一般方程形式为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F是任意实数，且A和C不能同时为零。

这是一个二次曲线的一般方程，当方程表示一个椭圆时，A和C满足A和C的符号相同。

椭圆在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

在天文学中，行星和卫星的轨道通常被建模为椭圆。

在工程学中，椭圆被用于设计喷泉和游泳池的形状，以及船体和飞机的外形设计。

在物理学中，椭圆被用于描述电磁波的传播和光学系统中的电子轨道。

椭圆的公式标准方程

椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。

椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。

首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。

椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。

椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。

椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。

通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。

首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。

其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。

椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。

我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。

以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。

我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。

首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。

其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。

短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。

椭圆及标准方程

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。

椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。

首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。

然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。

同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。

在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。

例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。

另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。

除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。

参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。

这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。

总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。

通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。

8.1椭圆的标准方程

；
(2)
x2 22
y2 42
1
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
(3) x2 y2 1 96
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
(4) x2 y2 1 37
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1) 兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓上的一點P到焦點的距離之和等於10；
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) 由橢圓定義可知，2a>2c，即a>c，所以 a 2 c 2 0 設 a 2 c 2 b 2 (b 0) ，得
b2x2a2y2a2b2
兩邊除以 a 2b 2 ，得
a x2 2b y2 21(ab0) (1)
變形為：
(x c)2 a2 x
y2

c a
c
觀察式子的幾何意義，提出合理的猜想。
用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把
平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和” 圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把抛物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。
6*、已知線段AB的長為a，它的兩個端點分別在x軸和y 軸上滑動，求內分AB成m:n的點M的軌跡方程。
小結
1、本節課學習了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義。 2、通過橢圓的定義推出了橢圓的標準方程。橢圓的標
準方程有兩種，一種焦點在x 軸，一種焦點在y軸。 3、給出了橢圓的標準方程焦點位置的判斷方法。 4、橢圓的標準方程主要是利用待定係數法求出a、b的

椭圆及其标准方程(1)

第三教时椭圆及其标准方程(3)
【教材】8.1椭圆及其标准方程
【目的】1.能利用转移法求动点的轨迹方程.
2.理解圆与椭圆之间的伸缩变换关系.
3.通过教学,培养学生勇于探索的思维品质.
【过程】：
一、复习提问
1.椭圆的标准方程是什么?
2.求曲线方程的基本方法有哪些?
二、新课
例题:(教材例3)
分析:(1)让学生画出坐标系和已知图作出一些符合条件的点直观感受一下: 的轨迹可能是什么图形?
(2)求动点的轨迹的方法.
提问:用什么方法?直接法行吗?待定系数法呢?定义法呢?
启发:由于轨迹是椭圆只是猜想,因此不能用待定系数法和定义法；又由于无法直接列出所满足的等式,也不能用直接法求出,因此要另想其他方法.
(3)学生在画图时猜想的轨迹时,可以看到动点与动点是一一对应的,而题中给出了点的运动轨迹,因此可先找到与坐标间的关系,将的轨迹通过点“”的“桥梁”作用而得到.
解:(见教材95页,略)
指出:根据圆的参数方程,得到启发,圆上的点可设为得到另一种解法.。

