北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 集体备课封面
数学九年级北师大版 2.1 认识一元二次方程 (共13张PPT)
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么教室中间铺设地毯
的长为（8－2x）m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方程：
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
8
x
x 数学
（8－2x）
x
化5
1
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
温馨提醒
• 一元二次方程必须具备:1.只含有一个未知 数；2.未知数的最高次数是2；3.整式方程. （解题时特别注意一般式中的a≠０.）
培养能力之阵地
2.把方程(3x＋2)2＝4x化成一元二次方程的一般形式,并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4x 9x2＋12x＋4-4x=0 9x2+8x＋4=0
二次项系数为9，一次项系数为8 ，常数项为4 .
我的 收获
回味无穷
• 本节课你学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的
☞ 小试牛刀
1.下列方程哪些是一元二次方 程?如果是，你能说说各项系数 吗？
(1) 7x2－6x＝0
(2) 2x2－5xy＋6y＝0
(3) 2x2－－31x －1 ＝0 (4) 5x2 ＋6 ＝ 0 (5) x2＋2x－3＝1＋x2 (6) ax２＋bx＋c＝０ (7)2x－3＝6x
解: (1)、 (4)
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》优质课课件(13p)
怎么样,你还敢挑战吗? 你能总结出估算的方法步骤和提高估算的能力吗?
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？
解：如果设梯子底端 滑动x m，根据题意得
72+(x+6)2=102 即 x2+12x-15=0
由此看出,可以使2t2-t-2的值来自0的t的范围是 1.2<t<1.3.故可知运动员完成规定动作最多有1.3s.
下课了!
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想.
• 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
即 x2 ＋ 2x－120 ＝0.
根据题意,x的取值范围大致是0<x<11.
完成下表(在0<x<11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x
… 8 9 10 11 …
X2+2x-120
… -40 -21 0 23 …
由此看出,可以使x2+2x-120的值为0的x=10.故可知 宽为10m,长为12m.
2.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动 员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水 姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和 运动员距水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t-5t2.那么他最多 有多长时间完成规定动作？
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/222021/7/22Thur sday, July 22, 2021
认识一元二次方程 第一课时 课件(共32张PPT) 北师大版九年级数学上册
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
4. 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数和常数项：
【选自教材P32 习题2.1 第2题】
方程
一般形式
二次项 系数
一次项系 数
常数项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
(x+2)(x-1)=6 x2 ＋x－8＝0
1
1
－8
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0
－7
复习导入
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程
(组)及分式方程，其中前两种方程想属一于想整：式什方么程是.
2.什么叫一元一次方程？
一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程
叫做一元一次方程.
地毯问题
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，
为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得方程： (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即：x2－12x ＋20 ＝ 0
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的 形式， 这样的方程叫做一元二次方程．
北师大版九年级上册数学第二章第一节认识一元二次方程课件
导入新课
• 幼儿园某教室举行，地面的长是八米，宽是五米，现准备在地面 上铺设一块面积是18平方米的地毯，四周未铺地毯的条形区域的 宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8米 5米
解：如果设花边的宽为 m ,那么地毯长为 m,宽为 x m,根据题意,可得方程：
.
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
点拨
方法点拨： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未 知数的最高次数等于，列出关于某个字母的方程，再排除使二 次项系数等于0的字母的值．
看谁填的准。 .
1
3
-2
3
11
4
0
-5
3
-2
-5
总结：
是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 .
ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 其中 ( a ≠0) 是一元二次方程 的必要条件；
上述两个方程有什么共同特点？
归 纳
3.并且还是一个整式方程，并非分式方程； 1.方程中只含有同一个未知数； 2.未知数的最高次数是2次；
得出定义和结论
概念：只含有一个未知数,并且未知数 的最高次数为2次的整式方程叫做一元 二次方程．
一般表达式
我们把 ax ２ ＋bx＋c＝０
( a、b、c为常数,a≠０ )称 为一元二次方程的一般形式， 其中ax ２ ， bx ， c分别 称为二次项、一次项和常数 项，a， b分别称为二次项系 数和一次项系数．
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x3+ x2 =36
(2) x +3 y =36
(3) x +1=0
(5) x2+ x=36
北师大版九年级数学上册 (认识一元二次方程)一元二次方程教学课件
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
一次项系数：36
5x2 + 36x - 32 = 0
常数项：-32
还有其他方法吗？
思考
你能设法估计问题一中四周未铺地毯部分的宽度 x (m) 吗？ 我们知道，x 满足方程 ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18. (1) x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. x 小于 0 时，( 8 - 2x ) > 8，( 5 - 2x ) > 5，( 8 - 2x )( 5 - 2x ) > 40. 故不可能. x 大于 4 时，( 8 - 2x )小于0，不符合实际， x 大于 2.5 时， ( 5 - 2x ) 小于0，不符合实际. (2) 你能确定 x 的大致范围吗？ 0 < x < 2.5.
……
得左边的计算结果大于右边的计
求得近似解
算结果，那么方程的解就在这两 个值之间．
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长 和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
例4 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10.
随堂练习
【14份】2016年秋九年级(北师大版)数学上册配套课件：第二章 一元二次方程 共251张PPT
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
学风四戒：戒满，满则无求；戒骄，骄则无知； 戒惰，惰则无进；戒浮，浮则无深。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
不下决心培养思考的人，便失去了生活中的 最大乐趣。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
不怨天，不尤人，下学而上达。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
经常不断地学习，你就什么都知道。你知道 得越多，你就越有力量。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
壮士腰间三尺剑；男儿腹中五车书。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
学习并不等于就是摹仿某些东西，而是掌握 技巧和方法。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
读书破万卷，下笔如有神。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
或作或辍北师版）九年级数学上册
书到精绝潜心读；文穷情理放声吟。
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学无早晚，但恐始勤终随。
学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的 是在于你自己有没有觉悟和恒心。
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学者有自立之志，当拔出流俗，不可泛泛与 世浮沉。
义务教育教科书（北师版）九年级数学上册
日出照亮大地，读书清醒头脑。
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程》优质课课件(共17张PPT).ppt
。2020年12月18日星期五2020/12/182020/12/182020/12/18
❖ 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/182020/12/182020/12/1812/18/2020
❖ 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/182020/12/18December 18, 2020
。
3
课堂小结： 1、掌握一元二次方程及二次项、一次项、
常数项的概念，并能熟练将一元二次 方程化为一般形式。
2、会根据一元二次方程来选择解法，会 利用根的判别式来解决相关问题。
3、会列一元二次方程来解决实际问题及 整体思想的运用．
必做题： 1、中考复习指导丛书P26: 1-6；P27: 9、10、 11、14 2、选做题： 中考复习指导丛书P27： 7、8、12、15、16、 18
2、A商店某种服装,平均每天可销售 20件,每件盈利44元. 为了尽量减少 库存，经调查发现，若每件降价1元, 则每天可多售5件.如果每天要盈利 1600元,每件应降价多少元?
x 解：若设每件服装降价
元，
那么每件盈利
元，
每天能售出
件。
巩固提高：
1、已知代数式 3x2 4x6的值
为9，则 x 2 4 x 6的值为
a2xb xc0(a0,a、 b、 c为常 )
二次项是
，二次项系数是 ，
一次项是
，一次项系数是
，
常数项是 。
练习： (1)当m 时，关于x的方程
m 1 xm 2 15mx 0
是一元二次方程.
