向量几何在游戏编程中的使用3
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用几何是研究空间中点、线、面等几何图形的科学。
在几何学中，向量是一种重要的概念，它能够精确地描述几何图形之间的关系和运动。
通过向量的使用，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换。
本文将探讨向量在几何中的应用，介绍几个常见的向量应用例子。
1. 向量表示线段和平移在几何中，线段是两点之间的部分。
我们可以使用向量来表示线段，并通过向量的运算得到线段的长度、方向和位置关系。
例如，设点A和点B是平面内的两点，则向量AB可以表示线段AB，其长度为|AB|，方向为从A指向B。
如果我们需要将线段AB平移，可以通过向量的平移运算来实现，即将线段的每个点都沿着相同的向量平移。
2. 向量表示几何图形的方向和面积在几何中，向量也被用来表示几何图形的方向。
例如，一条直线的方向可以用与其平行的向量表示，一个三角形的方向可以用两个不共线的向量表示。
通过向量的运算，我们可以判断两个向量之间的夹角，从而确定几何图形的方向关系。
此外，向量还可以用来计算几何图形的面积。
例如，设有一个三角形ABC，可以使用向量AB和向量AC来表示这个三角形，那么这个三角形的面积可以通过向量的叉积来计算，即S = 1/2 |AB x AC|。
3. 向量表示坐标和平面方程在平面几何中，向量可以表示点的坐标。
设点A的坐标为(a, b)，可以将其表示为向量OA = [a, b]，其中O为坐标系的原点。
通过向量的加法和数乘运算，我们可以计算出两个点之间的位置关系和距离。
除此之外，向量还可以用来表示平面方程。
在平面几何中，平面可以用一般方程的形式表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为一个常数。
通过向量的点乘运算，我们可以计算出平面上任意一点的坐标和法向量之间的关系，从而确定平面的方程。
4. 向量表示旋转和投影向量在几何中还有其他应用，例如表示旋转和投影。
在平面几何中，可以通过向量的旋转运算来实现图形的旋转，将图形的每个点都按照同一个角度和方向进行旋转。
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用一、向量的概念和表示向量是几何中的重要概念，它可以用来表示物体的位移、速度、加速度等量。
在几何中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在平面内或空间中进行运算，包括向量的相加、相减、数量乘法等。
二、向量的加法和减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在向量的加法和减法中，可以利用向量的四边形法则或三角形法则进行计算。
四边形法则是指将两个向量的起点相连，形成一个四边形，以对角线的矢量作为向量的和或差。
三角形法则是指将两个向量的起点相连，形成一个三角形，以它的第三条边作为向量的和或差。
三、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
标量可以是实数或复数，乘积的结果是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
四、向量的点积和叉积向量的点积和叉积是向量在几何中的两种重要运算。
点积是指两个向量之间的数量积，其结果是一个标量。
叉积是指两个向量之间的向量积，其结果是一个新的向量。
点积和叉积在几何中有着广泛的应用，可以用来计算向量的夹角、判断向量的垂直关系以及求解平面和直线的方程等。
五、向量在几何中的应用举例1. 位移向量在几何中的应用：位移向量可以用来表示物体在空间中的位移，通过对位移向量的运算，可以计算出物体的位置、速度和加速度等信息。
2. 力向量在几何中的应用：力向量可以用来表示物体所受到的力的大小和方向，通过对力向量的运算，可以计算出力的合成、分解和平衡条件等。
3. 法向量在几何中的应用：法向量可以用来表示平面的法线方向，通过对法向量的运算，可以求解平面的方程、判断直线与平面的关系以及计算平面的面积等。
4. 速度向量在几何中的应用：速度向量可以用来表示物体的运动速度和方向，通过对速度向量的运算，可以计算出物体的加速度、轨迹和运动规律等。
5. 坐标向量在几何中的应用：坐标向量可以用来表示点在坐标系中的位置，通过对坐标向量的运算，可以计算点的距离、中点和比例等。
向量的运算和几何意义
向量的运算和几何意义向量是几何学中的重要概念，它不仅可以进行运算，还具有重要的几何意义。
本文将对向量的运算和几何意义进行探讨，并分析其在实际应用中的重要性。
一、向量的定义和表示在数学中，向量可以定义为具有大小和方向的量。
向量可以用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量通常用它的起点和终点来表示，也可以用坐标表示。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
1. 向量的加法向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的和向量c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 向量的减法向量的减法即将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的差向量c=(a1-b1, a2-b2)。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算。
1. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号“·”表示。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1*b1 + a2*b2。
在几何上，向量的数量积表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模。
2. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号“×”表示。
设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的向量积为c=(0, 0, a1*b2 - a2*b1)。
