数值分析报告第五版全问题详解chap4
数值分析课程第五版课后习题答案
*
[解] = (0.031 × 385.6) 1 × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) 1 × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) 1 × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
ε * (R* ) 1 1 1 从而 ε * ( R * ) = 1% × R * ，故 ε r* ( R * ) = 。 = 1% × = * 3 300 3 R
6 、设 Y0 = 28 ，按递推公式 Yn = Yn −1 − 1 783 (n = 1,2, ) 计算到 Y100 ，若取 100
783 ≈ 27.982 （五位有效数字， ）试问计算 Y100 将有多大误差？ [解]令 Yn 表示 Yn 的近似值， e * (Yn ) = Yn − Yn ，则 e * (Y0 ) = 0 ，并且由 1 1 × 27.982 ， Yn = Yn −1 − × 783 可知， 100 100 1 × (27.982 − 783 ) ，即 Yn − Yn = Yn −1 − Yn −1 − 100 1 2 从 e * (Yn ) = e * (Yn −1 ) − × (27.982 − 783 ) = e * (Yn − 2 ) − × (27.982 − 783 ) = ， 100 100 Yn = Yn −1 − 而 e * (Y100 ) = e * (Y0 ) − (27.982 − 783 ) = 783 − 27.982 ，
而 783 − 27.982 ≤
1 1 × 10 −3 ，所以 ε * (Y100 ) = × 10 −3 。 2 2
数值分析4 多项式插值
根据插值余项定理可知：
(1 ) f ( x) Ln ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! f
( n 1)
f ~ f ( x) Ln ( x)
设
( 2 ) ( x x1 ) ( x xn 1 ) (n 1)!
( n 1)
L2 (175 ) 13.230 158 73
175 13.22875655
利用插值余项公式估计插值的截断误差，难点在于函数f往往 是未知的，这就导致函数n+1阶导数的上界不好估计，从而 造成误差无法确定。在实际应用中，估计插值误差通常利用 下面的方法进行。 已知函数在n+2个互异结点处的函数值
j 0 j i
n
(x x j ) ( xi x j )
i 0,1,2,, n
它满足
li ( x j ) ij
0, i j 1, i j
注意：有几个结点就有几个基函数
二、Lagrange插值多项式
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yn ln ( x) y j l j ( x)
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! M ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)!
例3
在例1中，设被插值函数是
f ( x) x , x [144 ,225 ]
估计利用L2(175)近似f(175)产生的截断误差 解：
能否利用这些数据合理地估计人口的数量，比如1965年的人口， 甚至2010年的人口。
假定某地区某天的气温变化记录如下： 时 刻 温 度 时 刻 0 15 13 1 14 14 2 14 15 3 14 16 4 14 17 5 15 18 6 16 19 7 8 9 10 11 12
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2]((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解： {*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1：故度量半径R 时允许的相对误差限为εε(ε∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =- %即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q %1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版全答案chap4
第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);101h2h(2)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);10 1 2h1(3)f(x)dx[f(1)2f(x)3f(x)]/3;121h2(4)f(x)dx h[f(0)f(h)]/2ah[f(0)f(h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101 h令f(x)1，则2h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则2 3322h h A h A11从而解得4A h31A h131A h13令3f(x)x，则h h3f(x)dx x dx0 hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。
101令4f(x)x，则h h452f(x)dx x dx h hh52A f(h)A f(0)A f(h)h10135故此时，hh f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101具有3次代数精度。
2h （2）若2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101令f(x)1，则4h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则16 3322h h A h A11从而解得4A h38A h138A h13令3f(x)x，则2h2h3f(x)dx x dx0 2h2hA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 2h故2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。
数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证
b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,
