一类非线性系统的稳定性
非线性控制系统的稳定性分析
非线性控制系统的稳定性分析1. 引言非线性控制系统在工程领域中广泛应用，具有复杂性和不确定性。
稳定性是评估非线性控制系统性能的关键指标。
因此，稳定性分析是设计和评估非线性控制系统的重要环节。
2. 线性稳定性分析方法在介绍非线性稳定性分析之前，我们首先回顾线性稳定性分析的方法。
线性稳定性分析是基于系统的线性近似模型进行的。
常用方法包括传递函数法、状态空间法和频域法。
这些方法通常基于线性假设，因此在非线性系统中的适用性有限。
3. 动态稳定分析方法为了从动态的角度描述非线性系统的稳定性，研究人员引入了基于动态系统理论的非线性稳定性分析方法。
其中一个重要的方法是利用Lyapunov稳定性理论。
3.1 Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是非线性稳定性分析中常用的工具。
该理论基于Lyapunov函数，用于判断系统在平衡点附近的稳定性。
根据Lyapunov稳定性理论，系统在平衡点附近是稳定的，如果存在一个连续可微的Lyapunov函数，满足两个条件：首先，该函数在平衡点处为零；其次，该函数在平衡点的邻域内严格单调递减。
根据Lyapunov函数的特性，可以判断系统的稳定性。
3.2 构建Lyapunov函数对于非线性系统，构建合适的Lyapunov函数是关键。
常用的方法是基于系统的能量、输入输出信号或者状态空间方程。
通过选择合适的Lyapunov函数形式，可以简化稳定性分析的过程。
4. 永续激励法 (ISS)除了Lyapunov稳定性理论外，ISS也是非线性系统稳定性分析中常用的方法。
永续激励法是基于输入输出稳定性的概念，通过分析系统输入输出间的关系来评估系统的稳定性。
5. 李亚普诺夫指数在某些情况下，Lyapunov稳定性理论和ISS方法无法提供准确的稳定性分析结果。
这时，可以通过计算系统的Liapunov指数来评估系统的稳定性。
李亚普诺夫指数可以被视为非线性系统中线性稳定性的推广。
6. 非线性反馈控制为了提高非线性系统的稳定性，非线性反馈控制方法被广泛应用。
一类非线性时变时滞随机大系统的稳定性
１ 预 备 知 识及 问题 描 述
Ｐ ｅｉ ｎ ｒｅ ｎ ｒ ｂｅ ｆｒ ｕａ ｉｎ ｒ ｌｍｉ ａ ｉｓ ａ ｄ ｐ ｏ ｌｍ ｏｍ ｌｔｏ
考虑如 下随机微 分方程 ｄ （）＝厂ｔ （） ｔ －）ｔ （，（） （ —ｒ ）ｗ（）ｔ ． （ ） ｘ ｔ ＿ ， ｔ ， 一７ ｄ ＋ｇ ｔ ｔ ， ｔ ） ｄ ｔ ， ≥０ １ （ Ｘ （ ） Ｘ
统 的外力 项．
定 义 １６ 随 机 系统 的平 凡解 Ｘ＝０称 为 是几 乎 必 然渐 近 稳定
收 稿 日期 ２ １４９０ ０ ０ ）－１ 资助项目 国家 自然科 学基金 （０ ７ ０ ５ ； ６９ ４ ２ ） 山 东省 自然科学重点基金（ ２ ０ Ｇ１ ） Ｚ ０ ６ １ 作 者 简 介 崔红艳 ， ， 士生 ， 女 硕 研究 方 向为 控 制 理 论
多时滞 随机 大 系统 的 几 乎 必 然 渐 近 稳 定 性． 出 了非 线 性 多 时 滞 随机 大 系统 几 提 乎 必然 渐 近 稳 定性 的代 数 判 据 ． 最后 ， 用 仿 真 例 子 说 明 了主 要 结果 的 可 行 性 与 有
效性 ．
自然界 中的现 象 、 际 工程 技 术 和社 会 经 济 中许 多 问题 存 在 随 实
文 章 编 号 ：６４７ ７ （０ ０ ０ ￣３２０ １７ －００ ２ １ ）５ ９ － ４
一
类非 线性 时 变时滞 随 机大 系统 的稳定 性
崔 红艳 高存 臣
摘 要
讨 论 了线 性 时 滞 随 机 系统 平 凡 解 的 几 乎 必然 渐 近 稳 定 性 ， 推 广 到 非 线 性 并
Ｌ （， Ｙ ≤ ｔ 咖 （， Ｖｔ ，） （ ）一 １ ｔ ）＋ ２ ｔＹ ， 咖 （ ， ）
非线性系统的稳定性分析研究
非线性系统的稳定性分析研究正文：一、非线性系统的概念在控制理论中，非线性系统指的是系统输出量与输入量之间呈现非线性关系的系统。
线性系统的输出量与其输入量呈现线性关系，而非线性系统则转化为了输出量与输入量的非线性关系，由此带来许多不可预测的特性，如失稳、混沌等。
二、稳定性分析的定义非线性控制系统的稳定性分析，就是要确定系统在变化或扰动的情况下，能否恢复原来稳定状态的能力。
在稳定性分析中，还需要研究稳定状态的性质、稳态误差的大小、系统响应的时间等问题，在确定稳定性的同时还要关注系统的动态性能。
三、稳定性分析的方法稳定性分析方法常见的有以下几种：1、利用Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数，研究系统在运行时是否存在一种合适的或者稳定的输出状态，从而判断系统的稳定性。
常见的Lyapunov函数包括位置能量、能量函数等。
2、利用线性化分析：把非线性系统线性化为线性系统，然后利用线性系统的控制理论方法进行分析。
这种方法适用于非线性系统的近似分析。
3、利用Liapunov-Krasovskii稳定性判据：通过确定矩阵的正定性来确定非线性系统的稳定性情况。
四、稳定性分析的应用稳定性分析在很多行业和科学领域中具有重要意义，如电力系统、化学过程、航空、交通等。
在电力系统中，利用稳定性分析可以判断网络是否能够承受负载和干扰，从而保障电力系统的稳定运行。
在航空领域中，稳定性分析可以保障飞行器的安全运行，防止意外发生。
五、总结稳定性分析是非线性控制理论中的一个重要内容，通过分析和研究非线性系统的稳定性，我们可以更好地掌握系统的运作状态，避免意外风险的发生，为相关产业和科学领域的发展做出贡献。