向量的向量积表示两个向量所在平面的法向量，其模为两个向量构成的平行四边形的面积。
四、向量的几何意义向量在几何中具有重要的意义，可以表示平移、旋转、拉伸等几何变换。
1. 平移向量的几何意义之一是表示平移。
当一个向量作用在一个点上时，该点将按照向量的方向和大小发生平移。
2. 旋转向量的几何意义之二是表示旋转。
当一个向量作用在一个平面上时，该平面将按照向量的方向和大小发生旋转。
向量几何在游戏中的应用
向量几何在游戏编程中的使用(一)来源：ChinaItLab作者：佚名时间：2007-5-10<1>简单的2-D追踪-Twinsen编写-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address：*****************Andre Lamothe说：“向量几何是游戏程序员最好的朋友”。
一点不假，向量几何在游戏编程中的地位不容忽视，因为在游戏程序员的眼中，显示屏幕就是一个坐标系，运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动结果，而描述这些曲线运动的，就是向量。
使用向量可以很好的模拟物理现象以及基本的AI.现在，先来点轻松的，复习一下中学知识。
向量v(用粗体字母表示向量)也叫矢量，是一个有大小有方向的量。
长度为1的向量称为单位向量，也叫幺矢，这里记为E.长度为0的向量叫做零向量，记为0，零向量没有确定方向，换句话说，它的方向是任意的。
一、向量的基本运算1、向量加法：a+b等于使b的始点与a的终点重合时，以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量。
2、向量减法：a-b等于使b的始点与a的始点重合时，以b的终点为始点，以a的终点为终点的向量。
3、数量乘向量：k*a，k>0时，等于a的长度扩大k倍；k=0时，等于0向量；k<0时，等于a的长度扩大|k|倍然后反向。
4、向量的内积(数量积、点积)： a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b之间夹角的余弦。
它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积，或者是b的长度与a在b上投影长的乘积，它是一个标量，而且可正可负。
因此互相垂直的向量的内积为0.5、向量的矢积(叉积)： a x b = |a|*|b|*sinA*v = c， |a|是a的长度，|b|是b的长度，A是a和b之间的锐夹角，v是与a，b所决定的平面垂直的幺矢，即axb与a、b都垂直。
a，b，c构成右手系，即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的锐角蜷曲，此时拇指所指方向就是c的方向。
向量的点乘和叉乘在游戏中的应用
向量的点乘和叉乘在游戏中的应用点乘的应用：（1）点乘可以用来判断两个向量是否垂直，返回值为0，则垂直。
（公式：abcosθ，向量夹角θ为90度，则垂直）（2）本质上其实是判断两个向量相似的程度（2个向量夹角越小，越相似）。
（3）计算敌人在你的正方向上行走的距离，利用的是计算一个向量在另一个向量上的投影分量大小（根据点乘几何意义）（4）得到2个向量的夹角：范围[0, 180] ，可以做游戏怪物的视角是否有查看到玩家，可以用来计算敌人是否在角色的攻击范围之内Vector A,B;float dotValue = Vector3.Dot (A.normalized, B.normalized);float angle = Mathf.Acos(dotValue) * Mathf.Rad2Deg;当然，更简单的方法是float Vector3.Angle (Vector3 from, Vector3 to)（5）判断目标在自己的前后方位Vector3.Dot(transform.forward, target.position)返回值为正时，目标在自己的前方；返回值为负时，在自己的后方；返回值为0时，在自己的正左方或者正右方。
（6）模拟飞机飞行的状态，当飞机与vector3.up的点积等于0，证明飞机平行飞行；当小于0时候，证明飞机向下飞行；当大于0时候，证明飞机向上飞行。
叉乘的应用：（1）叉乘可以用来判断两个向量是否平行或相交。
返回值为0，则平行。
（2）用于求平面法线（叉乘的几何意义：absinθ）（3）计算两个物体之间形成四边形的面积（|a||b|sinθ）（4）得到2个向量的夹角：范围[-90,90]Vector A,B;float value = Vector3.Cross (A.normalized, B.normalized);float angle = Mathf.Asin(value) * Mathf.Rad2Deg;（5）判断目标在自己的左右方位Vector3.Cross(transform.forward, target.position).y返回值为正时，目标在自己的右方；返回值为负时，在自己的左方；返回值为0时，在自己的正前方或者正后方。
threejs 向量除法
threejs 向量除法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Three.js是一个基于WebGL的JavaScript 3D库，可以帮助开发者创建出色的3D场景和交互式体验。
在Three.js中，向量运算是非常重要的一部分，可以帮助我们在三维空间中进行各种复杂的计算和操作。
本文将重点介绍Three.js中的向量除法操作，帮助读者更好地理解和应用这一功能。
在Three.js中，向量是一种具有方向和大小的几何对象，通常用来表示空间中的位置、方向或速度等信息。
向量可以通过三个分量（x、y、z）来表示，例如一个三维向量可以表示为(1, 2, 3)。
Three.js提供了丰富的向量操作方法，包括加法、减法、乘法和除法等操作，帮助开发者轻松进行向量运算。
向量除法是一种常见的操作，可以用来计算两个向量之间的比值。
在Three.js中，我们可以使用Vector3对象的divide方法来实现向量的除法运算。
这个方法接受一个Vector3对象作为参数，将当前向量的每个分量分别除以参数向量的对应分量，得到一个新的向量作为结果。
