12[1].不定积分_760406341
基本的不定积分的公式
基本的不定积分的公式不定积分可是微积分里的重要内容呢，就像我们生活中的钥匙，能帮我们打开数学世界里好多神秘的大门。
先来说说不定积分的定义吧。
简单来讲，不定积分就是求一个函数的原函数。
那啥是原函数呢？比如说，对于函数 f(x)，如果存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那 F(x) 就是 f(x) 的一个原函数。
这就好比你知道了速度函数（相当于 f(x)），然后要找出位移函数（相当于F(x)）。
咱来看看一些基本的不定积分公式。
比如，∫x^n dx = (1/(n + 1))x^(n + 1) + C （n ≠ -1），这就好像是数学世界里的一个通用密码。
我记得之前有个学生，特别可爱。
他在学这个公式的时候，总是把n 的取值弄混。
有一次做作业，他把 n = -1 也直接套进这个公式里去了，结果算得一头雾水。
我给他指出来之后，他恍然大悟的表情，那叫一个有趣。
再说说∫cos x dx = sin x + C ，∫sin x dx = -cos x + C 这两个公式。
想象一下，余弦函数和正弦函数就像是一对欢喜冤家，在不定积分的世界里你追我赶。
还有∫e^x dx = e^x + C ，这个就像一个超级稳定的存在，不管怎么积分，它还是它自己。
就拿我之前给学生出的一道题来说吧。
题目是求∫3x^2 + 2cos x dx 。
这时候就得把每一项分别积分，用我们刚才说的那些公式。
先算∫3x^2 dx ，根据公式就得到 x^3 + C1 ，再算∫2cos x dx ，得到 2sin x + C2 ，最后把它们加起来，结果就是 x^3 + 2sin x + C （C 为常数）。
在实际运用中，不定积分的公式就像是我们的工具，得熟练掌握，才能在数学的战场上冲锋陷阵。
比如说，在物理中计算变力做功的时候，不定积分就能大显身手。
如果力随位移的变化关系给出来了，通过不定积分就能求出力做的功。
总之，基本的不定积分公式是我们探索微积分世界的基石，只有把这些基石打牢了，我们才能在数学的大厦里自由穿梭，发现更多的精彩。
不定积分表大全 高等数学
不定积分表大全高等数学
不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表是一个收录了各种常见函数的不定积分结果的手册。
它可以帮助数学学习者更快、更准确地计算不定积分。
不定积分表大全是一个包含各种常见函数的不定积分结果的完整手册。
在高等数学的学习中，我们经常遇到需要计算各种函数的不定积分的情况，而这个手册可以为我们提供一个快速参考。
通过查阅不定积分表，我们可以找到常见函数的不定积分形式，并且可以借鉴已知的结果来解决其他函数的不定积分问题。
不定积分表大全通常按照函数类型或者特定的规则进行分类。
例如，它会包含代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的不定积分结果。
此外，还会包含一些特殊函数如反函数、分式函数、幂函数等的不定积分。
不定积分表大全还可能包含一些常用的换元积分公式、分部积分公式以及其他积分技巧，以便读者能够更好地应用这些技巧来解决复杂的不定积分问题。
虽然不定积分表大全可以帮助我们快速计算不定积分，但是我们仍然需要具备一定的积分技巧和知识。
因为在实际应用中，我们会遇到一些特殊的情况，需要通过变换、分解等手段来求解。
此外，有些函数的不定积分并没有简单的表达式，需要通过数值积分等近似方法来计
算。
总之，不定积分表大全是高等数学学习过程中的一个重要参考工具。
通过熟练掌握不定积分表中的常见函数的积分形式，我们可以更加高效地解决各种不定积分问题，并且能够更好地应用积分技巧来解决实际问题。
50个常用不定积分公式表
50个常用不定积分公式表50个常用不定积分公式表是高等数学中非常重要的知识结构之一。
它能帮助学生和从业者更加清晰地理解不定积分的概念，从而能更好地掌握对不定积分的计算。
为了更好地掌握不定积分的计算，今天我们一起来看一下50个常用不定积分公式表。
首先，需要弄清楚的是，不定积分公式表表示的是不定积分与定积分的区别。
不定积分中，积分变量x的上界a和下界b都可能不同，故而该表中只列出了不定积分的形式，而不列出其定积分的形式。
其次，该表中的不定积分公式也有不同的形式，如枚举公式、积分公式等，我们需要在使用的时候熟练掌握各种公式的用法。
根据不定积分公式表，可以将不定积分公式分为以下8类：1.接公式：其中，最简单的就是不定积分的直接公式，如F(x)=a的导数的积分等。
2.本函数积分：其中，常见的有一元函数、二元函数、多元函数以及三角函数积分等，是不定积分计算中最重要的部分。
3.合函数积分：复合函数积分是指将几个函数组合在一起进行积分，例如微积分中的复合函数积分等。
4.部积分：分部积分在微积分中是指将一个形如F(x)的函数分段积分，并对各段的函数进行积分，然后将各段的积分结果加总，从而得到总的积分。
5.殊函数积分：特殊函数积分指的是将一些特殊的函数进行积分，例如指数函数、对数函数等。
6.荡函数积分：振荡函数积分属于一种特殊的函数积分，指的是将一些振荡函数进行积分。
7.级数积分：幂级数积分指的是将特殊函数的级数表示形式进行积分，例如复变函数的幂级数积分等。
8.他：感性函数积分、应用函数积分、概率函数积分等，都属于不定积分的范畴。
以上就是50个常用不定积分公式表的内容介绍，从上面可以看出，不定积分是一个非常庞杂的概念，其中有很多不同的公式和类型，我们要想更好地掌握不定积分，就需要熟练掌握这些公式，并且要正确使用它们来完成不定积分的计算。
除了掌握50个常用不定积分公式表，要想更好地掌握不定积分的计算，还需要学习更多的关于积分的定理和性质，或者熟练地运用计算机工具来辅助解决不定积分问题。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
不定积分的公式
不定积分的公式
1 不定积分的概念
不定积分是积分的一种，也是微积分的研究的重要内容。
它的特点在于由于它的正文函数为不定函数，无法求出它的定积分。
最著名的不定积分就是椭圆积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具。
2 不定积分的公式
不定积分具体的公式表示为：∫f (x)dx=F (x)+C。
其中，f (x)是正文函数，F (x)是f (x)的一阶微分，C是任意常数，表示以原点为X轴横坐标，以f (x)的值为Y轴纵坐标构成的空间曲线围起来的区域的面积的积分。
3 解决不定积分的方法
利用几何意义解决不定积分的问题是一种比较有效的方法，这种方法首先要把不定积分的问题转化为几何问题，然后利用几何图形的几何规律，求解问题的结果，这样就可以解决不定积分的问题。
4 椭圆积分
椭圆积分是十分具有代表性的不定积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具，椭圆积分的正文函数类型是具有一个参数的一元余弦函数和余切函数，其椭圆积分的公式为：
∫(a+bcosx)dx=asinx+b/2sinx。
总之，不定积分是微积分的研究很重要的内容之一，它的正文函数通常是不定函数，其公式为∫f (x)dx=F (x)+C，可以利用几何意义来解决不定积分问题，而椭圆积分是十分具有代表性的不定积分。
不定积分24个基本公式
不定积分24个基本公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它对应于函数的原函数的求解。
在学习不定积分的过程中，掌握了一些基本的公式可以帮助我们更好地解题。
下面是24个常见的不定积分的基本公式：1. $$\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \quad (n\neq -1)$$这是幂函数的不定积分公式，其中C是常数。
2. $$\int e^x \,dx = e^x + C$$这是指数函数的不定积分公式。
3. $$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$这是正弦函数的不定积分公式。
4. $$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$这是余弦函数的不定积分公式。
5. $$\int \sec^2 x \,dx = \tan x + C$$这是正切函数的不定积分公式。
6. $$\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C$$这是余切函数的不定积分公式。
7. $$\int \frac{1}{x} \,dx = \ln，x， + C$$这是倒数函数的不定积分公式。
8. $$\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan x + C$$这是反正切函数的不定积分公式。