稳定的稳定：物理学中的非线性现象与稳定性理论
稳定的稳定：物理学中的非线性现象与稳定性理论稳定性是物理学中的一个重要概念，描述了系统在面对扰动时保持稳定的能力。
然而，在某些物理现象中，我们会观察到一种有趣的现象，即稳定性的稳定性，即系统在经历一系列复杂的非线性过程后，仍能保持其稳定的特性。
本文将探讨物理学中的非线性现象和稳定性理论，并对稳定性的稳定性进行详细分析。
1. 非线性现象非线性现象是指系统响应不随输入的线性组合而变化的现象。
这意味着系统的行为具有非线性特征，即输入和输出之间存在非线性关系。
在物理学中，非线性现象具有广泛的应用，例如混沌系统、非线性波动等。
非线性现象在一定条件下可以产生有趣且复杂的行为，因此对于理解和解释这些现象的稳定性至关重要。
2. 稳定性理论稳定性理论是研究系统在扰动下的行为变化的一门学科。
根据系统的特性和动力学方程，我们可以判断系统是否具有稳定性。
在线性系统中，稳定性可以通过线性稳定性分析方法确定。
然而，在非线性系统中，稳定性分析更加复杂。
我们需要使用李雅普诺夫稳定性理论、中心流形定理等方法来判断系统的稳定性。
3. 稳定性的稳定性稳定性的稳定性是指系统在面对复杂的非线性现象时仍能保持其稳定性的能力。
这种现象在物理学中经常出现，如自激振荡现象、非线性共振等。
稳定性的稳定性逆向了我们对非线性系统行为的直觉，表明即使系统经历了复杂的非线性过程，它仍然能够回到稳定状态。
4. 非线性系统的稳定性分析对于非线性系统的稳定性分析，我们需要使用一些计算方法来获得系统的稳定性信息。
其中一个重要的方法是李雅普诺夫指数的计算。
李雅普诺夫指数可以用来衡量系统的稳定性，它描述了系统在相空间中的轨迹分离程度。
根据李雅普诺夫指数的正负性，我们可以判断系统的长期行为。
5. 典型的非线性现象：混沌系统混沌系统是非线性系统中最具代表性的现象之一。
混沌系统具有极其敏感的依赖于初始条件的行为，即蝴蝶效应。
混沌系统的稳定性难以预测，但我们可以通过分析系统的特征值、分岔图、Poincaré截面等方法来研究其稳定性。
一类非线性系统的模糊自适应辨识及稳定性分析
上述 因素导 致控 制规 则 不 能 非 常完 善 ， 而 直 接 从
或间接地影响了辨识精度． 将传统模糊理论与 自 适 应理论 结合 用来 进 行 系 统 辨识 ， 是解 决 上 述 问
题 的一个 有 效 方 法． 献 ［ ］ 文 ３ 利用 万 能逼 近定 理 证 明 了模 糊辨识 器 能够在任 意精 度上 跟踪任 何非 线性 连续 时 间动态 系 统 的输 出 ， 种 辨 识器 的模 这 型 以 自适应 模糊 系 统 作 为其 基 本 的组成 部 分 ， 并
前 系统辨识 的许 多 成 果 主要 是 针 对 于线 性 、 时 非
在 现代 控制理 论 中 ， 态 反 馈控 制 器 所 采用 状 的模型 是状 态空 间模 型 ， 系统 内部 状态 动 态 特性 可 以用模 型 的状 态变 量 来 描述 ． 为 由状 态 变量 因 得 到 的关 于 系统动 态和静 态 的信 息 比输 出变 量所 能 提供 的信息更 全 面 ， 因此 ， 用状 态变 量构成 的反 馈控 制律 比用 输 出变 量 反 馈构 成 的反馈 控 制 律 ， 可供 选择 的范 围更 大 ， 同时 闭环 控 制 系 统能 实 现 更优 秀 的性 能 … ． 中， 先 设 计 模 糊 辨 识 器 对 文 首 系统未 知部 分进 行 辨 识 ， 然后 设 计 控 制器 使 系统
稳定 ． 控制 器 中的状 态 反 馈控 制 器 使 系统 的线 性
变 系统 ， 对于 复杂 的非线性 系统 ， 而 尤其 是非 线性 动态 系统 的辨识 ， 一直是 个难 点 问题 ． 其原 因 是被 控系统 本身具 有非 线性 、 阶次 、 高 时变性 等特
点， 并且 被控 过程 中往往 伴 随有大量 的 随机干 扰 ，
非线性系统的稳定性与控制
非线性系统的稳定性与控制随着科技的不断进步，人们对于系统运行的掌控程度越来越高，其中非线性系统的控制问题一直是研究的热点。
在实际应用中，非线性系统往往更贴近于真实的系统，但对于非线性系统的稳定性和控制却存在着很多挑战。
一、非线性系统的定义非线性系统的主要特征是系统的输入量和输出量之间的关系不遵循线性原理。
当系统的输入量发生微小变化时，输出量的变化量与输入量的变化量之间不呈线性比例关系。
而非线性系统中也存在着多变量、复杂结构等特点。
二、非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性是指系统偏离平衡状态后，是否能够回到平衡状态。
对于线性系统来说，其稳定性可通过判断特征方程的根的实部是负数还是0来判断系统的稳定性。
然而，对于非线性系统来说，其稳定性的分析就要更为复杂，需要运用一些高深的数学方法。
在非线性系统中，最基本的稳定性概念是Lyapunov稳定性，即对于非线性系统中的平衡点，若系统在其附近的初始状态对应的轨迹都收敛到该平衡点，则该平衡点是Lyapunov稳定的。
而对于非线性系统的非平衡点，可以用Lyapunov不稳定性来判断，即对于非线性系统中的非平衡点，若系统在其附近的初始状态对应的轨迹都发散，则该非平衡点是Lyapunov不稳定的。
三、非线性系统的控制对于非线性系统的控制问题，传统线性控制方法往往难以达到良好的控制效果，因此需要采用一些非线性控制方法。
常见的非线性控制方法有自适应控制、模糊控制、滑模控制等方法。