代码示例如下：```javascript// 创建两个向量var vec1 = new THREE.Vector3(1, 2, 3);var vec2 = new THREE.Vector3(2, 2, 2);// 向量除法var result = vec1.divide(vec2);console.log(result); // 输出(0.5, 1, 1.5)```在这个示例中，我们首先创建了两个向量vec1和vec2，然后调用vec1的divide方法，将vec1除以vec2，得到了一个新的向量result。
最终结果是一个新的向量(0.5, 1, 1.5)，分别表示两个向量在每个分量上的比值。
通过向量除法，我们可以实现一些有趣的效果和功能。
在3D游戏开发中，我们可以使用向量除法来计算两个物体之间的距离或速度比值，以便实现更加自然和流畅的运动效果。
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用向量是几何中非常重要的工具，在解决几何问题和描述几何现象时起到了至关重要的作用。
本文将介绍几个向量在几何中的常见应用。
1. 向量作为几何图形的表示向量可以用来表示几何图形，通过向量的起点和终点来描述图形的位置和方向。
例如，我们可以用一个向量来表示线段的方向和长度，或者用两个向量来表示一个平面的位置和方向。
2. 向量的加法与减法向量的加法与减法在几何中经常用到。
通过向量的加法和减法，我们可以确定线段之间的关系，比如两个线段的和是否等于一条折线的长度，或者两个线段的差是否等于另一条线段的长度。
3. 向量的点乘与叉乘向量的点乘与叉乘是几何中常见的运算。
点乘可以用来计算两个向量之间的夹角和判断两个向量是否垂直。
叉乘可以用来计算两个向量所在平面的法向量和计算平面的面积。
4. 向量的投影向量的投影在几何中有着广泛的应用。
通过向量的投影，我们可以将一个向量分解为与某个方向垂直和平行的两个分量，从而方便地进行计算和分析。
向量的投影可以用来求解直线与平面的交点、求解线段与平面的距离等问题。
5. 向量的方向余弦向量的方向余弦可以用来表示向量与坐标轴之间的夹角，从而方便地描述向量的方向。
通过向量的方向余弦，我们可以计算向量在各个坐标轴上的分量，进而进行向量的分解和计算。
6. 向量的线性相关和线性无关向量的线性相关和线性无关性质在几何中具有重要意义。
通过判断向量的线性相关性，我们可以确定几何图形的各个向量是否关联，进而进行逻辑推理和问题解决。
通过以上几个方面的讨论，我们可以看到向量在几何中的应用是多样且广泛的。
向量的概念和运算可以帮助我们更好地理解和分析几何图形，在解决几何问题和探索几何现象时提供了便捷而有效的工具。
因此，掌握向量的相关知识和运用技巧对于学习和应用几何学都具有重要意义。
总之，向量在几何中扮演着重要的角色，其应用不仅仅局限于上述几个方面，实际上在几何学的各个领域都有其具体的应用。
通过深入学习和应用向量的相关知识，我们可以更好地理解几何学的本质和应用，提升解决几何问题的能力。
21-22版：培优课 向量在平面几何中的三大应用（创新设计）
则 S△OBC＝13S△DBC，由于 D 为 AC 的中点， 所以 S△DBC＝21S△ABC， 所以 S△OBC＝61S△ABC.
索引
3.在△ABC 中，点 D 和 E 分别在 BC，AC 上，且B→D＝13B→C，C→E＝31C→A，AD 与
BE 交于 R，证明：R→D＝17A→D. 证明 由A，D，R三点共线， 可得C→R＝λC→D＋(1－λ)C→A＝23λC→B＋(1－λ)C→A. 由B，E，R三点共线， 可得C→R＝μC→B＋(1－μ)C→E＝μC→B＋13(1－μ)C→A. ∴231－λ＝λ＝μ，13（1－μ），∴λμ＝＝7647，，
索引
(2)D，M，B三点共线. 解 D→M＝D→C＋C→M＝a－12b， M→B＝M→E＋E→B＝－21b＋a. ∴D→M＝M→B，又D→M与M→B有公共点 M，所以 D，M，B 三点共线. 法二 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在 直线为y轴建立平面直角坐标系，连接MB，MD. 令|A→D|＝1，则|D→C|＝1，|A→B|＝2.
索引
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运 算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样就可以将许多几何问题转化为 熟知的代数运算，这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标 法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解 决问题.
索引
索引
类型一 向量在平面几何中的应用
///////
【例1】 已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB
于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
证明 法一 由已知得四边形 AECD 为正方形，设A→E＝a，A→D＝b. (1)∵D→E＝A→E－A→D＝a－b，C→B＝E→B－E→C＝a－b. ∴D→E＝C→B，∴D→E∥C→B，即 DE∥BC.
向量在几何中的应用
向量的平行四边 形法则
03
向量的应用场景
向量在几何中的表示
向量的定义与性质
向量的几何表示
向量的坐标表示
向量的运算与性质
向量在几何中的性质
向量具有加法、减法、数乘 等运算性质
向量可以表示物体的位置和 方向
向量可以表示力、速度、加 速度等物理量
向量具有平行、垂直、长度、 夹角等几何性质
向量在几何中的运算
向量在三角形中的表示 向量在三角形中的运算 向量在三角形中的性质 向量在三角形中的应用实例
向量在多边形中的应用
向量在多边形中的定义 向量在多边形中的表示方法 向量在多边形中的运算 向量在多边形中的应用实例
向量在圆形中的应用
定义：向量在圆形中的定义是具有方向和大小的量，通常用箭头表示
加法：两个向量相加，以两个向量头尾相接，由一个向量的尾部指向另一 个向量的头部，得到的结果就是这两个向量的和
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向量在几何中的应用
汇报人：
目录
01 02 03 04 05
添加目录项标题 向量的基本概念 向量的应用场景 向量在几何中的具体应用 向量的进一步应用和拓展
01
添加目录项标题
02
向量的基本概念
向量的定义
向量是具有大小和方向的量 向量可以用有向线段表示 向量的模是表示向量大小的数值 向量的方向是表示向量方向的箭头所指的方向
向量的表示方法
