2017届重庆一中高三5月月考文科数学试题及答案
重庆一中2017届高三下学期高考模拟考试试卷数(文) Word版含答案
秘密★启用前2017年重庆一中高2017级高三下期高考模拟考试数 学 试 题 卷（文科）2017.5注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}2|650,1,2,3,4,5M x x x N =-+<=，则M N = ( )A.{}1,2,3,4B. {}2,3,4,5C. {}2,3,4D.{}1,2,4,5 2.已知1ia bi i=++（,a b R ∈,i 是虚数单位），则a bi -=( )A. 1B.123.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =( )A. 98B. 49C. 14D. 1474.设向量()(),2,1,1a x b ==-，且()a b b -⊥ ，则x 的值为( )A.1B.2C.3D.45.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，交其准线于点C ，且,A C 位于x 轴同侧，若2AC AF =，则直线AB 的斜率为( ) A ． 1± B ． 3± C ． 2± D ．5± 6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为3，2，则输出的n =（ ） A ． 2 B ． 3 C. 4 D ．57．如右图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．61 B ．31 C ．21D ．1 8.已知集合()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+=0630202,y x y x y x y x D ，给出下列四个命题：();0,,:1≥+∈∀y x D y x P ();012,,2≤+-∈∀y x D y x P ：();411,,:3-≤-+∈∃x y D y x P();2,,224≤+∈∃y x D y x P ： 其中真命题的是( )A.21,P PB.32,P PC. 43,P PD.42,P P 9．已知⎩⎨⎧≥<<-=11102)(x x x f ,在区间()8,0内任取实数x ，则不等式 21)1(log log log 2342≤+⋅-x f x x 成立的概率为（ ） A ．41 B ．31 C ．125 D ． 2110.已知(2,0),(2,0)A B -,若在斜率为k 的直线l 上存在不同的两点N M ,，满足：MA MB -=NA NB -=且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．2 11.已知函数()2(22)x xf x x -=-，则不等式(21)(1)0f x f ++<的解集是( )A. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. ()1,-∞- C. 12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,-+∞ 12.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，,2===AB PD PA 60APD ∠=，若点,,,,P A B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为( )A.253π B. 283π C.第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
【重庆市第一中学】2017届高三下学期第一次月考数学(文科)试卷-答案
从而 ，
当且仅当 取等．
21．（1）因为 ，所以 ，
又据题意，得 ，所以 ，所以 ．
（2） ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数．
所以函数 仅当 时，取得极值．
又函数 在区间 上存在极值，所以 ，所以 ．
故实数 的取值范围是 ．
（2）当 时， ，令 ，则
，
再令 ，则 ，
又因为 ，所以．
重庆市第一中学2017届高三下学期第一次月考数学（文科）试卷
答案
一、选择题
1~5．CDABB6~10．ACCBB11~12．AD
二、填空题
13．
14．5
15．
16．
三、解答题
17．（1）设6位选手中， 有4位导师为其转身， 有3位导师为其转身， 有2位导师为其转身， 只有1位导师为其转身．
则所有的基本事件有： 共15个；
所以 在 上是增函数，
又因为 ，
所以当 时， ．
所以 在区间 上是增函数．
所以当 时， ，又 ，
∴ 恒成立，即原不等式成立．
22．（1）曲线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程 ， ．
（2）联立 ，得 ，
易知 ， 为开口向下抛物线，
要满足两个不同的交点，则 ．
23．（1） ，
两边平方可得： ．
（2） ，有 ，
故分别求值即可．
，
，故 或 ，
所以 的取值范围为 ．
（2）事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有： 共9个，
故所求概率 ．
18．（1）易得 ．
（2）点 与 重合即可，
2017届高三文科数学第一次月考试卷
2017届高三第一次月考试卷文科数学考试时间：120分钟；满分:150分；命题人：李强一、选择题（每小题5分，合计60分）1．已知集合{}{}2|30,|13A x x x B x x =-≥=<≤，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）A ．[)0,1B ．(]0,3C ．()1,3D ．[]1,3 2．已知向量()(),2,1,1m a n a ==-，且m n ⊥，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．2-或1 D ．2-3．设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．125．若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．0 B ．至多有一个 C ．1 D ．2 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208 7．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位8．若函数()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则关于()f x 的描述中A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增减函数 9．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则（ ）A ．13a =B ．12a =C ．11a =D ．10a =10．在矩形ABCD 中，2,1,AB BC E ==为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF 的最大值为（ ） A ．72 B ．4 C ．92D ．5 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C ．1043 D ．107412．已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,()31f x x =-, 当11x -≤≤时,()()f x f x -=-, 当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()6f =（ ）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项二、填空题（每小题5分，合计20分）13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，则它的离心率为 ．14．曲线()232ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15．某大型家电商场为了使每月销售A 和B 两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A 和B 进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元．16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．三、解答题（12分）17．已知顶点在单位圆上的ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）若224b c +=,求ABC ∆的面积.（12分）18．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组第二组第三组第四组第五组分组[)5060， [)6070， [)7080， [)8090， [)900，10（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？（12分）19．已知函数()()24log 23f x ax x =++. （1）已知()11f =,求()f x 单调递增区间;（2）是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由.（12分）20．在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.（12分）21．已知函数()()2ln ,f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1,3a b =-=时,求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）设0a >,且对于任意的()()0,1x f x f >≥,试比较ln a 与2b -的大小.四、选做题（任选一个作答）（10分）22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:12(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,求PQ 的值.（10分）23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++． （1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．参考答案13．2【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，所以12ba-=-⨯，即2,a b c==，所以cea==.考点：双曲线的几何性质；14．30x y--=【解析】试题分析：()21132ln12f=-+=-，()223f x xx'=-+，()12321f'=-+=，所以切线方程为21y x+=-即30x y--=.考点：导数的几何意义.15．960【解析】试题分析：设月销售A产品x台，B产品y台，则3002003000501001100x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，利润6080z x y=+，在直角坐标系中作出可行域，由图可知当目标函数经过可行域内的点(4,9)B时，利润的最大值，最大值为604809960z=⨯+⨯=.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 16．194 【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902+⨯=，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理；2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性. 17．（1）60︒;（23【解析】试题分析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=代入余弦定理即可求出角A ；（2）由正弦定理先求出边a ，再由余弦定理可求出bc ，代入三角形面积公式即可.试题解析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==又∵0A π<< ∴60A =︒ （2）由2sin aA=得2sin 3a A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即22212cos603422b c bc bc =+-︒=-⨯，即∴1bc =∴11sin 1sin 6022ABC S bc A ∆==⨯⨯︒= 考点：正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．（1）0.005a =（2）74.5（3）13【解析】 试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，即所有小长方形面积和为1得()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，解得0.005a =（2）根据组中值得平均数55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由分层抽样法得第3、4、5组中各抽取3、2、1人，利用枚举法得随机抽取2名，共有15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有5个，因此概率为()51153P A ==试题解析：（1）由题意得：()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，即0.005a =（2）数学成绩的平均分为：55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）第3、4、5组中共有学生人数分别为30、20、 10人，用分层抽样法抽6人，即在第3、4、5组中各抽取3、2、1人，设6名学生为a b c d e f 、、、、、．随机抽2人，共有ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 、、、、、、、、、、、、、、共15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有af bf cf df ef 、、、、5个，记其中恰有1人分数不低于90分为事件A ，∴()51153P A ==19．（1）()1,1-（2）12a =【解析】试题分析：（1）先由()11f =得1a =-，再根据复合函数单调性得 只需求223t x x =-++单调增区间，注意函数定义域为()1,3-，从而得()f x 单调递增区间为()1,1-（2）由题意得223t ax x =++的值域为[1,)+∞，所以21,112231a a a a a >⎧⎪⇒=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩试题解析：（1）()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++,真数为2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-令()222314t x x x =-++=--+可得, 当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-.（2）设存在实数a ,使()f x 最小值为0.由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.即a 为正数, 且当1x a =-时, t 值为1,所以21,112231a a a a a >⎧⎪∴=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.考点：复合函数单调性20．（1）见解析；（2）存在平行于y 轴的定直线1x =被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式=1a =时，弦长为定值.试题解析：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y , 因此821-=y y （定值）,当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值. （Ⅱ）设存在直线l ：a x =满足条件，则AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r又E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+=所以所截弦长为212122)22()4(4122a x x d r -+-+=- 2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--=当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x .考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21．（1）()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2ln 2-；（2）ln 2a b <- 【解析】试题分析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()211x x f x x--'=-,讨论函数在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；（2）因为()()0,1x f x f >≥，所以()f x 的最小值为(1)f ,设()0f x '=的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x ,不妨设0,021><x x ，则21x =，所以有即12b a =-，令()24ln g x x x =-+,求导讨论函数()g x 的单调性可得()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭，即()0g a <，可证结论成立.试题解析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+-=-=-． 由()0f x '>，得112x <<；由()0f x '<，得12x <<， 所以函数()f x 在1(,1)2上单调递增；函数()f x 在(1,2)上单调递减，所以函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()12f =，又()()153322ln 2ln 22ln 2ln 402444f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()122f f ⎛⎫<⎪⎝⎭，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-． （Ⅱ）由题意，函数f （x ）在x=1处取到最小值，又xbx ax x b ax x f 1212)(2'-+=-+=设0)('=x f 的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x 不妨设0,021><x x ，则)(x f 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，故)()(2x f x f ≥， 又()(1)f x f ≥，所以12=x ，即212a b +=，即12b a =- 令()24ln g x x x =-+，则()14'x g x x -=令()'0g x =，得14x =,当104x <<时，()()'0,g x g x >在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当x14x <时，()()'0,g x g x <在（∞+，41）上单调递减；因为()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-<⎪⎝⎭故()0g a <，即24ln 2ln 0a a b a -+=+<，即ln 2a b <-. 考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.22．（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,l的普通方程为+10x =;（2.【解析】试题分析：（1）在极坐标方程两边同乘以ρ，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，消去参数即可求出直线l 的普通方程；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由直线参数的几何意义与根与系数关系即可求PQ . 试题解析：（1）24cos ,4cos ρθρθ=∴=,由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,消去t 解得：+10x =.所以直线l的普通方程为+10x =.（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=,整理得250t -+=, 设其两根分别为12,t t，则1212125,t t t t PQ t t +==∴=-==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义. 23．（1）{}|5,3x x x ≤≥或（2）()(),14,-∞-+∞【解析】 试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们交集得解集（2）不等式()23f x a a<-的解集不是空集，等价于()2min 3f x a a<-，因此根据绝对值三角不等式求()13f x x x=-++的最小值：()134f x x x=-++≥，再解不等式234a a->得实数a的取值范围．。
2020届重庆市一中2017级高三下学期5月月考数学(文)试卷参考答案
所以 ,.......9分
当 时, 的最小值为 ........10分
23.解：（1）当 时, .......2分
由 ,得 .
故不等式 的解集为 ........5 分
（2）因为“ , ”为假命题,
所以“ , ”为真命题,
所以 ........7分
因为 ,
所以 ,则 ,所以 ,.......9分
∴三棱柱 的体积 由已知得直线方程为 ,
圆心到直线 的距离为 ,......2分
又 得 ,......4分
故抛物线 的方程为 ；.........5分
（2）由（1）知焦点为 .
由已知可得 ,所以两直线 、 的斜率都存在且均不为 .
设直线 的斜率为 ,则直线 的斜率为 ,
∴ , ..........2分
∵ ,
∴ 平面 ,.........4分
而 平面 ,
∴ ..........6分
（2）三棱柱可分为四棱锥 与三棱锥 .
由（1）知 ,而平面 平面 ,且交线为 ,
∴ 平面 .
