de Sitter空间中类空子流形的整体刚性定理

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3维Anti de Sitter空间中子流形的局部微分几何的开题报告

3维Anti de Sitter空间中子流形的局部微分几何的开题报
告
本文将讨论3维Anti de Sitter（AdS）空间中的子流形以及其局部微分几何性质。

首先，我们将介绍AdS空间的一些基本概念和性质，包括它的度规、曲率以及拓扑性质。

然后，我们将讨论AdS空间中的流形以及子流形的定义和性质，并给出一些例子。

接下来，我们将深入研究AdS空间中的子流形的局部微分几何性质，包括曲率和挠率、测地线以及Geodesic completeness等。

在具体的研究中，我们将从以下几个方面入手：
1. AdS空间的定义和性质：在本文中，我们将讨论3维AdS空间的定义和性质。

这包括它的度规、拓扑性质，以及通过一些几何构造从AdS空间中构造出自然的子流形。

2. 拓扑子流形的分类：我们将分类研究AdS空间中的拓扑子流形，这些子流形
的维数、附加结构以及性质与AdS空间的几何性质有很大联系。

3. 曲率和挠率的研究：我们将讨论AdS空间中子流形的曲率和挠率，并给出一
些反映这些性质的性质，例如曲率张量和挠率张量。

4. Geodesic完备性：我们将研究AdS空间中子流形的Geodesic完备性的问题。

在本文中，我们将考虑AdS空间中常见的子流形，例如超曲面、广义曲面等，以确定
它们是否Geodesic完备。

总之，本文将对3维AdS空间中子流形的局部微分几何性质进行深入研究。

这些结果将在精细地理解3维AdS空间及其应用中发挥重要作用，例如在弦论、广义相对
论以及量子场论等方面的应用。

de sitter空间中具平行中曲率的完备类空子流形

一
致，易知
ｔｏｅ
．
＋１＝０，Ｈ — ｃｎｔｏｓ；
（５１）
（６）１
Ｈ。什一Ｈ井ＨＨ；
维普资讯
数学研究ｔ月ｒ一ｎ；ｔＨ＝０，口≠ ＋１Ｈｒ；（７１）
完备类空子流形
朱业成王丽娟宋卫东
（徽师范大学数学与计算机科学学院，安安徽芜湖２１０）４００
摘要本文推广了文［］１的结论，明了ｄｉｅ空间证ｅｓｔｒｔ（）ｃ中具有平行中曲率的维完备
类空子流形的一个刚性定理．
得了若日Ｃ＝２日。４，— １ｃ ≥ ３则是全脐超曲面， ≤ ，；。＜（２），，Ｑ．Ｍ．ｅｇ３将［］的Ｃｈｎ【２结果推广到ｄｉｅ空间．＋（）中具有平行中曲率向量的完备类空子流形的情形．００年，ｅｓｔｒｔＳ一ｃ；２０
Ｗｏ一ｌ
∑ｈｏ￣ｉ；ｒ
（）５
其中为Ｍ中第二基本形式分量，ｈ一．且．ｏ
Ｇａｓ方程：ｕｓ
Ｒ一ｃ（一） ∑ （ｈ一＾）一ｈ＂；￣ｉｋ的ｊ
Ｒｉｉｃ方程：ｃ
（）６
Ｒ啪一一∑ （一ｈ￣；＾ｏｉ＂）ｔｈ
２预备知识
设Ｍｄｔｒ是ｅｉｅ空间．（）维类空子流形，ｓｔＳｃ中一选择．（）Ｓｃ上的局部伪黎曼幺正标架矿一
场ｅ，ｅ… ＋，使得限制在Ｍ时ｅ，２于ＭＯ， … ＋上，ｅ￣ｅ切ｏｏ，３为其对偶标架场，指标范其

双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性

双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性引言双曲空间是微分几何学中的一个重要概念，它是一种特殊的曲率为负的黎曼流形。