文字表示：用字母表示向量，如a，b，c等
箭头表示：用箭头表示向量的方向和大小
坐标表示：用坐标表示向量的起点和终点，如(x，y)表示一个向量从点(x，y)到原点的 有向线段
模长表示：用模长表示向量的长度或大小，用双箭头表示
向量的娱乐和休闲
向量的娱乐和休闲
现在的社会生活节奏越来越快，工作压力也越来越大，许多人
需要寻找一些娱乐和休闲的方式来舒缓情绪和放松身心。
而向量
这个概念，在休闲娱乐中却有着不俗的表现。
首先，在游戏中，向量被广泛应用。
例如跑酷类的游戏，我们
需要根据角色的行动轨迹进行跳跃和闪避，而这些行动轨迹就是
由向量进行描述的。
在这种类型的游戏中，向量的方向和大小对
我们的游戏胜负至关重要，因此玩家们需要在游玩过程中不断磨
练自己的向量概念，才能有更好的游戏效果。
此外，向量还被广泛应用于音乐等艺术领域。
在音乐中，向量
可以用来描述旋律的音高和节拍，更深入一些，向量还可以用来
描述音乐的情感表达和曲调的氛围。
例如，一首悲伤的歌曲，可
以用减小的向量来表示，而一个兴奋的音乐，则可以使用放大的
向量来描述。
通过向量的运用，可以丰富和表达音乐的情感和内涵，使得听者们可以更加深刻地感受到音乐的美妙之处。
最后，在美食领域，向量也有着它的应用。
例如烹饪过程中，
我们需要将原材料切割成特定的形状和大小，而这些形状和大小
可以用向量来表示。
在日式料理中，切菜的姿势和角度非常重要，
而这些要素也可以用向量来描述。
在烹饪过程中，我们可以运用向量的知识使得菜肴更加艺术化和精致，让食客们不仅可以享受美味，还可以欣赏到菜肴的艺术之美。
综上所述，向量不仅是一种重要的数学概念，还被广泛应用于休闲娱乐中的各个领域。
在娱乐休闲的过程中，我们可以通过运用向量的概念来提高自己的游戏水平、品味音乐的情感内涵以及制作更加美味的食物，从而使得休闲娱乐的过程更加丰富多彩。
《向量在几何证明中的应用》 讲义
《向量在几何证明中的应用》讲义一、向量的基本概念在数学的广袤领域中，向量是一个极为重要的概念。
简单来说，向量是既有大小又有方向的量。
它可以用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用字母加上箭头来表示，比如\（＼vec{a}＼）。
向量的大小称为模，记作\（＼vert\vec{a}＼vert\）。
零向量是长度为0 的向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
单位向量则是模为1 的向量。
向量具有平行和相等的关系。
两个非零向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
而两个向量相等，不仅要求大小相等，方向也必须相同。
二、向量的运算1、加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。
三角形法则是将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点得到的向量就是它们的和。
平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线所表示的向量就是它们的和。
2、减法向量的减法可以看作是加上一个相反向量。
即\（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘一个实数与向量相乘，得到的是一个与原向量平行的向量。
当实数大于 0 时，方向与原向量相同；小于 0 时，方向相反。
4、数量积向量的数量积\（＼vec{a}＼cdot\vec{b} ＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos\theta\），其中\（＼theta\）是\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角。
数量积的结果是一个实数，其几何意义是\（＼vec{a}＼）的模与\（＼vec{b}＼）在\（＼vec{a}＼）方向上的投影的乘积。
三、向量在几何证明中的应用1、证明线段平行若存在向量\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼），且\（＼vec{a} ＝k\vec{b}＼）（＼（k\）为非零实数），则说明向量\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）平行。
vector3.angle原理
vector3.angle原理vector3.angle是Unity中的一个函数，用于计算两个向量之间的夹角。
在Unity中，我们常常需要计算两个向量之间的夹角来实现一些功能，比如：判断敌人是否在玩家的视线范围内、计算射线与墙壁的碰撞等等。
那么vector3.angle的原理是什么呢？下面我们来具体探究一下。
vector3.angle是基于余弦定理来计算两个向量之间夹角的。
下面先介绍一下余弦定理。
余弦定理：在一个任意三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)其中，^表示乘方，cos表示余弦函数。
我们将上面的公式稍作变化，就可以用来计算两个向量之间的夹角。
具体来说，我们可以将两个向量看做三角形的两条边，相应的夹角为其夹角。
假设两个向量分别为v1和v2，其夹角为A，则根据余弦定理，有：|v1|*|v2|*cos(A) = v1·v2其中，|v|表示向量v的长度，·表示向量的点积。
上面这个式子就是计算两个向量之间夹角的公式，vector3.angle就是按照这个公式来计算夹角的。
需要注意的是，vector3.angle是根据向量的长度来区分向量的正负方向的。
具体来说，如果v1和v2是同方向的，则夹角为0度；如果v1和v2是反向的，则夹角为180度；如果v1和v2垂直，则夹角为90度或270度（这取决于正负方向）。
我们可以通过代码来验证一下vector3.angle的计算结果。
比如，假设有以下两个向量：Vector3 v1 = new Vector3(0, 1, 0);Vector3 v2 = new Vector3(1, 1, 0);我们可以用以下代码来计算它们之间的夹角：float angle = Vector3.Angle(v1, v2);这个代码的执行结果为45度。
我们可以自己手算一下，发现确实是正确的。
如何计算 unity 两个向量夹角正负符号