同理可证 平面 ..........9分
四棱锥 的体积 ,.........10分
三棱锥 的体积 ,.........11分
由 ∴ ,.........9分
又 ,.........10分
所以 ..........12分
18.（1） 列联表如图所示
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
22
8
30
老年
8
12
20
总计
30
20
50
.........2分
,.........5分
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联..........6分
【重庆市第一中学】2017届高三下学期第一次月考数学(文科)试卷
（2）若函数 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；
（3）求证：当 时， 恒成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程： ，曲线 的参数方程： （ 为参数），且 与 有两个不同的交点．
（1）写出曲线 和曲线 的直角坐标方程；
A． B． C． D．
10．（原创）已知圆 的一条切线 与双曲线 没有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知点 的坐标 满足不等式组 ， 为直线 上任一点，则 的最小值是（）
A． B． C．1D．
12．已知函数 ， 在 处取得最大值，以下各式中：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
5.4
若 之间的线性回归方程为 ，则 的值为（）
A．-0.96B．-0.94C．-0.92D．-0.98
7．若 是等差数列 的前 项和，且 ，则 的值为（）
A．66B．48C．44D．12
8．在如图所示
A． B． C． D．
9．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
（2）求实数 的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
（1）求三棱柱 的体积；
（2）已知点 是平面 内一点，且四边形 为平行四边形，在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，请确定点 的位置，若不存在，请说明理由．
19．函数 的部分图像如图所示，将 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像．
2017届重庆一中高三5月月考文科数学试题及答案 精品
2017年重庆一中高2017级高三下期第三次月考数 学 试 题（文科）2017.5一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．已知集合{}211,M x N x x x x⎧⎫=<-=<-⎨⎬⎩⎭，则.A A B≠⊂ .B A B =.C A B≠⊃ .=D A B ⋂∅2．函数ln xy x=的定义域为 .(,0)A -∞ .(0,)B +∞ .(-,1)(1,)C ∞+∞ .(0,1)(1,)D +∞3．某学期地理测试中甲的成绩如下：82，84，84，86，86，88，乙的成绩如下：81，83，85，85，87，95，则下列关于两组数据的描述相同的是 .A 众数 .B 平均数 .C 中位数 .D 方差4．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为,最小值为,则的值是（ ） .A 2-.B 54- .C 12-.D5．已知命题:,cos p x R x a ∃∈≥，下列的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是 .A R a ∈ .B 2=a .C 1=a .D 0=a6．已知数列}{n a 中，n a a a n n +==+11,1，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）.A 10>n .B 10≤n.C 9<n .D 9≤n7. 已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为（ ）.A .B .C .D8. 已知函数()sin (0)f x wx w =＞的一段图像如图所示，△ABC 的顶点与坐标原点重合，是)(x f 的图像上一个最低点，在轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,， 且△ABC 的面积满足22212b c a S +-=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为 .A )2cos()(x x g π-= .B )2cos()(x x g π=.C )212sin()(+=x x g .D )212sin()(-=x x g9．已知正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（ ）.A .B .C .D10．已知函数)()(R x e x x f x∈=，若关于的方程2()()10f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为.A ),2()2,1(e e ⋃ .B )1,1(e .C )11,1(+e .D ),1(e e二． 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知复数52z i =- ，则z = ． 12．已知等差数列{}n a ，3918,a a +=则它的前11项和11S = . 13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .主视图 侧视图 俯视图14．已知点是ABC ∆的重心，若2,33A AB AC π=∙=-，则AP 的最小值_____15. 已知直线过椭圆22143x y +=的左焦点1F ，且与椭圆交于,A B 两点，过点,A B分别作椭圆的两条切线，则其交点的轨迹方程三． 解答题（本大题共6小题，共75分）16．（原创）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前项和2=n S n ， （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}+3na n a 的前项和n T ；17.（ 原创）（本小题满分13分）重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到石周卓婷同学的某些成绩数据如下：（1）求总分年级名次对数学总分的线性回归方程y bx a =+;（必要时用分数表示）（2）若石周卓婷同学想在下次的测试时考入前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）。
2017届重庆一中高三下学期第一次月考文科数学试卷及答
2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数 学 试 题 卷（文科）2017.3一、选择题（每题5分，共计50分）1．集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合1B y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则有（ ） A A B ⊆ B A B ⋂=∅ C B A ⊆ D 以上均错误2．一个半径为1球内切于一个正方体，切点为,,,,,A B C D E F ，那么多面体ABCDEF 的体积为（ ）A 112B 16C 23D 433．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（ ）A 34B 15C 35 D 454．（原创）直线cos sin 20x y θθ+-=与圆221(sin )(2cos ),()4x y R θθθ-+-=∈的位置关系为（ ）A 相交，相切或相离B 相切C 相切或相离D 相交或相切5．已知:p “tan tan 1αβ=”， q ：“cos()0αβ+=”，那么p 是q 的（ ）条件A 充要B 既不充分，也不必要C 必要不充分D 充分不必要6．向量(2,3),(1,)a b λ=-=-r r ，若,a b r r的夹角为钝角，则λ的取值范围为（ ） A23λ>B 23,32λλ>≠-且C 23,32λλ>-≠且D 23λ>-7．（原创）首项为1的正项等比数列{}n a 的前100项满足1=3S S 奇偶，那么数列3log n n a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭（ ）A 先单增，再单减B 单调递减C 单调递增D 先单减，再单增8x m=+没有实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A (,)-∞⋃+∞B ⎡⎣C (,)-∞⋃+∞D9．式子的最大值为（ ）A 12 B 110．（原创）定义在实数集R 函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()1f x -为奇函数，现有以下三种叙述：（1）8是函数()f x 的一个周期；（2）()f x的图像关于点(3,0)对称；（3）()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A （2）（3）B （1）（2）C （1）（3）D （1）（2）（3）二、填空题（每题5分，共计25分）11．椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，且点1F 分2AF uuu r的比为12，则该椭圆的离心率为12．三角形,6,4,8ABC AB BC AC ===中，则AB BC ∙=uu u r uu u r13．某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了 人14．（原创）直线l 过定点(2,2)且与圆229x y +=交于点,A B ，当AB 最小时，直线l 恰好和抛物线29x ay =-（0a <）相切，则a 的值为15．（原创）集合{}3,[1,2]A y y x x ==∈，集合{}ln 20B x x ax =-+>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是三、解答题（共计75分）16．（13分）现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务，第一小组由甲，乙，丙三人组成，第二小组由丁，戊两人组成. （1）列举出所有抽取的结果；（2）求甲不会被抽到的概率.17．（13分）函数44()cos sin 2sin cos 2,()f x x x x x x R =-++∈ （1）求函数)2(x f 的最小正周期和对称轴； （2）求函数)8(π+x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域.18．（13分）数列}{n a 满足,11=a 且),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-， （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 满足n n a b 1=，求数列}{n b 的前n 项的和n S .19．原创（12分）直三棱柱111ABC A B C -，棱1AA 上有一个动点E 满足1AE A E λ=.C 1B 1A 1MC（1）求λ的值，使得三棱锥E ABC -的体积是三棱柱 111ABC A B C -体积的19；（2）在满足（1）的情况下，若12AA AB BC AC ====，1CE AC M ⋂=，确定BE 上一点N ，使得11//MN BCC B 面，求出此时BN 的值.20．（12分）已知函数()()2ln 20f x x ax bx a =-+>，且'(1)0f =（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）试问函数()f x 图像上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y，其中21x x >，使得函数()f x 在122x x x +=的切线与直线AB 平行？若存在，求出,A B 的坐标，不存在说明理由.21．原创（12分）点1F ，2F 是椭圆C 的22143x y +=左右焦点，过点1F 且不与x轴垂直的直线交椭圆于,P Q 两点.（1）若22PF QF ⊥，求此时直线PQ 的斜率k ；（2）左准线l 上是否存在点A ，使得V PQA 为正三角形？若存在，求出点A ，不存在说明理由.出题人：廖桦 审题人：张伟2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考 数 学 答 案（文科）2017.3 一、选择题（每题5分，共计50分） BDACD CACBD二、填空题（每题5分，共计25分）11．12； 12．6； 13.2014．18- 15．2ln 8(,)8+-∞三、解答题（共计75分） 16．（13分）解：（1）结果有：甲丁，甲戊，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊； （2）记A=“甲不会被抽到”，根据（1）有 3264)(==A P17．（13分） 解：（1）44()cos sin 2sin cos 2cos 2sin 22)24f x x x x x x x x π=-++=++=++ 所以2)44sin(2)2(++=πx x f根据公式，其最小正周期242ππ==T ，要求其对称轴，则有Zk k x ∈+=+,244πππ，即对称轴为Z k k x ∈+=,164ππ（2）22cos 22)22sin(2)8(+=++=+x x x f ππ，根据单调性，其在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,222 18．（13分）解：（1）由),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-有n a a n n =--1，由叠加可得 121321(1)()()()12(2)2n n n n n a a a a a a a a n n -+=+-+-++-=+++=>L L ，当1=n 时，上式的值为1，满足条件,11=a 所以，2)1(+=n n a n（2）)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ，所以12)1113121211(2+=+-++-+-=n n n n S n19．（12分）解：（1）根据条件，有11=39Sh Sh 锥柱，1=3h h 锥柱，即点E 到底面ABC 的距离是点1A 到底面ABC 距离的13，所以12λ=； （2）根据条件，易得112AE EM CC CM ==，则当13EM EN MC BN ==时C 1B 1A 1ME CB//BC MN ，即有 11//MN BCC B 面，即34BN BE=时，有，所以BN =20．（12分） 解：（1）()'122f x ax b x =-+，又'(1)0f =，所以有221b a =-，所以()()'1122112,f x ax a x a x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭又0,0a x >>，所以()'0f x >有01x <<，所以()f x的单调递增区间为(0,1)（2）根据条件()21111ln 21y x ax a x =-+-，()21222ln 21y x ax a x =-+-，所以()()1212121212ln ln 21AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，而()()'1212122212AB x x f a x x a k x x +⎛⎫=-++-= ⎪+⎝⎭，则整理可得121212ln ln 2x x x x x x -=-+，即有12121221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令12(0t 1)x t x =<<，即4ln 201t t +-=+，令()4g ln 2(0t 1)1t t t =+-<≤+，则()()()2'21g 01t t t t -=≥+，则函数()g t 在(]0,1上单增，而()g 10=，所以在()0,1内，()g 0t <，即4ln 201t t +-=+在()0,1内无解，所以，不存在. 21．（12分）解：（1）设直线PQ 为()1y k x =+，联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120k x k x k +++-=，设点()()1122,k ,,k P x x k Q x x k++，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，又22PF QF ⊥，可得220PF QF ∙=uuu r uuu r ，即有()()()22212121110kx x k x x k -+++++=， 整理可得279,k k ==（2）记PQ 的中点为M ，要使得PQA 为正三角形，当且仅当点A 在PQ 的垂直平分线上且PQ MA 23=,现作l MM ⊥1于1M ，则123MM PQ >,根据第二定义可得PQePQ MM ==21，则有123>，显然不成立，即不能存在.。
重庆一中2017届高三下学期期中考试试卷(5月考)数(文)
绝密★启用前重庆一中2017届高三下学期期中考试试卷（5月考）数（文）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知，给出下列四个命题：其中真命题的是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中,所以直线过点A 时取最小值；过点A 时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，试卷第2页，共18页因此选D.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 2、若所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，依据题设条件可知是正三角形，四边形是正方形，设球心为，正方形的中心为，则，球半径，解之得，所以，所以球面面积，应选答案B 。
点睛：几何体的外接球的体积面积的探求一直是中学数学中的难点，本题以四棱锥为载体，旨在考查四棱锥的外接球的的面积。
求解这类问题的关键是确定该几何体的外接球的球心与半径，求解球心与半径时充分借助运用球心距、球半径、截面圆的半径之间的关系建立方程进行求解，从而使得问题获解。
3、已知函数，则不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，所以函数是奇函数，，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于，故选B.【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便. 4、已知,若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足：且线段的中点为，则的值为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件可知点在以为焦点的双曲线上，，那么，双曲线方程是，那么设，所以，两式相减得 ，两边同时除以 ，可得，解得，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义和点差法，考查了转化与化归能力，本题的题干比较试卷第4页，共18页新颖，根据条件能判断出点在以为焦点的双曲线上，直线与圆锥曲线相交，涉及中点弦问题时，经常利用点差法求有关量，或是直线与圆锥曲线方程联立，得到根与系数的关系，利用中点坐标求相关量.5、已知,在区间内任取实数，则不等式成立的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，所以，原式等价于，即，那么，故选A.6、如下图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．1【答案】B【解析】几何体是四棱锥，顶点在底面的射影落在俯视图的上顶点，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高是1，所以几何体的体积，故选B.7、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为3，2，则输出的（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】，，，判断否，所以，进入循环，，判断 是，输出，故选A. 8、过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且位于轴同侧，若，则直线的斜率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据抛物线的性质，抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，准线，垂足为点，那么，即，根据对称性可知直线的倾斜角为或，所以斜率时，故选B.9、设向量，且，则的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4试卷第6页，共18页【答案】D 【解析】，那么，解得：，故选D. 10、已知等差数列中，其前项和为，若，则 ( )A ．98B ．49C ．14D ．147【答案】A【解析】，解得：，，故选A.11、已知（,是虚数单位），则( )A ．1B ．C ．D ．【答案】D【解析】，则 ，解得： ，所以，故选D.12、已知集合，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，，故选C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知数列满足 ,则数列的前7项和______【答案】【解析】当时，，当时， ，两式相减得，解得，那么 ，验证当时，成立，所以 ，所以，数列的前7项和就是，故填：.【点睛】本题考查了已知求， ，这类问题容易出错在开始不求，第二个式子前不写，这样在求得递推公式或是通项公式时会忽略验证首项这个环节，有时首项不满足通项，这样就会造成连锁的错误，所以步骤要严谨，分析问题要全面. 14、已知是定义在R 上的偶函数，且对恒成立，当时，，则__________【答案】试卷第8页，共18页【解析】函数的周期是，，而，即，故填：.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.，对于函数求值类问题，需要判断所需求的某个量的函数值是否能满足给定解析式，若不能满足，利用周期函数特征，进行函数值的转化，转化为所给定义域内的值，这类问题通常喜欢考周期类、分段函数类.15、如图，根据图中数构成的规律，所表示的数是__________．【答案】144【解析】根据图中的规律可知，故填：144.16、若直线与圆相切，则的值为_________【答案】【解析】圆心到直线的距离，解得 ，故填：.三、解答题（题型注释）17、已知椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点，,是椭圆上一点，的最大值为（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且（i ）求证：为定值;（ii ）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由椭圆对称性可得M 为短轴端点B 时取最大值，因此根据直角三角形可得，（2）（i ）解几中证明题一般方法为以算代证，先由直线方程与椭圆方程联立，解出坐标（用直线斜率表示），代入可得定值，最后验证斜率不存在的情况也满足（ii ）因为，所以面积为,再将（i ）坐标（用直线斜率表示）代入，得关于直线斜率的一元函数关系，利用基本不等式求最值，确定函数取值范围.试题解析：（1）由题意得，得椭圆方程为：（2） i)当斜率都存在且不为0时，设，由消得，同理得，故当斜率一个为0，一个不存在时，得综上得，得证。