以自适应控制为例，其基本思想是通过对系统的模型参数进行实时的辨识和自适应调整，将非线性系统化为一系列线性系统进行控制，从而实现对系统的控制。
而模糊控制则是基于人类的经验和直觉，用模糊逻辑理论处理具有不确定性和模糊性的非线性系统，进行控制。
滑模控制则是通过设计一个特定的控制器，使得系统的状态轨迹能够在一个滑动模态下达到稳定，实现系统对目标状态的控制。
综上所述，非线性系统的稳定性和控制是非常重要的问题，在实际应用中也存在着广泛的应用价值。
非线性系统的稳定性分析与控制
非线性系统的稳定性分析与控制非线性系统广泛存在于各个领域，例如生物学、经济学、机械工程、电子工程、材料学等等。
非线性系统的行为对线性系统的技术和方法提出了一系列挑战，因此非线性系统的研究成为了控制工程中一个重要的研究领域。
本文将从非线性系统的特点、稳定性分析、鲁棒控制等多个角度进行探讨。
一、非线性系统的特点非线性系统与线性系统相比，其最显著的特点是非线性叠加和不可加性。
这些性质为非线性系统的稳定性分析和控制带来了相应的困难。
线性系统遵循线性规律，因此可以使用微积分和线性代数等工具方便地进行分析计算。
而非线性系统则需要更高级的数学工具才能处理，例如拓扑学、微分几何、非线性优化等。
此外，非线性系统的行为也很难预测，未知的非线性因素会导致系统的不可预测性和不稳定性，这为非线性控制的设计带来了许多挑战。
因此，在非线性系统中，需要更多的实验和仿真验证，以了解系统的行为。
二、非线性系统的稳定性分析稳定性分析是研究系统行为的基础，决定了系统是否会发生不良的行为，例如振荡、震荡或崩溃。
非线性系统的稳定性分析可以分为两个部分：稳定性分析和鲁棒稳定性分析。
2.1 稳定性分析对于非线性系统的稳定性分析，有两种方法：直接法和间接法。
直接法是通过严格的数学计算证明系统的稳定性，其中最常用的是“李亚普诺夫稳定性定理”。
该定理表明，系统如果具有李亚普诺夫函数，且这个函数是单调下降的，则系统是渐进稳定的。
因此，根据李亚普诺夫定理可以确定非线性系统的稳定性，并进一步设计控制器。
间接法是通过系统的局部动态特性，例如相图、等值线、线平衡等等来确定系统的稳定性。
局部动态特性可以通过线性化系统来确定，然后使用线性控制方法，例如根轨迹法、频率响应法和状态反馈法等进行分析。
2.2 鲁棒稳定性分析鲁棒稳定性分析是确定非线性系统对不确定性和摄动的稳定性。
非线性系统受到环境因素的影响，例如噪声、参数变化和失效模式等，这些因素会导致非线性系统的行为失控。
非线性系统的稳定性分析
非线性系统的稳定性分析随着科技和社会的不断发展，越来越多的系统和问题开始变得复杂起来，这些系统可能受到多种因素的影响，而模型的关系也不再是简单的线性关系。
这时，非线性系统的理论和相关的数学工具变得越来越重要。
其中一个关键的问题就是非线性系统的稳定性。
在线性系统中，稳定性是相对容易的，因为存在一个简单的稳定性标准：系统输入与系统响应之间的增益必须小于1，否则系统就会失去稳定性。
然而，这种标准适用于线性系统，当我们面对非线性系统时，稳定性变得更加棘手。
对于非线性系统的稳定性分析，我们需要分析系统的动力学行为。
非线性系统的动力学行为可能出乎意料，因为它们可以产生无序的或者“混沌”的表现形式，而且这种“混沌”通常是不可预测的。
因此，非线性系统的稳定性分析要求我们转变我们的思考方式，我们需要从系统的本质出发，寻找非线性因素和复杂性的根源。
在非线性系统的稳定性分析中，存在多种方法。
其中比较常用的有Lyapunov稳定性分析法和相平衡分析法。
Lyapunov稳定性分析法是一种基于Lyapunov函数的方法。
Lyapunov函数是一个非负函数，它对于系统状态的变化率是负的，也就意味着系统的状态会收敛到某个平衡点或者平衡轨迹。
如果我们能够构造出一个满足以上条件的Lyapunov函数，那么我们就能够证明系统的稳定性。
使用Lyapunov稳定性分析法需要注意以下几点：首先，我们需要选择一个适当的Lyapunov函数。
一般来说，这个函数必须是正定的，连续可微的，且它的导数随着时间变化的符号一直是负的。
此外，我们还需要找到系统的平衡点或者平衡轨迹，这是Lyapunov函数的构造中必不可少的部分。
相平衡分析法是一种基于李亚普诺夫- 拉普拉斯改进理论的方法。
该方法适用于周期性系统和非周期性系统。
它的基本思想是将系统分成不同的部分，然后对每个部分进行分析，进而得到整个系统的稳定性。
相平衡分析法使用特征分析和谱分析的方法来考虑系统的动力学行为，并且使用周期和相位作为系统的一个重要属性来描述系统的状态。
一类随机非线性系统的输入输出稳定性研究
者 之 间 的 关 系 予 以讨 论 。
定性研究 已经非常成熟 了， 已经有理论可以说明二者之 间有着密切
其中状态变量 ． ］ ｆ ∈Ｒｎ ， 控制 “ ∈ Ｒｍ ， ０ ９ 是一个独立 ｒ的维维纳 过程 ， 厂是连续可微， 并对于 “满足局部一致 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条件 ， 表示
输 出变 量 。
使得 （ ・ ） （ ・ ） 即
ｌ （ ｆ ） ｆ ： ｆ 矗 （ ｆ ） ｆ ≤ （ （ ｆ ） ）
由 函数 的性质 ａ（ ａ＋ ６ ） ａ（ ２统是随机输入到状态稳定 的 ， 简称为Ｓ Ｉ Ｓ Ｓ， 如果对
于 任 意 给 定 的 ｓ＞０， 存在一个 Ｋ Ｌ函 数 ｆ ｌ （ ・ ， ・ ） ， 一 个 函数 ｙ 使 得
可 得 到 ） ｌ ｓ （ ２ １ 卜 ） ） ＋ 【 ２ 。 ｌ １ ） ）