在双曲几何学中，平均曲率是一个重要的概念，描述了曲面弯曲的程度。

而具有平行平均曲率的子流形则是双曲空间中的一种重要特性。

本文将探讨双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性问题。

一、双曲空间和平均曲率双曲空间是一种非欧几何空间，与欧几何空间和椭圆几何空间相对应。

在双曲空间中，直线和角度的概念与我们在欧几何空间中所熟悉的有很大的区别，其中的直线是无限延伸的，而角度的概念也有所不同。

而平均曲率则是描述曲面弯曲程度的重要指标，它是曲面曲率的平均值。

在欧几何空间中，平均曲率为零，而在双曲空间中，平均曲率为负。

二、平行平均曲率子流形的定义在双曲空间中，如果一个子流形的平均曲率是常数,则称这个子流形为具有平行平均曲率的子流形。

具有平行平均曲率的子流形在双曲空间中具有很多重要的性质和应用，因此对它们的研究具有重要的意义。

三、刚性定理在双曲空间中，具有平行平均曲率的子流形具有一定的刚性。

在数学中，刚性通常指的是某种结构或性质具有一定的不变性，即使在进行一定的变化或扭曲时，这种结构或性质仍然会保持不变。

对于具有平行平均曲率的子流形来说，刚性定理可以描述其在双曲空间中的一些基本性质和不变性。

四、刚性定理的证明刚性定理的证明通常是通过微分几何学的方法进行的。

通过对曲面的微分方程和几何性质进行分析，可以得出具有平行平均曲率子流形的刚性性质。

证明过程可能会比较复杂，需要运用大量的数学知识和方法。

但是一旦证明了刚性定理，就可以得出具有平行平均曲率子流形在双曲空间中的一些重要性质和结论。

五、刚性定理的应用具有平行平均曲率子流形的刚性定理不仅仅是一种数学结论，它还可以应用到实际的问题中。

比如在几何光学中，可以利用刚性定理研究双曲空间中的光传播问题；在材料科学中，刚性定理可以用来研究双曲空间中的材料结构和性质等。

刚性定理的应用领域非常广泛，可以帮助人们更好地理解和应用双曲空间中的平行平均曲率子流形。

anti—de Sitter空间中紧致类空超曲面的积分公式及其在常高阶平均曲率下的应用

项正是为了使得平均曲率向量场Ｈ＝日Ⅳ，这样，在一点Ｐ∈Ｍ处Ｈ（ｐ）＞０当且仅当Ｈ（）Ｎ（）向；当ｒ＝２时，ｐ与ｐ同与Ｍ的数量曲率ｓ差一个常数，简单的计算表明相ｓ＝ｎｎ一１（一）当ｒ＝几时，（）１；＝（）ｄｔＡ）这个类空超曲面的Ｇｕｓｏｅｋｒ一１ｅ（是ａｓ— ｎｃｅＫｒ曲率．对于任意一个固定向量。， ∈Ｅ考虑Ｍ上的高度函数（）从。．，（ａ）＝Ｘ＜，）（Ｖ＜，，Ｘ）ａ＝ａ，）ａ）Ｘ ∈Ｃｒ，＝（，，Ｖ（Ｍ），
Ｅ— ａｌｉｈｅｇｈｍｉ：ｚｓｎｕ＠ｙｏｏＣｒ．ｎａｈ．Ｏｃｎ
基金项目：国家自然科学基金（０７０７资助１３１４）
维普资讯
Ｎｏ２．
徐森林等：ａｔｄｉｅ空间中紧致类空超曲面的积分公式ｎｉｅＳｔｒ — ｔ
摘要：该文对ａｔｄｉｅｎｉｅＳｔｒ空间日中的紧致类空超曲面建立了积分公式，并应用它们在 — ｔ＋常高阶平均曲率的条件下讨论了口１中紧致类空超曲面的全脐问题．＋
关键词：ａｔｄｉｅｎｉｅＳｔｒ空间；类空超曲面；高阶平均曲率；积分公式． — ｔ
３３０
熟知，ａｔｄｉｅ空间日是标准的单连通具常截曲率一１的Ｌｒｎｚ空间形式．ｎｉｅｔｒ — Ｓｔ “ ｏｅｔ如果：ｎ一日ｃ日Ｍ＋＋是一个光滑Ｒｅｎｉｍａｎ浸入，则称ｎ维（２连通流形Ｍｎ）为日中的类空超曲面． “ 本文将讨论ａｔｄｉｅ空间中的紧致类空超曲面．ｎｉｅｔｒ — Ｓｔ注意到ａｔｄｉｅ空间中的每个ｎｉｅＳｔｒ — ｔ紧致类空超曲面Ｍｎ都有一个整体类时单位法向量场 Ⅳ，们将 Ⅳ 视作这个浸入的Ｇａｓ我ｕｓ映射，且说的定向由 Ⅳ 决定．霹，Ｍ的ＬｖＣｖａ日＋和ｅｉｉｔ联络分别记作。和．（ｏ，：一Ｘ） — ｉ，由ｖｒ）（和（），＝一１我们有，

德西塔空间量子物理

xi
i R4
,
i 0,1,2,3
Beltrami度规可以写为：
d2 S[ij (x)1R2 ik jlxkxl (x)d ]ix djx R ( 3 )1/2
(x):1R2ijxixj
在此基础上可以讨论德西特时空（或反德西特时
空）下的狭义相对论，以及其他数学和物理特性
。
2020/7/17
5
超微观非对易时空的动量
de Sitter空~5间1% 描述
1947年，Sny~d4e5r%为了克服量子场论中的发散困难，引入了时空量子化概念。为了描述时空量子化，他引入了动量de Sitter空间如下
~3.6%
2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 AA B B
在 4 0 的patch, 同样可以引入~3.B1%eltami能动量坐标：
2020/7/17
2
一，Motivation和de Sitter时空简介
近十多年来，精确宇宙学观测进一步表明，我们的宇宙在加速膨胀，其渐近行为并非平坦的闵可夫斯基时空，很可能趋向于一个正的常曲率的与宇宙常数密切相关的四维de Sitter (dS)时空。这使得对dS时空的性质，对称性以及德西特时空中物理规律的研究引起了极大的兴趣。
p0 a c 0 4, pi a 4 i,i0,1,2,3
这里a是长度的最小单位（长度是量子化的
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在此de Sitter空间，时空坐标算符可以表示为：
xi
ia(4
i
i
4
)
t
ia c
(4
0
0
4
)
这些算符事厄秘算符，坐标算符的本征值为

局部对称伪黎曼流形中2-调和类空子流形的刚性

≤ ｎ，ｎ＋１ ≤ ，，， … ≤ ｒｔ＋Ｐ，几个充分条件。孙弘安等继续研究了伪黎曼空设局部对称伪间型的２．调和类空子流形，给出这类子流形是全测且重复指标在相应指标范围内求和。Ｎ ≤１，在地的一些充分条件。宋卫东等研究了局部对称黎曼流形截面曲率满足０＜６≤ Ｋ
伪黎曼流形中的２调和类空子流形，得出一个Ｊ．
Ｓｉｍｏｎｓ型积分不等式。
上选取局部伪黎曼正交标架场ｅ一，ｅ使得
限制在上，ｅ， …，ｅ是的切标架场，ｅ， …，
最近独力等研究了伪黎曼空间型中的２一调ｅ＋是的法标架场。设 “，帅是所选标架和类空子流形，得出伪脐的２－调和子流形一定是极场的对偶标架场，则上的伪黎曼度量为
ｍａｘｉｍａ１．Ｔｗｏｒｉｇｉｄｉｔｙｔｈｅｏｒｅｍｓｗｅｒｅｔｈｅｎｏｂｔａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓｗｅｒｅｔｈｕｓｉｍｐｒｏｖｅｄ．
Ｕｓｉｎｇｍｏｖｉｎｇ — ｆｒａｍａ，ｉｔｗａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄｓｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｏｒｉｎｃｏｍｐａｃｔｓｔａｔｅａｒｅ