重庆一中2017-2018学年高三数学模拟试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．若集合A={x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．4．已知p：m=﹣2；q：直线l1：2（m+1）x+（m﹣3）y+7﹣5m=0与直线l2：（m﹣3）x+2y ﹣5=0垂直，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则实数m=（）A．±2B．±C．D．6．已知实数x，y满足条件，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1 B．C．D．7．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，则a等于（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，log a﹣=（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P ﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）A．πB．πC．πD．π12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣C．1+2e2D．1﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．将某班参加社会实践的48名学生编号为：1，2，3，…，48．采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为．15．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若⊥，则•=．16．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，且sina5≠0，当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围是．三、解答题：共70分.17．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cosA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．19．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[11，15]（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．20．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意m，n∈（0，e）且m≠n，有恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．若集合A={x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】通过集合A={x|x≥0}，且B⊆A，说明集合B是集合A的子集，对照选项即可求出结果．【解答】解：因为集合集合A={x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集，当集合B={1，2}时，满足题意，当集合B={x|x≤1}时，﹣1∉A，不满足题意，当集合B={﹣1，0，1}时，﹣1∉A，不满足题意，当集合B=R时，﹣1∉A，不满足题意，故选A．2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，代入i•z=﹣i，求出a，b的值，从而求出|z|的模即可．【解答】解：设z=a+bi，若复数i•z=﹣i，即i（a+bi）=﹣b+ai=﹣i，解得：a=﹣1，b=，则|z|=，故选：C．3．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】有条阿金利用诱导公式、两角和差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，故选：D．4．已知p：m=﹣2；q：直线l1：2（m+1）x+（m﹣3）y+7﹣5m=0与直线l2：（m﹣3）x+2y ﹣5=0垂直，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：m=3时，直线l1：x﹣1=0，直线l2：2y﹣5=0，此时两条直线垂直，∴m=3．m≠3时，直线l1：y=﹣x+，直线l2：y=﹣x+．由两条直线垂直，可得：﹣×（﹣）=﹣1，解得：m=﹣2．综上可得：m=﹣2或3时，两条直线相互垂直．∴p是q成立的充分不必要条件．故选：A．5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则实数m=（）A．±2B．±C．D．【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】由已知圆x2+y2+mx﹣=0与x2=4y的准线y=﹣1相切，求出圆x2+y2+mx﹣=0的圆心（﹣，0），半径r=，由此能求出实数m．【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，∴圆x2+y2+mx﹣=0与直线y=﹣1相切，圆x2+y2+mx﹣=0的圆心（﹣，0），半径r=，∴圆心（﹣，0）到y=﹣1的距离d=1=，解得m=．故选：B．6．已知实数x，y满足条件，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1 B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出相对应的面积，从而求出符合条件的面积即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：平面区域△ACO的面积是2，而△ABC的面积是1，，由x+y=2与y=0可得C（2，0），可得x+2y=2经过可行域的C点，故不等式x+2y≥2成立，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域是三角形ABC区域，它的面积为：×1×2=1，故选：A．7．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，则a等于（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线对应函数的导数，可得曲线在点（3，2）处的切线斜率，由题意可得﹣a=﹣，可得a的值．【解答】解：y=的导数为y′=﹣，可得曲线在点（3，2）处的切线斜率为k=﹣，由切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，可得它们的斜率相等，即﹣a=﹣，解得a=．故选：B．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，log a﹣=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】对a分类讨论，利用函数的单调性、对数的运算性质即可得出．【解答】解：①若a＞1，∵x∈[0，1]，∴a﹣a x∈[0，a﹣1]，则=1，解得a=2．∴log a﹣=﹣=log28=3．②若0＜a＜1，∵x∈[0，1]，∴a﹣a x∈[a﹣1，0]，不满足题意，舍去．综上可得：log a﹣=3．故选：C．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．11．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P ﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）A．πB．πC．πD．π【考点】球内接多面体．【分析】求出球心到平面ABC的距离，利用三棱锥P﹣ABC的高为，可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离，即可求出圆的半径，从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积．【解答】解：∵AB=AC=BC=1，∴△ABC的外接圆的半径为，∵球的半径为1，∴球心到平面ABC的距离为=，∵三棱锥P﹣ABC的高为，∴球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为﹣=，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为=，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是=．故选：D．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣C．1+2e2D．1﹣【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．将某班参加社会实践的48名学生编号为：1，2，3，…，48．采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是13．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间距为8，即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义抽样间距为8，则6个样本编号从小到大构成以8为公差的等差数列，则另外一个编号为5+8=13，故答案为：13．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为1．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】主视图，左视图，都是三角形；底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离都是正方体的棱长，求出比值即可．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图都是三角形，底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离（三角形的高）都是正方体的棱长，所以，三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为：1．故答案为：1．15．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若⊥，则•=﹣8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，分别表示出A，B，C，D的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：∵AB∥CD，⊥，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（6，0），C（2，2），D（0.2），∴=（2，2），=（﹣6，2），∴•=2×（﹣6）+2×2=﹣8，故答案为：﹣816．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，且sina5≠0，当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】由cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，利用和差化积可得﹣2sina5sin（﹣2d）=2sina5，由sina5≠0，可得sin（2d）=1，由公差d∈（0，1），可得2d=．根据当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，可得a10＜0，a11＞0，解出即可得出．【解答】解：∵cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，∴﹣2sina5sin（﹣2d）=2sina5，∵sina5≠0，∴sin（2d）=1，∵公差d∈（0，1），∴2d=，解得d=．∵当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，∴a10＜0，a11＞0，∴＜0，＞0，解得＜a1＜，∴首项a1的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：共70分.17．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cosA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理余弦定理即可得出A．（2）a1cosA=1，由（1）知，a1=2．由a2、a4、a8成等比数列，可得，由数列{a n}为等差数列，可得（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d，可得数列{a n}的通项公式a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得：a2=b2+c2﹣bc，再由余弦定理知，A∈（0，π）．∴．（2）∵a1cosA=1，由（1）知，∴a1=2，又∵a2、a4、a8成等比数列，∴，∵数列{a n}为等差数列，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），又∵公差d≠0，解得d=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n，设，则数列的通项公式，∴前n项和．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．证得四边形AMNP为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．【解答】证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP∥A1B1，NP=A1B1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1=AB．故NP∥AB，且NP=AB．因为M为AB的中点，所以AM=AB．所以NP=AM，且NP∥AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC．CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC．因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB．因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN=C，所以AB⊥平面CMN．19．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[11，15]（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表中数据，画出茎叶图即可，根据统计图中成绩的离散程度，得出差异程序较小的乙同学代表班级参加比赛较好；（2）利用对立事件的概率公式，计算甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率值；（3）利用几何概型计算甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率值．【解答】解：（1）根据表中数据，画出茎叶图如下；…从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程序较小，应选派乙同学代表班级参加比赛较好；…（2）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为；…（3）设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x﹣y|＜0.8，﹣0.8+x＜y＜0.8+x，如图阴影部分面积即为4×4﹣3.2×3.2=5.76；…所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为．…20．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，由此能求出a，b．（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．【解答】（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，解得a=2，b=1．…（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．…因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0．化简，得m2=1+4k2．①…因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d==．即=．②…由①②，解得k2=2，m2=9．因为m＞0，所以m=3．…21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意m，n∈（0，e）且m≠n，有恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域和导数，讨论a的取值，利用函数单调性和导数之间的关系即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，根据条件构造函数研究函数的最值进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），由题…（1）当a=0时，f′（x）=1＞0，所以f（x）在（0，+∞）上递增（2）当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜a，f′（x）＞0得x＞a所以f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增（3）当a＜0时，由f′（x）＜0得0＜x＜﹣2a，f′（x）＞0得x＞﹣2a所以f（x）在（0，﹣2a）上递减，在（﹣2a，+∞）上递增综上，a=0时，f（x）在（0，+∞）上递增，a＞0时，f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，a＜0时，f（x）在（0，﹣2a）上递减，在（﹣2a，+∞）上递增…（Ⅱ）若m＞n，由得f（m）﹣m＜f（n）﹣n若m＜n，由得f（m）﹣m＞f（n）﹣n令，所以g（x）在（0，e）上单调递减…又（1）当a=0时，g（x）=0，不符合题意；（2）当a＞0时，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，g′（x）＞0得x＞2a所以g（x）在（0，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增所以2a≥e，即（3）当a＜0时，在（0，+∞）上，都有g′（x）＜0所以g（x）在（0，+∞）上递减，即在（0，e）上也单调递减…综上，实数a的取值范围为…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2016年8月1日。
重庆一中2017-2018学年高三下学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析
重庆一中2017-2018学年高三下学期月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0B．2C．﹣2 D．2i2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9D．83．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．556．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1C．D．210．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N=．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P 到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．重庆一中2017-2018学年高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0B．2C．﹣2 D．2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部．解答：解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i﹣1=2i，∴复数（1+i）2的虚部为2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9D．8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式化简S3=6，利用等差数列的性质即可求出a2的值，然后利用等差数列的性质表示出a4，把公差d和求出的a2的值代入即可求出值．解答：解：由S3==2a2=6，得到a2=3，则a4=a2+2d=3+6=8．故选D点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．3．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．解答：解：若k=m=1时，两条直线重合，则l1∥l2不成立，若l1∥l2，则满足k=m≠1，即“k=m”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的基本性质，考查计算能力．5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先由（）⊥，得到•=﹣1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为θ，θ∈[0，π]∵（）⊥，∴（）•=0，即（）2+•=0，∴•=﹣1，∴cosθ===，∴θ=，故选：B点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别柱体体积和锥体体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，其直观图如下图所示：柱体的底面面积S==8，高为4，体积为32，锥体的底面面积S==4，高为4，体积为，故组合体的体积V=32﹣=，故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N={0，1，2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：首先，求解函数y=ln（3﹣x）的定义域，即得集合A，然后，求解A∩N即可．解答：解：∵函数y=ln（3﹣x），∴3﹣x＞0，∴x＜3，∴集合A={x|x＜3}，∴A∩N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}．