b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b
a
f ( x)dx 的近似值，即
b
a
P( x)dx 作为
b
a
f ( x)dx
n
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
(完整版)数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
(完整版)数值分析第五版答案
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
确定下列求积公式中的特定参数使其代数精度尽量高并指明所构造出的求积公式所具求解求积公式的代数精度时应根据代数精度的定义即求积公式对于次数不超过项式均能准确地成立但对于m1次多项式就不准确成立进行验证性求解
第一章绪论
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等
数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等数值分析作为一门重要的数学课程，对于许多理工科学生来说是必须掌握的知识。
李庆扬等编著的《数值分析》第五版教材备受青睐，而课后习题的答案则成为了同学们检验自己学习成果、加深对知识理解的重要参考。
在学习数值分析的过程中，课后习题起到了巩固和拓展知识的关键作用。
通过完成这些习题，我们能够更加深入地理解数值分析中的各种算法和概念，如插值法、数值积分、常微分方程数值解法等。
而准确的答案则能够帮助我们及时发现自己的错误和不足，从而有针对性地进行改进和提高。
以插值法这一章节的习题为例，我们可能会遇到要求用拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式等方法来构造插值函数，并计算给定节点处的函数值。
在解答这类问题时，需要我们熟练掌握插值公式的推导和计算过程，同时要注意误差的分析和控制。
答案中会详细展示每一步的计算过程，让我们能够清晰地看到如何从给定的节点数据得到最终的插值结果。
对于数值积分部分的习题，可能会涉及到梯形公式、辛普森公式等不同的数值积分方法。
在求解过程中，需要准确确定积分区间和节点，计算相应的系数，并最终得到积分的近似值。
答案会给出具体的计算步骤和结果，同时还会对不同方法的精度和误差进行比较和分析，帮助我们更好地理解各种数值积分方法的特点和适用范围。
常微分方程数值解法的习题则通常要求我们运用欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格库塔方法等求解给定的初值问题。
这需要我们对这些方法的原理和公式有深入的理解，并能够正确地进行编程实现或手算求解。
答案中会详细讲解每一种方法的应用过程，以及如何根据给定的精度要求选择合适的解法。
在求解课后习题的过程中，我们不能仅仅满足于得到答案的结果，更要注重理解答案背后的思路和方法。
比如，在遇到错误答案时，要认真分析自己的解题过程，找出错误的原因，并通过与正确答案的对比，加深对知识点的理解。
同时，我们还可以尝试对答案进行拓展和延伸，思考如何将所学的知识应用到实际问题中，提高自己解决实际问题的能力。
(完整版)数值分析第五版答案
第一章 绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数， 即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x 1* 1.1021 , x 2* 0.031 , x 3385.6 , x 4 56.430 ,x 5 7 1.0.解： x 1 1.1021 是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； x 3 385.6 是四位有效数字； x 4 56.430 是五位有效数字； x 5 7 1.0. 是二位有效数字。
4．利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) x 1 x 2 x 4,(2) x 1 x 2 x 3 ,(3) x 2/ x 4.其中 x 1* , x *2, x 3* , x 4* 均为第 3题所给的数。
解： (x 1*) (x *2) (x *3) (x *4) (x 5)1 21 2 1 2 12 1 10 10 10 10 10 (1) (x 1 (x 1*) 1 10 2 1.05 10 x 2 x 4) (x *2) 1 2 3 10 (x *4) 1 10 3 2 (2) (x 1*x *2x 3*) x 1x 2 (x 3) x 2x 3 (x 1) x 1x 3 (x 2)1 1.1021 0.031 10 10.031 385.6 1 10 41.1021385.6 1 10 30.215又Q r (V*)计算到 Y 100 。
若取 783 27.982 （ 5 位有效数字）有 Y 100 Y 0 100 1 783 100 0100(3) (x *2/ x 4*)x 2* (x *4) x *4 (x 2*) *2x 4* 1 3 1 3 0.031 10 3 56.430 10 3 22 56.430 56.430 10 55 计算球体积要使相对误差限为 1 ， 43 解：球体体积为 V R 3 3 则何种函数的条件数为 问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？C p RgV'Rg4 R 2 4R 3 3r(V*)C p g r (R*) 3 r (R*)故度量半径 R 时允许的相对误差限为6．设 Y 0 28，按递推公式 Y n Y n13 1783100r (R*) 1 0.33n=1,2,⋯) 1解：QY n Y n 1783n n 1 100Y 100 Y 99 1783 100 99100 1 783100 1 783100 Y 99 Y 98 Y1Y 98 Y97Y 01010 783即Y 100 Y 0 783，若取 78327.982 , Y 100 Y 0 27.982，试问计算 Y 100 将有多大误差？依次代入后，10 3(Y 10*0) (Y 0) (27.982)x 2 具有 5 位有效数字29．正方形的边长大约为了 100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1cm 2 ？解：正方形的面积函数为 A(x) x 2(A*) 2A*g (x*) .当 x* 100时，若 (A*) 1,12则 (x*) 10 22故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 1cm 211．序列 y n 满足递推关系 y n 10y n 1 1 (n=1,2,⋯),若y 02 1.41 (三位有效数字) ，计算到 y 10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：Q y 02 1.4110又Q y n 10y n 1 1y 1 10y 0 1 (y 1*) 10 (y 0*)Y 100的误差限为 1 100210 3 。