吴济民_反德西特空间

和
( xd
− x−1)
恰好等于
⎛ d−1
⎞
d
∑ ∑ ⎜− xiʹ2 + x0ʹ2 − y2 ⎟ / y 和 l2 / y. 将其代入 ! p, q+1 对应度规 ds2 = dxi2 − dx02 − dx−12 中, 由于
⎝ i=1
⎠
i=1
⎧ ⎪⎪dxi ⎪
=
∂xi ∂xiʹ
dxiʹ
+
∂xi ∂y
i=1
j=1
Ads 时空对应度规号差为 ( p, q), 它在 ! p, q+1 中是一个准球面 (quasi-sphere):
p
q+1
∑ ∑ xi2 − t j2 = −l2,
i=1
j=1
l 是一个表征准球面线度的一个非零常数.
特别地, 当 q = 0 时, Ads 空间化为一个标准双曲空间 (hyperbolic space).
盖 X { } 的子集 Oα1, …Oαn ), 则称 X 为紧致的拓扑空间.
3. 连通性: 若 X 不能表示为两个不相交的非空开子集的并集 , 则称 X 为连通的.
4. 豪斯多夫空间 ( T2 空间): 对于 X 中任意两个不同的点 a 和 b, 必存在包含 x 的开邻域 Oa 和包含 y 的开邻域 Ob, 使得 Oa ∩ Ob = ∅.
⎝ i=1
⎠
∑ ∑ =
l2 y2
⎡ d−1 ⎢ ⎣⎢ i=1
2 xiʹ y
dxiʹdy −
2 x0ʹ y
⎛ d−1 dx0ʹdy + ⎜⎜−
⎝ i=1
xiʹ2 y2
+
x0ʹ2 y2
⎞⎤

双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性

双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性双曲空间中的刚性问题自然地涉及到曲率，以及曲率在子流形上的性质。

本文将介绍一种称为“平行平均曲率子流形”的特殊类型的子流形，在双曲空间中它们具有一些非常特殊的性质，我们称其为“刚性”。

首先，让我们先回顾一些关于双曲空间和曲率的基础知识。

双曲空间是一个具有特殊度量结构的空间，被广泛运用于数学和物理学中。

与欧几里得空间相比，双曲空间具有更多的曲率，这是由于其度量张量中包含了负的部分。

曲率的概念可以被理解为测量空间中弯曲的程度。

在双曲空间中，曲率可以被描述为具有两个方向的张量，称为黎曼张量。

黎曼张量的组合与交错具有强烈的非线性性质，因此它们的分析非常复杂。

然而，它们对于描述双曲空间中的许多性质非常重要，因此现代数学研究中对黎曼张量的分析是一个非常重要的领域。

在曲率的研究中，子流形是一类特殊的曲面，它们在较高维度的空间中是像曲面一样的对象。

在双曲空间中，子流形的研究是由轮廓函数引入的。

轮廓函数是一种描述双曲空间中某个点附近的曲率的函数，它包含了一些特定方向的平均值。

具有相同轮廓函数的子流形被称为具有相同“平均曲率”。

现在我们来考虑一个更为特殊的情况，即“平行平均曲率子流形”。

这些子流形在双曲空间中具有特殊的性质。

具体来说，平行平均曲率子流形具有如下性质：1. 平行平均曲率子流形的轮廓函数具有一个非常特殊的对称性——如果一个子流形具有给定的轮廓函数，那么它一定也具有一个完全相同的轮廓函数，只是在另一个给定方向上。

2. 当子流形的开始方向或结束方向是纵向时，平均曲率为0。

3. 平行平均曲率子流形在某种程度上是“最小的”。

也就是说，在给定一定的平均曲率限制下，其面积是最小的。

这些性质引发了许多对平行平均曲率子流形的研究。

例如，研究这些曲面如何展开成平面，或者如何嵌入到高维空间中。

这些问题假设有一定的平均曲率约束，因此只有很少的子流形可以满足这些要求。

在特殊情况下，我们可以得到一个很好的刚性定理：“在给定了一个平均曲率约束后，只有有限个曲面能够满足这个约束”。

《杭州师范学院学报》(自然科学版)2007年第6卷总目次

Ｌｐａｅ子谱函数的表达式ａｌ算ｃ二维六边形晶格光子晶体的带隙研究
曹小华，汪冬燕，庄飞（）２
类二阶三点边值问题的特征值的逼近（）续
张晓萍，永平（）孙２有名辉，志康（）卢２金怡，爱晖（）余２
ｄｉｅ空间中类空子流形的整体刚性定理ｅＳｔｒｔ
陆明，开仁（）蔡３
三角形拉普拉斯算子谱分析（ Ⅲ）二维椭圆柱长方晶格光子晶体带隙特性研究
邱为钢（）３
叶军，庄飞（）３
王家军，香云（）张２杨浩波（）３
陈遒，方明（）刘１
３（－基一，，一唑基一一）５芳基一，一氢吡唑啉一２苯１２３三４基一－４４二
圆周码的拟复合性及其完全化
Ｏ（的幂等元中心化子的格林关系ｘ）
王斌，秀良，杨陈燕（）４
铜（一 Ⅱ）甲基咪唑配合物的合成、构表征及其在ＡＴＰ结Ｒ中的催化活性李文清，陈利民，郑芳（）１徐峰，方明，刘徐瑜，（）等１
陈军民，谷峰（）６
类新的压缩映象的公共不动点定理陆明，加佳（）马６
何颖俞（）６
一
子流形上点边值问题中的应用ｒｅ
美式期权的二叉树与三叉树定价模型收敛速度比较Ｆｊｒ对型单调函数的逼近ｅ和６