点评：本题重点考查了函数的定义域的求解方法、集合的交集运算等知识，属于基础题．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，可得a＞2，结合a∈[0，10]，以长度为测度，即可求概率．解答：解：∵函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，∴a＜2，∵a∈[0，10]，∴函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查函数的单调性，确定测度是关键．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．考点：简单线性规划；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（﹣1，1）连线的斜率由图可知的取值范围是[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，∴x=1，y=2时取等号．故4x+3y的最小值是5，故答案为：5点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P 到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．考点：两点间距离公式的应用．专题：新定义；直线与圆．分析：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．解答：解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．点评：本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．考点：等比数列的性质；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p ﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为a2=5，S2=a1+a2，所以S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得p=2．…所以．当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，…得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图数据直接求样本数据的中位数、平均数即可；！（Ⅱ）列举从10件中药材的优等品中随机抽取2件的所有基本事件，找出2件优等品的重量之差不超过2克所包含的事件，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）样本数据的中位数是，样本数据的平均数是=15；根据样本数据估计总体的思想可得，这100件中药材重量的平均数是15克，因此，估计这100件中药材的总重量约为100×15=1500克．（Ⅱ）这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克．从10件中药材的优等品中随机抽取2件，所有基本事件有：（17，18），（17，20），（17，21），（17，23），（18，20），（18，21），（18，23），，，（21，23）共10个．记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A，则事件A的基本事件有：（17，18），（18，20），），，（21，23）共4个．∴P（A）==．∴这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为．点评：本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等知识，以及数据处理能力，样本估计总体的数学思想．属于中档题．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）先求出sinB=，sin∠ADC=，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求出结论；（2）在△ABD中，由正弦定理求得BD，在△ADC中，由余弦定理，求得AC．解答：解：（1）因为cosB=，所以sinB=，…又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，…所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==；…（2）在△ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD=，…故DC=，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=所以AC=．…点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）建立空间直角坐标系，设出棱长，得到点的坐标，由向量数量积证得答案；（2）把三棱锥P﹣MNQ的体积转化为A1﹣MNQ的体积，即N﹣A1MQ的体积，则三棱锥P﹣MNQ的体积可求．解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=a，则A（0，0，0），M（0，a，），N（），Q（），A1（0，0，a），B1（a，0，a），再设P（x，0，a），由A1P=λA1B1，得，即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，∴P（λa，0，a），∵，，，∴，则AM⊥平面PNQ；（2）解：由（1）可知，P在线段A1B1上移动时三棱锥P﹣MNQ的体积一定，不妨取A1为P，由AA1=AB=AC=1，得，MQ=，A1到MQ的距离为，∴=，QN=，则==．点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，是中档题．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=时S最小，进而得到答案．解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为π，则=π，即r2h=3，故r与h满足的关系式为r2h=3；…（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=，所以S=πr=π=π=π，（h＞0 ），…设f（h）=（h＞0 ），由f′（h）=+3=0，解得h=，当0＜h＜时，f′（h）＜0；当h＞时，f′（h）＞0；因此，h=时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；…由r2h=3得====，所以最省时的值为．…点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得=λ；（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围．解答：（Ⅰ）解：由题意，∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B∴，∴b=1，∴椭圆L的标准方程为；（Ⅱ）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，其中k≠0，则M（0，3k），N（，0）．y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，方程一根为﹣3，则由韦达定理可得另一根为，∴C（，）．同理D（，）∵两直线l1，l2平行，∴可设=t，=t，从而可得P（，）∴=（，）∵=（3，3k），∴存在实数λ=1+3k，使得=λ；（ii）∵=（，），∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0，∴|OP|的最小值为d==∴|OP|的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
重庆市重庆一中2017届高三上学期半期考试试题 数学(文) 含答案
秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（文科)2016。
11数学试题共4页，满分150分,考试时间120分钟注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3。
答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4。
所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知21zi i=++，则复数z =（ ）A.13i -+ B 。
13i - C.13i -- D 。
13i +2.（改编）设全集I 是实数集R ，{}3M x x =≥与{}0)1)(3(≤--=x x x N 都是I 的子集（如图所示）, 则阴影部分所表示的集合为( ） A.{}13x x << B 。
{}13x x ≤< C.{}13x x <≤D.{}13x x ≤≤3。
（原创）已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为( ） A.60 B 。
30060或 C.30 D 。
33030或4.（原创)函数x x xx f sin )(2+=的图象关于 （ )A 。
坐标原点对称 B.直线y x =-对称 C 。
y轴对称 D 。
直线y x =对称5。
点)2,1(--关于直线1=+y x 对称的点坐标是( ）)2,3(A.B.)2,3(-- C 。
)2,1(-- D 。
)3,2(6。
已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ） A.52+B 。
253+C.252+D.53+7。
已知函数3log )(,log )(,3)(33-=+=+=x x h x x x g x x f x的零点依次为c b a ,,，则A.c b a << B 。
重庆一中2016-2017学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年重庆一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x∈Z|x2＜3}，则∁I A=（）A．{﹣2，2}B．{﹣2，0，2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}2．已知复数（1+i）z﹣2=i，则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3B．y=﹣x2C．y=x|x|D．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170217．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．38．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．9．已知唐校长某日晨练时，行走的时间（x）与离家的直线距离（y）之间的函数图象（如图）．若用黑点表示唐校长家的位置，则唐校长晨练所走的路线可能是（）A．B．C．D．10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞）D．[2，+∞）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项之和分别为S n、T n．若对任意n∈N*有①（n+3）S n=（3n+1）T n；②a≥λb n均恒成立，且存在n0∈N*，使得实数λ有最大值，则n0=（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题设函数f（x）=，则f（f（﹣1））=．14．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标xOy系中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为．15．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．16．设数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），且a1+a2=4，则数列{}的前n项和S n为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，△ABC的周长为6，求a．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（，）满足=0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆有不同交点A，B，且＞1（O为坐标原点），求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞．选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x∈Z|x2＜3}，则∁I A=（）A．{﹣2，2}B．{﹣2，0，2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}【考点】补集及其运算．【分析】先解出集合A，然后根据补集的定义得出答案．【解答】解：A={x∈Z|x2＜3}={﹣1，0，1}，∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁I A={﹣2，2}，故选：A【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．已知复数（1+i）z﹣2=i，则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数（1+i）z﹣2=i，∴z===，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．【点评】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3B．y=﹣x2C．y=x|x|D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=lnx3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=﹣x2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴该函数为奇函数；；∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是增函数，且02=﹣02；∴该函数在R上为增函数，∴该选项正确；D.在定义域上没有单调性，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得出结论．【解答】解：由函数的图象可得A=2，=，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=，求得φ=，故选D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．9．已知唐校长某日晨练时，行走的时间（x）与离家的直线距离（y）之间的函数图象（如图）．若用黑点表示唐校长家的位置，则唐校长晨练所走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到小王家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项．【解答】解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程；由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到小王家的距离不变，所以只有选项D符合题意；故选D．【点评】本题主要考查函数的图象的知识点，重在考查了函数图象的读图能力．能够根据函数的图象准确的把握住关键信息是解答此题的关键．10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据直线与平面平行的判定方法，得出图①④中AB∥平面MNP．【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB⊄平面MNP，∴直线AB ∥平面MNP；综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．故选：D．【点评】本题考查了空间中的直线与平面平行的判断问题，解题时应结合图形进行分析，是基础题目．11．已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞）D．[2，+∞）【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=≤，即有2b≤c，∴4b2≤3c2，∴4（c2﹣a2）≤3c2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2故选：B．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项之和分别为S n、T n．若对任意n∈N*有①（n+3）S n=（3n+1）T n；②a≥λb n均恒成立，且存在n0∈N*，使得实数λ有最大值，则n0=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】由①（n+3）S n=（3n+1）T n，n=1时，a1=b1．n为奇数时，S n=．T n=．可得=，令t=，可得n=2t﹣1．不妨设a t=3t﹣1，b t=t+1．即a n=3n﹣1，b n=n+1．由②可得：λ≤，即λ≤，化简利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：由①（n+3）S n=（3n+1）T n，n=1时，a1=b1．n为奇数时，S n=．T n=．∴=，令t=，可得n=2t﹣1．不妨设a t=3t﹣1，b t=t+1．即a n=3n﹣1，b n=n+1．由②可得：λ≤，即λ≤==3（n+1）+﹣6，令f（x）=3x+，（x≥2），则f′（x）===，f（5）=15+，f（6）=18+，f（6）﹣f（5）＞0，∴n∈N*时，f（5）取得最小值．则n0=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋万全县期中）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））=1．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣1）=1，由此能求出f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）2﹣2（﹣1）=1，∴f（f（﹣1））=f（1）=log22=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标xOy系中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P==，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式的合理运用．15．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据两角和的余弦公式以及辅助角公式将条件进行化简，利用三角函数的诱导公式即可得到结论．【解答】解：∵cos（）﹣sinα===，∴，∵sin（）=sin（）=，∴sin（）=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数求值问题，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及诱导公式的应用，考查学生的运算能力．16．设数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），且a1+a2=4，则数列{}的前n项和S n为．【考点】数列的求和．﹣a n=2，【分析】数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），可得a n+1利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），﹣a n=2，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．∴a n+1∵a1+a2=4，∴2a1+2=4，解得a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和S n为=+…+==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I ）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明PA ∥平面BDE ；（II ）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案． 【解答】解：（I ）证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，∵ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点， 又E 是PC 的中点，∴OE ∥PA ，PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ；（II ）∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD 为三棱锥P ﹣ABD 的高，PD=DC=2，∴V A ﹣BDP =V P ﹣ABD =×S △ABD ×PD=××2×2×2=．【点评】本题考查了线面平行的证明及三棱锥的体积计算，利用线线平行证明线面平行是证明线面平行的基本方法．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB=bcosA ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为，△ABC 的周长为6，求a ．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得，结合范围0＜A ＜π，可求A 的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc=4，利用周长及余弦定理可得，即可解得a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ），∴由正弦定理得：．…，…，…∵0＜A＜π，…．…（Ⅱ）a+b+c=6，…△ABC的面积为=bcsinA=bc，可得：bc=4，…在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣bc，…则，…可得：，…可得：（6﹣a）2=a2+12，解得：a=2．…【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据已知条件可以推知a n=2a n﹣2a n﹣1⇒a n⇒2a n﹣1，结合等比数列的定义推知数列{a n}是以2为首项，2为公比的等边数列，则易求通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2⇒a n=2a n﹣2a n﹣1⇒a n⇒2a n﹣1易得：a1=2，则．（Ⅱ），①．②①﹣②得，．=，．