(2)方程 3x2 2x1
化成一般形式是____，其中二次项系数是__，
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》优课件(共13张PPT)
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8
1、填空：
方程
一般式
x2-4x-3=0 x2-4x-3=0
0.5x2= 5
0.5x2-√5 =0
2 y-4y2=0 -4y2 +√2y =0
(2x)2=(x+1)2 3x2-2x-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
(1)x2 +
1 2x
－3=0
(不是)
(2)x3-x+4=0
(不是)
(3) x2 － 2y －3=0
(不是)
(4) –5y2 ＋3y +1=0
( 是)
(5) 2x2=0 (6)4x2＋3x－2=(2x-1)2
(是 ) (不是 )
为什么第6 3x －2=(2x-1)2 4x2＋3x －2=4x2-4x+1 4x2—4x2＋3x +4x=1+2
认识一元二次方程
问题1
5x-15=0
BS北师版 初三九年级数学 上册第一学期(教学设计 教案)第二章 一元二次方程(全章教案 分课时 含反思)
第二章 一元二次方程2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x (x ＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． ①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x 2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2； ⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x＝2x2－ax－3；(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a≠2时，方程ax2－x＝2x2－ax－3为一元二次方程；(2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x(x－2)＝4x2－3x；(2)x23－x＋12＝－x－12；(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0(x ＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0），其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和 常数项，a ，b 分别称为二次 项系数和一次项系数本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.第2课时一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．解：(1)(2)(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.2．2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程；(重点)2．理解配方法的基本思路；(难点)3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)一、情景导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝20－5x2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，所以x1＝5，x2＝－1；(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，所以y1＝72，y2＝－12.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．探究点二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解析：方程左边不是一个完全平方式，需将左边配方．解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋(22)2＝1＋(22)2，即(x＋1)2＝2.开平方，得x＋1＝±2.解得x1＝2－1，x2＝－2－1.方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错．配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方．三、板书设计用配方法解简单的一元二次方程：1．直接开平方法：形如(x＋m)2＝n(n≥0)用直接开平方法解．2．用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法，便可求出它的根．3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式；(3)用直接开平方法求出它的解．通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点) 2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)一、情景导入某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s (m)和时间t (s)之间的关系为：s ＝10t ＋3t 2，那么行驶200m 需要多长时间？二、合作探究探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0.解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式，最后开平方即可．解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0.移项，得x 2－5x ＝－52.配方，得x 2－5x ＋(－52)2＝－52＋(－52)2，即(x －52)2＝154.两边开平方，得x －52＝±152.即x －52＝152或x －52＝－152.所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152.易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0.∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14.∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x －5x ＋7的值恒为正． 解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0，∴(x －52)2＋34≥34.∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．【类型三】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽．解析：若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．解：设花砖路面的宽为x m.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝59×48×24.整理，得x2－36x＝－128.配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x－18)2＝196.两边开平方，得x－18＝±14.即x－18＝14，或x－18＝－14.所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.故花砖路面的宽为4m.方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.2．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0； (3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可． 解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x ＋x ＝1，下列判断正确的是( ) A ．该方程有两个相等的实数根 B ．该方程有两个不相等的实数根 C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x 2＋x －1＝0.∵b 2－4ac ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x 的一元二次方程kx －2x －1＝0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k >－1B ．k >－1且k ≠0C ．k <1D ．k <1且k ≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0.解得k >－1且k ≠0，故选B. 易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2m ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧求根公式：x＝－b±b2－4ac2a（a≠0，b2－4ac≥0）用公式法解一元二次方程的一般步骤⎩⎪⎨⎪⎧①化为一般形式②确定a，b，c的值③求出b2－4ac④利用求根公式求解一元二次方程根的判别式经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.第2课时 利用一元二次方程解决面积问题1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点) 2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)一、情景导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点：利用一元二次方程解决面积问题如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x2m.根据题意，得x ·32－x2＝120.