2020-2021学年新高二高中数学(人教A2019)衔接讲与练专题01 第三章 函数的概念与性质(知识串讲)
2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)
新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。
此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。
3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。
(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。
第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。
8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。
9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。
如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。
10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
2020-2021学年人教A2019新高二数学衔接讲与练《专题14 空间向量专题测试01》
A．3
B．4
C．5
D．1
【答案】C
【解析】由空间两点间距离公式 AB =
3-02 +4-02 +1-12 =5 .
故选： C . 6．（2020·陕西高二期末（理））如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD ABCD ，且 AB 2 ， AD 2 ， AA 1，则异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值为（ ）
1 2
,
0
，
D
'
0,
0,
3 2 ，
则 AB
2
3, 2, 0 ， CD
3, 1 , 2
3 2 ，
设直线 AB 与直线 CD ' 所成角为
则 cos cos AB,CD
AB CD 7 ，
AB CD 8
sin
1 cos2
1
7 8
2
15 8
tan
sin cos
）
A．
EF
1
AB
1
CD
22
B．
EF
1
AB
1
CD
22
C．
EF
1
AB
1
CD
22
D．
EF
1
AB
1
CD
22
【答案】C
【解析】取 AC 的中点 M ，连结 EM , FM ，
E,
F
分别是
AD,
BC
的中点， ME
1
CD
， MF
1
AB
，
2
2
EF
MF
ME
1
AB
1
CD
.故选：
2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念(2)-
分析：实际问题
（1）
“用 10 000元购 买某个理财产品”
12个月能获得的本利和 “12个月能获得的利息”
数学问题
分析：实际问题 （2）“季度利息”
存4个季度的本利和 “存4个季度结算的利息” “按季结算的利息不少 于按月结算的利息”
数学问题
对实际问题抽象、简化 确定“本金”、“利率”、“本利和”、
4.3.1 等比数列的概念（2）
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到 等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数 列的通项公式吗？
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到 等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数 列的通项公式吗？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金， 再计算下一期的利息.
通过证明可知，此性质并不 需要等比数列各项均为正.
2020-2021学年高二数学人教A版(2019 )选择 性必修 第二册 4.3.1等比数列的概念（2）-课件 【精品 】 2020-2021学年高二数学人教A版(2019 )选择 性必修 第二册 4.3.1等比数列的概念（2）-课件 【精品 】
方程思想 建模思想 转化思想
课堂小结
等比数列有关计算问题
将实际问题转化为数学问题，并 加以解决.
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课后作业
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高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(教学案)：第一讲 集合及其运算提升训练
第一讲 集合及其运算一、选择题(每题5分，合计60分)8. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( )A. M=PB. P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P9. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 10. 设全集{(,),},I x y x y R =∈集合3{(,)1},{(,)1}2y M x y N x y y x x -===≠+-,那么()()I I C M C N ⋂等于 （ ）A. ∅B.{(2,3)}C. (2,3)D.{(,)1}x y y x ≠+11. 设U 为全集,集合A 、B 、C 满足条件A B A C ⋃=⋃，那么下列各式中一定成立的是（ ） A.A B A C ⋂=⋂ B.B C =C. ()()U U A C B A C C ⋂=⋂D. ()()U U C A B C A C ⋂=⋂12.2{60},{10}A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是( )A.11{,}32-B. 11{0,,}32--C. 11{0,,}32-D. 11{,}32二、填空题（共4题，每题4分，计16分）13/ 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 /14/ 若集合{}|37A x x =≤<{}|210B x x =<<，则A B =_____________/15.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 /16/已知知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________/三、解答题（共6题，合计74分）17/ （原创）（本题满分12分）某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，求该班既爱好体育又爱好音乐的人数/18. （本题满分12分）已知集合A=()(){}222110y y a a y a a -++++> ， B=215,0322y y x x x ⎧⎫=-+≤≤⎨⎬⎩⎭，A∩B=φ，求实数a 的取值范围.19/ 已知A=｛x ︱x 2-3x+2=0｝，B=｛x ︱ax －2=0｝，且满足B A ⊆,求实数a的取值范所组成的集合C /20/（本题满分12分）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若A∩B=｛－3｝，求实数a 的值21.（本题满分12分）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值22.（本题满分14分）已知集合A={|}x y =使，集合B={|}y y =使 ，A=B 是否可能成立？如可能成立，求出使A=B 的a 的取值范围，如不可能成立，说明理由.第一章 集合全章检测参考解析 一、选择题：1/ 答案： C 解析：主要考察元素的确定性； 2/ 答案： D解析： 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，选项D 中的方程210x x -+=无实数根；3/ 答案： D 解析： 当0m =时，,B φ=满足AB A =，即0m =；当0m ≠时，1,B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而A B A =，∴11111m m=-=-或，或；∴1,10m =-或； 4/ 答案： A解析： 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分； 5/ 答案： D 解析：由元素的互异性a b c ≠≠可得答案； 6/ 答案： C解析：由{}0,1,3A =，其真子集有3217-=/7. 答案： A解析： （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -∉，但0.5N ∉（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性8.答案： A 解析：由x 2≥0，而︱a ︱≥0,则M=P . 9. 答案：B解析：分别取P 、Q 为两个非空实数集中的元素相加，可知所得的结果有8个。