【点评】本题考查了数列的求和，数列的递推式．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（，）满足=0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆有不同交点A，B，且＞1（O为坐标原点），求实数k的取值范围．【考点】椭圆的应用．【分析】（1）由题意得：c=，a=2，b=1．从而写出椭圆方程即可；（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得k的范围，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意得：c=，a=2，∴b=1．∴椭圆方程为（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2）则=，∴．【点评】本小题主要考查椭圆的应用、向量的数量积的应用、不等式的解法等基础知识，解答的关键在于学生的运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）设，求出函数的导数，通过讨论函数的单调性，结合x的范围证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设．…，…则在点处的切线方程为：．…（Ⅱ）设，则，…x∈（1，+∞）⇒F''（x）＞0⇒F'（x）在（1，+∞）上为增函数；…又因，在（1，+∞）上为增函数；…在（1，+∞）都成立．…设，由于△=32（2﹣e）＜0，…则在（1，+∞）上为增函数，又G（1）=0，…若x＞1时，则．…综上：．…【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NANB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NANB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋红塔区校级月考）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标方程互化方法，求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，圆心到直线的距离d＜r，即可求实数a取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为：（x+1）2+（y+1）2=1，∵C1与C2有两个公共点，∴圆心到直线的距离d=＜1，∴实数a的取值范围：﹣2﹣＜a＜﹣2+．【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014开封模拟）已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）依题意，对自变量x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得f（x）＞x解集；（Ⅱ）首项利用基本不等式求得+≥9，再通过对x的范围分类讨论，解绝对值不等式|2x ﹣1|﹣|x+1|≤9即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|=．∵f（x）＞x，∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞x，解得x＜1，故x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x＞x，解得x＜0，故﹣1≤x＜0；当x＞时，x﹣2＞x，该不等式无解；综上所述，f（x）＞x解集为{x|x＜0}；（Ⅱ）∵a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），（a+b）（+）=5++≥9，∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x＜﹣1时，1﹣2x+x+1≤9，解得﹣7≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x≤9，解得x≥﹣3，故﹣1≤x≤；当x＞时，x﹣2≤9，解得＜x≤11．综上所述，﹣7≤x≤11，即x的取值范围为[﹣7，11]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查恒成立问题及基本不等式与集合的运算，属于中档题．。
重庆一中2017-2018学年高三下学期9月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年重庆一中高三（下） 月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分．1．已知集合M={x |x 2+x ﹣2＜0}，N={x |log 2x ＜1}，则M ∩N=（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣1，2） C ．（0，1） D ．（1，2） 2．若纯虚数z 满足（1﹣i ）z=1+ai ，则实数a 等于（ ） A ．0 B ．﹣1或1 C ．﹣1 D ．1 ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线m ：x ﹣2y +3=0垂直，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知sin φ=，且φ∈（，π），函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f （）的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 5=5a 3，则=（ ）A ．10B ．9C ．12D ．57．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则弦长|AB |的值为（ ）A ．8B ．C ．D ．68．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．6C ．3+D ．9．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）A．2 B．4 C．6 D．810．如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（）km．A．7 B．8 C．9 D．611．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．12．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C． +1 D． +1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=．14．x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值是．15．已知函数，则=．16．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．各项均为正数的数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是首项和公比为2的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110） (140)150），后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥PA；（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点E（﹣1，0）且不与坐标轴垂直的直线l交此椭圆于C，D两点，若线段CD的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求实数x0的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（）=t（t为参数）．（1）求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；（2）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，求证：．2015-2016学年重庆一中高三（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分．1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：集合M={x|x2+x﹣2＜0}=（﹣2，1），N={x|log2x＜1}=（0，2），则M∩N=（0，1），故选：C．2．若纯虚数z满足（1﹣i）z=1+ai，则实数a等于（）A．0 B．﹣1或1 C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，由z的实部为0且虚部不为0求得实数a的值．【解答】解：由（1﹣i）z=1+ai，得，∵z为纯虚数，∴，即a=1．故选：D．，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到==5，==7，∴这组数据的样本中心点是（5，7）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴7=5+2，∴=1．故选：A．4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0垂直，则sin2θ=（）A．B．C． D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出直线l的斜率是﹣2，即tanθ=﹣2，根据同角的三角函数的关系求出sinθ，cosθ的值，根据二倍角公式计算即可．【解答】解：直线m：x﹣2y+3=0的斜率是：，∵l⊥m，∴直线l的斜率是﹣2，故tanθ=﹣2，∴＜θ＜，∴，解得：sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故选：C．5．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=5a3，则=（）A．10 B．9 C．12 D．5【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}，a5=10a3，求出a1=﹣d，再求的值．【解答】解：∵等差数列{a n}，a5=5a3，∴a1=﹣d，∴=9，故选：B．7．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则弦长|AB|的值为（）A．8 B．C．D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y2=4x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|．【解答】解：抛物线C：y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设A（x，y），∵A到抛物线的准线的距离为4，∴|AF|=x+1=4，故x=3代入抛物线C：y2=4x，可得A的纵坐标为y=±，不妨设A（3，2），则k AF==，∴直线AB的方程为y=（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x，可得3（x﹣1）2=4x，即3x2﹣10x+3=0，∴x=3或x=，∴B的横坐标为x=，∴B到抛物线的准线的距离|BF|=+1=，∴|AB|=4+=．故选：B．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．6 C．3+D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为正方体切去一个三棱锥后剩余的部分．【解答】解：由三视图可知几何体为正方体ABCD﹣A'B'C'D'切去一个三棱锥B'﹣A'BC'得到的，正方体的棱长为1，切去的三棱锥的底面A'BC'是边长为的等边三角形．所以几何体的表面积S=12×3++=，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：A．10．如图，为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（）km．A．7 B．8 C．9 D．6【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB，cosD，令cosB+cosD=0解出AC．【解答】解：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==，在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0，解得AC=7．故选：A．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C 的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．12．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C． +1 D． +1【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点P（x，y），则动点P满足||=1可得x2+（y+2）2=1．根据|++|=，表示点P（x y）与点Q（﹣，﹣1）之间的距离．显然点Q在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得QC=，问题得以解决．【解答】解：设点P（x，y），则动点P满足||=1可得x2+（y+2）2=1．根据++的坐标为（+x，y+1），可得|++|=，表示点P（x y）与点Q（﹣，﹣1）之间的距离．显然点Q在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得QC=，|++|的最小值为QC﹣1=﹣1，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，∴，又，∴，得．故答案为：14．x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值是﹣3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=3﹣2×3=﹣3．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．15．已知函数，则=2．【考点】函数的值．【分析】由lg=﹣lg3，利用函数性质、对数运算法则能求出结果．【解答】解：∵函数，∴=lg（）+1+lg（+1）=lg[（+2lg3）（+2）]+2=lg[（+2lg3）（+2）]+2=lg[1+4（lg3）2+2lg3•﹣3lg3•﹣4（lg3）2]+2=lg1+2=2．故答案为：2．16．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2，∴2r==4，∴r=2，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴该三棱锥的外接球的半径为=，∴该三棱锥的外接球的体积=．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．各项均为正数的数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是首项和公比为2的等比数列，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由，得：，从而得到a n+1﹣a n=1，再求出a1=1，由此能求出a n=n．（2）求出，从而a n b n=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{a n•b n}的前n项和．【解答】解：（1）由，①得：，②②﹣①，得：，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵数列{a n}中各项均为正数，∴a n+1﹣a n=1，n=1时，，解得a1=1，∴数列{a n]是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．（2）∵数列{b n}是首项和公比为2的等比数列，∴，∴a n b n=n•2n，∴数列{a n•b n}的前n项和：，，∴∴．18．某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110） (140)150），后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数为：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n==15，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：p=1﹣=．19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 为等边三角形，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：BE ⊥PA ；（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D 到平面PAC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）取PA 的中点F ，连结BF 、EF ，推导出AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PA ，PA ⊥EF ，再由等边三角形性质得BF ⊥PA ，由此能证明BE ⊥PA ．（Ⅱ）取AB 的中点H ，则由平面PAB ⊥平面ABCD 知PH ⊥平面ABCD ，设点D 到平面PAC 的距离为d ，由V P ﹣ACD =V D ﹣PAC ，能求出结果． 【解答】证明：（Ⅰ）取PA 的中点F ，连结BF 、EF ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，AD ⊥AB ， ∴AD ⊥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AD ⊥PA ， ∵EF ∥AD ，∴PA ⊥EF ，∵△PAB 为等边三角形，∴BF ⊥PA ， 又BF ∩EF=F ，∴PA ⊥平面BEF ， 又BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥PA ．（Ⅱ）取AB 的中点H ，则由平面PAB ⊥平面ABCD 知PH ⊥平面ABCD ，又PH==，=4，∴，由（Ⅰ）知PA ⊥平面BCEF ，FC ⊂平面BCEF ，∴PA ⊥FC ，又FC=BE==，∴，设点D 到平面PAC 的距离为d ，由V P ﹣ACD =V D ﹣PAC ，得，解得d=．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点E（﹣1，0）且不与坐标轴垂直的直线l交此椭圆于C，D两点，若线段CD的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求实数x0的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为．由已知可得：，解出即可得出．（2）由题意知直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y=k（x+1），C（x1，y1），D（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，（k≠0），利用根与系数的关系、中点坐标公式，可得中点，再利用垂直平分线的性质、点斜式可得方程，进而得出．【解答】解：（1）设椭圆方程为．由已知得，∴所求椭圆方程为：（2）由题意知直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y=k（x+1），C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得关于x的方程；（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，（k≠0），∵E（﹣1，0）在椭圆内部，∴直线l与椭圆恒有两交点，设线段CD的中点为N（x N，y N）．又由韦达定理得，∴，，∴线段CD的垂直平分线是：，令y=0，∴，∴．21．已知函数．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，对a讨论，0＜a＜1，a=1，a＞1，判断单调性，即可得到所求递减区间；（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．令函数．求出导数，判断单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣（a＞0），①当a∈（0，1）时，．由f'（x）＜0，得或x＜1．当x∈（0，1），时，f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为（0，1），；②当a=1时，恒有f'（x）≤0，∴f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；③当a∈（1，+∞）时，．由f'（x）＜0，得x＞1或．∴当，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．综上，当a∈（0，1）时，f（x）的单调递减区间为（0，1），；当a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a∈（1，+∞）时，f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．令函数．则．令函数．则在上有p'（x）≥0．故p（x）在上单调递增．∵p（1）=0，∴当时，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．∵，h（1）=1，，∴k的取值范围为．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【考点】圆的切线方程；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE 可得结论．（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF推出结果．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（）=t（t为参数）．（1）求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；（2）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线M的参数方程为（α为参数），利用同角三角函数平方关系可得：可得x2﹣y=1．由曲线N的极坐标方程为ρsin（）=t（t为参数），展开化为=t，利用即可化为普通方程，可得x，y的取值范围．（2）由（1）可得t的取值范围，联立，化为x2+x﹣（t+1）=0，由于曲线N与曲线M有公共点，可得△≥0，解出进而得出即可．【解答】解：（1）由曲线M的参数方程为（α为参数），可得x2﹣y=+3cos2α﹣=1，∴曲线M的普通方程为x2﹣y=1．由曲线N的极坐标方程为ρsin（）=t（t为参数），展开化为=t，化为x+y=t（x∈[﹣2，2]）．（2）由y=2+1∈[﹣1，3]．x∈[﹣2，2]）．∴t∈[﹣3，5]，联立，化为x2+x﹣（t+1）=0，∵曲线N与曲线M有公共点，∴△=1+4（t+1）≥0，解得t≥．∴t∈．∴t的取值范围是．24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，求证：．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）|x+2|+|x﹣2|≤6等价于或或，由此能求出集合M．（2）当a，b∈M，即﹣3≤b≤3时，要证，即证3（a+b）2≤（ab+3）2．由此能证明．【解答】解：（1）|x+2|+|x﹣2|≤6等价于或或，解得﹣3≤x≤3，∴M=[﹣3，3]．证明：（2）当a，b∈M，即﹣3≤b≤3时，要证，即证3（a+b）2≤（ab+3）2．∵3（a+b）2﹣（ab+3）2=3（a2+2ab+b2）﹣（a2b2+6ab+9）=3a2+3b2﹣a2b2﹣9=（a2﹣3）（3﹣b2）≤0，∴．2016年8月4日。