一般伪黎曼空间中的极大类空子流形

第38卷第6期西南师范大学学报(自然科学版)2013年6月V o l.38N o.6J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J u n.2013文章编号:10005471(2013)06003005一般伪黎曼空间中的极大类空子流形①杨慧章,龙瑶,李薇红河学院数学学院,云南蒙自661100摘要:通过计算R i c c i张量长度平方的拉普拉斯算子,得到了伪黎曼流形上的一个S i m o n s型积分不等式,运用该不等式推广了已有的相关结果.关键词:伪黎曼流形;拉普拉斯算子;R i c c i张量中图分类号:O186.13文献标志码:A设N n+p(c)(c>0)是n+p维具有常截曲率c的黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p中的n维子流形.用S表示M n的第二基本形式模长的平方,H表示M n的平均曲率.Aα为关于法向量eα的第二基本形式,Rβγ为关于法向量eβ和eγ的法曲率,Q为R i c c i张量.文献[1]研究了黎曼流形中的极小子流形,得到了S i m o n s 型积分不等式:定理A[1]若M n为N n+p(c)(c>0)的紧致极小子流形,则有ʏ2ðα,β(n c-Sα) AαAβ 2-2ðα,β,γ RβγAα 2-ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.设N n+p p是指标为p的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p中的n维黎曼流形,即N n+p p的类空子流形.若H=0,则称M n是极大的.本文运用文献[1]的方法,将积分不等式推广到伪黎曼流形,得到了如下推广的S i m o n s型不等式:定理1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0(1)其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.若伪黎曼流形的曲率张量满足ði R i j k l,i=0,则称该伪黎曼流形具有调和曲率张量,继而得到R i c c i曲率是C o d a z z i张量,即R i j,k=R i k,j.显然,M n具有调和曲率张量这一条件比R i c c i曲率平行这一条件弱.由定理1得到下面的推论:推论1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα 2+ ∇Q[]2d Vɤ0(2)其中等号成立当且仅当p=1时,M n具有调和曲率张量;pȡ2时,hγm i㊃hαi j l=0.当N n+p p为常曲率伪黎曼流形时,文献[2]证得:定理B[2]设N n+p p(c)是截面曲率为常数c(cȡ0)的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p(c)①收稿日期:20111112Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:国家自然科学基金(11161020);云南省教育厅科研基金(2012C199);红河学院科研基金一般项目(10X J Y121).作者简介:杨慧章(1982),女,云南昆明人,讲师,主要从事微分几何的研究.的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则M n 是全测地的.定理C [2] 设N n +p p (-c )是截面曲率为常数-c (c >0)的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (-c )的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则0ɤS ɤnp c .定义N 为N =2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α 2(3)其中㊃为模,N 与标架的选取无关.将定理B ㊁定理C 进行推广,可得到:定理2 设N n +p p (c )是截面曲率为常数c 的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )的n 维紧致极大类空子流形.若N =0,则(i )当c ȡ0时,M n 是全测地的;(i i )当c <0时,若0ɤS <-n pc ,则M n 是全测地的.定理3 设N n +11(c )是截面曲率为常数c 的n +1维伪黎曼流形,M n 为N n +11(c )中的R i c c i 曲率平行的紧致极大类空超曲面,则有(i)M n 为全测地的;(i i )M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中M r 1,M n -r 2分别为r ,n -r 维常曲率流形,c 1=n r c ,c 2=n n -rc .定理4 设M n 是de S i t t e r 空间S n +11(c )中具有调和黎曼曲率张量的紧致极大类空超曲面,则M n 是全测地的.1 预备知识设N n +p p (c )为具有常数截曲率c 的n +p 维连通伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )中的n 维黎曼流形,选取N n +p p上的局部正交标架场{e A },使得限制在M n 上,{e i }与M n 相切.{e α}为M n 上的法向量场,{ωA }为{e A }的对偶标架场,其中A 是满足1ɤA ɤn +p 的自然数,则N n +p p上的度量为d s 2=ðAεA ω2A =ðni =1ω2i-ðn +pα=n +1ω2α.于是Nn +pp(c)上的结构方程为:d ωA =ðBεB ωA B ɡωB ωA B +ωB A =0(4)d ωA B =ðC εC ωA C ɡωC B -12ðC ,DK A B C D ωC ɡωD (5)K A B C D =c εA εB (δA C δB D -δA D δB C )(6)其中A ,B ,C ,D 是1到n +p 之间的自然数.限制在M n 上有ωα=0 ωαi =ðjh αi j ωj h αi j =h αji (7)d ωi =ðjωi j ɡωj ωi j +ωji =0(8)d ωi j =ðkωi k ɡωk j -12ðk ,lR i jk l ωk ɡωl (9)R i j k l =c (δi k δj l -δi l δj k )-ðα(h αi k h αj l -h αi l h αjk )(10)还有d ωα=ðβωαβɡωβ ωαβ+ωβα=0(11)d ωαβ=ðγωαγɡωγβ-12ði ,jR αβi j ωi ɡωj (12)R αβi j =ðl (h αi l h βj l -h αj l h βi l )(13)其中R i j k l ,R αβi j ,K A B C D 分别是M n 的曲率张量㊁法曲率张量和N 的曲率张量.h =ðαh αe α=ðα,i ,jh αi j ωi췍ωj 췍13第6期杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.e α是M n 的第二基本形式,记M n 的第二基本形式h 的模长平方为S ,则S = h 2=ðα,i ,j(h αi j )2.用h αi j k 和h αi j k l 分别表示h αi j 的一阶和二阶共变导数的分量,则ðkhαi jk ωk =d h αi j -ðkh αj k ωk i -ðkh αi k ωk j +ðβh βi jωβα(14)则M n的C o d a z z i 方程和R i c c i 恒等式分别为h αi j k -h αi k j =0(15)h αi j k l -h αi j l k =ðmh αi m R m j k l +ðmh αj m R m i k l +ðβh βi j R αβk l (16)M n的R i c c i 曲率张量为R i j =ðkR i k j k =(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk (17)其中H α=1n ðni =1h αi i 是Mn的平均曲率的分量.定义R i c c i 曲率张量的共变微分为R i j l ωl=d R i j -R m j ωm i -R i m ωm j(18)如果对任意i ,j ,k 都有R i j k =0,则称M n的R i c c i 曲率是平行的.由(14),(15)式得Δh αi j =ðkh αkk i j +ðk ,m(h αm i R m k j k +h αm k R m i j k )+ðβ,k h βk i R αβj k =n H αi j -n c H αδi j -ðn H βh αi m h βm j -ð2h αk m h βk i h βm j +ðh αk m h βm k h βi j +ðh αi mhβm k h βk j+ðh αj m h βk i h βk m +n c h αi j(19)由(16)式及M n 的极大性,有ΔR i j =Δ[(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk ]=-n h αi j ΔH α-2n H αk h αi j k -n Δh αi j H α+h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl (20)2 定理的证明定理1的证明由于M n 为N n +p p中的极大类空子流形,由(18),(19)式及M n 的极大性得12ΔR 2i j =R 2i j ,k +R i j ΔR i j =R 2i j ,k +[(n -1)c δi j +h γi n h γn j ](h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl )=R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c h γi n h γn j h αi l h αj l -4h γi n h γn j h αi l h αk m h βk jh βm l +2h γi n h γn j h αi l h αk m h βm k h βj l +2h γi n h γn j h αi l h αj m h βm k h βk l +2h γi n h γn j h αi l h αl m h βk j h βk m +2h γi n h γn j h αi l k h αj l k =R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c t r (A αA αA γA γ)+2h γi n h γn j h αi l k h αjl k +2t r (A γA γA αA β)t r (A αA β)+2t r [(A αA α)(A βA γ-A γA β)(A γA β-A βA γ)]+t r [(A αA βA β-A βA βA α)(A γA γA α-A αA γA γ)](21)令S αβ=ði ,j(h i j αh i j β)=t r (A αA β),则S αβ是p ˑp 对称矩阵.