9. $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C$$这是反正弦函数的不定积分公式。
10. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \,dx = \ln(x +\sqrt{x^2+1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
11. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \,dx = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
12. $$\int \frac{1}{x\ln x} \,dx = \ln，\ln x， + C$$这是对数函数的不定积分公式。
不定积分最全公式
常见不定1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1.∫adx = ax+C (a 为常数)2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C3.∫cos(x)dx = sin(x)+C4.∫tan(x)dx = -loge |cos(x)|+C = loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx = loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx = loge|sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 48. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 49. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C10.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C11.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)12.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)13.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C15.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C16.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C17.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C18.∫e x dx = e x +C∫ ?a? dx = a log |x| ? (a 为常数) x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
不定积分公式大全
1
a sect tan tdt
dx
x2 a2
a tan t
sectdt ln sect tan t C1
ln x a
x2 a2 a
C1 ln x
x2 a2 C
以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
求导↓ + ↓积分
2x - -cosx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx
[分部积分法的列表解法]
例如：求 ∫x2sinxdx
x2
sinx
求导↓ ＋ ↓积分
－
2x
-cosx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx
求导↓ － ↓积分
２ ＋ -sinx
＝-x2cosx＋2xsinx -∫2sinxdx
a
1 a2 x2
dx
a costdt a cost
dt
tC
arcsin
x a
C
(2)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝atant换元。
例17 求
1 dx
a2 x2
解:设x a tant,则dx asec2 tdt, a2 x2 asect
1 dx a2 x2
不定积分公式大全
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
总结不定积分的求解方法
总结不定积分的求解方法Finding indefinite integrals can be quite challenging for many students, especially when faced with complex functions or unfamiliar techniques. However, there are several methods that can be used to solve indefinite integrals effectively. One commonly used technique is substitution, where a variable is replaced by a more manageable one to simplify the integral. This method is particularly useful when dealing with composite functions or trigonometric expressions. By choosing the right substitution, the integral can be transformed into a more recognizable form, making it easier to solve.不定积分在学生中是一个很具挑战性的问题，特别是面对复杂函数或不熟悉的技巧时。
然而，有几种方法可以有效地解决不定积分。
一个常用的技术是替换法，其中一个变量被更容易处理的变量替换，以简化积分。
当处理复合函数或三角函数表达式时，这种方法尤其有用。
通过选择正确的替换，积分可以转化为更易识别的形式，使得求解更容易。
Another important method for finding indefinite integrals is integration by parts, which involves breaking down the integrand into two parts and applying a specific formula to find the integral.This technique is particularly useful for products of functions, such as polynomial and exponential functions, where one function can be chosen as u and the other as dv to simplify the integration process. By repeatedly applying integration by parts, complex integrals can be reduced to simpler forms that can be easily solved using basic integration rules.另一个寻找不定积分的重要方法是分部积分，它涉及将被积函数分解为两部分，并应用特定的公式求积分。
求不定积分方法总结
这是一个很有效的计算积分的方法！肯定要把握！
和：
从本师的教学阅历来看〔别丢鸡蛋！〕，初学者〔就是你们了！〕
(2)
往往在两个地方犯难：
h(x)是多项式函数，积分不要太简洁！如今就是要计算右边这个
〔1〕不知道怎么凑微分
积分了。
〔2〕不知道把谁当 u，谁当 v
(3)
另外，一个不定积分的计算，可能需要好几次分部积分。我们来道
要留意，u(t)必需是单调的！所以一般要指明 t 的取值范围。这里， 就知道如何选择三角函数了。另外，留意新变量的取值范围，以保证
魏
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单调性。 书上有太多这样的例题，这里不列举了。 下面主要和大家共享下三角函数有理式〔三角函数的乘除〕的计算
技巧。 (i)遇奇次幂，拿一个出来，凑到微分里 (ii)都是偶数次幂，倍角公式降幂 (iii)积化和差公式 (iv)当三角函数幂次较低时，使用万能公式换元 (v) 配凑法 解之，得 I_1,I_2.