2020-2021学年人教A2019新高二数学衔接讲与练《专题09 高中数学人教A版必修第二册综合测试题02》
C． 2 4 3 3
D． 4 3 3
【答案】B
1 sin x cos x
【解析】
1 sin x cos x
2 sin2
x 2sin x cos x
2
22
2 cos2
x 2sin x cos x
2
22
1 sin x cos x 1 sin x cos x 2 cos2 x 2sin x cos x 2sin2 x 2sin x cos x
高中数学人教 A 版必修第二册综合测试（二）
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设复数
z
1
2
i
，则下列命题中错误的是（
）
A． z 2
B． z 1 i
C． z 的虚部为 i
D． z 在复平面上对应的点在第一象限
【答案】C
【解析】
z
2 1i
21 i
2
1
i
z 2 ， z 1 i ， z 在复平面上对应的点在第一象限，故选 C
7 6
,1
对称
③ f (x) 的最小正周期为 2
④ f (x) 的值域为[1, 3]
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】D
【解析】令 t
x
6
，
x
0,
1 2
，所以 t
6
, 3
，
f
(x)
2sin t
1在
t
6
, 3
上为
增函数，即
f
x
在区间
0,
1 2
单调递增，所以①正确；
令 x k ，所以 x 1 k ， k Z ，所以②正确；
8.5空间直线、平面的平行-2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【变式2】如图，在五面体EF ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .2．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，12BC AD，E是PD的中点.（1）求证：BC//AD；（2）求证：CE//平面PAB.5.如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【答案】2【解析】①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【答案】 1【解析】若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．∵HG 是△ADC 的中位线，∴HG ∥AC .又EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形． 【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【解析】证明：连结BD 与AC 交于点H ，连结HE . 在1BDD 中，,E H 分别为1DD 、BD 的中点. 得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ，EH ⊂平面AEC ， 所以1//BD 平面AEC【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【解析】如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【答案】详见解析 【解析】如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 因为O ，D 为中点， 所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG //平面BDD 1B 1； （2）平面EFG //平面BDD 1B 1.【解析】证明：（1）如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG //SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG //平面BDD 1B 1.（2）连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点， 所以FG //SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG //平面BDD 1B 1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【解析】证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】证明(1)如图，连接SB.∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵点F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH .【变式2】如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝3，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．证明 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ，所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝39，所以SC ＝17.（2）如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 【变式1】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解析：(1)证明 如图，连接AC ，CD 1.因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点，所以PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解 由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明 方法一 取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，则有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥B 1C 1且BE ＝12B 1C 1， 所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【解析】（1）∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ，∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，∴1//A E 面BCHG ，2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴//EF平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，45,4ADB AB BD∴∠=︒∴==，∵BC⊥BD，162BCDBCS BD∴=⨯⨯=,∴三棱锥A﹣BCD的体积183BCDV s AB=⋅=．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.【解析】证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ，BC ⊂平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，BC//平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：BC//AD ；（2）求证：CE//平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：()1在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，//BC AD ∴，()2取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =， 又由()1可得//BC AD ，且12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴，EC FB//EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴平面PAB.EC//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：5.如图，梯形ABCD中，//BC EF.//【答案】证明见解析BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，【解析】∵//BC平面PAD，∴//∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，BC EF∴//6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.证明因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.。