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。

它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍椭圆及其标准方程。

一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。

在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。

椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。

二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。

这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。

如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。

三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。

2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。

3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。

4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。

4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。

当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。

五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。

比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。

结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。

了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。

高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第三课时)大纲人教版必修

8.1.3 椭圆及其标准方程（三）●教学目标（一）教学知识点1.轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.转移法（代换法）求动点的轨迹方程与椭圆有关问题的解决.（二）能力训练要求1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.使学生掌握转移法（代换法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决.(三)德育渗透目标使学生通过寻求量与量之间的关系，进而掌握解决有关问题的方法，学会化生疏为熟悉，理解矛盾转化的必然性.●教学重点转移法求动点的轨迹方程.●教学难点转移法求动点的轨迹方程.●教学方法指导学生自学法通过学生自学的实践，使其感受一类问题的解决方法，教师再予以必要的指导，帮助学生自己获取知识，使学生体验成功的喜悦，增强学生自学的兴趣，提高学生的自学能力.●教具准备投影片三张第一张：P95例3及图8—5（记作8.1.3 A）第二张：本课时之例4（记作8.1.3 B）第三张：本课时教案后面的预习内容及提纲（记作8.1.3 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆标准方程的求法，以及求满足条件的点的轨迹方程时，若清楚点的轨迹类型该怎么做，请同学们回忆一下，怎样求椭圆的标准方程呢？［生］根据焦点位置，设出标准方程，确定方程中的参数a、b的值，最后写出椭圆的标准方程.［师］好，那么大家再来回忆一下，求满足条件的轨迹时，若清楚轨迹类型，怎样求其方程呢？［生］设出方程，确定方程中的参数a、b，写出其方程.［师］很好，下面我们来看一个例子.（打出投影片8.1.3 A）Ⅱ.讲授新课［师］（读题）［师］这个题目是求点M的轨迹，同学们已经进行了预习，谁来谈一下求点的轨迹与求点的轨迹方程有什么不同？［生］求点的轨迹方程，根据题意求出其方程即可；求点的轨迹，先要根据题意求出点的轨迹方程，还要根据方程指出其是怎样的一种图形.［师］好，以后同学们在做题中一定要注意这个问题.分析指导：这个题是属于不清楚点的轨迹类型的，应该用坐标法求其方程，首先需要建系，但由于题中给出了坐标系，所以就不用再建系了，其次，我们来分析动点 M 的特点：动点M 的运动依赖于P 点的运动，也就是说动点随着另一个点的运动而运动.而另一个点又在有规律的曲线上运动，此时我们就来建立两个动点坐标间的关系，利用另一点在有规律的曲线上运动的这一特点，求出点M 的轨迹方程，下面同学们再来将此题的求解过程看一遍，体会一下做题的思路，并熟悉一下两个动点坐标间的关系是怎样寻求的，有不清楚的地方请指出来，我们共同来讨论.(学生看课本，教师巡视)［师］有什么问题呢？［生］没有.［师］我们把这种求点的轨迹方程的方法称为转移法（代换法）.求动点的轨迹方程时，若动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点的运动又在有规律的曲线上运动，此时，我们可以用转移法求出动点的轨迹方程.另外，从此题也可以看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（或伸长）可以得到椭圆.Ⅲ.课堂练习1.从圆x 2+y 2=25上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，且线段PP ′上一点M 满足关系式|PP ′|∶|MP ′|=5∶３，求点M 的轨迹.答案：192522=+y x Ⅳ.继续新课［师］（打出投影片8.1.3 B ，读题）［例4］P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，求△PF 1F 2的面积.分析指导：先画出草图，根据题意分析.分析综合法是我们解决问题常用的方法，分析法是一种执果索因的推理方法，即从未知找需知并靠拢已知，综合法是一种由因导果的推理方法，即从已知看可知并推向未知，我们用这种方法对本题试做分析：为求△PF 1F 2的面积，可用S =21底×高或S =21ab sin C 等等，把F 1F 2看作底，底的长度是可求的，那么P 到直线F 1F 2的距离即底边F 1F 2上的高如何求呢？这样行不通！若要知道PF 1、PF 2的长把PF 2看作底，PF 2上的高却需求，因为∠F 1PF 2=30°，那么能否求出PF 1、PF 2的长呢？再从已知出发考虑：|PF 1|+|PF 2|可求.那么知道两条线段的和能求出这两条线段的长吗？显然还不行！从已知我们不难知道|PF 1|+|PF 2|，还可知道|F 1F 2|以及∠F 1PF 2，据此我们利用余弦定理可求出|PF 1|与|PF 2|的积，有了这个积，又知道∠F 1PF 2的大小，由公式S =21ab sin C 即可求出△PF 1F 2的面积，至此，问题获解，下面请同学们完成此题的表述过程.（学生解答，请一位同学在黑板上板书，之后教师评讲，并且强调这种分析问题的方法） Ⅴ.课时小结本节课我们学习了用转移法求切点轨迹方程的一种方法，同学们一定要清楚转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系；另外我们还讨论了一个与椭圆有关的问题，目的在于给大家提供一种解决问题的思路即从已知看可知并推向未知与从未知找需知并靠拢已知的这种思维方法，它对于解决综合问题不失为一种寻求思路的行之有效的好办法.Ⅵ.课后作业（一）1.课本P96练习4，2.P96习题8.1 7.（二）1.预习内容：椭圆的简单几何性质.（P97～98例1结束）2.预习提纲：（1）研究曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？a、b、c的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？●板书设计。