对 Q(x)因式分解。因为我们考虑的是实系数多项式，由＊＊定理，
一般的例题。
魏
第1页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3页
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多项式 Q(x)肯定能分解成下面两种类型的因子的乘积：
换元的技巧特别多，本师也只把握了其中一些常用的。
(4) 利用待定系数法，将 r/Q 拆分，拆成简洁的分式的和。举例说
(1) 倒代换 x=1/t
明：
使用的对象特征很明显
然后，右边同分，比较等式两边分子的系数。
来个例子
这样就会得到待定系数的一个一次方程组，解之〔特别简洁〕，算
t0 时，类似处理，最终再下结论。
不定积分摘要
(10)
dx cos x
2
= d tan x
9 18
三、第二类换元积分法
是单调可导函数， 定理 设 x = ϕ (t ) 是单调可导函数，且 ϕ ′( t ) ≠ 0 。 又设
∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (t ) + c
则有
∫
f ( x )dx =
∫
f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = F (ϕ −1 ( x )) + c
1 ( 2) xdx = d ( x 2 ) 2 dx 1 ( 4) 2 = − d x x
(6) e x dx = de x
dx ( 5) = d ln x x (7 ) sin xdx = − d cos x
(8) cos xdx = d sin x
( 9)
dx sin x
2
= − d cot x
（1）如果满足定理条件，那么复合函数 f (ϕ ( x )) 与其中 如果满足定理条件， 之积是可以积出的。 间变量 u = ϕ ( x ) 的导数 ϕ ′( x ) 之积是可以积出的。 （2）积分过程是：设 u = ϕ ( x ) ，则有 du = ϕ ′( x )dx ，且 积分过程是：
∫ f (ϕ ( x ))ϕ ′( x )dx = ∫ f (u)du
dx dx
= 2
( 24)
∫
dx x2 + a2
1 x arctan + c a a a2 + x 1 a2 x 2 2 2 2 a − x dx = x a − x + arcsin + c 2 2 a
= ln x + x 2 + a 2 + c
不定积分基本公式表
(11)
dx 1 x2
arcsinx C arccos x C；
(12)
1 x
dx
2
arctan x C arc cot x C .
例1 解
求不定积分
1 dx. x
1 被积函数 的定义域为 x 0. x
1 因为 (ln x ) , 所以 当 x > 0 时， x
其中每一项虽然都应有一个积分常数， 但是由于 任意常数之和还是任意常数，所以只需在最后 写出一个积分常数 C 即可.
2 5 x e C 1 2( cos x C 2 ) 2 x 2 C 3 5 5 4 2 x e 2 cos x x (C 1 2C 2 2C 3 ) 5 5 4 2 x e 2 cos x x C . 5
三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分
法．
例5
求
(1 x ) 3 dx. 2 x
解
2 3 (1 x ) 3 1 3 x 3 x x dx dx 2 2 x x
2
于是物体的运动规律为
2 3 4 s(t ) t t . 3 3
1 2 dx
1 1 2
C 2x C
例3
求不定积分
2 x e x dx .
解
2 x e x dx ( 2e) x dx
不定积分59例
不定积分59例1、⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(222、⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(213、⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 4、()()()C x e e x dx dx e dx x e xxx x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰ln 21ln 2121ππππ5、()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 26、⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 222222227、()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 228、⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424 9、()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin 10、()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 11、()C a x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰arctan 11122212、()()Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰arcsin 1222()()⎰⎰=-n n n n dx x f ndx x x f 11 13、()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰3211212122131111211121114、()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 15、⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 12216、⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos 17、⎰⎰⎰+=+-=-==C x C x x xd dx x x xdx sec ln cos ln cos cos cos sin tan 18、⎰⎰⎰+-=+===C x C x x xd dx x x xdx cos ln sin ln sin sin sin cos cot 19、()()()⎰⎰⎰++=++=++=C x x x x x x d dx x x x x x xdx tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec 20、()()()⎰⎰⎰+-=--=--=C x x xx x x d dx x x x x x xdx cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc21、()⎰⎰+==C x xxd dx x x ln ln ln ln ln 1 22、()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 23、()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 24、()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111 25、()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xxx arctan 