成立。 其中 Ｊ ｉ ｎ ｆ ） ＝ ｏ Ｓ Ｕ ｐ ｛ Ｉ “ （ ｇ Ｏ ， Ｓ ） ， ） ： ∈ Ｑ、 。
定义２ …： 一个 函数 （ ） 是ｓ ｉ ｓ ｓ — Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 函数 ， 如果对 于系统 （ １ ） 存在 函数 ， ： ， ， 使得 下面两 式成立 ：
≥ Ｐ ｛ Ｊ ｘ （ ｔ ） Ｉ ＜ （ ， ｆ ） ＋ （ Ｉ Ｊ ） ） ≥ １ 一 占 。
结 论证明完毕 。
６ ［ １ （ Ｉ Ｉ ） （ ） ≤ ２ （ Ｉ １ ） ；
Ｌ Ｖ ｚ ＠１ ） － ￣ （ Ｉ ｘ １ ）
一类非线性扰动系统的L∞稳定性
王（）一 ｆ（， ， ） ｔ Ｏ （） ３
的指 数稳定 的平 衡点．
收 稿 日期 ：２ ０ — ３２ ０ ６０ — ３
基 金 项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 础 研 究 （ ｏ５ ０ ５ ｏ ２ 河 ２ ｏ １ ４ ９ｏ ）维普资讯 http://ww ｒ ｃ 假设 ： ｝ Ｄ，
１ ｚ一 ０是 系统 （ ） 一致渐 近稳定 的平衡 点 ， 存在 Ｌ ａ ｕ ｏ ） ３的 且 ｙ ｐ ｎ ｖ函数 Ｖ（， ） 足 ： ｔｚ 满
ａ（１ ） 三Ｖ（， ）三 ａ （１ ） ｌ ｌ 三 １ 三 ｆｚ 三 。 ｌ ｌ ｚ 三 １ ｚ
ｌ ｆ ｌ ｌ ）ｌ ｚ（
（１ （ ）ｌ， — ｔ）＋ ｙ ｓ ｐ ｌ （）ｌ ， Ｖ ｔ三 ｏ 。 ｌ ｔ ｌｔ ｏ ｘ （ ｕ ｌ ｆ １ 三 “ ） ＝
ｔ＜ ｒ ｔ ｏ ＜
定义 ２ 一个光 滑 函数 ：Ｏ ｏ ）× Ｒ 一 Ｒ三 ０是 系统 （ ） ＩＳ Ｌ ａ ｕ ｏ Ｅ ，ｏ 三 ＝ １ 的 Ｓ — ｙ ｐ ｎ ｖ函数 ， ｊ Ｋ。 若 。
３０ ５
应
用
泛
函
分
析
学
报
第 ９卷
３ 主 要 结 果
在 给 出主要 定理 之前 ， 我们先 看两个 定义 ． 定义 １ 系统 （ ） １ 的标称 系统是 Ｉ Ｓ的 ， ｊ 一个 ＫＬ函数 和 Ｋ 函数 ｙ 使得 Ｖ ｚ ∈ Ｒ・ Ｓ 若 ， 。 ， 和 有界输 入 “ ｆ ， 有 ： （） 都
来 ， 而对 系统 的性质 进行研 究 ． 从
对 于 一 般 的非线 性 系统 的小 信 号 Ｌ 。 。 稳定 性 ， 文献 ［ ］ １ 已进 行研 究 ， 而对 于 带有 扰 动 的 一类 非 线 性 系 统 的 小 信 号 。 定 性 ， 文 献 中 鲜 见 研 究． 且 文 章 中对 于 标 称 系 统 存 在 Ｉ Ｓ 。稳 在 并 Ｓ— Ｌ ａｕｏ ｙ ｐ ｎ ｖ函 数 Ｖ 的 情 况 进 行 研 究 ， 而 丰 富 了 本 文 的 结 果． 这 篇 文 章 中 我 们 可 以 看 到 从 在 Ｌ ａｕｏ ｙ ｐ ｎ ｖ方法不 仅能用 来研 究平 衡点 的稳定 性 以及 状态 变量 的渐近行 为 ， 同时也 能用 来建 立 由
非线性控制系统的稳定性分析
非线性控制系统的稳定性分析非线性控制系统是指系统的行为不遵循线性定律的控制系统，包括非线性模型、非线性运动规律和非线性控制器等。
非线性控制系统具有复杂性和不确定性，其稳定性分析是非常重要的。
本文将探讨非线性控制系统的稳定性分析方法。
一、非线性控制系统的稳定性概述稳定性是指控制系统在外部扰动下，保持原有的运动轨迹或恢复到平衡状态的能力。
在非线性控制系统中，稳定性是保证系统优异性的必要条件。
根据理论研究和应用开发的需要，目前控制系统稳定性分析的研究可以分为两种方法：一是稳定性的直接分析法；二是利用控制系统的强稳定性和半稳定性的方法。
二、基于Lyapunov函数的稳定性分析方法Lyapunov函数法是非线性控制系统稳定性分析的一个经典方法，其思想是利用李亚普诺夫（Alexandre Mikhailovich Lyapunov）稳定性定理得到系统的稳定解。
在Lyapunov函数法中，最基本的思想是构造一个函数V(x)来描述系统状态x的稳定程度，如果对函数V(x)的一些约束满足，就可以证明系统是稳定的。
三、基于小区域稳定性的分析方法基于小区域稳定性的方法是通过对于非线性系统进行局部分析，得到系统小区域内的稳定性条件。
相对于全局的非线性稳定性问题，小区域稳定性问题更容易分析。
因为非线性系统具有复杂性，要从全局角度分析系统的稳定性，对系统的求解难度很大。
而小区域稳定性方法则可以利用系统的线性化等方法得到系统的小区域稳定性信息，使得分析更为简便。
四、基于鲁棒稳定性的分析方法对于非线性控制系统中的不确定性问题，鲁棒稳定性分析方法是最有效的一种方法。
鲁棒稳定性是指系统在外部扰动下保持稳定的能力，在存在不确定性的情况下，系统的鲁棒稳定性分析方法需要采用不确定性模型来分析系统的稳定性。
五、基于奇异扰动理论的分析方法奇异扰动理论源于力学中的雷瓦里耶-贝尔特拉米问题，它在控制论研究中应用较为广泛。
奇异扰动理论主要是把奇异扰动分为弱奇异和强奇异两种情况，并通过相关的分析技巧解决了这种情况下的系统稳定性问题。
一类非线性系统的自适应模糊控制器设计及稳定性分析
第 ６ 期
天 津科 技 大 学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎｉ ｉｅ ｓ ｙｏ ｃｅｃ ＆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ａ ｊｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｉｎ ｅ ｏＴ ｔ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ
Ｖ＿ ．６ ＮＯ ６ ０ ２ １ ．
Ｄｅ ． ｃ ２０ｌ １
２ １年 １ ０１ ２月
糊子 系统相 同． 在此基础 上 ， 出一 种反 馈控制 器 ， 提 其控制矩 阵采用线性矩 阵不等式 （ＭＩ的 方法进行 求解 ， Ｌ ） 使得在数
学模型 已知的情 况下，闭环 系统渐 近稳 定． 此外 ， 为补偿 和消除 实际系统 中常存在 的参数 不确 定性和 外部 干扰 的影响 ， 进一步提 出一种 自适应模糊控 制器 ， 能够在保障 系统性 能的情 况下 ， 参数不确定性 ， 补偿 并去 除外界 干扰 的影响． 最后 ， 采用李亚普诺夫合成 法证 明闭环 系统 的稳 定性． 真验证 了该方法的有效性． 仿
关键词 ：线性矩阵不等式 ； 自适应模糊控制 ； 中图分类号 ：０ ３ ２１ 文献标志码 ：Ａ ｓ 模糊 逻辑模型 文章编 号 ：１ ７ —５ ０ ２ １） ６０ ７ ．５ ６ ２６ １ （０ １ ０ ．０ ４０
Ｄｅ ｉ ｎ ｏ ｎ Ａｄ ｐ ｉ ｅＦｕ ｚ ｎ ｒ ｌ ｒｆ ｒＮｏ ｌ ｅ ｒＳ ｓｅ ｓａ ｄ ｔ ｅ ｓｇ ｆａ ａ ｔ ｚ ｙ Ｃｏ ｔｏ ｌ ｏ ｎ ｉ ａ ｙ ｔ ｍ ｎ ｈ ｖ ｅ ｎ
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混沌动力系统稳定性分析
混沌动力系统稳定性分析混沌动力系统是指一类非线性动力系统，其运动具有高度敏感性和不可预测性。
混沌动力系统的稳定性分析是研究系统在不同初始条件下是否趋向于一个确定的稳定状态，并通过对系统的特征指标进行分析和计算来评估系统的稳定性。
本文将对混沌动力系统的稳定性进行详细分析，并讨论不同参数对系统稳定性的影响。
混沌动力系统的稳定性可以从两个方面进行衡量，即局部稳定性和全局稳定性。
局部稳定性是指系统在某个特定的状态附近是否趋向于该状态，而全局稳定性是指系统在整个状态空间内是否趋向于稳定状态。
为了评估系统的稳定性，我们可以计算系统的雅可比矩阵的特征值和特征向量，通过判断特征值的实部是否小于零来确定系统的稳定性。
在混沌动力系统中，系统的稳定性主要受到参数的影响。
参数的改变会导致系统的动力学变化，从而影响系统的稳定性。
例如，在经典的洛伦兹系统中，系统的稳定性受到控制参数r的影响。
当r小于某个临界值rc时，系统处于混沌状态；当r大于rc时，系统趋向于一个吸引子。
因此，我们可以通过改变参数r的值来控制系统的稳定性。
除了参数的影响，初始条件也是影响混沌动力系统稳定性的重要因素。
在混沌系统中，微小的初始条件变化可能会导致系统的演化轨迹巨大的差异。
这被称为混沌系统的敏感性依赖于初始条件。
因此，在混沌动力系统的稳定性分析中，我们不仅需要考虑参数的影响，还需要对初始条件的选择进行严格的控制。
另一个影响混沌动力系统稳定性的因素是外部干扰。
外部干扰可以打破系统的平衡状态，导致系统从一个吸引子转移到另一个吸引子，或者使系统趋于无穷远。
对于存在外部干扰的混沌动力系统，我们需要对系统的敏感性进行分析，并通过控制干扰的强度和频率来维持系统的稳定性。
在实际应用中，混沌动力系统的稳定性分析对系统的设计和控制具有重要的意义。
通过评估系统的稳定性，我们可以预测系统的演化轨迹并设计合适的控制策略。
例如，在通信系统中，混沌动力系统被广泛应用于数据加密和调制技术。
非线性动力学系统的稳定性分析
非线性动力学系统的稳定性分析随着科学技术的不断发展，非线性动力学系统的研究已成为一个热门的话题。
而在研究这类系统时，稳定性分析是一个非常重要的方面。
本文将探讨非线性动力学系统的稳定性分析，包括它的定义、稳定性类型、判定方法等。
一、稳定性的定义在开始具体介绍非线性动力学系统的稳定性分析之前，有必要先了解什么是稳定性。
稳定性是指某个系统在受到外部扰动后能够保持平衡的能力。
在非线性动力学系统中，这一概念同样适用。
一个稳定的非线性动力学系统可以在经历一些小扰动后仍能保持它的行为模式，而一个不稳定的系统则会在经历小幅扰动后迅速失控。
在实际情况中，有时难以确切地得知一个非线性动力学系统的稳定性表现，因此需要一些设定标准。
在非线性动力学系统的研究中，我们通常使用“稳定均衡点”或“稳定周期解”来描述一个稳定的系统状态。
在下文中，将详细介绍如何评价稳定性类型及方法。
二、稳定性类型在非线性动力学系统中，稳定性通常可以分为以下几个类型：渐进稳定、指数稳定、周期稳定、混沌稳定。
下面分别介绍这几种稳定性类型：1、渐进稳定：如果一个非线性动力学系统在经过无数次扰动后能够趋近于某个值或界限，则我们称这种状态为“渐进稳定”。
这种稳定状态下，系统会被吸引到某个稳定的状态或解。
2、指数稳定：如果一个非线性动力学系统不仅渐近稳定，而且还能够以指数级别衰减的速度回到其平衡点，则我们称这种状态为“指数稳定”。
这种稳定状态下，系统可能会在某个点或轨道上不断震荡，但最终还是会趋向于平衡点。
3、周期稳定：如果一个非线性动力学系统经过无数次扰动后始终维持某种规律的周期运动，则我们称这种状态为“周期稳定”。
这种稳定状态下，系统的行为模式呈现出周期性循环。
4、混沌稳定：如果一个非线性动力学系统在接受小扰动后依然保持其混沌性质，则我们称这种状态为“混沌稳定”。
这种稳定状态下，系统的行为非常复杂，通常会有随机的、高度不规则的、不可重复的行为。
三、稳定性的评估方法稳定性分析的目的是要确定一个非线性动力学系统的稳定状态，这意味着我们需要评估系统对外部刺激的响应，以及系统在扰动之后是否能够回到原来的状态。