数值分析资料报告课程第五版课后习题问题详解(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案
*
[解] = (0.031 × 385.6) 1 × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) 1 × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) 1 × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
n
ε * (ln x)
(x* ) n
= 2n% 。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单 位，试指出它们是几位有效数字：
* * * * * x1 = 1.1021 ， x 2 = 385.6 ， x 4 = 56.430 ， x5 = 0.031 ， x3 = 7 × 1.0 。 * * * [解] x1 = 1.1021 有 5 位有效数字； x 2 = 0.0031 有 2 位有效数字； x3 = 385.6 有 4 * * 位有效数字； x 4 = 7 × 1.0 有 2 位有效数字。 = 56.430 有 5 位有效数字； x5 * * * * 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中 x1 均为第 3 题所给 , x2 , x3 , x4
1 6 1 有一位有效数 × × 10 −1 = 2.65 × 10 −3 < × 10 − 2 ， 4 2 2 (3 + 2 × 1.4)
′ e * ( f 3 ) = f 3 e * (1.4) =
数值分析第五版全答案chap4
第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
《数值分析》(第5版)第四、五章作业题
第4章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1) ∫f (x )ⅆx h−h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=2ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=23ℎ3解得A -1 = ℎ3 ，A 0 = 4ℎ3，A 1 = ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx ℎ−ℎ=ℎ3(−ℎ)3+ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx ℎ−ℎ≠ℎ3(−ℎ)4+ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx ℎ−ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度(2) ∫f (x )ⅆx 2h−2h ≈A −1f (−h )+A 0f (0)+A 1f (h )解：将f(x) = 1，x ，x 2分别代入公式两端并令其左右相等，得： A −1+A 0+A 1=4ℎ −ℎA −1+ℎA 1=0 ℎ2A −1+ℎ2A 1=163ℎ3解得A -1 = 8ℎ3 ，A 0 = -4ℎ3，A 1 = 8ℎ3. 即所求公式至少具有2次代数精度， 又由于：∫x 3ⅆx 2ℎ−2ℎ=8ℎ3(−ℎ)3+8ℎ3⋅ℎ3 且 ∫x 4ⅆx 2ℎ−2ℎ≠8ℎ3(−ℎ)4+8ℎ3⋅ℎ4∴ ∫f (x )ⅆx 2ℎ−2ℎ≈A −1f (−ℎ)+A 0f (0)+A 1f (ℎ) 具有3次代数精度2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (2)∫√x ⅆx 91，n = 4解：h =b−a n=9−14= 2根据复合梯形公式：∫√x ⅆx 91= ℎ2[f (1)+f (9)+2∑f (x k )3k=1] =(1 + 3 + 2√3+2√5+2√7) ≈17.228 根据复合辛普森求积公式： ∫√x ⅆx 91= ℎ6[f (1)+4∑f(x k+12)3k=0+2∑f (x k )3k=1+f (9)]= 13(1 + 4√2+4√4+4√6+4√8 + 2√3+2√5+2√7 + 3) ≈ 17.3326. 若用复合梯形公式计算积分I = ∫ⅇx ⅆx 10，问区间[0, 1]应分多少等份才能使截断误差不超过12×10-5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间[0, 1]应分多少等份？解：f(x) = e x , f’’(x) = f (4)(x) = e x , b-a = 1, h = 1n , ∴根据复合梯形公式： | R n (f) | = | -b−a 12ℎ2f ′′(η) | =ⅇx 12n≤ ⅇ12n≤ 12× 10-5 求得n ≥ 212.85, 取n = 213, 即将区间[0, 1]分为213等份时，用复合梯形公式计算，截断误差不超过12×10-5。
李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
4h
A1
A0
A1
0 hA1 hA1
16 3
h3
h2 A1
h2 A1
4h A1 A0 A1
解出
8 A1 3 h
A0
4 3
h
A1
8 3
h
令 f (x) x3 ，
有 8h (h)3 4h 03 8h h3 8 h4 8 h4 0 h x3dx 0
有 h (h)4 4h 04 h h4 2 h5 0 h x4dx 1 x5 h 2 h5
3
3
33
h
5 h 5
因此，具有 3 次代数精度。
2h
2） 2h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。
3
3
3
33
h
令 f (x) x4 ，
有 8h (h)4 4h 04 8h h4 16 h5 0 h x4dx 1 x5 2h 64 h5
3
3
3
3
h
5 2h 5
因此，具有 3 次代数精度。
1
3） 1 f (x)dx [ f (1) 2 f (x1) 3 f (x2)] / 3
T (k) m
4m 4m 1
T (k 1) m1
1 4m 1
T (k) m1
,
k
1, 2,3...