112226、()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰212212121127、⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a ax dx )()(21112122 C ax a x a ++-=ln 2128、dx x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222 29、()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 21230、()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2 31、()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin32、⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot 33、C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 34、()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ 35、dx x a ⎰-22解法一：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21解法二：三角形上面是圆顶的面积很容易求，地下的三角形加上上面的扇形。
不定积分表
Ｙz。
Liu。
2０13.09 卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉．虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨.在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组,151式.公式一基本初等函数的不定积分18式：幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出,特别的,对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成.公式二含的积分(要指出非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的.对于第一者，可以利用凑的方式,我们考虑分式,则得其积分是显的：。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得:，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的.我们注意第一式中有,积分即得。
对于第二式依然可用分离拆项的方式：,然后积分即可,而一般对于拆项,常用待定系数的方法完成。
公式三含的积分９式第一式的证明用凑微分的方式即可完成。
而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算.我们有:其中,对上式右侧的再次使用凑微分的方法,即可得解：同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。
利用凑微分的方式，我们显然有不定积分，本组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式:二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。
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2011-11-21第十二讲不定积分一、原函数与不定积分概念二、基本积分表三、换元积分法四、第二换元积分法五、分部积分法六、有理函数的积分七、简单无理式的积分2011-11-22一、原函数与不定积分概念（1）从运算与逆运算看初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。
微分运算的逆运算是什麽？问题：).()(),(),(x f x F x F x f 的导函数正是使要求这样一个函数已知函数这就是求原函数和不定积分的运算。
2011-11-23)()(?)(),(t S t v t v t S S ′===求导数：要求瞬时速度已知运动规律（2）从物理问题看)()(),(:?)(),(:t v t S t S t S S t v =′==使求原函数要求运动规律已知瞬时速度反问题2011-11-24.)()()()()()(,),(.)(上的一个原函数在是则称或都有使可导函数若另有一个上有定义在区间设I x f x F dx x f x dF x f x F I x x F I x f ==′∈∀（一）原函数的定义.),(3)()(]1[23上的一个原函数区间在是例∞+−∞==x x f x x F .)1,1(11)(arcsin )(]2[2上的一个原函数区间在是例−−==x x f x x F 2011-11-25关于原函数有两个理论问题:（a）原函数的存在问题.)(,)(上存在原函数在区间则上连续在区间若函数I x f I x f 结论:（b）原函数的结构问题.3)(3)(,2323上的原函数在也是R x c x x c x R c +⇒=′+∈∀一个函数若存在一个原函数，则它必有无穷多个原函数。
2011-11-26I x x f x F C x F ∈∀=′=′+)()(])([.,)()(,)()(为任意常数其中原函数的全体是则原函数上的一个在区间是若C x f C x F I x f x F +[定理1][证]上的一个原函数在是证明I x f C x F )()()1(+.)()(上的一个原函数在是I x f C x F +⇒的形式表示为可以上的任意一个原函数都在证明C x F I x f +)()()2(2011-11-27上的任何一个原函数在是设I x f x G )()(Ix x f x f x F x G x F x G ∈∀=−=′−′=′−0)()()()(])()([推论知由拉格朗日中值定理的I x C x F x G ∈∀=−)()(Ix Cx F x G ∈∀+=)()(即2011-11-28.)()(),()(上的不定积分在区间称为其原函数的全体则上存在原函数在区间设I x f C x F x F I x f +∫+=Cx F dx x f )()(积分变量积分常数积分号（二）不定积分的定义记作:被积函数2011-11-29Cx F y +=)(积分曲线族xxyo 积分曲线)(x F y =积分曲线与积分曲线族2011-11-210⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0210cos )(2x C x x C x x g ⎩⎨⎧<≥−=0sin )(x x x xx f 设.)1,0()()2()()()1(点的积分曲线过求的不定积分吗？是问：x f x f x g [例3][解]不是！