2021年新高一数学人教A版衔接讲义 含答案
3.1 集合....................................................................................................................................... 26
③完全立方和公式： (a b)3 ________________________ ④完全立方差公式： (a b)3 ________________________
公式③、④我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到 立方和与立方差的公式呢？
⑤立方和公式： a3 b3 _________________________ ⑥立方差公式： a3 b3 _________________________
第一章——前言
首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个 更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高 中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、 “考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。
引例 2：设 a, b, c 为均为正数，且 c b ，证明： a2 c2 a2 b2 c b
引例 2 体现了________________的数学思想，体现了________________________的学习技巧
*思考题：设 a, b, c 为均为正数，求证： a2 c2 a2 b2 c b
2023年新高二暑期数学衔接(新人教版)第02讲正弦定理与余弦定理(教师版)
第02讲正弦定理与余弦定理拜【学习目标】1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理2. 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题【基础知识】一、三角形中的诱导公式在△A8C 中1. sin （A+B ）= sinC,cos （A+B ）= -cosC ；2. sin2（A+B ）= — sin 2C, cos 2 （ A += cos 2C ；.A+B C A+B . C 3. sin ------= cos 一 ,cos ---------= sin 一.2 2 2 2二、正弦定理n h c1. 在三角形ABC 中，各边和它所对角的正弦的比相等，即----=-----=-----= 2R.其中R 是三角形ABCsin A sin B sin C外接圆的半径.2. 正弦定理的其他形式：① 。
=2RsinA, b = 2R sin B,c = 2R sin C ；b c ② s inA = ,sinB=——,sinC=——；2R 2R③ 。
:b ： c= sinA: sinB: sinC.【解读】①适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.② 结构形式:分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.③ 揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与 角的一种数量关系.3.利用正弦定理求解“角角边”型:已知两角和任一边.已知角8,C 和边q .k— ( B + C)a 一 - asin B ：= —^b --------sin A sin Aa asin C；---c —；------sin A sin A4.利用正弦定理求解“边边角”型:已知两边和其中一边的对角.已知角A 和边。
力(有解).D ' a 一一.・ D 》sin Asin B sin A a C ： C = tc — A — Bc a asin C ' sin C sin A C sin A5.在AABC 中，已知q 、和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形CZLc 容c'匚cA ,BAB 关系式a=bsinA /?sin A<a<ba>b a>b解的个数一解两解一解一解6.利用正弦定理判断三角形形状①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=ti 这个结论.三、余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a 1 -b 1 +c 1 - 2阮 cos A ,b 2 = a 2 +c 2 - 2。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
2.3.1 抛物线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )B.(-2,0) C.(4,0)D.(-4,0)2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0=0 D.4y+1=0y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y==12,且焦点在‒14,4y+1=0.3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )212y B.y 2=12x C.y 2=-12x D.x 2=12yx=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )B.6 C.8 D.12P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6.由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24‒y 22=1上,则抛物线的方程为( )A.y 2=8x B.y 2=4x C.y 2=2x D.y 2=±8x,即为(-2,0)或(2,0),线x 24‒y 22=1的顶点所以抛物线的方程为y 2=8x 或y 2=-8x.6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 x 2y==14y ,准线为‒116.因为点M 到焦点的距离为1,所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.7.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 .,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.2=-8y 8.已知抛物线y 2=2px (p>0)上一点M (1,m )到其焦点的距离为5,双曲线x 2‒y 2a =1的左A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则实数a =_________________.1p=8.+p 2=5,解得由点M 在抛物线上,可得m=±4.不妨取M (1,4),则AM 的斜率为2,由已知a 得‒a ×2=‒1,故=14.9.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上.设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①由题意可知直线l 与x 轴的交点为(2,0).当抛物线的焦点是F (2,0),则p 2=2,∴p =4,∴抛物线的标准方程是y 2=8x.