8.1.1椭圆及其标准方程

演示1 演示2
M F1 F2
结论：
当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。
当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。
2.求椭圆的方程：
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简（4）审查
五步法
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O 2 F
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____，b=_______，c=_______， P 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F2
F1
等于_________; 2
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
例题精析
例1、填空：

人教版高中数学课件：8.1.3椭圆及其标准方程(三)

1 2 ) 4y 1
2 2
x
2
y 1
2 2
2
(2 y ) 1
即 (x
所以点M的轨迹方程是 ( x
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1 2
) 4y 1
2 2
高2008级数学教学课件
用相关点法求轨迹方程
（也称代换法，中间变量法，转移法）相关点法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 .
P
M
-2
O
P′
2
x
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例2.已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.
y Q M
-
x
2
y 1
2
4
解：设动点M的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2x-1,2y)
O A 2 x
2
因为Q点为椭圆 4 上的点
所以有
( 2 x 1) 4
3
，1）两点的椭圆标
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高2008级数学教学课件
书面作业 <<教材>> P. 132 复习题八– 5.6
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（3）如果方程 x ky 2 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)
2 2
(4) 过点A（-1，-2）且与椭圆 6 9 点相同的椭圆标准方程是_________
x
2
y
2
1
的两个焦
(5)过点P（ 3 ，-2），Q（-2 准方程是______

人教版高中数学必修第二册8.1 椭圆及其标准方程1

§8.1.1 椭圆及其标准方程
一、教学目标：
1.掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导，能够根据条件确定椭圆的标准方程.
2.进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标的自觉性以及解决几何问题的能力.
3.培养学生和提高学生运用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力.
二、教学重点与难点：
重点：椭圆的定义及其标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导..
三、教学内容：
（一）复习
1.曲线方程的概念
2.圆的几何特征.
3.实际生活中椭圆的例子有哪些？
（二）新课
1.知识点：
椭圆的定义
椭圆的标准方程
2.例题分析：
（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程
（10）两个焦点的坐标分别是（-4，0）（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等
于10
（20）两个焦点的坐标分别是（0，-2）（0，2），并且椭圆经过点（23-
，2
5）
（2）已知B 、C 两个定点，|BC|=6，且ΔABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.
（3）方程1)
42sin(3
22
=+-πθy x 所表示的曲线是椭圆，求θ的取值范围。

. （4）如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数K 的取值范围是（）（94高考）
A.（0，+∞）
B.（0，2）
C.（1，+∞）
D.（0，1）
3.作业：
教材P95 习题8.1 1-5。

椭圆标准方程

椭圆标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a>b>0。

椭圆的几何性质。

1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，且e=c/a，其中c为焦距距离，a为长半轴。

2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。

3. 椭圆的对称轴与坐标轴平行，且交于椭圆的中心点。

4. 椭圆的离心率e与长短半轴的关系为e^2 = 1 (b^2/a^2)。

5. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。

6. 椭圆的离心率e与长短半轴的关系为e^2 = 1 (b^2/a^2)。

椭圆的参数方程。

椭圆的参数方程为：\[x = a \cos t\]\[y = b \sin t\]其中t为参数，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的性质。

1. 椭圆的面积为A = πab。

2. 椭圆的周长为C = 4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

椭圆的标准方程推导。

椭圆的标准方程可以通过几何性质和参数方程进行推导。

首先，利用椭圆的几何性质可以得到焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a，从而得到椭圆的离心率e与长短半轴的关系。

然后，利用椭圆的参数方程，可以得到椭圆上任意一点的坐标，进而得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程应用。

椭圆的标准方程在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

例如，在天体力学中，行星的轨道可以用椭圆的标准方程来描述；在工程学中，椭圆的标准方程可以用来设计椭圆形的机械零件等。

总结。

椭圆是数学中重要的曲线之一，其标准方程为\[\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\]，具有许多重要的几何性质和参数方程。

椭圆的标准方程在各个领域都有着广泛的应用，是数学研究和工程实践中不可或缺的重要内容。

椭圆标准方程及其性质知识点大全

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2离心率①(01)c e e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。