处不连续在点因为0)(=x x g (1)2011-11-211的积分曲线族首先要求)()2(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0210cos )(221x C x x C x x G 上的原函数在是若R x f x G )()(连续在0)(=⇒x x G )0()(lim )(lim 0G x G x G x x ==⇒−+→→121C C +=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=⇒01210cos )(2x C x x Cx x G 分段积分，得2011-11-21201cos lim )0(0=−=′+→+xx G x 又01121lim )0(20=−+=′−→−xx G x 0)0(=′⇒G xx G x sin )(,0−=′>时当)()(,),()(x f x G x G =′∞+−∞且上可导在于是⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=⇒∫1210cos )(2x C x x Cx dx x f xx G x =′<)(,0时当2011-11-213⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+==01210cos )(2x C x x C x x G y 即的积分曲线族是)(x f 得令,1)0(,0==G x 0=C ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥==01210cos )(2x x x x x F y 点的积分曲线过是)1,0()(x f 2011-11-214)())(()1(x f dx x f =′∫dxx f dx x f d )())((=∫∫+=′Cx f dx x f )()()2(∫+=Cx f x df )()(（三）不定积分的性质（A ）不定积分与微分互为逆运算2011-11-215∫∫∫±=±dxx g dx x g dx x g x f )()()]()([)3(∫∫=dx x f k dx x kf )()()4(dxx f k x f k∫+)]()([2211∫∫+=dxx f k dx x f k )()(2211综合(3)(4)（B ）线性运算性质2011-11-216不定积分计算的基本思想：反想逆运算怎样计算不定积分？微分法——积分法导数基本公式——积分基本公式求不定积分是求导的逆运算2011-11-217=∫dx x α)1(=∫dx x1)2(=∫xdx sin )3(=∫xdxcos )4(Cx+++11αα)1(−≠αC x +ln Cx +−cos Cx +sin 二、基本积分表2011-11-218=∫dx a x )5(=∫dx ex)6(=∫xdx 2sec )7(=∫xdx 2csc)8(=∫shxdx )9(=∫chxdx)10(C a ax +ln 1Ce x+C x +tan C x +−cot C chx +Cshx +2011-11-219∫∫∫∫=+−=+=−−=−dx xdx x dx x dx x 222211)14(11)13(11)12(11)11(C x +arcsin Cx +arccos C x +arctan C x arc +cot C axa a x dx +=+∫arctan 1)15(222011-11-220C ax ax a a x dx ++−=−∫ln 21)18(22C ax x a dx +=−∫arcsin )16(22Cx a x x a dx +++=+∫)ln()17(2222Cx x xdx+−=∫csc cot ln csc )20(C x x xdx ++=∫sec tan ln sec )19(2011-11-221∫+++−dx x xx x )1112(]4[23计算例∫∫∫∫∫+++−=dx x dx xdxxdx dx x 231112原式421x =[解]221x −x +x 2+x 1−C +2011-11-222∫+−dx x x 112]5[22计算例dxx x ∫+−+=13)1(222原式dx x dx ∫∫+−=11322Cx x +−=arctan 32[解]2011-11-223∫⋅dx xx 22cos sin 1]6[计算例dxxx xx ∫⋅+=2222cos sin cos sin 原式dx xdx x∫∫+=22sin 1cos 1Cx x +−=cot tan [解]2011-11-224小结：∫∫+xdxdx x x 222tan)2()1(1)1(练习题：dx x x x x ∫+−+=)1()1(2222∫−=dxx )1(sec2直接分项•）（目标是积分基本公式形再分项通过代数或三角恒等变•2011-11-225?5cos =∫dxx 问：c x xd x dx x +==∫∫5sin 51)5(5cos 515cos u x =5视cx dx x +=∫sin coscu duu +=∫sin cos 或利用微分形式不变性)5(5cos )5(sin x d x x d =dxx d 5)5(=2011-11-226则可微且设,)(,)()(x u c u F du u f ϕ=+=∫∫+=′⋅cx F dx x x f )]([)()]([ϕϕϕ三、换元积分法定理1：（第一换元积分法）[证]利用微分形式不变性)]([)]([})]([{x d x F c x F d ϕϕϕ⋅′=+du u F )(′=du u f )(=dxx x f )()]([ϕϕ′⋅=凑微分法2011-11-227∫⋅x x f )]([ϕϕ∫=)]([)]([x d x f ϕϕ∫=duu f )(cu F +=)(cx F 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e e d x 1)1([解]Ce x x ++−=)1ln(2011-11-236∫xdx cos ]8[例∫∫∫−==x x d dx xx dx x 22sin 1)(sin cos cos cos 1C x x+−+=sin 1sin 1ln 21Cxx++=cos sin 1ln[解]Cx x ++=tan sec ln2011-11-237)ln 1(ln 112ln ln 1x d xx ++−++=∫原式dxxx x∫+ln 12ln ]9[例)ln 1()ln 1(21x d x ++=∫[解])ln 1()ln 1()12(ln 21x d x ++−+∫−C x x ++−++=2123)ln 1)(12(ln 2)ln 1(322011-11-238dxxe x x x ∫++)1()1(]10[例dx xe xe e x xx x∫++=)1()1(原式)()1()1(x xx x x xe d xe xe xe xe ∫+−+=∫+=)1()(x xx xe xe xe d Cxe xe xx++=1ln [解]2011-11-239)(b ax d adx +=)(212x d xdx =)(x x e d dx e =)(sin cos x d xdx =)cos (sin x d xdx −=)(ln 1x d dx x=)(21x d dx x=)(arctan 112x d dx x =+)(arcsin 112x d dx x=−常用微分公式2011-11-240?)sin (cos 22=+∫x x dx 练习?1143=−+∫dx xx x 练习C x x +−−42121arcsin 21Cx++−tan 11?)1(342=−∫x x dx练习∫∫∫+−−+=222121121x dx x dx x dx 2011-11-241?32324=+−∫dx xx练习?152=+−∫dx x x x 练习?1162=+∫dx e x练习dxx x dx x dx x x ∫∫∫−−−=−−=222)3(439429432xdxx dx x dx x x x ∫∫∫+−−=++−=1)1(222∫+dx e e dx e x x x)1(22011-11-242=∫dx x f )(=′⋅∫dx x x f )()]([ϕϕ)(x u ϕ=令)(t x ψ=令常常遇到相反的情况∫duu f )(dtt t f )()]([ψψ′⋅∫四、第二换元积分法第一换元积分法难求！容易求！难求！容易求！