非线性控制系统的稳定性与性能分析
非线性控制系统的稳定性与性能分析1. 引言非线性控制系统是一类常见的实际控制系统，与线性控制系统相比，其具有更加复杂的动力学特性和行为表现。
因此，对于非线性控制系统的稳定性与性能分析有着重要的研究价值。
本文将从理论和实践两个方面，对非线性控制系统的稳定性与性能进行分析与探讨。
2. 非线性系统的稳定性分析2.1 Liapunov稳定性Liapunov稳定性是描述非线性控制系统稳定的一个重要理论概念。
其基本思想是通过构造一个Liapunov函数，通过函数的变化率判断系统是否稳定。
文章将详细介绍Liapunov函数的构造方法，并给出非线性系统稳定性的判据。
2.2 极均衡点分析对于非线性控制系统，极均衡点是系统处于平衡状态时的一个重要点。
通过对极均衡点的分析，可以推导出非线性系统的稳定性条件。
本文将介绍通过线性化和Jacobian矩阵等方法，分析非线性系统极均衡点的稳定性条件。
2.3 Lyapunov指数分析Lyapunov指数是一种用来评估非线性系统稳定性的量化指标。
文章将介绍Lyapunov指数的定义和计算方法，并说明其在非线性控制系统中的应用，并分析其与Liapunov稳定性的关系。
3. 非线性系统的性能分析3.1 鲁棒性分析鲁棒性是描述非线性控制系统抵抗干扰和参数变化能力的一个重要性能指标。
文章将介绍鲁棒性的概念和评估方法，重点讨论鲁棒性设计对非线性系统性能的影响。
3.2 动态性能指标分析与线性控制系统类似，非线性系统也需要考虑其动态性能。
文章将介绍各种常见的动态性能指标，如上升时间、调节时间和超调量等，并说明如何用这些指标来评估非线性系统的性能。
3.3 匹配与追踪性能分析对于非线性控制系统，匹配性能和追踪性能是两个重要的性能指标。
文章将分别介绍匹配性能和追踪性能的概念，并给出相应的分析方法和评估指标。
4. 非线性系统的稳定性与性能分析实例4.1 倒立摆控制系统倒立摆是一个常见的非线性控制系统实例。
一类非线性控制系统全局稳定的条件
有 Ｖｘ）＜ ； （ ０ 当且 仅 当 ＝ ０时 ， 能有 Ｖｘ）＝ ， 才 （ ０ 则称 ｖｘ）为域 上 的负 定 函数 。 （ 若 对任意 的 １维 非零 向量 ∈ ， １ ， 都有 ｖ ｘ ＞０ ， Ｖ Ｏ （） １ 且 （ ）＝０ 则 称 函数 Ｖ ｘ ， （ ）为 区域 上 的非 负定 函数 。
定理１ 若∑ （ ｆ ∑ 口（ Ｉｉ ） ） ， （） ｃ￡ ， 一Ⅱ（ ）＋ ￡ （ Ｉ＜０ｎ ｔ ＋ （ ）＋ ｂ ｄ ）＜ｏ 则系统（） ３ 的平凡解是全
ｌ ， 】 ≠‘ ０
局稳 定 的 。
证 明 对于非 线 性控 制 系统 （ ）， 们考 虑用 Ｌａ ｕ ｏ 二 方 法 来 证 明该 系统 （ ）平 凡解 的稳 定 ３ 我 ｙｐ ｎｖ第 ３ 性， 现作 Ｌ ａｕ ｏ ｙｐ ｎFra bibliotek函数 如下 ：
解 决系统 的能控性 、 能观 性 、 可靠 性 等 问题 ， 为一 个 控制 系 统 ， 系 统 的 可靠 性 ， 即 系统 的稳定 性 作 该 也
与 否 ， 接关 系到 整个 系 统 的安 全是 否可 行 ， 直 在实 际 生活 中也 必 为 人们 所关 心 和 考虑 的 ， 以显得 尤 所
证 （ ）式解 的唯一 性 。 们 有如下 的引理 。 ２ 我
引理 （ 克拉索夫斯基） 若存在可微 的无穷大正定的函数 ： （ ）∈ＣＩ Ｉ， ｖｘ 尺 ， 使
Ｑ
ｌ２ ≤ ０ ｆ １
、
且集 合 Ｍ ＝ ｔ ｘＩ
稳定 的。
．
Ｉ ）＝０｝Ｏｌ ｘ ＝０外不含 （ ）式 的整条 正半 轨线 ， （ ）式 的平 凡解是 全局 （ ｅ￣ ， ２ 则 ２
一类非线性白适应系统的稳定性研究
５ ）
ｚ＋ ＝ Ｋ（ ） ） ０＋ 一 ＋ １ ｚ 一 （ （ ｌ ０ Ｋ（ ） ＋ ）＝ ＾ Ｋ（ ） （ ） １ （７ １ ｚ 一 ＋ ２）
” ａ ）６ （ 、
２ 离散 非 线性 自适 应 控 制 系统
和 上述 连续 系统 一样 ， 定 设
一
类 非线 性 白适 应 系 统 的稳 定 性研 究
龚 喜 ， 长会 宋
（ 中船重工第七一 Ｏ研 究所 ， 湖北 宜昌 ４ ３０ ） ４ ０ ３
摘
要： 针对非线性系统 ， 出加入 自适应 控制规律 后系统 的稳定性分 析方法 ， 提 利用 Ｌ ａｕｏ ｙｐ ｎｖ稳定性 理
论进行分析 ， 明所设计 的 自适应控制器是收敛 的， 证 具有很强 的鲁棒特 性和抗扰动 能力。通过 Ｍａ ａ 真软 ｔｂ仿 ｌ
１ ２ ７
一
类非线性 自适应 系统 的稳 定性研究——龚
喜 ， 长会 宋
２
（ ， １ 一 ｘ 一） ＋ ０ ＋）＋ Ｋ（ １
㈤ ＋ （
㈩ ） ０ （３ Ｔ＞ １）
（ ） ｆ （ ）＋ （ ） ＋ｇ ） ） （５ （ｏ ０ （ ２）
式 中 的表达式 为
一
＝
）＋ （ ｇ ）
（） １
㈩ ｚ
（ ７）
为研究 系统 的稳定 性 能 ， 定 系 统输 入 为 ０， 设 只需要 用 系统 的输 出反 馈作 为系 统输入
＝
参 数假定 ： （） ２
ｆ 仃（ ＝ ）
Ｉ ）＋ （ （ 咖（ ） 厂 （ ｇ ） ， ）
（） ６
１ 连 续非 线 性 自适应 控 制 系统
１ １ 连 续非 线性 系统数 学模型 及 自适应控 制器 ．
线性和非线性系统的稳定性和控制
线性和非线性系统的稳定性和控制在控制系统中，线性和非线性系统是常见的两种形式。
线性系统具有可加性和比例性质，非线性系统则不满足这些性质。
在这篇文章中，我们将探讨线性和非线性系统的稳定性和控制，以及它们之间的差异。