9、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式？ 答： 如果求积公式
an
n
f (x)(x) d x Ak f (xk )
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第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];hh hhh f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰ 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则 3221123h h A h A -=+ 从而解得011431313A hA h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0hhh h f x dx x dx --==⎰⎰ 101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3hh h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=⎰⎰故此时， 101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（2）若21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1014h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则 32211163h h A h A -=+ 从而解得011438383A h A h A h -⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则 22322()0hh h h f x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则22452264()5h h h h f x dx x dx h --==⎰⎰ 510116()(0)()3A f h A f A f h h --++= 故此时，21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++⎰因此， 21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（3）若1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰令()1f x =，则1121()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++⎰令()f x x =，则120123x x =-++令2()f x x =，则22122123x x =++ 从而解得120.28990.5266x x =-⎧⎨=⎩或120.68990.1266x x =⎧⎨=⎩ 令3()f x x =，则11311()0f x dx x dx --==⎰⎰ 12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠故1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰令()1f x =，则0(),hf x dx h =⎰2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=令()f x x =，则200221()21[(0)()]/2[(0)()]2hhf x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=⎰⎰令2()f x x =，则 23002321()31[(0)()]/2[(0)()]22hhf x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-⎰⎰故有 33211232112h h ah a =-= 令3()f x x =，则 340024441()41111[(0)()]/2[(0)()]12244h hf x dx x dx h h f f h h f f h h h h ==''++-=-=⎰⎰令4()f x x =，则450025551()51111[(0)()]/2[(0)()]12236h h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h ==''++-=-=⎰⎰ 故此时，201()[(0)()]/2[(0)()],12hf x dx h f f h h f f h ''≠++-⎰ 因此，201()[(0)()]/2[(0)()]12hf x dx h f f h h f f h ''≈++-⎰ 具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：12012101(1),8;4(1)(2),10;(3),4;(4),6;x x dx n x e dx n x n n ϕ-=+-===⎰⎰⎰ 解：21(1)8,0,1,,()84x n a b h f x x=====+ 复化梯形公式为781[()2()()]0.111402k k h T f a f x f b ==++=∑ 复化辛普森公式为7781012[()4()2()()]0.111576k k k k h S f a f x f x f b +===+++=∑∑ 121(1)(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x --===== 复化梯形公式为9101[()2()()] 1.391482k k h T f a f x f b ==++=∑ 复化辛普森公式为99101012[()4()2()()] 1.454716k k k k h S f a f x f x f b +===+++=∑∑(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====复化梯形公式为341[()2()()]17.227742k k h T f a f x f b ==++=∑ 复化辛普森公式为3341012[()4()2()()]17.322226(4)6,0,,,()636k k k k h S f a f x f x f b n a b h f x ππ+===+++======∑∑ 复化梯形公式为 561[()2()()] 1.035622k k h T f a f x f b ==++=∑ 复化辛普森公式为5561012[()4()2()()] 1.035776k k k k h S f a f x f x f b +===+++=∑∑ 3。
直接验证柯特斯教材公式（2。
4）具有5交代数精度。
证明：柯特斯公式为01234()[7()32()12()32()7()]90ba b a f x dx f x f x f x f x f x -=++++⎰ 令()1f x =，则01234()90[7()32()12()32()7()]90ba b a f x dx b a f x f x f x f x f x b a -=-++++=-⎰令()f x x =，则 2222012341()()21[7()32()12()32()7()]()902bb a a f x dx xdx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰ 令2()f x x =，则23333012341()()31[7()32()12()32()7()]()903b b a a f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰ 令3()f x x =，则34444012341()()41[7()32()12()32()7()]()904b b a a f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰ 令4()f x x =，则45555012341()()51[7()32()12()32()7()]()905b b a a f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰ 令5()f x x =，则56666012341()()61[7()32()12()32()7()]()906b b a a f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰ 令6()f x x =，则 012340()[7()32()12()32()7()]90h b a f x dx f x f x f x f x f x -≠++++⎰因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。
用辛普森公式求积分10x e dx -⎰并估计误差。
解：辛普森公式为 [()4()()]62b a a b S f a f f b -+=++ 此时，0,1,(),x a b f x e -===从而有1121(14)0.632336S e e --=++= 误差为4(4)04()()()1802110.00035,(0,1)1802b a b a R f f e ηη--=-≤⨯⨯=∈5。
推导下列三种矩形求积公式：223()()()()();2()()()()();2()()()()();224b a b a ba f f x dxb a f a b a f f x dx b a f b b a a b f f x dx b a f b a ηηη'=-+-'=---''+=-+-⎰⎰⎰ 证明：(1)()()()(),(,)f x f a f x a a b ηη'=+-∈两边同时在[,]a b 上积分，得()()()()()b b a a f x dx b a f a f x a dx η'=-+-⎰⎰ 即2()()()()()2(2)()()()(),(,)ba f f x dxb a f a b a f x f b f b x a b ηηη'=-+-'=--∈⎰ 两边同时在[,]a b 上积分，得()()()()()bba a f x dxb a f a f b x dx η'=---⎰⎰ 即22()()()()()2()(3)()()()()(),(,)22222ba f f x dxb a f b b a a b a b a b f a b f x f f x x a b ηηη'=---''++++'=+-+-∈⎰ 两连边同时在[,]a b 上积分，得2()()()()()()()22222b b b a a a a b a b a b f a b f x dx b a f f x dx x dx η''++++'=-+-+-⎰⎰⎰ 即 3()()()()();224ba ab f f x dx b a f b a η''+=-+-⎰ 6。