2011-11-243dxx∫+11][求例于是令,,2t x t x =⇔=dt ttdx x∫∫+=+1211dt t t ∫+−+=11)1(2]11[2dt tdt ∫∫+−=Ct t ++−=)1ln (2[解]Cx x ++−=)1ln((22011-11-244则有有反函数且若),()(,)()()]([1x t t x C t F dt t t f −==+=′⋅∫ψψψψCx F dx x f +=∫−)]([)(1ψ定理2：（第二换元积分法）[证]dx dt dt dF t F dx d c x F dx d ⋅==+−)(])([1ψdtdx dt dF 1⋅=)()(1)()]([x f t t t f =′⋅′⋅=ψψψ2011-11-245∫−=dx e I x 21]1[求例[解]22t e x =−令),2ln(2+=t x 即dtt tdx 222+=∫+⋅=dt t t t I 2212∫+=dtt 2122Ct +⋅=2arctan 212C e x +−=22arctan22011-11-246∫−=dxx I 24]2[求例[解]tx sin 2=令)22(ππ<<−t ttt t x cos 2cos 2cos 2sin 124222===−=−∫=tdtI 2cos 4∫+=dt t22cos 14C t t ++=)2sin 21(2tdtdx cos 2=2011-11-247改写为将为了作变量回代I ,Ct t t I +⋅+=)cos sin (2直角三角形作一个根据代换函数,sin 2t x =x224x −tCx xx dxx I +−⋅+=−=∫22422arcsin 242011-11-248∫+=9]3[2x dx I 求例[解]tx tan 3=令tt t x sec 3sec 31tan 39222==+=+Ct t ++=tan sec ln ∫∫∫==+dtt dt ttx dx sec sec 3sec 3922tdtdx 2sec 3=2011-11-249xt392+x 39sec 2+=x t 122339ln9c xx x dx +++=+⇒∫1239lnc x x +++=cx x +++=9ln 22011-11-250还有其他的方法吗？问：二次根式去掉根号∫>−=)0(,22a ax dx I 求例如)t 0(+∞<<=chta x 令∫∫=⋅=dtdt sht a shta I 11“双曲代换”和“倒数代换”2011-11-251∫>+=)0(222a xa xdx I 例如：求)1(1)(11212222x d a x x a x dxx +⋅−=+tx x 1,0=>令时当∫∫+−=+⋅−=dtt a t x d a x I x 1)1(1)(1122212c xxa a c t a a ++−=++−=2222221112011-11-252udvvdu uv d +=)(∫∫∫+=udvvduuv d )(∫∫−=vduuv udv 五、分部积分法难求！容易求！容易求！难求！分部积分公式2011-11-253∫dxxex计算例]1[?dv u 和关键：如何正确选择dvxdx u e x ==,若选择∫−⋅=x e dx xe x x 22则[解]更难求！dvdx e u x x==,故选择∫∫−=⇒dxe xe dx xex x xC e xex x+−=Cx e x +−=)1(∫dx e xx 22容易求！2011-11-254∫xdxxsin ]2[2计算例)(cos sin 22x d x xdx x∫∫−=∫+−=)(cos cos 22x xd x x )(sin 2cos 2∫+−=x xd x x ∫+−=xdx x x x cos 2cos 2∫−+−=xdxx x x x sin 2sin 2cos 2Cx x x x x +++−=cos 2sin 2cos 2[解]2011-11-255∫xdxx ln ]3[计算例dvxdx u x ==,ln 选择dx xu x v 1,22==则∫∫⋅−⋅=dx xx x x xdx x 12ln 2ln 22于是∫−⋅=dx x x x 21ln 22Cx x +−−=)ln 21(42[解]2011-11-256∫xdxx arctan]4[计算例)2(arctan arctan 2∫∫=x xd xdx x dx x x x x ∫+−=222121arctan 2dx x x x x ∫+−+−=22211121arctan 2C x x x x ++−=arctan 2121arctan 22[解]2011-11-257∫dxx 3sec]5[计算例∫∫=dx x x dx x 23sec sec sec ∫−−=dx x x x x sec )1(sec tan sec 2∫+=dxx x x sec tan sec ∫=)(tan sec x d x ∫⋅−=dx x x x x x tan sec tan tan sec C x x x x +++=tan sec ln 21tan sec 21[解]出现方程式∫−dx x 3sec 回归2011-11-258∫xdxexcos ]6[计算例∫∫=xd exdx exxsin cos ∫−=xdxe x e x x sin sin ∫+=xd ex e xx cos sin C x x e x++=)cos (sin 21+=x e x e x x cos sin 回归[解法1]∫−xdxe x cos 2011-11-259)(cos cos xx e d x xdx e ∫∫=∫+=xdxe x e xx sin cos ∫+=xx xdex e sincos ∫−+=xdxe x e x e xx x cos sin cos C x x e x ++=)cos (sin 21[解法2]2011-11-260)(cos cos xx e d x xdx e ∫∫=∫+=xdxe x e x x sin cos ∫−=xd e x e xx cos cos ∫+−=xdxe x e x e x x x cos cos cos ∫=xdxe x cos 出现恒等式问题出在此解法三不可取！[解法三]2011-11-261利用分部积分推导递推公式),2,1(sin ]7[L ==∫n xdxI n n 求积分例Cx xdx +−=∫cos sin 的情形下面讨论3≥n [解]C x x x xdx +⋅−=∫cos sin 212sin 22011-11-262∫∫−==−−)cos (sin sin sin 11x xd xdx x I n n n ∫−−⋅−+⋅−=xdxx x n x x n n cos sin cos )1(cos sin 21∫−⋅−+⋅−=−−dx x x n x x n n )sin 1(sin )1(cos sin 221∫∫−−−+⋅−=−−xdxn xdx n x x n n n sin )1(sin )1(cos sin 21∫−−−+⋅−=xdx nn x x n I n n n 21sin 1cos sin 1)2(≥n 2011-11-2635,4==n n 例如：∫∫+⋅−=xdx x x xdx 234sin 43cos sin 41sin C x x x x x +⋅−+⋅=)cos sin (83cos sin 413]sin 32cos sin 31[54cos sin 5124∫+⋅−+⋅−=xdx x x x x ∫∫+⋅−=xdx x x xdx 345sin 54cos sin 51sin Cx x x x x +−⋅−⋅−=cos 158cos sin 154cos sin 51242011-11-264∫+=nn a x dxI )(]8[22求积分例),0(N n a ∈>∫∫−−−−+−+=+=))(1()()(1221221221n n n n a x xd a x x a xdx I C axa a x dx I +=+=∫arctan 