1. 线性系统的稳定性和控制在线性系统中，当系统的输入和输出之间的关系满足线性方程时，我们可以使用线性的控制方法来调节其行为。
例如，当我们使用一个比例控制器来调节温度时，我们假设系统的响应是线性的。
这意味着，如果我们两倍地增加控制器的输出，系统的响应也会两倍增加。
线性系统的稳定性可以用传输函数的极点和零点来分析。
当传输函数的所有极点实部都小于零时，系统是稳定的。
如果有任何一个极点的实部大于零，系统就是不稳定的。
我们可以使用各种线性控制器来稳定系统，例如比例控制器、积分控制器和微分控制器。
2. 非线性系统的稳定性和控制对于非线性系统，它们的行为是更加复杂的。
它们不具有可加性和比例性质，这意味着我们无法使用线性控制方法来调节系统行为。
例如，在一个非线性电路中，如果我们将输入信号的幅度加倍，输出信号的幅度可能会非常不同。
非线性系统的稳定性也比线性系统更加复杂。
我们不能简单地使用传输函数的极点和零点来分析系统的稳定性。
相反，我们需要使用更高级的数学工具，例如李雅普诺夫稳定性理论。
该理论使用能量函数来分析系统的行为，从而判断系统是否稳定。
我们可以使用各种非线性控制器来调节非线性系统，例如反馈线性化控制和滑动模态控制。
3. 线性系统和非线性系统的不同在稳定性和控制方面，线性系统和非线性系统之间存在显著的差异。
线性系统具有可加性和比例性质，可以方便地使用传输函数来分析稳定性和设计控制器。
然而，非线性系统不具备这些特性，需要使用更高级的数学工具来分析稳定性和设计控制器。
此外，非线性系统可能会表现出一些奇异的行为，例如混沌和周期性振荡。
这些行为是线性系统所不具有的，因为线性系统的行为是可预测的和稳定的。
对于非线性系统，我们需要更加小心地分析其行为，以确保系统的稳定性和符合我们的预期。
系统的稳定性与非线性现象
系统的稳定性与非线性现象引言：在我们生活的世界中，系统的稳定性和非线性现象是一个普遍存在的现象。
从自然界到社会生活，无处不体现着它们的存在。
本文将以系统的稳定性和非线性现象为主题，探讨它们的关系和影响。
一、系统的稳定性系统的稳定性是指当系统受到外界扰动时，能够保持内部结构和功能的基本状态不变的性质。
这种稳定性常常是人们所追求的目标，因为它可以使系统具有良好的适应性和持久发展的能力。
例如，生态系统的稳定性决定了其生物多样性和气候平衡的维持，而经济系统的稳定性则决定了国家或地区的经济繁荣和社会稳定。
然而，系统的稳定性并非一成不变的。
系统内部的各种因素和外部环境的变化会对系统的稳定性产生重要影响。
例如，气候变化对生态系统的稳定性产生显著影响，金融危机对经济系统的稳定性产生深远影响。
因此，保持系统的稳定性需要我们不断监测和调整系统的内外部因素，使其保持在适度的变化范围内。
二、非线性现象非线性现象是指一些系统在受到微小扰动时产生非比例的响应。
这些响应通常无法用简单的线性方程来描述，而常常呈现出复杂和混沌的特性。
非线性现象在物理、化学、生物、经济等领域都有广泛应用和研究。
例如，斯德哥尔摩摆的运动、心脏的跳动、经济市场的波动等都涉及到非线性现象。
非线性现象的出现常常使系统的行为变得难以预测，从而增加了系统管理的复杂性。
这也使人们更加重视对非线性现象的研究和理解。
通过深入分析和模拟，可以揭示非线性现象背后的规律性和机制，进而为系统的管理和优化提供科学依据。
三、稳定性与非线性现象的关系稳定性和非线性现象是密切相关的。
一方面，非线性现象可能导致系统的不稳定性。
当系统经历阻尼不足或外界扰动过大时，非线性效应可能引发系统的震荡、崩溃等不稳定现象。
例如，森林火灾的蔓延、金融市场的崩盘都是由非线性效应导致的不稳定现象。
另一方面，稳定性对于非线性现象的表现也起着重要作用。
稳定的系统容易产生周期性或复杂的非线性现象，这些现象可以看作是系统在稳定状态下的顺畅运行和自发适应。
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. 非线性系统的 , 取得了诸如
[2 - 5 ]
李雅普诺夫稳定性理论 , 波波夫超稳定性理论和 极限环分析等著名的结果 . 但与线性系统不同 ,非 线性系统的稳定性分析没有统一的理论 , 以上的 理论除某些特殊系统外很难应用 . 因此 ,对于一类 特定的非线性系统 , 有必要研究专门的稳定性判 据 . 随机系统的稳定性问题也得到了广泛的研 究 [ 6 ] ,其中随机李雅普诺夫方法起着重要作用 . 本文研究了一类非线性系统的输入输出稳定 性问 题 , 这 类 系 统 是 非 线 性 滑 动 自 回 归 模 型 ( NARMAX) 的子集 ,其特点是它的模型为系统输 出的拟线性函数 .
1 引论
稳定性分析在系统科学中是一个重要的问 题 . 线性反馈控制系统的稳定性问题已经得到了 解决 , 得到了许多著名的判据 稳定性理论得到了广泛的研究
[1 ]
式中 , p j ( y ( k - 1 ) , y ( k - 2 ) , …, y ( k - n y ) , u ( k - 1 ) , u ( k - 2 ) , …, u ( k - n u ) ) 定义为变 量 ( y ( k - 1) , y ( k - 2 ) , …, y ( k - n y ) , u ( k 1) , u ( k - 2 ) , …, u ( k - n u ) ) 的函数 , n y 和 n u
y ( k - j ) ( j = 1 , 2 , …, n y ) 是线性的 .
定义 3 输 入 变 量 线 性 意 味 着 模 型 关 于
u ( k - j ) ( j = 1 , 2 , …, n u ) 是线性的 .