因此,可以选取适当的{e α}使其对角化,即对任意α,β,有S αβ=S αδαβ,那么一定有S =ðαS α.令S αβ为M n 关于法向量{e α}和{e β}的法曲率,Q 为R i c c i 张量,则(21)式可化为12ΔR 2i j =R 2i j ,k +(n -1)c Δ(h αi l )2+2(h γi n h αi l k )(h γn j h αjl k )+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA 2Q -QA α2+2ðα,β(n c +S α)A αA β(22)由M n的紧致性和极大性,对(22)式两边作积分,有2ðα,β(n c +S α) A αA β2+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α []2d V ɤ023西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中等号成立当且仅当p =1时,R i j ,l =0;p ȡ2时,对任意的α,γ,有h γm i ㊃h αi jl =0.推论1的证明若M n 为具有调和曲率的极大类空子流形,则R i j k -R i k j =ðm ,α(h αi m j h αk m -h αi m k h αjm )=0(23)由C o d a z z i 方程ðm ,α(h αi jm h αm k -h αi k m h αm j )=0(24)轮换指标,得到ðm ,α(h αjk m h αm i -h αji m h αm k )=0(25)再一次轮换指标得ðm ,α(h αk i mh αm j -h αk jm h αm i )=0(26)由式(24),(25),(26),得到ðm ,αh αm ih αm j k =0,结合定理1得到了推论1的结果.若M n的法丛平坦,即法曲率R αβ=0,又因M n 是极大的类空子流形,所以由(1)式有N =0;反之不成立.所以条件N =0弱于法丛平坦.定理2的证明当N =0时,若对c >0,或者对c <0且0ɤS <-n pc ,有ðαβ(n c +S α) A αA β2ȡ0由(1)式,得到S =0.所以M n 是全测地的.为了证明定理3,我们需要用到下面的引理:引理1 设M n 是N n +11中的紧致极大类空超曲面,则(1)当c ȡ0时,M n 是全测地的;(2)当c <0时,若S =-n c ,则M n 局部等距于黎曼直积M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中c 1,c 2为常数.证由(9)和(19)式及M n 的极大性,得12ΔS =ði ,j ,k h 2i j k +ði ,jh i j Δh i j =ði ,j ,k h 2i j k +n ði ,jh i j H i j +ði ,j ,k ,m h i j h im Rm k jk +ði ,j ,k ,m h i j hkm R m i jk =ði ,j ,k h2i jk +S (S +n c )(27)由M n 的紧致性,对(27)式两边积分,有ʏði ,j ,k [h 2i jk +S (S +n c )]d V =0.当c ȡ0时,有ʏS (S +n c )d V =0,因此S =0,即M n 是全测地的;当c <0时,由M n 的紧致性及S =-n c 知h i j k =0,即M n 的第二基本形式平行.借鉴文献[3]的方法,选取适当的局部标架,使得h i j =0(i ʂj ),因此h i jk =0,在(13)式中令下标i =j ,得到0=ðkh i i k ωk =d h i -2ðkh ik ωk j =d h i 从而h i 为常数.由(13)式有0=ðkh i k ωk j -ðkh j k ωk i =(h i -h j )ωi j当h i ʂh j 时,ωi j =0,由(8)式知0=d ωi j =ðkωi k ɡωk j +ðk ,lh i k h j l ωk ɡωl -c ωi ɡωj =(h i h j -c )ωi ɡωj即当h i ʂh j 时,h i h j -c =0.令h 1= =h r =λ,且λʂh j ,r +1ɤj ɤn .由于M n 不是全测地的,且ðih i =n H =0,所以有h r +1= =h n =c λ=μ.考虑两个分布ω1= =ωr =0和ωr +1= =ωn=0,由ωi j =0(i ʂj )及(7)式和F r o b e n i u s 33第6期杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.43西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷定理知,这两个分布是可积的,M n局部上分解成黎曼积M1ˑM2.由h i h j-c=0及0=ði h i i=rλ+(n-r)μS=ði h2i i=rλ2+(n-r)μ2=-n c,μ2=-r n-r c.那么M r1(c1)和M n-r2(c2)的截曲率分别为c1=n r c和c2=n n-r c.所以得到λ2=-n-rr cM n局部等距于黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理3的证明若M n的R i c c i曲率平行,即R i j,l=0,由(1)式有(n c+S)t r(A A A A)=0.显然,若c>0,则S=0;若c<0,则有S=0或S=-n c.当S=-n c时,由引理1知,M n局部等距于两个常曲率空间的黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理4的证明由于M n具有调和的黎曼曲率,由(2)式有ʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0(28)而d eS i t t e r空间S n+11(c)的截曲率c>0,由(28)式显然有0ɤʏ(n c+S)S2d Vɤʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0所以ʏ(n c+S)S2d V=0,故有S=0,即M n是全测地的.参考文献:[1]陈六新,郭震,李同柱.一个新的S i m o n s型不等式[J].西南师范大学学报:自然科学版,2003,28(4):533-535.[2]I S H I HA R A T.M a x i m a l S p a c e-L i k eS u b m a n i f o l d so f aP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eo fC o n s t a n tC u r v a t u r e[J].M i c h i g a nM a t hJ,1988,35(3):345-352.[3] C H E R NSS,D OC M,K O B A Y A S H I S.M i n i m a l S u b m a n i f o l d s o f a S p h e r ew i t hS e c o n dF u n d a m e n t a l F o r mo f C o n s t a n tL e n g t h[M].B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1970:59-75.[4]夏云伟,纪楠.空间形式中具有调和黎曼曲率的超曲面的刚性[J].西南大学学报:自然科学版,2007,29(6):40-42.[5]沈学文.D e S i t t e r空间中的类空子流形的整体拼挤定理[J].西南师范大学学报:自然科学版,2004,29(2):186-188.O n M a x i m a l S p a c e-L i k e S u b m a n i f o l d s i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eY A N G H u i-z h a n g, L O N G Y a o, L I W e iC o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,H o n g h eU n i v e r s i t y,M e n g z i Y u n n a n661100,C h i n aA b s t r a c t:B y c a l c u l a t i n g t h eL a p l a c i a no f t h e s q u a r eo f t h e l e n g t ho fR i c c i t e n s o r,an e wS i m o n s i n t e g r a l i n e q u a l i t y i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l dh a s b e e no b t a i n e d a n d s o m e r e l a t e d r e s u l t s g e n e r a l i z e d. K e y w o r d s:P s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l d;L a p l a c i a n;R i c c i t e n s o r责任编辑廖坤Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