在Unity中，计算两个向量之间的夹角的正负符号是一个常见的问题，尤其在进行物体旋转、碰撞检测和运动预测时，这个问题显得尤为重要。
下面，我将为你介绍一种简单而有效的方法来计算两个向量之间夹角的正负符号。
通过这篇文章，你将更深入地理解这个问题，并且能够更加灵活地应用它。
1. **理解向量的方向**在计算向量夹角的正负符号之前，首先要理解向量的方向。
在数学上，向量是有方向的，它不仅有大小，还有指向。
具体来说，一个向量可以表示为一个有方向的线段，它从起始点指向终点。
在Unity中，我们通常使用Vector3来表示一个三维向量，它包含x、y、z三个分量，分别代表向量在x、y、z轴上的分量大小。
2. **使用点积计算夹角**在计算两个向量之间夹角的正负符号时，通常会使用点积来进行计算。
点积是一个非常有用的运算，它可以帮助我们计算两个向量之间的夹角。
具体地，两个向量的点积等于这两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值。
通过计算两个向量的点积，我们可以得到它们夹角的余弦值。
而夹角的正负符号，则取决于两个向量的旋转方向。
3. **确定夹角的正负符号**在确定两个向量夹角的正负符号时，可以通过点积的值来判断。
具体来说，如果两个向量的点积大于0，意味着它们的夹角为锐角；如果点积等于0，意味着它们的夹角为直角；如果点积小于0，意味着它们的夹角为钝角。
通过点积的符号，我们可以确定两个向量夹角的正负符号。
这对于我们在Unity中进行物体旋转，或者进行碰撞检测时，是非常有帮助的。
4. **个人观点和理解**在我的个人观点看来，计算两个向量夹角的正负符号虽然听起来复杂，但实际上非常重要。
通过这个问题，我们能够更好地理解向量的方向和夹角的概念，从而更好地应用在实际的编程和游戏开发中。
通过深入理解向量的运算规则，我们可以更加灵活地进行物体的控制和运动预测，提高游戏的交互性和视觉效果。
通过本文的介绍，你应该对如何计算Unity中两个向量夹角的正负符号有了更加深入的理解。
【Unity】6.7向量和Vector3类
【Unity】6.7向量和Vector3类分类：Unity、C#、VS2015创建⽇期：2016-04-20⼀、简介在虚拟的游戏世界中，与3D有关的数学知识决定了游戏引擎如何计算和模拟出开发者以及玩家看到的每⼀帧画⾯。
学习或者回想⼀下基础的3D有关的数学知识，可以帮助开发者对游戏引擎产⽣更深刻的了解。
⼆、向量在数学中向量的定义是：既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫作向量。
在空间中，向量可以⽤⼀段有⽅向的线段来表⽰。
向量在游戏开发过程中的应⽤⼗分⼴泛，可⽤于描述具有⼤⼩和⽅向两个属性的物理量，例如物体运动的速度、加速度、摄像机观察⽅向、刚体受到的⼒等都是向量，因此向量是物理、动画、三维图形的基础。
1、向量相关概念·模：向量的长度。
·标准化(Normalizing)：保持⽅向不变，将向量的长度变为1。
·单位向量：长度为1的向量。
·零向量：各分量均为0的向量。
2、向量的运算（1）加减向量的加法(减法)为各分量分别相加(相减)。
在物理上可以⽤来计算两个⼒的台⼒，或者⼏个速度分量的叠加。
（2）数乘向量与⼀个标量相乘称为数乘。
数乘可以对向量的长度进⾏缩放，如果标量⼤于0，那么向量的⽅向不变；若标量⼩于0，则向量的⽅向会变为反⽅向。
（3）点乘两个向量点相乘得到⼀个标量，数值等于两个向量长度相乘后再乘以⼆者夹⾓的余弦值。
如果两个向量a,b均为单位向量，那么a.b等于向量b在向量a⽅向上的投影的长度(也等于向量a在向量b⽅向的投影)通过两个向量点乘结果的符号可以快速地判断两个向量的夹⾓情况：若u·v = 0，则向量u、v相互垂直。
若u·v > 0，则向量u、v夹⾓⼩于90°。
若u·v <0，则向量u、v夹⾓⼤于90°。
（4）叉乘两个向量的叉乘得到⼀个新的向量，新向量垂直于原来的两个向量，并旦长度等于原向量长度相乘后再乘夹⾓的正弦值。
[Unity游戏开发]关于向量计算的一些基础
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[Unity游戏开发]关于向量计算的⼀些基础⼀般来说，在Unity⾥⾯的3D，z为正⽅向，x为右，y为上
分别就可以⽤forward,right,up调⽤
向量运算
在Unity中的Vector就是向量，英⽂含义也就是向量，向量运算是游戏开发经常⽤到的。
向量的加法是从起点指向终点的向量，⽐如a<0,0,0> + b<1,2,3> = c<1,2,3> ⽅向从a->b 其中的数字顺序是<x,y,z>的
⽽向量的减法是从终点指向起点的向量，⽐如a<0,0,0> - b<1,2,3> = c<-1,-2,-3> ⽅向从b->a
如果想得到垂直于两个向量所组成的平⾯的向量，就要⽤叉乘。
叉乘⽅法：Vector3.Cross(a,b)
向量的点乘得到的是标量，是两个向量的模长相乘再乘以余弦值cos的结果就是⼀个向量在另⼀个向量上投影的长度。
Vector3.Dot(a,b)。
游戏开发中的向量数学
游戏开发中的向量数学游戏开发中的向量数学••••ooo••oo••oo••o••oo介绍本教程是线性代数的简短实用介绍，因为它适用于游戏开发。
线性代数是向量及其用途的研究。
向量在2D和3D开发中都有许多应用，并且Godot广泛使用它们。
对矢量数学有深入的了解对于成为一名强大的游戏开发者至关重要。
注意本教程不是关于线性代数的正式教科书。
我们只会研究如何将其应用于游戏开发。
要更广泛地了解数学，请参见/math/linear-algebra坐标系（2D）在2D空间中，使用水平轴（x）和垂直轴（y）定义坐标。
2D空间中的特定位置被写为一对值，例如。
(4, 3)注意如果您是计算机图形学的新手，那么正y轴是指向下而不是指向上，这似乎很奇怪，就像您在数学课上学到的那样。
但是，这在大多数计算机图形应用程序中很常见。
二维平面中的任何位置都可以通过一对数字来标识。
但是，我们也可以将位置（4，3）视为与（0，0）点或原点的偏移量。
绘制一个从原点指向该点的箭头：这是一个向量。
向量代表许多有用的信息。
除了告诉我们该点位于（4，3）之外，我们还可以将其视为角度θ和长度（或大小）m。
在这种情况下，箭头是位置矢量-它表示相对于原点的空间位置。
关于矢量要考虑的非常重要的一点是，它们仅代表相对方向和大小。
没有向量位置的概念。
以下两个向量是相同的：两个向量都代表一个点，该点向右4个单位，在某个起点下方3个单位。