关于参数 、 输出变量和输入变量的非线性定 义同前 . 例1 NARMAX 模型 y ( k ) = a1 y ( k - 1) + a2 y 2 ( k - 1) ・
( 6)
式中 , c1 , c2 , …, c ny 为有限常数 ; R 1 , R 2 , …,
R ny 为方程 ( 5 ) 的根 . 就 SISO 系统而言 , 李雅普诺
夫稳定性等价于输入输出稳定性 . 对式 ( 6) 平方可 得
n
y
n
y
n
y
y ( k ) =
n
y
2
i =1
∑
n
y
c i Ri
2
u ( k) + u2 ( k) ( 2)
2 主要结果
2. 1 NARMAX 模型及其分类
为关于参数是线性的 , 关于输入输出变量是非线 性的 . 例 2 Hammerstein 模型 y ( k ) = a1 y ( k - 1) +
考虑一类带参数的 NARMAX 模型
m
y ( k) =
收稿日期 : 2002203225.
j =1
∑pθ ,
j j
( 1)
作者简介 : 朱全民 ( 19552) ,男 ,博士 ; 英国西英格兰大学数学 、 计算机和工程学院 . 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 69974107) ; 国家自然科学基金两个基地国际合作项目 ( 6010720098) ; 广西 自然科学基金资助项目 ( 0135065) ; 河北省自然科学基金资助项目 ( 602621) ; 国家留学基金委回国人员 科研启动基金和高等学校骨干教师资助计划资助项目 . © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
i =1
i =1
∑h2 R 2
i i
k
. ( 7)
成立 . 令 S ( u ( k ) , u ( k - 1 ) , …, u ( k - n u ) 为方 程 ( 4) 的解 , 则在几何意义上 , 稳定的解空间相应 ) | < 1 , | R2 ( ・ ) | < 1 , …, 于超平面内 | R 1 ( ・ ) | < 1 所界定的区域 . | R ny ( ・ 注记 4 由 S ( u ( k ) , u ( k - 1) , …, u ( k ) ) nu 所界定的稳定空间映射到 Z 平面的单位圆 内部 , 而不稳定的空间映射到单位圆的外部 . 注记 5 Hammerstein 模型的稳定性与其相
| R 2 (α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …, α ny ( u ) ) | < 1 ;
的 m 阶矩存在 , 并且给定 ε> 0 , 存在 δ(ε, k 0 ) 使 得 ‖x 0 ‖m < δ, 意味着
E{ sup ‖x ( k ; x 0 , k 0 ) ‖ . m <ε
m ) ‖ 式中 ‖ x ( ・ m = ∑| x i |
( 4)
应的线性部分系统的稳定性具有同样的特性 , 因 为式 ( 5) 中 α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …, α n y ( u ) 是输入独 立的 . 2. 3 随机稳定性 由于参数 α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …, α n y ( u ) 随输 入 u 变化 , 因此式 ( 5 ) 描述的系统可能在稳定和 不稳定区域切换 , 这很自然地产生了随机稳定性 问题 . 在此首先给出 m 阶均值意义下的稳定性定 义 , 接着给出二阶均值下的输入输出稳定性条件 , 最后给出该定理的注记 . m 阶均值意义下的李雅普诺夫稳定性定义 :
华 中 科 技 大 学 学 报 ( 自然科学版) 第 30 卷 26
b0 [ 1 + u ( k ) + u 2 ( k ) ]
( 3)
Hale Waihona Puke 为关于参数和输出变量是线性的 , 但对输入是非 线性的 . 2. 2 稳定性的线性等价原理 定理 1 NARMAX 模型中关于输出变量是 线性的一类非线性系统的稳定性分析可按照线性 方法来进行 . 证明 当输入变量当作定常参数时 , 模型式 ( 2 ) 可改写为 y ( k ) = α 1 ( u ) y ( k - 1) + α 2 ( u ) y ( k - 2) + … + αny ( u ) y ( k - n y ) + U ,
i=1 N
m
m
. 当 m = 2 时,
2 ) ‖ ‖x ( ・ | x i| 2 . 2 = ∑
i=1
N
定理 2 如果 2k k 2k lim { E[ sup R 1 ] , E[ sup R 2 2 ] , …, E[ sup R n y ]}
k →∞
存在 , 由方程 ( 4) 描述的系统在二阶均值意义下为 输入输出稳定的 . 证明 方程 ( 4) 的输出以闭式表示为 k k k y ( k ) = c 1 R 1 + c2 R 2 + … + c n y R n y ,
( 8)
证明 考虑矩不等式 ) ] ≥ g ( E[ν]) , E[ g (ν ) 是实函数 . 令 式中 ,ν是随机变量 ; g ( ・ ν = R 2i ,
k 2k 2k E[ R 2 1 ] < 1 , E[ R 2 ] < 1 , …, E[ R n y ] < 1 .
对稳定系统 , 需要其根 R 1 和 R 2 满足
2 1/ 2 )/2 | < 1, | R 1 | = | (α 1 + [α 1 + 4α 2] 2 1/ 2 ) / 2 | < 1. | R 2 | = | (α 1 - [α 1 + 4α 2]
m 阶均值意义下的平衡点是稳定的 , 如果解向量
式中 ,α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …,α n y ( u ) 为输入和原始参 数的函数 ; U 表示 u ( k - j ) ( j = 1 , 2 , …, n u ) 的可能组合函数 . 式 ( 4 ) 和线性 ARMA 模型具有 同样的结构 , 不同之处仅在于某些参数是时变的 . 因此 , 该系统分析可以用线性系统判据进行 . 注记 1 该类系统的稳定性可认为是依赖于 输入的 . 这一点从式 ( 4 ) 参数 α 1 ( u) 到 α ny ( u ) 为 输入的函数可显而易见 . 这也从另一方面验证了 大多数非线性系统的稳定性与输入的幅值以及系 统的结构和参数有关的结论 . 注记 2 定理 1 对多输入/ 多输出系统也是 成立的 . 注记 3 超平面 S ( u ( k ) , u ( k - 1 ) , …, u ( k - n u ) ) 将区别由 ( u ( k ) , u ( k - 1 ) , …, u ( k - n u ) ) 张成的超空间的稳定和不稳定部分 . 该结论可以从根的解集的方程组的稳定性分析加 以证明 . 考虑方程 ( 4) 的特征方程的 Z 变换 n n -1 ( 5) Z y - α - …- α 1 ( u) Z y ny ( u ) = 0 , 令 R i (α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …, α n y ( u ) ) 为特征方程 的某根 , 则对于一个稳定的系统 , 以下不等式组 | R 1 (α 1 ( u) , α 2 ( u ) , …, α ny ( u ) ) | < 1 ;
一类非线性系统的稳定性
朱全民
英国西英格兰大学数学 计算机和工程学院
王永骥
华中科技大学 控制科学与工程系
摘要 : 研究了一类非线性系统的输入输出稳定性问题 , 这类系统的特点是其模型为系统输出的拟线性函数 . 对非线性确定性系统 , 利用稳定性的线性等价原理 , 提出了这一类非线性系统的稳定性判据 ; 对非线性随机系 统 , 给出了 m 阶均值意义下的稳定性定义 , 提出了一种二阶均值下的输入输出稳定性条件 , 给出了几个示例 说明 . 关 键 词 : 非线性系统 ; 输入输出稳定性 ; 线性等价原理 ; 随机稳定性 中图分类号 : TP271 文献标识码 : A 文章编号 : 167124512 ( 2002) 1120025203