②由题意可知直线l 与y 轴的交点为(0,-3),当抛物线的焦点是F (0,-3),则p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程是x 2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2=8x 或x 2=-12y.10.设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ∈C ,已知以点F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程.F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点,所以△BFD 为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p ,又因为点A 到准线l 的距离d=|FA|=|FB|S △ABD ==2p ,所以42=12|BD |p=2.×d =12×2p ×2p ,所以所以圆F 的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.二、能力提升1.过点F (0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y 2=12xB.y 2=-12x2y D.x 2=-12y2.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A .34B.1C.54D.743.已知双曲线C 1:x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A.x 2=833y B.x 2=1633y 2yD.x 2=16ye 2=1y=+b 2a 2=4,得b a =3,则双曲线的渐近线方程为±3x ,即3x ±y =0.抛物线C 2的焦点坐标2,可为(0,p 2),由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为得p22=2,p=8.解得故抛物线C 2的方程为x 2=16y.4.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8x 2x D.y 2=8xy 2=ax (a ≠0)的焦点F 的坐标l 的方程为y=y 轴的为(a 4,0),则直线2(x -a4),它与交点△OAF 的面积a=±8.为A (0,-a 2),所以为12|a 4|·|a 2|=4,解得所以抛物线的方程为y 2=±8x ,故选B.5.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .抛物线的焦点坐标为F (p2,0),线段FA 的中,点B (p 4,1)在抛物线上∴12=2p ×p 4,∴p =2,∴x=B (24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B 到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=324.★6.已知M 是抛物线y 2=2px (p>0)上的点,若点M 到此抛物线的准线和x 轴的距离分别为5和4,则点M 的横坐标为 .M (x 0,y 0),则x 0+p2=5,|y 0|=4.又y 20=2px 0,∴x 0=8p ,∴8p +p 2=5.∴p=2或p=8,则x 0=4或x 0=1.或47. 如图,已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A 在抛物线上,且是横坐标为4,位于x 轴上方的点,点A 到抛物线准线的距离等于5,过点A 作AB 垂直于y 轴,垂足为点B ,OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N的坐标.抛物线y 2=2px 的准线方程为x=4‒p 2,于是+p 2=5,p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)由题意得A (4,4),B (0,4),M (0,2).又F (1,0),所以k AF FA 的方程为y =43,则=43(x ‒1).因为MN ⊥FA ,所以k MN =‒34,则MN 的方程为y=‒34x +2.解方程组{y =-34x +2,y =43(x -1),得{x =85,y =45.所以N (85,45).★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?设曲线方程为y=ax 2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知 {x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC |=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套作业：2.1.2 演绎推理 Word版含解析
第二章 2.1 2.1.2请同学们认真完成练案[4]A级基础巩固一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确[解析]函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的．”中的小前提是(D)A．①B．②C．①②D．③[解析]本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于(A)A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理[解析]大前提为所有金属都能导电，小前提为铁是金属，结论为铁能导电，故选A．4．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在(A)A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是[解析]∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．5．在证明f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝x满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝x满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(A)A．①④B．②④C．①③D．②③[解析]大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝x满足增函数的定义；结论是f(x)＝x为增函数，故①④正确．6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(C)A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．二、填空题7．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__②__.(填写序号)[解析]推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中大前提：矩形是平行四边形；小前提：正方形是矩形；结论：所以正方形是平行四边形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案为②．8．有些歌唱家留长发，因此，有些留长发的人是大嗓门，为使上述推理成立，请补充大前提__所有歌唱家都是大嗓门__．[解析]利用“三段论”推理：大前提：所有歌唱家都是大嗓门，小前提：有些歌唱家留长发；结论：有些留长发的人是大嗓门．三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[解析]①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)则这两个三角形全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA．②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)如果△ABC和△CDA全等，(小前提)则它们的对应角相等，(结论)符号表示：△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD为平行四边形．