德萨格定理在初等几何中的应用

目录摘要 (2)Abstract . (2)一.德萨格(Desargues)定理及其证明 (3)二.德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用 (9)(一).德萨格(Desargues)逆定理在证明共点问题上的应用 (9)(二).德萨格(Desargues)定理在证明共线问题上的应用 (11)(三)德萨格(Desargues)定理在求轨迹问题上的应用 (14)(四)德萨格(Desargues)定理在作图方面的应用 (15)(五)德萨格(Desargues)定理在设计中学几何命题方面的应用 (15)三.总结 (16)参考文献 (18)致谢 (19)德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用摘要：德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。

德萨格定理主要研究的是三点共线或者三线共点的问题，而这个是初等几何中经常碰到的一类问题。

用德萨格定理去解决此类问题及其派生出来的一系列相关问题，相对于初等的方法而言过程极其简便。

因此，德萨格定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。

并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。

高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。

由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。

关键字：德萨格定理；高等几何；初等几；射影几何；指导性意义The application of Desargues theorem in primary geometryAbstract：Desargues theorem plays an important role in the foundation of projective geometry, then projective geometry is the major part of higher geometry, so Desargues theorem is also one of the basic propositions in higher geometry. Desargues theorem mainly investigates the problems about a total of three lines or three lines total points which are often seen in primary geometry. Comparing with primary methods, that using Desargues theorem to solve this kind of questions and some other related problems can make the process extremely simple. Therefore, Desargues theorem can be applied in many ways in primary geometry. It is also to show that some fundamental applications of higher geometry in primary geometry and to reject the view that higher geometry has nothing to do with primary geometry. The higher geometry is able to help us to study and realize the primary geometry better. Thus it points out the guidance of higher geometry in primary geometry.Keywords：Desargues theorem；higher geometry；primary geometry；projective geometry guidance射影几何是高等几何中的主要组成部分，而德萨格(Desargues)定理则是射影几何中的基础定理之一，在射影几何中占有不可或缺的地位。

de Sitter空间中具有平行中曲率的完备类空子流形的注记

ｖｔｒＣｉ．ｎ．ｆｔ．１９，９３：６—８．ｅｏ．ｈｎＡｎｏＭａ，９８１（）３９３０ｈ
ＡｅｒｎｔｅＰｐｒ‘ ｍｐｅｅＳａｅｌｅＳｂｎｆｌｓｉｒｍａｋｏｈａｅ＇Ｃｏｌｔｐｃ－ｋｕｍａｉｄｉｏｎｄｉｅｐｃｔａａｌｄＭｅｎＣｕｖｔｒｅｔｒｅＳｔｒＳａｅｗｉｈＰｒｌａｒａｕｅＶｃｏ” ｔｅ
ＺｈｅｎｇＹｕａｎ
（ｃｏｌｆｔｅａｉｌｃｎｅＨｎｚｏｏｍｌｎｅｉ，ｈｊｎａｇｈｕ１１）ＳｈｏｏｈｍｔａＳｉｃ，ａｇｈｕＮｒａＵｉｒｔＺｅａｇＨｎｚｏ０８Ｍａｃｅｖｓｙｉ３０
郑媛
（杭州师学数范大学系，浙江杭州３０８１１０）
摘要
本文纠正了论文ｄｉｅ空间中具有平行中曲率的完备类空子流形” ｅＳｔｒｔ证明中的一些失误，证明了ｄｅ
Ｓｔｅ空间中具有平行中曲率的ｎ维完备类空子流形的—个刚性定理．ｉｒｔ关键词ｄｉｅ空间ｊ完备类空子流形；平行中曲率；全脐子流形ｅＳｔｒｔ
ＡｂｓｒｃＩｈｓｎｔ，ｏｒｃｏｒｏｓｉｈｅａｉｅａｅ “ＣｏｌｔｐｃｉｅＳｂｎｆｌｓｔａｔｎｔｉｏｅｗｅｃｒｅｔｓｍｅｅｒｒｔｅｒｌｔｖｐｒｎｐｍｐｅｅＳａ￣ｌｕｍａｉｄｋｏｉｅＳｔｅｐｃｔａａｌｄＭｅｎＣｕｖｔｒｃｏｎｄｉｒＳａｅｗｉｈＰｒｌａｒａｕｅＶｅｔｒ” ａｄｏｔｉｉｉｉｈｏｅｏｏｐｅｅｔｅｎｂａｎａｒｇｄｔｔｅｒｍｎｃｍｌｔｙｓａｅｌｅｓｂａｉｌｓｗｉｈｐｒＵｄｍｅｎｃｒｔ６ｖｃｏｅＳｔｅｐｃ・ｐｃ－ｉｕｍｎｆｄｔａａｅａｕｖｕｅｔｒｉｄｉｔｒｓａｅｋｏａｒｎ

De Sitter 空间中的极大类空子流形

收稿日期：０７－３— １２００２
基金项目：宁夏大学青年教师科研启动项目（Ｎ５２；Ｑ００）宁夏大学数学与计算机学院青年基金资助项
目（４７．００）
作者简介：胡有婧（９８，，１７一）女宁夏海原人，硕士，讲师，究方向：分几何．研微
ａｎｄｉｉｅｐｃｒｉｅｎＤｅＳｔｒｓａｅ．ｔＫｅｒｓｙｗｏｄ：Ｄｉｅｐｃ；Ｓａｅ—ｌｅｓｂｎｆｌｅＳｔｒｓａｅｐｃｔｉｕｍａｉｄ；Ｔｔｌｅｄｓｃｋｏｏａｌｇｏｅｉｙ
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第２卷第３８期
胡有婧：ｅｉｒＤＲ空间中的极大类空子流形Ｓｅ
Ｒｏｏ一ｎｃ
，
２５
则是
（）ｃ的全测地子流形．
１ｅＳｔｒ间中的子流形Ｄｉｅ空ｔ
约定
１三，，，三；＋１三卢，，，三＋ｌ三Ｂ， … ，三Ｉｐ：三ｋ … ：，，：ａ，ｙ … ：，ｐ；＝Ａ，Ｃ，：，＋．三ＩＩ三三Ｉ三三
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第２８卷第３期
Ｎｏ３Ｖｏ．８．１２
宁夏师范学院学报（自然学）
ＪｕｎｌｆｉｇｉｅｃｅｓＵｉｒｔＮｔｒｃｅｃ）ｏｒａｏｎｘａＴａｈｒｎｖｃｙ（ａｕａＳｉｎｅＮｅｉｌ
ｌｅｓｂａｉｌｓｉｅＳｔｒｐｃ．（），ｎｅｉｅｕｌｉｓｂｕｅｓｃｏａｃｒａｒａｅｏ・ｉｕｍｎｆｄｎＤｉｅａｅｓＣａｄｔｑａｉｅｏｔｔｎｌｕｔｅｒｂｋｏＭ“ ｔｓ。ｎｈｎｔａｈｔｅｉｖｕ