在平面上绘制矢量的位置无关紧要，它始终表示相对方向和大小。
向量运算您可以使用任何一种方法（x和y坐标或角度和大小）来引用矢量，但是为了方便起见，程序员通常使用坐标符号。
例如，在Godot中，原点是屏幕的左上角，因此，要使用一个名为Node2D400像素，向下300像素的2D节点，请使用以下代码：var node2D = (Node2D) GetNode("Node2D");node2D.Position = new Vector2(400, 300);Godot同时支持Vector2和Vector3的2D和3D使用。
Unity3D类解析之Vector3
Unity3D类解析之Vector3By张鑫Vector3这词最早是谁发明的无从考证了，但是Unity3D里出现了这个名词的时候，我才意识到这个不是D3D 和openGL才有的变量名，D3D里叫做 D3DXVECTOR3继承自_D3DVECTOR结构体，其中_D3DVECTOR结构体只有3个单精度数X，Y，Z。
用于表示向量。
Vector3向量既可以用来表示位置，也可以用来表示方向。
在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对。
在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。
若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z），使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, k）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y, k）,也就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
Unity3D中Vector3类定义（只写有用的）：属性：点积，跟quaternion里的用法一样。
对于normalized后的lhs和rhs，如果指向相同的方向，返回1。
返回-1如果他们指向完全相反的方向。
其他情况下根据角度返回两者之间的小数。
如果两个向量互相垂直，返回0；点积两个向量u,v的点积是一个标量，用u ·v表示。
通用公式：|u||v|cos<u,v>。
在三维空间中代数公式：uxvx + uyvy + uzvz。
（该公式可以先由二维证明，再推广到多维。
二维中的证明：利用点线距公式和勾股定理推出|u|*cos<u,v>的表达式，再根据定义化简即可。
）点积的值由以下三个值确定：u的大小v的大小u,v夹角的余弦。
在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。
3D游戏中的数学基础
p p / w y y
p p / w z z
D3DXMatrixPerspectiveFovLH函数求得投影 变换矩阵，函数原型如下： D3DXMATRIX* WINAPI D3DXMatrixPerspectiveFovLH( D3DXMATRIX * pOut, FLOAT fovy,//垂直张角 FLOAT Aspect,//宽高比 FLOAT zn,//近平面距离 FLOAT zf//远平面距离）
向量的点积
向量点积的运算规则如下： u v ux vx u y vy uz vz
u 如果 u v 0 u,v垂直， v 0 两向量之间夹 角是锐角，u v 0 两向量之间夹角是钝角。 通常使用向量的点积判定点与线段或平面的 位置关系。
向量的点积
向量概述
在DirectX的d3dx9math.h头文件定义了表示 三维向量的D3DXVECTOR3结构体，并声明了 支持向量运算的函数,d3dx9.lib库提供了相 关的运算函数。 D3DXVECTOR3 a(1,2,3); D3DXVECTOR3 b(4,5,6);
向量的加法运算
向量的加法运算定义为两个向量对应分量之和。 C=A+B。 方向为以A,B两向量为边所构成的平行四边 形的对角线方向。 在D3DXVECTOR3中重载了“+”运算符用于计 算两个向量之和。
向量的单位化
长度为1的向量就是单位向量。在 3D游戏中用 于指示方向。 D3DXVec3Normalize函数求单位向量，函数 原型如下： D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVec3Normalize( D3DXVECTOR3* pOut, CONST D3DXVECTOR3* pv) pv指向原向量，pOut指向单位化后的单位向 量
几何与向量的应用
几何与向量的应用几何与向量是数学中两个重要的分支，它们在很多实际应用中都扮演着关键的角色。
本文将探讨几何与向量在不同领域的具体应用，并讨论它们对解决实际问题的重要性。
一、定位与导航几何和向量在定位与导航领域中有着广泛的应用。
例如，我们常见的GPS导航系统就是通过利用向量的概念来确定位置和导航方向的。
GPS接收器利用几何原理计算出接收器与卫星之间的距离，并结合向量运算确定接收器的精准位置。
这种应用使得人们在陌生的环境中能够准确导航，大大提高了行程的便利性。
二、计算机图形学计算机图形学是指利用计算机技术生成、处理和显示图像的学科。
在这个领域中，几何和向量的应用非常广泛。
计算机图形学中的基本操作，如平移、缩放和旋转，都是通过向量运算来实现的。
此外，几何的相关理论还能辅助计算机图形学中的三维建模、纹理映射等复杂任务的实现。
通过几何和向量的应用，计算机图形学得以发展，为电影、游戏等行业提供了强大的技术支持。
三、物理学几何和向量在物理学中发挥着重要的作用。
物理学研究的对象通常是空间中的物体和它们之间的相互关系，因此几何和向量成为研究和描述这些关系的重要工具。
例如，牛顿的力学定律使用向量的概念来描述物体的运动状态和作用力。
利用几何和向量的方法，物理学家能够更准确地描述和解释自然界中的各种现象，并为工程技术的发展提供理论依据。
四、工程学工程学是将科学理论和数学方法应用于实际工程问题的学科。
在不同的工程领域中，几何和向量都发挥着重要的作用。
例如，在土木工程中，几何的概念被用来测量和分析地形地貌，确定建筑物和桥梁的设计参数。
在电气工程中，向量的运算被应用于电路分析和设计中，帮助工程师解决电流、电压、功率等问题。
几何和向量的应用使得工程师能够更准确地理解和解决实际工程问题。
五、计算机科学几何和向量在计算机科学中也有着广泛的应用。
计算机科学中的计算机图形学、计算机视觉等领域都离不开几何和向量的方法。