(结论)符号表示：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程(A)A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为(B)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．3．(多选题)下面几种推理过程不是演绎推理的是(BCD)A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理，故选BCD ．二、填空题4．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A 城市__．[解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．5．甲、乙、丙三位教师分别在一中、二中、三中三所中学里教不同的学科：语文、数学、英语，已知：①甲不在一中工作，乙不在二中工作； ②在一中工作的教师不教英语学科； ③在二中工作的教师教语文学科； ④乙不教数学学科．可以判定乙工作的地方是__三中__，所教的学科是__英语__．[解析] 甲不在一中，则甲在二中或三中．若甲在二中，则只能教语文，由④得乙教英语，再由②得乙在三中；若甲在三中，则由①得乙在一中，丙在二中，由②④得乙教语文，但由③得丙教语文，矛盾，所以甲不在三中．综上，乙教英语且在三中．三、解答题6．用三段论证明：已知{a n }是各项均为正数的等差数列，l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，…，证明{b n }为等比数列．[解析] 因为l ga 1，l ga 2，l ga 4成等差数列， 所以2l ga 2＝l ga 1＋l ga 4，即a 22＝a 1·a 4． 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，这样d 2＝a 1·d ，从而d (d －a 1)＝0． 而d ＝0，则{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)·d ＝2n ·d ， b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ．这时{b n }是首项为b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上知{b n }为等比数列．7．用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ，BE 是高线，D 、E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD ．[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提) ∴△ABD 为直角三角形．(结论) 同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M 是直角三角形ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，(小前提) ∴DM ＝12AB (结论)，同理EM ＝12AB ．∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提) 又∵DM ＝12AB ，EM ＝12AB (小前提)∴ME ＝MD (结论)．8．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上为增函数． [解析] (1)因为f (x )是R 上的偶函数， 所以对一切x ∈R ，都有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ＝1a ex ＋a e x ， 整理得(1a －a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 恒成立．因e x －1e x 不恒为0，故1a －a ＝0，所以a ＝±1．又a >0，所以a ＝1．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2．则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－e x 2－1e x 2＝(e x 2－e x 1)·(1e x 1＋x 2－1)＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2．因为x 1>0，x 2>0且x 1＜x 2，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0， 所以e x 2－x 1>1,1－e x 1＋x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021学年高二数学人教A版(2019)
(2)错误，因为是不放回抽样，每次是否抽到次品不独 立，不满足二项分布的条件.
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，
A1A2 A3
1
0.8
A3
A1 A2 A3
1
A2
0.2
A3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A1 A2 A3
0
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，
每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：
P(X 0) P(A1 A2 A3) 0.23 C30 0.80 0.23 P(X 1) P(A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3)
n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验 独立地重复进 行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
特征: (1)同一个伯努力试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立．
各次试验成功 的概率相同
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次． (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次． (3)一批产品的次品率为 5％，有放回地随机抽取20件． (4)某医院一天出生8个婴儿，其中男婴的个数． (5)假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学 生一年内恰发生意外伤害事故的人数． (6)一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球),从中不放回的依次摸四个 球，其中红球的个数；
1.(1) P( X
2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册圆锥曲线的方程小结(2)精品课件
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？ 研究内容
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？ 研究内容
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
研究内容 研究过程
研究圆锥曲线的定义； 建立圆锥曲线的标准方程；
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
研究内容
研究圆锥曲线的定义；
研究过程
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
研究内容
研究过程 研究方法
以几何基本元素的相互关系为考察对象； 以“距离”为纽带；
2020-2021学年高二数学人教A版（201 9）选 择性必 修第一 册第三 章圆锥 曲线的 方程小 结(2)课 件
问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？
研究内容
研究过程 研究方法
追问1：你能说说用坐标法研究曲线方程的具体过程吗？
4. 化简方程；
问题2：举例说明数形结合在圆锥曲线的研究中具有重 要作用.
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册课件：4.3等比数列
1－Snqn＝1－S1q(q≠1)．
[熟记常用结论]
1．若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq ＝a2k.