de Sitter空间中具有共形第二基本形式的类空子流形

设Ｍ是ｄｉｅ空间ｓ（）的一个浸入子流形，入为： — ｓ（）记的第二基本形式为ｅｓｔｒｔｆ上浸Ｍｆ．
Ｂ，行中曲率向量为Ｈ，果Ｈ关于相应的法联络是平行的，称有平行中曲率．别的，平如则特如果Ｈ恒为
场，ｇ成比例，ｊ称为是全脐的．Ｂ和则５特别的，如果Ｂ恒等于零，ｊ称为是全测地的．则５
．
设声（，一（（）是等距浸入，声Ｍ）的法向量场．在方向上的形状算子为Ａ，：Ｍｇ）ｓｆ，）是（记即
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第６卷第５期２００７年９月
杭州师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆａｇｈｕＴａｈｒｏｌｅＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏｊｏｒａｏｎｚｏｅｃｅｓＣｌｇ（ａｕａｉｃｄｔｎＨｅＳｅｉ
收稿日期：０７０ — ５２０ — ５２
作者简介：陆
明（９２）男，江杭州人，础数学硕士研究生，要从事微分几何研究；开仁（９２）男，苏苏州人，授，１８一，浙基主蔡１４－，江教主
摘
要：以调和态射看作等距浸入的单位法投影问题为背景，究ｄｉｅ空间中具有共形第二基本形式研ｅＳｔｒｔ
的类空子流形，出这类空间中具有奇数维子流形的一个完全分类，而推广有关作者的结论．给从关键词：ｅｉｅ空间；空子流形；ｄｔｒＳｔ类共形第二基本形式中图分类号：８０１６ＭＳ２０：３４Ｃ００５Ｃ０文献标志码：Ａ

紧致类空子流形Schrodinger算子的第一特征值

αi
α ,i, j
hiαj
的一
阶
和
二
阶
协变导
数
分
量
分别为源自hα ijk和hα ijkl
袁且
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ hα ijk
ωk
= dhiαj
+
hαjkωki +
hiαk ωkj −
hiβj ωβα ,
hiαjkmωm
k
k
k
β
m
∑ ∑ ∑ ∑ = dhiαjk +
hα mjk
ωmi
+
hα imk
ωmj
+
hiαjmωmk −
hβ ijk
ωβα
遥
m
m
m
β
Codazzi 方程和 Ricci 恒等式分别为
hα ijk
=
hα ikj
=
hα jik
,
渊4冤
∑ ∑ ∑ hα ijkl
−
hα ijlk
=
hmαi Rmjkl +
j
∑ ∑ 程 dωi = ωij ∧ ω j ,ωij ∧ ω ji 和 dωij = ωik ∧ ωkj −
j
k
∑ 1
2
k ,l
Rijklωk
∧ ωl 遥
设 Rijkl 尧Rik 尧 Rαβij和 R 分别表示 M n 的曲率张量分
量尧Ricci 曲率张量分量尧法曲率张量分量和标准数量
曲率袁则有
算子
LH
=
−Δ + |Φ |2 P
− n(c
−
H2)
和
LR
=
−
+

de sitter空间中的类空子流形的整体拼挤定理

de sitter空间中的类空子流形的整体拼挤定理
类空子流形的整体拼挤定理是研究高维的类空子流形的相关结果，它指出当类空子流
形的空间中每一个点有一定数量的哈密顿空间时，这些空间的总体结构是由一种被称为拼
挤的关联结构控制的。

类空子流形整体拼挤定理的基本概念是，给定类空子流形的任意n
维空间中的点，如果该空间中每个点都有足够数量的哈密顿空间，那么它们将拥有一种可
以被描述为拼挤结构的关联结构。

拼挤的意思是，每个点的哈密顿空间的数量将大于由t表示的拼挤参数，其中t指定
了拼挤的精度，同时该参数由要讨论的类空子流形的维数来决定。

当t> 0时，它就代表
了拼挤结构，而当t<0时，则不存在拼挤结构。

所以，如果在类空子流形的n维空间中，每个点都独立地具有一定数量的哈密顿空间，这样就会形成一个具有大量关联结构的拼挤结构。

当t> 0时，这个结构被认为是狭义的，仅有一维以上的狭义拼挤结构存在，而当t<0时，这个结构被认为是宽义的，表示多维的
宽义拼挤结构存在。

类空子流形总体拼挤定理的目的主要是对高维类空子流形的结构及其特点作出描述，
使用拼挤结构作为其中一种可能的描述，这样就可以更好地研究类空子流形了。

在哈密顿
空间中，由两个或多个空间组成的类空子流形可以通过拼挤结构表示，从而可以得出更多
有关其结构的结论。

在实际应用中，这项理论也可以用来帮助人们研究高维空间中存在的
复杂关联结构。

de sitter空间中的紧致极大类时子流形

de sitter空间中的紧致极大类时子流形
在de Sitter空间中，紧致极大类的子流形是一类具有不变性的
几何物体，它们可以在受到外力作用时保持其形状和结构。