重庆市重庆一中2017届高三下学期第一次月段考试数学文科试题含答案 bybao 精品
2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6|233xA B x N ==∈≤，则集合AB 的子集个数为A. 6B. 7C. 8D. 4 2.设i 是虚数单位，复数21a ii++为实数，则实数a 的值为 A. B. C. D.3.抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 A.3 B. 23 C. 2 D.14.“p ⌝是真”是“p q ∨为假”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知等比数列的前三项分别是1,1,4a a a -++，则数列{}n a 的通项公式为A. 342n n a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭B. 1342n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭C. 243nn a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ D. 1243n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭6.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示：若,x y 之间的线性回归方程为ˆˆ12.28ybx =+，则ˆb 的值为 A. 0.96 B. -0.94 C. -0.92 D.-0.987.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8520S S -=，则11S 的值为 A. 66 B. 48 C. 44 D. 128.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是 A. (]2,4 B. ()2,+∞ C. (]4,10 D. ()4,+∞ 9.如图，网格纸的小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A.52 B. 72 C. 324+ D. 333+10.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是 A. ()1,3 B. (]1,2 C.()3,+∞ D.[)2,+∞11.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线23y x =-+上任一点，则MN 的最小值是A.55 B. 255 C. 1 D.17212.已知函数()()ln ln ,1xf x x f x x =-+在0x x =处取得最大值，以下各式中：①()00f x x <；②()00f x x =；③()00f x x =；④()012f x <；⑤()012f x >，正确是序号是A.③⑤B. ②⑤C. ①④D. ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()[]223,4,4fx x x x =--∈-，任取一点[]04,4x ∈-，则()00f x ≤的概率为 .14. 已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += . 15. 如图，球面上有A,B,C 三点，90,2ABC BA BC ∠===,球心O 到平面ABC 的距离为2，则球的体积为 .16. 已知函数()()()ln ,0,f x x a b f a f b =>>=，则22a b a b+-的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）（中国好声音（The Voice of China ））是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出，每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两位参加某节目录制. （1）请回答基本事件总数并列出所有的基本事件；（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.18.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面.ABC（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）已知点D 是平面ABC 内一点，且四边形ABCD 为平行四边形，在直线1AA 上是否存在点P ，使//DP 平面1ABC ？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.19.（本题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，内角A,B,C 满足22sin123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积的最大值.20.（本题满分12分）平面直角坐标系xoy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6.（1）求椭圆的方程；（2）A,B 是抛物线22:4C x y =上两点，且A,B 处的切线相互垂直，直线AB 与椭圆1C 相交于C,D 两点，求弦CD 的最大值.21.（本题满分12分） 已知函数()ln a xf x x+=在点()(),e f e 处切线与直线20e x y e -+=垂直.（注：e 为自然对数的底数）（1）求a 的值；（2）若函数()f x 在区间(),1m m +上存在极值，求实数m 的取值范围； （3）求证：当1x >时，()21f x x >+恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程为()2cos sin a ρθθ-=，曲线2C 的参数方程为sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），且1C 与2C 有两个不同的交点. （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）求实数a 的取值范围.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()223,1 2.f x x a x g x x =-++=-+ （1）解不等式()22g x x <-+；（2）若对任意1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.。
2017年重庆一中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2017年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}，N={1，2，3，4，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{2，3，4}D．{1，2，4，5}2．设=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则|a﹣bi|=（）A．1 B．C．D．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1474．设向量，且，则x的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）A．±1 B．C．±2 D．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．18．已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．10．已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．211．已知函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），则不等式f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．D．（﹣1，+∞）12．若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．π C．π D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切，则a的值为．14．如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是．15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（﹣log224）=．16．已知数列{b n}满足，，则数列的前7项和S7=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2a cosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求∠ADB和BC．18．经国务院批复同意，重庆成功入围国家中心城市，某校学生社团针对“重庆的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图所示茎叶图：（Ⅰ）计算女生打分的平均分，并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散；（Ⅱ）如图按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高h；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=CD=SD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD的中点，过M，N作平面MNPQ分别与交BC，AD于点P，Q．（Ⅰ）当Q为AD中点时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）当时，求三棱锥Q﹣BCN的体积．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，（i）求证：为定值；（ii）求△OPQ面积的最小值．21．已知函数f（x）=x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（Ⅰ）若m=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}，N={1，2，3，4，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{2，3，4}D．{1，2，4，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}={2，3，4}，N={1，2，3，4，5}，∴M∩N={2，3，4}．故选：C．2．设=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则|a﹣bi|=（）A．1 B．C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】求出a，b的值，求出|a﹣bi|的值即可．【解答】解：==+i=a+bi，故a﹣bi=﹣i，|a﹣bi|==，故选：D．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．4．设向量，且，则x的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量运算法则求出=（x﹣1，3），再由，能求出x的值．【解答】解：∵向量，∴=（x﹣1，3），∵，∴=x﹣1﹣3=0，解得x=4．故选：D．5．过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）A．±1 B．C．±2 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，则∠CAD=，则∠xFB=，直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理即可求得直线AB的斜率﹣．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，则∠CAD=，∴∠xFB=，则直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理可知：直线AB的斜率﹣，∴直线AB的斜率±，故选B．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=3+=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=+=，b=8，不满足进行循环的条件，故输出的n值为2，故选：A．7．如图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1．∴该几何体的体积==．故选：A．8．已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．【解答】解：的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0=﹣2，x+y的最小值为﹣2，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：B（﹣1，3）点，﹣2﹣3+1=﹣4，A（﹣2，0），﹣4﹣0+1=﹣3，C（0，2），0﹣2+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2．故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：D．9．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，解得1≤x≤2或＜x＜1，∴原不等式的解集为（，2]．则所求概率为=．故选：B．10．已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．11．已知函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），则不等式f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．D．（﹣1，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x）为奇函数且在R上是增函数，则不等式f（2x+1）+f（1）＜0可以转化为2x+1＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）=（﹣x）2（2﹣x﹣2x）=﹣x2（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其导数f′（x）=x2（2x﹣2﹣x）+x2•ln2（2x+2﹣x）＞0，则f（x）为增函数；不等式f（2x+1）+f（1）＜0⇒f（2x+1）＜﹣f（1）⇒f（2x+1）＜f（﹣1）⇒2x+1＜﹣1，解可得x＜﹣1；即f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）；故选：B．12．若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．π C．π D．π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切，则a的值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切，得到圆心C（0，a）到直线x+y=0的距离等于半径r=1，由此能求出a．【解答】解：∵直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切，∴圆心C（0，a）到直线x+y=0的距离等于半径r=1，即d==1，解得a=．故答案为：．14．如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是144．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数与行数相同，之间的数总是上一行对应的两个数的积，即可得出结论．【解答】解：由题意a=12×12=144．故答案为：144．15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（﹣log224）=．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】根据题意，分析可得f（﹣log224）=f（log224）=f（4+log2）=f（log2），结合函数的解析式可得f（log2）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），则f（﹣log224）=f（log224）=f（4+log2）=f（log2），0＜log2＜1，又由当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（log2）==，即f（﹣log224）=；故答案为：．16．已知数列{b n}满足，，则数列的前7项和S7=．【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出数列{b n}的通项公式，再根据错位相减法求和即可．【解答】解：当n=1时，=1，即b1=2，∵，①，当n≥2时，++…+=n﹣1，②，由①﹣②可得=1，∴b n=2n，当n=1时，成立，∴b n=2n，=2n．∴a n﹣1=n∴a n=n+1，∴=，设数列的前n项和S n，∴S n=2×（）1+3×（）2+…+n×（）n﹣1+（n+1）×（）n，①S n=2×（）2+3×（）3+…+n×（）n+（n+1）×（）n+1，②由①﹣②可得S n=+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）×（）n+1=+﹣（n+1）×（）n+1=+1﹣（）n﹣（n+1）×（）n+1=﹣×（）n，∴S n=3﹣，∴S7=3﹣=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2a cosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求∠ADB和BC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可得到cosA=﹣，问题得以解决，（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）2acosC﹣c=2b⇒2sinAcosC﹣sinC=2sinB，2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC⇒﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴，而A∈（0，π），∴；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，∴，∴由余弦定理，．18．经国务院批复同意，重庆成功入围国家中心城市，某校学生社团针对“重庆的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图所示茎叶图：（Ⅰ）计算女生打分的平均分，并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散；（Ⅱ）如图按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高h；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出女生打分平均数，观察茎叶图知男生打分数据比较分散．（Ⅱ）由茎叶图知20名学生中分数在[70，80）内的学生人数最多，共有9人，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）设“有女生被抽中”为事件A，打分在70分以下（不含70分）的同学中，女生有2人，设为a，b，男生4人设为c，d，e，f．利用列举法能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知：女生打分平均数，…男生打分数据比较分散（通过观察茎叶图或者众数中位数说明，不必说明理由）．…（Ⅱ）由茎叶图知20名学生中分数在[70，80）内的学生人数最多，共有9人，∴最高矩形的高．…（Ⅲ）设“有女生被抽中”为事件A，打分在70分以下（不含70分）的同学中，女生有2人，设为a，b，男生4人设为c，d，e，f．基本事件有：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20种，其中有女生的有16种，…∴有女生被抽中的概率．…19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=CD=SD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD的中点，过M，N作平面MNPQ分别与交BC，AD于点P，Q．（Ⅰ）当Q为AD中点时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）当时，求三棱锥Q﹣BCN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出四边形ABCE为矩形，从而AE⊥CD，再求出PQ⊥AE，SE ⊥CD，从而SE⊥面ABCD，进而PQ⊥SE，由此能证明PQ⊥面SAE，从而面MNPQ ⊥面SAE．（Ⅱ），推导出SE即为S到平面BCQ 的距离，即SE=h，由此能求出三棱锥Q﹣BCN的体．【解答】证明：（Ⅰ）E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD，当时，Q为AD中点，PQ∥CD所以PQ⊥AE…因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD…因为PQ在面ABCD上，所以PQ⊥SE所以PQ⊥面SAE所以面MNPQ⊥面SAE…解：（Ⅱ）∵SC=SD，E为CD中点∴SE⊥CD又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，S在平面SCD内∴SE⊥面ABCD∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h…在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴在直角梯形ABCD中，由已知得∵M，N为中点∴MN∥AB∴AB∥面MNPQ又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ∴AB∥PQ，又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴∴…如图，在梯形ABCD中，∵GD=1，，∴，∴所以三棱锥Q﹣BCN的体积．