第八章 环境统计学

第八章 多元统计分析应用介绍

1、 准备数据，进行主成分分析。 某地区大气一周取样14次，测定其中两种气体含量氮氧化物和硫氧化物，数据如下表所示。

解：令氮氧化物为1x ，硫氧化物为2x ，数据标准化后分别为'1x ，'

2x ，根据'1k x ，'2k

x （k=1,2,3,……14）值求矩阵A 元素。 1、求矩阵A:634.0,121122211-====l l l l

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=11634.01A

2、 计算特征值

366.0,634.1,0598.020

1634.00634.01212

===+-=⎥⎦

⎤--⎢⎣⎡--=-λλλλλλλI A

3、 计算百分比

现取第一个特征值1λ，它所占的百分比为： %

7.81%100366

.0634.1634.1%1002

11=⨯+=

⨯+λλλ

现取第二个特征值2λ，它所占的百分比为：

%3.18%100366

.0634.1366.0%1002

12=⨯+=

⨯+λλλ

4、 分析

第一主成分占了方差的81.7%，如果在问题的研究中需要把观测值用一个变量代表，这时取第一主成分的变量值所损失的信息差异仅占数据的18.3%，这就是做主成分分析的目的所在。

5、 求特征向量

（1） 对应于1λ的特征向量由下列方程解出（求1λ的特征向量） 01634.0634.01211

1=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤--⎢

⎣⎡--x x λλ 所以有特征向量（1，-1），把它单位化成()1211,22,22c c =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

，对于特征根366.02=λ 可以得单位特征向量()2221,22,

22c c =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛。 有此可以看出，第一主轴占了数据变化的81.7%，第二主轴才占了18.3%，容易看出，第一

主成分、第二主成分用标准化了变量表示为：

'

2'

12'

2'

112

22

2,2

222x x y x x y +

=

-

=

所以，它等于标准化的坐标系旋转45度而成。 6、如果用原变量

21x x 、表示主成分

2

1y y 、，则计算出：

24

.52

2222

22227.022

2222222222,018.0,014.0,064.0,054.021'

2'122122

211

1'

2'

112121-+

=

+=--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

-

=

====x x x x y x x S x x S x x x x y s s x x 所以有：