它们通常由平行四面体或其他更复杂的几何形状组成，并具有较强的稳定性。

紧致极大类子流形在很多物理实验中已经有了重要应用。

例如，它们可以用来模拟物体在引力场中的运动，可以用来模拟磁场的分布，也可以用来模拟不同的能量场的变化。

此外，它们也有可能用于传输信号、建立计算机模型等方面。

de Sitter空间中具有共形第二基本形式的类空子流形

de Sitter空间中具有共形第二基本形式的类空子流形
陆明;蔡开仁
【期刊名称】《杭州师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(006)005
【摘要】以调和态射看作等距浸入的单位法投影问题为背景,研究de Sitter空间中具有共形第二基本形式的类空子流形,给出这类空间中具有奇数维子流形的一个完全分类,从而推广有关作者的结论.
【总页数】4页(P333-336)
【作者】陆明;蔡开仁
【作者单位】杭州师范大学,理学院,浙江,杭州,310036;杭州师范大学,理学院,浙江,杭州,310036
【正文语种】中文
【中图分类】O186
【相关文献】
1.de Sitter空间中具有常数量曲率的紧致类空子流形 [J], 梁民安;曹娟娟
2.de Sitter空间中具有常数量曲率的完备类空子流形 [J], 刘建成;张燕朋
3.de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的完备类空子流形 [J], 刘建成;方慧颖
4.de Sitter空间中具有正截曲率的完备类空子流形 [J], 张燕朋
5.de Sitter空间中具有常数量曲率的完备类空子流形 [J], 刘建成;张德燕
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ＶｏＩ６Ｎｏ３＿．
Ｍａ０ｙ２０７
文章编号：０８４３２０）３１４５１０～９０（０７０ —０６ —０
ｄｉｅｅＳｔｒ空间中类空子流形的整体刚性定理ｔ
陆明，开仁蔡
（卅师范大学理学院．江杭州３０３）杭ｆ浙１０６
ｖｌ分别表示Ｍ的平均曲率和体积，当Ｈ。ｃ，在仅与，和ｖｌ及等周常数有关的正常数ｏＭ则＜时存ＨｏＭ
Ａ，得当ｌｌｌ使ｌｌｌ导＜Ａ时，ｌｌ０成立，Ｍ是全脐子流形．一即
定理２设Ｍ是ｄｉｅ空间ｓ＇ｃ（２中具有平行平均曲率维紧致类空子流形，ｅｔｒＳｔ７（）＞）Ｈ是Ｍ的
，ｒ、
其中Ｓ为Ｍ的第二基本形式模长平方，Ｈ是Ｍ的平均曲以ｌ一（ｆ）率．ｌ厂１表示Ｍ上具有紧致支
、ＪＭ
集的函数厂的Ｌ模．此将证明如下在定理１设Ｍ是ｄｉｅ空间ｓ（）＞２ｅＳｔｒｔｃ（）中具有平行平均曲率的维紧致类空子流形，和Ｈ
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第６卷第３期２００７年５月
杭州师范学院学报（自然科学版）
ＪｇｌｆａｇｈｕＴａｈｒｏｌｅａｕａｃｅｃｄｔｎｏｍａｏｎｚｏｅｃｅｓＣｌｇｆｔｒｌｉｎｅＥｉ）ＨｅＮＳｉｏ
是很多．在此将利用Ｓｂｌｖ不等式和梯度估计的方法，ｏｏｅ研究紧致和完备非紧的具有平行平均曲率向量的
类空子流形的刚性性质．
选取Ｓ（）中的一个局部正交标架场｛，，，其限制在Ｍ上时，ｅ，，，）Ｍ的切ｃｅ， … ｅ）使卅｛ｅ … ｅ是向量场．对于法向量ｅ，。＋１ ≤ ≤ ＋Ｐ，定义线性映射（）一＜ｅ）．ｚ，一Ａ（，中是第二基本形Ｘ）其
摘要：究ｄｉｅ研ｅＳｔｒ空间中具有平行平均曲率的类空子流形，关于子流形的第二基本量的整体ｔ在Ｐｎｈｎ条件下，用Ｓｂｌｖ等式和梯度估计的方法，明类空子流形为全脐的几个刚性定理．ｉｉｃｇ利ｏｏｅ不证关键词：ｅｉｅ空间；空子流形；脐；ｏｏｅ不等式ｄｔｒＳｔ类全Ｓｂｌｖ
定理３设Ｍ是ｄｉｅ空间Ｓ（）ｆ０ｅＳｔｒｔｃ（＜）中具有平行平均曲率的单连通完备类空子流形，是Ｈ
Ｍ的平均曲率，的截面曲率小于负常数～Ｋ，Ｍ
Ｋ＞、／／Ｈｓｐ｝ｕ（一）（一） ‘ １１
中图分类号：Ｏ１６８ＭＳ００：５Ｃ４Ｃ２０３０文献标志码：Ａ
０引
一
言
个ｄｉｅ空间ｓ（）ｅｔｒＳｔｃ是一个具有常数截面曲率ｃ的指数为Ｐ的＋Ｐ维连通的完备伪黎曼流形，
对于ｓ＇ｃｔ（）中的类空子流形的刚性性质已有许多研究，在整体Ｐｎｈｎ件下的刚性性质研究不但ｉｃｉｇ条
１
式，ＰＡ是的Ｗｅｇｒｅｉａｔｎ变换．，＝设ｚ
ｎ
（ｒ是Ｍ的平均曲率向量，量定义为（）一ｔＡ）张ｚ，
＜（）ｙｅ．ｚ，）它是一个与浸入的第二基本形式有关的迹为零的对称二阶张量．易见ｆｆＳ一Ｈ一，
平均曲率，Ｈ＜ｃ且若，
ｌｌｌｌｌｌ寻＜Ｂ・（ｏＭ）ｖｌ言，
收稿日期：０７０ — ５２０１１
作者简介：陆

明（９２）男，江杭州人，础数学硕士研究生．要从事微分几何研究；开仁（９２）男，苏苏州人，授，１８一，浙基主蔡１４一，江教硕
Ｂ（ｒｐ，）表示以Ｐ点为中心，为半径的测地球，Ｉ｝０即Ｍ是全脐子流形．ｒ则一，
１预备知识
Ｉ一
（一）
１
，＞ｆＨ，
且对于Ｐ∈ Ｍ，
．
１４ｉＰ７ａｒ… ｊ
其中
Ｄ一１（
．Ｉ一０ｚＩ，
４
一
１ｚ一／）Ｋ、／
ＨｓｐＩＩｕ＋（ — Ｈｚｆ）＞０，
ｎｎ一１（）
士，要从事微分几何研究．主
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第３期
其中
陆
明，：ｅＳｔｒ间中类空子流形的整体刚性定理等ｄｉｅ空ｔ
１５６
Ｂ：ｍｉ
ｒ｛
，
ｃｎ（）是一个仅与ｎ有关的常数，Ｉｌ０即Ｍ是全脐子流形．则一，