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，（i）求证：为定值；（ii）求△OPQ面积的最小值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意即可求得a=2，b=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）分类讨论，当OP和OQ的斜率存在时，设OP和OQ方程，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，即可求得，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，则；（ii）分类讨论，由（i）可知由求得丨OP丨及丨OQ丨，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OPQ面积的最小值．=1，即可求得△OPQ面积的最小当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S△OPQ值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，2c=|F1F2|=2，c=，当M位于上下端点时，∠F1MF2的最大，则，∠F1MO=，则a=2，b=1，∴椭圆方程为：…（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得，同理得，，故，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得，综上得，得证（未讨论斜率这扣1分）…ii）当OP，OQ斜率都存在且不为0时：由上面所求可知：，，，…当且仅当1+4k 2=4+k 2，则k 2=1，k=±1时取等号 … 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，S △OPQ =1综上S △OPQ 的最小值为（未讨论斜率这扣 ） …另解：由当且仅当|OP |=|OQ |时取等号 综上S △OPQ 的最小值为…21．已知函数f （x ）=x 2﹣2x +mlnx （m ∈R ），．（Ⅰ）若m=1，求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求g （x 1﹣x 2）的最小值． 【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出k 的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）求出，，令，则问题转化为在的最值，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，f （x ）=x 2﹣2x +lnx所以，∵f （1）=﹣1，所以在点（1，f （1））处的切线方程为y +1=k （x ﹣1）=x ﹣1⇒x ﹣y ﹣2=0…（Ⅱ）∵2x2﹣2x+m=0的△=4﹣8m的对称轴为…（1）当△＜0即时，方程2x2﹣2x+m=0无解，在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单增当△=0即时，方程2x2﹣2x+m=0有相等的实数解，…在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单增；（2）当△＞0即时，方程2x2﹣2x+m=0有解，解得当m≤0时，x1＜0＜x2，解不等式所以f（x）在（x2，+∞）单增，在（0，x2）单减；当时，0＜x1＜x2，解不等式所以f（x）在（x2，+∞）单增，在（x1，x2）单减，在（x2，+∞）和（0，x1）单增，…综上所得：m≤0时，函数在（0，）单调递减，（，+∞）单调递增；0＜m＜时，函数在（0，）单调递增，在（，）单调递减，（，+∞）单调递增；m≥时，函数在（0，+∞）单调递增…（Ⅲ）´由（Ⅰ）可知当时函数f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），且x1，x2为方程2x2﹣2x+m=0的两个根，则，，令，则问题转化为在的最值，又∵，且，…所以g（t）在，所以当时g（t）最小．∴…请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意可知：ρ2=4ρcosθ，将ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可求得曲线C1的直角坐标方程，消去参数t，即可求得直线l的普通方程；（2）求得PQ中点M的坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式化简，根据正弦函数的性质，即可求得PQ的中点M到直线l距离的最大值．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，则ρ2=4ρcosθ，由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入整理：x2+y2﹣4x=0曲线，将直线l参数t消去，即可求得直线l：x+2y﹣3=0；…（2）由，直角坐标为（2，2），，则M到直线l的距离d==丨sin（α+）丨，由正弦函数的性质可知：0≤丨sin（α+）丨≤1，∴PQ的中点M到直线l的最大值为．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）解不等式|2x﹣3|＜x得出x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集，从而可求得m，n；（II）利用基本不等式得出（a+b+c）2的最小值，从而得出a+b+c的最小值．【解答】解：（I）∵|2x﹣3|＜x，∴﹣x＜2x﹣3＜x，解得1＜x＜3，∴x2﹣mx+n＜0的解集为（1，3），∴1，3是x2﹣mx+n=0的两根，即，解得m=4，n=3．∴m﹣n=1．（II）由（1）得ab+bc+ac=1，．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac=2，∴a2+b2+c2≥1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥1+2=3．∴a+b+c≥．当且仅当a=b=c=时取等号．2017年6月20日。
2017届高三数学下第一次月段考试试题(重庆市文科附答案)
2017届高三数学下第一次月段考试试题（重庆市文科附答案）2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷（科）一选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1已知集合，则集合的子集个数为A 6B 7 8 D 42设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为A B D3抛物线的焦点到直线的距离是A B D4“ 是真”是“ 为假”的A 充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条已知等比数列的前三项分别是，则数列的通项公式为A BD6变量之间的一组相关数据如下表所示：若之间的线性回归方程为，则的值为A 096B -094 -092 D-0987若是等差数列的前项和，且，则的值为A B 48 44 D 128在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的的取值范围是A B D9如图，网格纸的小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A B D10已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是A B D11已知点的坐标满足不等式组，N为直线上任一点，则的最小值是A B D12已知函数在处取得最大值，以下各式中：①；②；③；④；⑤，正确是序号是A③⑤B ②⑤①④D ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分13 函数，任取一点，则的概率为14 已知平面向量，且，则1 如图，球面上有A,B,三点，,球心到平面AB的距离为，则球的体积为16 已知函数，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的字说明或推理、验算过程17（本题满分12分）（中国好声音（The Vie f hina））是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出，每期节目有四位导师参加导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身导师的团队中接受指导训练已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两位参加某节目录制（1）请回答基本事总数并列出所有的基本事；（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率18（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面（1）求三棱柱的体积；（2）已知点D是平面内一点，且四边形为平行四边形，在直线上是否存在点P，使平面？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由19（本题满分12分）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象（1）求函数的解析式；（2）在中，内角A,B,满足，且其外接圆的半径为，求的面积的最大值20（本题满分12分）平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6（1）求椭圆的方程；（2）A,B是抛物线上两点，且A,B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆相交于,D两点，求弦的最大值21（本题满分12分）已知函数在点处切线与直线垂直（注：e为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（3）求证：当时，恒成立请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），且与有两个不同的交点（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求实数的取值范围23（本题满分10分）选修4-：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围。
重庆一中高三数学下学期5月月考试题 文 新人教A版
2012-2013学年重庆一中高三（下）5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）2．（5分）（2012•浙江模拟）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）3．（5分）已知a 是实数，是纯虚数，则a 等于（）是实数，且=4．（5分）已知a，b是实数，则“”是“a+b＞5”的（）解：由“”，比如取”，”是“a+b＞5”的充分不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到向右平移个单位长度向左平移向右平移个单位长度．向左平移x+）=2x+x+）的图象向右平移个单位长度即可，6．（5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则，得，把变形为，即=．当且仅当，即的最小值是7．（5分）在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面积S=，则sinC=（）=acsinB=⇒=及可求得答案．，∠B=S==acsinB=×1×c×，﹣2×1×4×；=得：=∴sinC=8．（5分）过圆x2+y2﹣10x=0内一点（5，3），有一组弦的长度组成等差数列，最小弦长为=9．（5分）重庆长寿湖是重庆著名的湿地公园，每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来此栖息、觅食，有些不法分子在某边长分别为6，8，10米的三角形沼泽地内设置机关，当鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于2米（不包括三角形外界区域），就会被捕获，假设鸟类在三角形区域任意地点出现的概率是等可能的，则鸟类在此三角形区域中不幸被捕∠A•r∠B•r+=•=24P=10．（5分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）是双曲线（到坐标原点的距离为PF，．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知抛物线方程y=2x2，则它的焦点坐标为．，故其焦点在．故答案为：12．（5分）如图所示的程序框图输出的结果i= 11 ．13．（5分）已知x，y满足不等式组则目标函数z=3x+y的最大值为12 ．的可行域如下图示：14．（5分）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设，则m+n= ．=+=，而已知，可得，由此求得+=+，而已知，可得n= m+n=15．（5分）观察下列问题：已知（1﹣2x）2013=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2013x2013，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a2013=（1﹣2•1）2013=﹣1，令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2+a3+…﹣a2013=（1+2•1）2013=32013，请仿照这种“赋值法”，求出= ﹣1 ．+=0的值．，可得=0三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）16．（13分）已知点（1，2）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a n}的前n项和S n=f（n）﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．，所以．利用等差数列和等比数列的前时，，时也适合．∴．，所以．．17．（13分）已知函数f（x）=2sin（2x+）﹣4cos2x+2，（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若，求函数f（x）的值域．）﹣sin2x） (4)k）∵x﹣时，﹣时，18．（13分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．，得到全班人数，再由茎叶图求出数在==25）间的矩形的高为之间的频率是．19．（12分）（2010•巢湖模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．CDCDAE=20．（12分）已知函数f（x）=，且f（x）+g（x）=，（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．⇔．∴．a=，解得，应舍去．上单调递增，﹣上单调递减，，﹣，解得综上所述，21．（12分）已知椭圆C：，直线（m+3）x+（1﹣2m）y﹣m﹣3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：①点S恒在椭圆C上；②求△MST面积的最大值．，解得．；的直线方程为的直线方程为（．，得（．，则9u+在（）上为增函数，的最小值为．。
重庆市一中高三数学下学期5月月考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．83．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．556．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．210．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N=．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．13．实数x，y满足不等式组，则的取值X围是．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值X围．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值X围．某某一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部．解答：解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i﹣1=2i，∴复数（1+i）2的虚部为2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式化简S3=6，利用等差数列的性质即可求出a2的值，然后利用等差数列的性质表示出a4，把公差d和求出的a2的值代入即可求出值．解答：解：由S3==2a2=6，得到a2=3，则a4=a2+2d=3+6=8．故选D点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．3．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．解答：解：若k=m=1时，两条直线重合，则l1∥l2不成立，若l1∥l2，则满足k=m≠1，即“k=m”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的基本性质，考查计算能力．5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先由（）⊥，得到•=﹣1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为θ，θ∈[0，π]∵（）⊥，∴（）•=0，即（）2+•=0，∴•=﹣1，∴cosθ===，∴θ=，故选：B点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别柱体体积和锥体体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，其直观图如下图所示：柱体的底面面积S==8，高为4，体积为32，锥体的底面面积S==4，高为4，体积为，故组合体的体积V=32﹣=，故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N={0，1，2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：首先，求解函数y=ln（3﹣x）的定义域，即得集合A，然后，求解A∩N即可．解答：解：∵函数y=ln（3﹣x），∴3﹣x＞0，∴x＜3，∴集合A={x|x＜3}，∴A∩N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}．点评：本题重点考查了函数的定义域的求解方法、集合的交集运算等知识，属于基础题．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，可得a＞2，结合a∈[0，10]，以长度为测度，即可求概率．解答：解：∵函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，∴a＜2，∵a∈[0，10]，∴函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查函数的单调性，确定测度是关键．13．实数x，y满足不等式组，则的取值X围是．考点：简单线性规划；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值X围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（﹣1，1）连线的斜率由图可知的取值X围是[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，∴x=1，y=2时取等号．故4x+3y的最小值是5，故答案为：5点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．考点：两点间距离公式的应用．专题：新定义；直线与圆．分析：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．解答：解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．点评：本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值X围．考点：等比数列的性质；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值X围．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为 a2=5，S2=a1+a2，所以 S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得 p=2．…所以．当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，…得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为 T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值X围是．…点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图数据直接求样本数据的中位数、平均数即可；！（Ⅱ）列举从10件中药材的优等品中随机抽取2件的所有基本事件，找出2件优等品的重量之差不超过2克所包含的事件，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）样本数据的中位数是，样本数据的平均数是=15；根据样本数据估计总体的思想可得，这100件中药材重量的平均数是15克，因此，估计这100件中药材的总重量约为100×15=1500克．（Ⅱ）这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克．从10件中药材的优等品中随机抽取2件，所有基本事件有：（17，18），（17，20），（17，21），（17，23），（18，20），（18，21），（18，23），，，（21，23）共10个．记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A，则事件A的基本事件有：（17，18），（18，20），），，（21，23）共4个．∴P（A）==．∴这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为．点评：本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等知识，以及数据处理能力，样本估计总体的数学思想．属于中档题．