1221∫+−++=−dx a x x n a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−dx a x a a x n a x x nn )()()1(2)(22222122[解]nn n I a n I n a x x21122)1(2)1(2)(−−−++=−−2011-11-265121222)22(32)()22(1−−−−++⋅−=n n n I a n n a x x a n I 2=n 例如：∫+++⋅=22222222121a x dx a a x x a I 得递推公式C ax a a x x a +++=)arctan 1(212222011-11-266∫∫∫axdxx P axdxx Pdxex P nnaxn cos )(sin )()([小结]：下列积分可以用分部积分法∫∫∫xdxx P xdxx P xdx x P nnnarctan)(arcsin)(ln )(∫∫∫xdxxdxxdxarctanarcsinln ∫∫++±dxa x x dxa x )ln(2222∫∫∫dxx dxbx edxbx eaxax3seccos sin ∫∫∫+nnna x dxxdxxdx)(cossin222011-11-267dx ee I xx∫=arctan ]9[求例dt tdx t x t e x 1,ln ==⇔=则令∫∫−=⋅=)1(arctan 1arctan ttd dt tt t I )(arctan 1arctan 1t d tt t∫+−=dtt t t t∫++−=)1(1arctan 12[解]2011-11-268dtt t t t t t I ∫+−++−=)1()1(arctan 1222dt t dt t t t ∫∫+−+−=211arctan 1Ct t t t ++−+−=)1ln(21ln arctan 12C e x e ex x x ++−+−=21ln arctan 12011-11-269dxx e x x∫+22)2(]10[求例[解]∫∫+−=+)21()2(222x d e x dx x e x x x∫++++−=dx e x x x x e x x x )2(21)21(22∫++−=dxxex e x xx22ce x x e x x x+−++−=)1(22352011-11-270)()()(x Q x P x R m n =mm m m m n n n n n b x b x b x b x Q a x a x a x a x P ++++=++++=−−−−11101110)()(L L 其中真分式多项式代数有理函数+=•12111223+++−=+++x x x x x x 例如：六、有理函数的积分（一）代数有理函数的积分假分式时当真分式时当,;,m n m n ≥<2011-11-271简分式的和真分式可分解为四类最•a x A−)1(na x A )()2(−qpx x C Bx +++2)3(nq px x CBx )()4(2+++∫+−=−ca x A dx ax Aln )1(c a x n A dxa x An n +−−=−∫−1))(1()()2(四类最简分式的积分2011-11-272∫∫+++−+=+++dxq px x C Bp p x B dx qpx x C Bx 221212)2()3(∫++−−++=q px x dx C Bp q px x B 2222ln 21∫−++−−++=)()(22ln 2142222p p q x dx C Bp q px x B2011-11-273∫∫+++−+=+++dxq px x C Bp p x B dx q px x CBx n n )()2()()4(22121212)(1)1(2−++−=n q px x n B ∫−++−−np p q x dxC Bp )]()[(2242222011-11-274:)04()()()(221110诸因式之积与与形如都可以分解为一个常数任意一个实系数多项式<−++−++++=−−q p q px x a x b x b x b x b x Q l k m m m m m L 如何将真分式分解为最简分式之和？定理1：rsl r r l l k s k k m q x p x q x p x q x p x a x a x a x b x Q )()()()()()()(22221122102121++++++−−−=L L L 2011-11-275:,,)()(如下分解规则之和唯一地分解为最简分式则它可以是一个真分式设x Q x P m n 定理2：)()1(a x A −一次单因式对应一项kk a x A a x A a x A k k )()()()2(221−++−+−L 项重因式对应一次2011-11-276qpx x C Bx +++2)3(二次单因式对应一项kk k q px x C x B q px x C x B q px x C x B k k )()()()4(22222211+++++++++++++L L项重因式对应二次2011-11-277分解为最简分式的和将例435]1[23+−−x x x 将分母分解因式)1(223)2)(1(43−+=+−x x x x 将真分式分解)2(223)2(21435−+−++=+−−x Cx B x A x x x [解]C B A ,,)3(用比较系数法确定常数)24()4()()1()2)(1()2(522C B A x C B A x B A x C x x B x A x +−++−−++=++−++−=−2011-11-278⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−−=+⇒524140C B A C B A B A 1,32,32−==−=⇒C B A 223)2(121321132435−−−⋅++⋅−=+−−⇒x x x x x x ∫+−−⇒dxx x x 43523∫∫∫−−−++−=2)2(232132x dx x dxx dx C x x x +−++−=2112ln 322011-11-279∫−+−+−+−=dxx x x x x x x I 1221]2[23453求积分例将分母分解因式)1(222345)1)(1(122+−=−+−+−x x x x x x x 将真分式分解)2(22223453)1(111221++++++−=−+−+−+−x EDx x C Bx x A x x x x x x x [解]用比较系数法确定常数)3()()()2()()()1)(()1)(1)(()1(12342223E C A x E D C B x D C B A x B C x B A x E Dx x x C Bx x A x x −−++−+−++−++−++=−+++−+++=+−2011-11-28023,21,43,41,41−===−==⇒E D C B A ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−−−=+−+−=+−+=−=+⇒11210E C A E D C B D C B A B C B A dx x x dx x x dx x I ∫∫∫+−++−−−=⇒222)1(32113411141∫∫++++−−=1431)1(811ln 41222x dx x x d x ∫∫+−+++22222)1(23)1()1(41x dx x x d 2011-11-281x x x arctan 43)1ln(811ln 412++−−=∫∫++++−−=1431)1(811ln 41222x dx x x d x I ∫∫+−+++22222)1(23)1()1(41x dxx x d C x x x x +++⋅−+⋅−]arctan 