解得x 1＝12，x 2＝20.又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去． ∴该矩形草坪BC 边的长为12m.方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.(1)由题意可列方程(x4)2＋(20－x 4)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4.所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ； (2)由题意可列方程(x4)2＋(20－x 4)2＝12，此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．三、板书设计列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤： (1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义； (6)答：根据题意，选择合理的答案．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.2．4用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点)2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点)一、情景导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是()A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝0解析：把(x－3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x－3)(x＋1)－(x－3)＝0，所以(x－3)(x＋1－1)＝0，即x－3＝0或x＝0，所以原方程的解为x1＝3，x2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax2＝bx的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x，得到x＝ba，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x1＝0，x2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x－3)，从而得到x＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1.解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，即(x＋5)(3x－5)＝0，∴x＋5＝0或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0. 这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0， ∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.*2.5 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0； (2)x 2＋3x －4＝0； (3)x 2－5x ＋6＝0.二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝c a.探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x2x1＋x1x2.解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－32.(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x2x1＋x1x2＝x22＋x12x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143.方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35.又∵x1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求解m的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m＋3）m2＝－1，化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.。
北师版九年级上册第二章一元二次方程单元备课说课稿
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
1.教学重点：
（1）一元二次方程的定义和一般形式；
（2）解一元二次方程的几种方法；
（3）根的判别式和根与系数的关系。
2.பைடு நூலகம்学难点：
（1）理解并运用配方法解一元二次方程；
（1）通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力和团队合作精神；
（2）运用数形结合的思想，培养学生的直观想象和逻辑思维能力；
（3）通过实际问题的引入和解决，提高学生学以致用的能力。
3.情感态度与价值观目标：
（1）培养学生对数学的兴趣和热情，增强他们克服困难的信心；
（2）培养学生严谨、求实的科学态度，提高他们的审美观念；
4.鼓励学生分享解题心得，及时给予表扬和肯定，增强他们的自信心；
5.结合数学史，介绍一元二次方程的发展历程，激发学生的爱国情怀和探索精神。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和情境教学。选择这些方法的理论依据如下：
1.启发式教学：通过提出问题、引导学生思考，激发学生的好奇心和求知欲，培养他们的独立思考能力。这种方法符合建构主义学习理论，强调学生在原有知识基础上主动构建新知识。
1.学生自我总结：让学生回顾本节课所学内容，分享自己的学习心得和感悟。
2.同伴评价：组织学生相互评价，发现彼此的优点和不足，相互借鉴，共同提高。
3.教师反馈：针对学生的表现，给予针对性的评价和建议，鼓励学生持续进步。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一些具有代表性的练习题，巩固一元二次方程的基本概念和解题方法。
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课ppt课件
解得10≤x≤30.]
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合作探究 提素养
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分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1.
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[解] (1)xx－＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1， ∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
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3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准 不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．
锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 一元二次不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.掌握一元二次不等式的实际应用 1.通过分式不等式的解法及不等式
(重点).
的恒成立问题的学习，培养数学运
2.理解三个“二次”之间的关系. 算素养.
3.会解一元二次不等式中的恒成立 2.借助一元二次不等式的应用培养
北师大版数学九年级上册第二章《2.1认识一元二次方程(第1课时)》课件(共19张PPT)
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C ) 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙
m.
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
A．x ＋2y－1＝0 B．x＋2y ＝5 2．已知方程(m＋22)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_______ 时，它是2一元一次方程；
D．x2＋ －2＝0
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.
2
2
2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．
应满足什么条件？ C．2x2＝2x－1
D．x2＋ －2＝0
北师大版数学九年级上册
解:如果设所求的宽为 x m，地毯的长可以表示为__________m，宽可以表示为__________，由矩形的面积公式可以列出方程为
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次 方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
次方程，那么m的值是( C )
A．2
B．±2
C．－2
D．1
课堂练习
1．在下列方程中，是一元二次方程的有( A )
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.
1 72 + (x + 6)2 = 1022.
2
C．2x ＝2x－1 D．x ＋ －2＝0 C．2x2＝2x－1
北师大版九年级数学上册第2章第1节认识一元二次方程(共18张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:18:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8