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n， {a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．
(× )
(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2＝ac. ( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是
等比数列．
则 a1＝___9_____.
解析：由已知条件及 S3＝a1＋a2＋a3，得 a3＝9a1，
设数列{an}的公比为 q，则 q2＝9，
所以 a5＝9＝a1·q4＝81a1，得 a1＝19.
5．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前 7 项和为___1_2_7___． 解析：设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)， 由 a5＝a1q4＝16，a1＝1，得 q4＝16，解得 q＝2， 所以 S7＝a111－－qq7＝1×1－1－2 27＝127.
a1q2＝7， 当 q≠1 时，由a111－－qq3＝21，
得 q＝－12.
综上，q 的值是 1 或－12，故选 C.
3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册课件：4.2等差数列
(√)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． ( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2. (√ )
二、选填题
1．在等差数列an中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝
A．－1
B．0
C．1
D．6
解析：∵an为等差数列，
∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
关于d的一次函数．
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d❷.
(2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(3)前n项和公式：Sn＝na1＋nn2－1d＝na12＋an❸.
当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn ＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．
[熟记常用结论]
1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.
6．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m 项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，
a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则
(B )
A．S4＜S3
B．S4＝S3
C．S4＞S1
D．S4＝S1
解析：设{an}的公差为 d，由 a2＝－6，a6＝6，得aa11＋＝3－. 9， 于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×2 2×3＝－
18，S4＝4×(－9)＋4×2 3×3＝－18，所以 S4＝S3，S4＜S1，故 选 B.
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：2.3.1 抛物线及其标准方程
p
2
p
y= 2
第六页，编辑于星期日：点 十五分。
-6-
2.3.1
1
抛物线及其
标准方程
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
归纳总结 四种位置的抛物线标准方程的对比:
(1)共同点:①原点在抛物线上;
F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0
时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F
为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
4, ≥ 0,
综上可知,点 P 的轨迹方程为 y =
0, < 0.
2
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 十五分。
2.3.1
题型一
抛物线及其
标准方程
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
反思用定义法求抛物线标准方程的步骤:
(1)判断动点与定点、定直线之间的距离关系;
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
题型二 抛物线的定义及标准方程的应用
2020-2021学年高二下学期人教A版(2019)选择性必修第二册数列的综合辅导教案
（2）若S5，求λ．.
【对点演练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an＝λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
问题二：如若数列的通项能拆成两项的加减运算，如何进行相应的求解那？
通过基础知识点的回顾了解学生对基础知识点的记忆及应用能力，理解其中的推导方法及应用方法，为接下来的数列综合应用做好准备（提升学生数学抽象，逻辑推理和数据分析及数学运算的核心素养）
通过提问及分析讨论的方式提高学生的特殊到一般的推理及应用能力，提高学生的分析问题及解决问题方法总结的能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（逻辑推理，数据分析和数学运算的核心素养）
（上课学员在错位相减中容易出现运算方面的错误导致答案错位，应提高想要的答题正确率）
（针对一开始的知识点记忆较好，但应用及转换思想存在想要的不足，应提高学生的换位思考及转化划归思想的应用，从特殊到一般的推理，了解其中的考察方向，为接下来的知识点应用做好准备）
（针对其中的实际问题分析，要进行想要的思考方向总结及应用，理解实际问题与函数问题的转化，
学习重点及突破措施
学习重点：理解等差等比数列综合应用的转化方法及概念应用
突破措施：通过选择性必修二基础知识点的梳理及相应解答方法的总结了解其中的转化思想及实际问题与数列思想的转化
教学难点及突破措施
教学难点：理解非等差等比数列的分析方法及应用公式推理应用能力
突破措施：通过例题分析及换位思考的思想，让学生理解其中求解过程与方法，进而提高想应的数据分析及数学运算的能力
从已学知识点出发进行相应的分析与总结，提高学生特殊到一般的分析能力及相应知识点的应用能力，为接下来特殊问题分析做好相应的准备，为接下来实际问题分析及应用做好准备。（逻辑推理，数据分析和数学运算的核心素养。