21121[23114122C x x x x I +++−+−=]11311[ln 4122即2011-11-282C a x a a x x a a x dx a a x x a a xdxn+++=+++⋅=+∫∫)arctan 1(212121)(22222222222)2,1(==n a [注意] 计算最后一个积分时, 利用了递推公式C x x x x dxx x xdx +++=+++⋅=+⇒∫∫arctan 21121121121)1(222222011-11-283=+∫)3(7x x dx =∫+−+dx x x x x )3(33777dxx x x dx ∫∫+−)3(3376∫+)1(10x x dx ∫+=−)1(1011x x dx ∫+=)1(10109x x dxx 或遇到有理函数的积分要灵活处理2011-11-284∫dxx x R )cos ,(sintx =2tan 令212sin t tx +=2211cos t t x +−=dt t dx 212+=∫dtt R )(1有理函数万能代换（二）三角有理函数的积分代数有理函数的积分2011-11-285dxxI ∫+=cos 21]3[求积分例t x =2tan 令22113121cos 2122t t x tt ++=+=+⇒+−dt t dx 212+=dtt I ∫+=⇒2312C t +=3arctan 32[解]Cx+=)3tan arctan(3222011-11-286三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角恒等式将问题化简∫nxdxmx cos cos ∫nxdxmx sin sin :]1[例∫−++=dx x n m x n m ])cos()[cos(21∫−−+=dx x n m x n m ])cos()[cos(21∫nxdxmx cos sin ∫−++=dx x n m x n m ])sin()[sin(212011-11-287∫++xx dxcos sin 1:2例∫+=2cos 22cos 2sin 22x x x dxcx x x d ++=∫++=|2tan 1|ln 2tan1)2tan 1(∫x dx 2sin :32例∫=xx dx22cos sin 41∫+=∫+=dxx x x x x x )csc (sec 41cos sin cos sin 41222222c x x +−=)cot (tan 412011-11-288dxxI ∫+=2sin31]4[求积分例dxxx xI ∫+=222tan sec 3sec ∫+=xx d 2tan 43)(tan C x +=tan 32arctan63[解]2011-11-289dxxx I ∫+=cos )sin2(1]5[求积分例dxxx x x I ∫++−=cos )sin 2()cos (sin 43122dxxxdx x x ∫∫+−−=sin 2cos 31cos sin 231∫∫∫++−+=x x d x x d x dx sin 2)sin 2(31cos )(cos 31cos 32C x x x x ++−++=sin 2ln 31cos ln 31tan sec ln 32[解1]C xx x x ++++=sin 2cos ln 31tan sec ln 322011-11-290∫∫−+=+=)sin 1)(sin 2()(sin cos )sin 2(cos 22x x x d dx xx x I ())(sin 1sin sin 1sin 2612131x d x x x −−++++−=∫Cx x x +−−+++−=sin 1ln 61sin 1ln 21sin 2ln 31C xx x +++=cos )sin 2()sin 1(ln 312[解2]2011-11-291dxb ax x R n),()1(∫+tb ax n=+令a b t x n −=dtt andx n 1−=∫dtt R )(1七、简单无理式的积分代数有理函数的积分2011-11-292dxb ax b ax b ax x R kn n n ),,,,()2(21+++∫L tb ax n=+令的最小公倍数为k n n n n ,,,21L ∫dtt R)(1代数有理函数的积分2011-11-293dxdcx bax x R n),()3(∫++tdcx bax n=++令∫dtt R )(1代数有理函数的积分2011-11-294dxc bx ax x R ),()4(2∫++)04,0(2≠−≠ac b a duau ∫±221经配方只要求ta u dua u tan 22=±∫令ta u duu a sin 22=−∫令ta u sec =2011-11-295dx x xI ∫+=1]5[3求积分例则令,66t x t x =⇔=11233+=+t tx x dtt dx 56=dx t tI ∫+=1628dt t t t t )111(62246++−+−=∫Cx x x x x ++−+−=66636567arctan 315171(6[解]Ct t t t t ++−+−=)arctan 357(63572011-11-296dxx x I ∫+−=32)1)(1(1]6[求积分例先将积分化为dx x x x I 11113+⋅−+=∫1111333−+=⇔=−+t t x t x x 令1211113333−=+−+=+⇒t t t t x dtt t dx 232)1(6−−=[解]2011-11-297∫∫∫++++−−=−−=dt t t t dt t dt t I 121111323∫∫+++++++++−−=2232212122)()()(231)1(211ln t t d t t t t d t dtt t t t ∫+++++−−=13)12(211ln 2C t t t t +++−++=312arctan 3)1(1ln 2122311−+=x x t 其中，2011-11-298∫−++=22)1(]7[x x x dx I 求积分例∫−−+=22149)()1(x x dxI ∫−+=24923)(u u du tu sin 23=令21−=x u 令∫+=tt tdt cos )1(sin cos 232323[解]2011-11-299dtt∫+=sin 1132∫−=dttt2cos sin 132C tt +−=)cos 1(tan 32tu23249u −Cuu +−−=2492332C xx x +−+−=22232C x x++−−=1232三角形法2011-11-2100∫∫∫−−+=+dxx f C x F dx x f x f x f dxx x )()()(,)(,)(2)1ln(111求且是它的反函数单调连续设练习2011-11-2101以下题目不用笔算立即写出结果dxe xx 121.1∫⋅∫due udxx x ar ∫−231)sin (.2∫duu 3∫+dx x x2.32∫u du ∫dx x xsin 1.4∫udusin 2011-11-2102∫xx dx 2cos tan .7duu∫−21dx xx x ∫−1arcsin .8∫udu∫dx xx2ln .6∫duu ∫−294.5xxdx ∫udu2011-11-2103dx xx∫ln ln .9xx x ln ln ln ln −⋅∫xdx x excos sin .102sin ∫due u2011-11-2104等函数下列积分不能表示为初∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫−−+−xk dxdx x k dxx dx x dx x xdx xxdx x dxx dx x dx e x 2222223sin1,sin 1cos,sincos ,sin ,sin 1,ln 1,2。