例如，计算机视觉中的图像处理和目标识别，常常需要利用几何和向量的知识来分析和处理图像数据。
矢量是什么意思
矢量计算机术语矢量图像，又称为向量，也称为面向对象的图像或绘图图像，在数学上定义为一系列由线连接的点。
在游戏开发中，向量还有类似于物理方面释义的含义。
设对象a，我们可以通过游戏脚本进行编程以控制object，如转向等，由于其坐标性质，则需要通过向量进行控制。
三维向量（Vector3）这个结构则用于在Game Engine中传递3D位置和方向，也包含做些普通向量运算的函数。
中文名矢量外文名Vector别名向量定义既有大小又有方向的量。
一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。
在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。
矢量：(shǐ liàng)(向量)三维几何学解释就是根据物体的几何性质而确定的一种定位方法.主要通过线性相关和线性变换解释几何问题。
代数学解释在有限维向量空间中,也与线性相关与线性变换密切相关,但无需限制于三维组.同时假定有理运算能够施行(这个极大地影响了计算机科学发展),讨论域为任意域,并且要将基本数系的可交换性除去.无限维向量空间(任意维),涉及Zorn引理、基数理论、拓扑等较深的数学概念,在这里建议网友对抽象代数学有一定基础时自己理解。
矢量（英语：Vector）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。
直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。
线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。
物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。
与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。
在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。
并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了范数和内积的欧几里得空间。
物理术语矢量（vector quantity）和标量（scalar quantity）的定义简单的理解：“矢量和标量的定义如下：（到大学物理中会详细研究）（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。
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向量几何在游戏编程中的使用3分类：2D及3D向量几何图形学2005-05-20 14:38 2402人阅读评论(0) 收藏举报<3>2-D边界碰撞检测-Twinsen编写-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address: popyy@一、使用向量进行障碍检测的原理上次说了使用向量模拟任意角度的反弹，这次谈谈它的前提---障碍碰撞。
在游戏中进行障碍碰撞检测，基本思路是这样的：给定一个障碍范围，判断物体在这次移动后会不会进入这个范围，如果会，就发生碰撞，否则不发生碰撞。
在实际操作中，是用物体的边界来判断还是其他部位判断完全取决于编程者。
这时候，就可以从这个部位沿着速度的方向引出一条速度向量线，判断一下这条线段（从检测部位到速度向量终点）和障碍边界线有没有交点，如果有，这个交点就是碰撞点。
上面物体A，在通过速度向量移动之后将到达B位置。
但是，这次移动将不会顺利进行，因为我们发现，碰撞发生了。
碰撞点就在那个红色区域中，也就是速度向量和边界线的交点。
我们接下来的工作就是要计算这个交点，这是一个解线性方程组的过程，那么我们将要用到一样工具...二、一个解线性方程组的有力工具---克兰姆(Cramer)法则首先要说明一下的是，这个法则是有局限性的，它必须在一个线性方程组的系数行列式非零的时候才能够使用。
别紧张，我会好好谈谈它们的。
首先让我来叙述一下这个法则（我会试着让你感觉到这不是一堂数学课）：如果线性方程组：A11*X1 + A12*X2 + ... + A1n*Xn = b1A21*X1 + A22*X2 + ... + A2n*Xn = b2 ...................................An1*X1 + An2*X2 + ... + Ann*Xn = bn的系数矩阵 A =__ __| A11 A12 ... A1n || A21 A22 ... A2n || ............... || An1 An2 ... Ann |-- --的行列式|A| != 0线性方程组有解，且解是唯一的，并且解可以表示为：X1 = d1/d , X2 = d2/d , ... , Xn = dn/d （这就是/A/=d为什么不能为零的原因）这里d就是行列式/A/的值，dn(n=1,2,3...)是用线性方程组的常数项b1,b2,...,bn替换系数矩阵中的第n列的值得到的矩阵的行列式的值，即：| b1 A12 ... A1n |d1 = | b2 A22 ... A2n || .............. || bn An2 ... Ann || A11 b1 ... A1n |d2 = | A21 b2 ... A2n || .............. || An1 bn ... Ann |...| A11 A12 ... b1 |dn = | A21 A22 ... b2 || .............. || An1 An2 ... bn |别去点击关闭窗口按钮！我现在就举个例子，由于我们现在暂时只讨论2-D游戏（3-D以后会循序渐进的谈到），就来个2-D线性方程组：(1) 4.0*X1 + 2.0*X2 = 5.0(2) 3.0*X1 + 3.0*X2 = 6.0这里有两个方程，两个未知量，则根据上面的Cramer法则：| 4.0 2.0 |d = | 3.0 3.0 | = 4.0*3.0 - 2.0*3.0 = 6.0 （2阶行列式的解法，'/'对角线相乘减去'/'对角线相乘）| 5.0 2.0 |d1 = | 6.0 3.0 | = 5.0*3.0 - 2.0*6.0 = 3.0| 4.0 5.0 |d2 = | 3.0 6.0 | = 4.0*6.0 - 5.0*3.0 = 9.0则X1 = d1/d = 3.0/6.0 = 0.5X2 = d2/d = 9.0/6.0 = 1.5好了，现在就得到了方程组的唯一一组解。
是不是已经掌握了用Cramer法则解2-D线性方程组了？如果是的话，我们继续。
三、深入研究这里的2-D障碍碰撞检测的实质就是判断两条线段是否有交点，注意不是直线，是线段，两直线有交点不一定直线上的线段也有交点。
现在我们从向量的角度，写出两条线段的方程。
现在有v1和v2两条线段，则根据向量加法：v1e = v1b + s*v1v2e = v2b + t*v2v1b和v2b分别是两线段的一端。
s,t是两个参数，它们的范围是[0.0,1.0],当s,t=0.0时，v1e=v1b,v2e=v2b；当s,t=1.0时,v1e和v2e分别是两线段的另一端。
s,t取遍[0.0,1.0]则v1e 和v2e取遍两线段的每一点。
那么我们要判断v1和v2有没有交点，就让v1e=v2e，看解出的s,t是不是在范围内就可以了：v1e = v2e=> v1b + s*v1 = v2b + t*v2=> s*v1 - t*v2 = v2b - v1b写成分量形式：s*x_v1 - t*x_v2 = x_v2b - x_v1bs*y_v1 - t*y_v2 = y_v2b - y_v1b现在是两个方程式，两个未知数，则根据Cramer法则：| x_v1 -x_v2 | | 4.0 -2.0 |d = | y_v1 -y_v2 | = | 1.0 -3.0 | = -10.0| x_v2b-x_v1b -x_v2 | | 5.0 -2.0 |d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 | = | 2.0 -3.0 | = -11.0s = d1/d = -11.0/-10.0 = 1.1 > 1.0现在s已经计算出来，没有在[0.0,1.0]内，所以两线段没有交点，从图上看很直观。
t没有必要再计算了。
所以是物体与障碍没有发生碰撞。
如果计算出的s,t都在[0.0,1.0]内，则把它们带入原方程组，计算出v1e或者v2e，它的分量就是碰撞点的分量。
四、理论上的东西已经够多的了，开始写程序我现在要写一个用于处理障碍碰撞检测的函数，为了测试它，我还准备安排一些障碍：这是一个凸多边形，我让一个质点在初始位置(10,8),然后给它一个随机速度，这个随机速度的两个分速度在区间[1.0,4.0]内，同时检测是否与边界发生碰撞。
当碰撞发生时，就让它回到初始位置，重新给一个随机速度。
// 首先我要记下凸多边形的边界坐标float poly[2][8] = {{ 6.0f , 2.0f , 4.0f , 8.0f , 14.0f , 18.0f , 14.0f , 6.0f } , // 所有点的x分量,最后一个点和第一个点重合{ 2.0f , 6.0f , 10.0f , 14.0f , 12.0f , 8.0f , 4.0f , 2.0f } // 所有点的y分量} ;// 定义一些变量float x,y ; // 这是质点的位置变量float vx , vy ; // 质点的速度向量分量// 好，开始编写碰撞检测函数bool CollisionTest() { // 当发生碰撞时返回true，否则返回falsefloat s , t ; // 线段方程的两个参数// 各个参量float x_v1 , x_v2 , y_v1 , y_v2 ;float x_v2b , x_v1b , y_v2b , y_v1b ;for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i ) { // 循环到倒数第二个点// 障碍线段x_v1 = poly[0][i+1]-poly[0][i] ;y_v1 = poly[1][i+1]-poly[1][i] ;// 物体速度向量x_v2 = vx ;y_v2 = vy ;// 障碍向量初始点x_v1b = poly[0][i] ;y_v1b = poly[1][i] ;// 物体位置x_v2b = x ;y_v2b = y ;// 计算d,d1和d2// | x_v1 -x_v2 |//d = | y_v1 -y_v2 |// | x_v2b-x_v1b -x_v2 |//d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 |// | x_v1 x_v2b-x_v1b |//d2 = | y_v1 y_v2b-y_v1b |d = (x_v1*(-y_v2))-((-x_v2)*y_v1) ;d1 = ((x_v2b-x_v1b)*(-y_v2))-((-x_v2)*(y_v2b-y_v1b)) ;d2 = (x_v1*(y_v2b-y_v1b))-((x_v2b-x_v1b)*y_v1) ;// 判断d是否为零if( abs(d) < 0.001f ) // 如果等于零做近似处理,abs()用于求绝对值d = 0.001f ;// 计算参量s,ts = d1/d ;t = d2/d ;// 判断是否发生碰撞// 如果发生了就返回trueif( 0.0f <= s && 1.0f >= s && 0.0f <= t && 1.0f >= t )return true ;} // for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i )// 没有发生碰撞，返回falsereturn false ;} // end of function// 现在对函数做测试// 初始化质点x = 10.0f , y = 8.0f ;vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;// 进入主循环中// 假设现在已经在主循环中if( CollisionTest() ) { // 如果物体与质点发生碰撞x = 10.0f , y = 8.0f ;vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;}// 质点移动x+=vx ;y+=vy ;现在你就可以结合上次的讨论模拟一个完整的理想物理情景：一个物体在不规则障碍中移动、反弹，永不停息...除非...至此为止我们讨论了2-D游戏的障碍碰撞检测以及它的编程实现，在此过程中涉及到了线性代数学的知识，以后随着深入还会不断的加入更多的数学、物理知识。
下次我们继续讨论，BYE!。