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）先求出sinB=，sin∠ADC=，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求出结论；（2）在△ABD中，由正弦定理求得BD，在△ADC中，由余弦定理，求得AC．解答：解：（1）因为cosB=，所以sinB=，…又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，…所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==；…（2）在△ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD=，…故DC=，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=所以AC=．…点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）建立空间直角坐标系，设出棱长，得到点的坐标，由向量数量积证得答案；（2）把三棱锥P﹣MNQ的体积转化为A1﹣MNQ的体积，即N﹣A1MQ的体积，则三棱锥P﹣MNQ 的体积可求．解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=a，则A（0，0，0），M（0，a，），N（），Q（），A1（0，0，a），B1（a，0，a），再设P（x，0，a），由A1P=λA1B1，得，即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，∴P（λa，0，a），∵，，，∴，则AM⊥平面PNQ；（2）解：由（1）可知，P在线段A1B1上移动时三棱锥P﹣MNQ的体积一定，不妨取A1为P，由AA1=AB=AC=1，得，MQ=，A1到MQ的距离为，∴=，QN=，则==．点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，是中档题．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=时S最小，进而得到答案．解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为π，则=π，即r2h=3，故r与h满足的关系式为r2h=3；…（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=，所以S=πr=π=π=π，（h＞0 ），…设f（h）=（h＞0 ），由f′（h）=+3=0，解得h=，当0＜h＜时，f′（h）＜0；当h＞时，f′（h）＞0；因此，h=时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；…由r2h=3得====，所以最省时的值为．…点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值X围．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得=λ；（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值X围．解答：（Ⅰ）解：由题意，∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B∴，∴b=1，∴椭圆L的标准方程为；（Ⅱ）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，其中k≠0，则M （0，3k），N（，0）．y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，方程一根为﹣3，则由韦达定理可得另一根为，∴C（，）．同理D（，）∵两直线l1，l2平行，∴可设=t，=t，从而可得P（，）∴=（，）∵=（3，3k），∴存在实数λ=1+3k，使得=λ；（ii）∵=（，），∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0，∴|OP|的最小值为d==∴|OP|的取值X围为[，+∞）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
重庆市一中高三数学下学期5月月考试卷 文(含解析)
重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．83．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．556．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．210．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N=．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．重庆一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．复数（1+i）2的虚部是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：直接展开两数和的平方运算，化简后求得复数（1+i）2的虚部．解答：解：由（1+i）2=1+2i+i2=1+2i﹣1=2i，∴复数（1+i）2的虚部为2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．等差数列{a n}的前n项和S n，S3=6，公差d=3，则a4=（）A．12 B．11 C．9 D．8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和公式化简S3=6，利用等差数列的性质即可求出a2的值，然后利用等差数列的性质表示出a4，把公差d和求出的a2的值代入即可求出值．解答：解：由S3==2a2=6，得到a2=3，则a4=a2+2d=3+6=8．故选D点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．3．已知直线l1：y=kx+1和直线l2：y=mx+m，则“k=m”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．解答：解：若k=m=1时，两条直线重合，则l1∥l2不成立，若l1∥l2，则满足k=m≠1，即“k=m”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的基本性质，考查计算能力．5．认真阅读如图所示程序框图，则输出的S等于（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知平面向量，满足||=1，||=2，且（）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先由（）⊥，得到•=﹣1，再根据向量的夹角公式，计算可得解答：解：设向量则与的夹角为θ，θ∈[0，π]∵（）⊥，∴（）•=0，即（）2+•=0，∴•=﹣1，∴cosθ===，∴θ=，故选：B点评：本题考查平面向量数量积的运算、夹角公式，属基础题7．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，分别柱体体积和锥体体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，其直观图如下图所示：柱体的底面面积S==8，高为4，体积为32，锥体的底面面积S==4，高为4，体积为，故组合体的体积V=32﹣=，故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△A BC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．已知集合A={x|y=ln（3﹣x）}，则A∩N={0，1，2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：首先，求解函数y=ln（3﹣x）的定义域，即得集合A，然后，求解A∩N即可．解答：解：∵函数y=ln（3﹣x），∴3﹣x＞0，∴x＜3，∴集合A={x|x＜3}，∴A∩N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}．点评：本题重点考查了函数的定义域的求解方法、集合的交集运算等知识，属于基础题．12．设a∈[0，10]，则函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，可得a＞2，结合a∈[0，10]，以长度为测度，即可求概率．解答：解：∵函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数，∴a＜2，∵a∈[0，10]，∴函数g（x）=在区间（0，+∞）内为增函数的概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查函数的单调性，确定测度是关键．13．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．考点：简单线性规划；斜率的计算公式．专题：数形结合．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（﹣1，1）连线的斜率由图可知的取值范围是[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．14．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．解答：解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，∴x=1，y=2时取等号．故4x+3y的最小值是5，故答案为：5点评：本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．15．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x2+y2=4}，点P的坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．考点：两点间距离公式的应用．专题：新定义；直线与圆．分析：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．解答：解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．点评：本题考查点和圆的位置关系，主要考查两点距离的最小值，理解点P到集合A的距离的新定义，并运用是解题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．考点：等比数列的性质；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为 a2=5，S2=a1+a2，所以 S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得 p=2．…所以．当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，…得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为 T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．17．现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图，（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图数据直接求样本数据的中位数、平均数即可；！（Ⅱ）列举从10件中药材的优等品中随机抽取2件的所有基本事件，找出2件优等品的重量之差不超过2克所包含的事件，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）样本数据的中位数是，样本数据的平均数是=15；根据样本数据估计总体的思想可得，这100件中药材重量的平均数是15克，因此，估计这100件中药材的总重量约为100×15=1500克．（Ⅱ）这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克．从10件中药材的优等品中随机抽取2件，所有基本事件有：（17，18），（17，20），（17，21），（17，23），（18，20），（18，21），（18，23），，，（21，23）共10个．记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A，则事件A的基本事件有：（17，18），（18，20），），，（21，23）共4个．∴P（A）==．∴这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为．点评：本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等知识，以及数据处理能力，样本估计总体的数学思想．属于中档题．18．如图，在△ABC中，已知D为BC边上的中点，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）若AD=5，求边AC的长．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）先求出sinB=，sin∠ADC=，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求出结论；（2）在△ABD中，由正弦定理求得BD，在△ADC中，由余弦定理，求得AC．解答：解：（1）因为cosB=，所以sinB=，…又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，…所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==；…（2）在△ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD=，…故DC=，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=所以AC=．…点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M、N、Q分别是CC1，BC，AC 的中点，点P在线段A1B1上运动，且A1P=λA1B1．（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ．（2）若AC=1，试求三棱锥P﹣MNQ的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）建立空间直角坐标系，设出棱长，得到点的坐标，由向量数量积证得答案；（2）把三棱锥P﹣MNQ的体积转化为A1﹣MNQ的体积，即N﹣A1MQ的体积，则三棱锥P﹣MNQ 的体积可求．解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=a，则A（0，0，0），M（0，a，），N（），Q（），A1（0，0，a），B1（a，0，a），再设P（x，0，a），由A1P=λA1B1，得，即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，∴P（λa，0，a），∵，，，∴，则AM⊥平面PNQ；（2）解：由（1）可知，P在线段A1B1上移动时三棱锥P﹣MNQ的体积一定，不妨取A1为P，由AA1=AB=AC=1，得，MQ=，A1到MQ的距离为，∴=，QN=，则==．点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，是中档题．20．如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=时S最小，进而得到答案．解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为π，则=π，即r2h=3，故r与h满足的关系式为r2h=3；…（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=，所以S=πr=π=π=π，（h＞0 ），…设f（h）=（h＞0 ），由f′（h）=+3=0，解得h=，当0＜h＜时，f′（h）＜0；当h＞时，f′（h）＞0；因此，h=时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；…由r2h=3得====，所以最省时的值为．…点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．21．如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM 是直角三角形．（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得=λ；（ii）求|OP|的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；（Ⅱ）（i）设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得=λ；（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围．解答：（Ⅰ）解：由题意，∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B∴，∴b=1，∴椭圆L的标准方程为；（Ⅱ）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，其中k≠0，则M （0，3k），N（，0）．y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，方程一根为﹣3，则由韦达定理可得另一根为，∴C（，）．同理D（，）∵两直线l1，l2平行，∴可设=t，=t，从而可得P（，）∴=（，）∵=（3，3k），∴存在实数λ=1+3k，使得=λ；（ii）∵=（，），∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0，∴|OP|的最小值为d==∴|OP|的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
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重庆一中2017届高三第三次月考数 学 试 题（文科）一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．已知集合{}211,M x N x x x x⎧⎫=<-=<-⎨⎬⎩⎭，则.A A B≠⊂ .B A B =.C A B≠⊃ .=D A B ⋂∅2．函数ln xy x=的定义域为 .(,0)A -∞ .(0,)B +∞ .(-,1)(1,)C ∞+∞ .(0,1)(1,)D +∞3．某学期地理测试中甲的成绩如下：82，84，84，86，86，88，乙的成绩如下：81，83，85，85，87，95，则下列关于两组数据的描述相同的是 .A 众数 .B 平均数 .C 中位数 .D 方差4．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为,最小值为,则的值是（ ） .A 2-.B 54- .C 12-.D5．已知命题:,cos p x R x a ∃∈≥，下列的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是 .A R a ∈ .B 2=a .C 1=a .D 0=a6．已知数列}{n a 中，n a a a n n +==+11,1，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）.A 10>n .B 10≤n.C 9<n .D 9≤n7. 已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为（ ）.A .B .C .D8. 已知函数()sin (0)f x wx w =＞的一段图像如图所示，△ABC 的顶点与坐标原点重合，是)(x f 的图像上一个最低点，在轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,， 且△ABC 的面积满足22212b c a S +-=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为 .A )2cos()(x x g π-= .B )2cos()(x x g π=.C )212sin()(+=x x g .D )212sin()(-=x x g9．已知正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（ ）.A .B .C .D10．已知函数)()(R x e x x f x∈=，若关于的方程2()()10f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为.A ),2()2,1(e e⋃ .B )1,1(e.C )11,1(+e.D ),1(e e二． 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知复数52z i =- ，则z = ． 12．已知等差数列{}n a ，3918,a a +=则它的前11项和11S = . 13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .主视图 侧视图 俯视图14．已知点是ABC ∆的重心，若2,33A AB AC π=∙=-，则AP 的最小值_____15. 已知直线过椭圆22143x y +=的左焦点1F ，且与椭圆交于,A B 两点，过点,A B分别作椭圆的两条切线，则其交点的轨迹方程三． 解答题（本大题共6小题，共75分）16．（原创）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前项和2=n S n ， （1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}+3na n a 的前项和n T ；17.（ 原创）（本小题满分13分）重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到石周卓婷同学的某些成绩数据如下：（1）求总分年级名次对数学总分的线性回归方程y bx a =+;（必要时用分数表示）（2）若石周卓婷同学想在下次的测试时考入前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）。
附:线性回归方程y bx a =+中,121()niii nii x x y y b x x ==-∙-=-∑∑（）（）,a y bx =-,18. （本小题13分）已知函数()2213()cos sin cos 22f x x x x x x R =--∈ （1）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 取得最大值时的值； （2）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且1,*a c N =∈，若向量()()sin ,2,1,sin m B n A ==-，n m ⊥ ，求的值。
19．（本小题12分）如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD 所在平面互相垂直，=224AB AD CD ==，060,90ABE BAD CDA ︒∠=∠=∠=,点H 是线段EF 的中点.（1）求证：平面AHC 平面BCH ;B（2）求多面体ABCDEF 的体积20．已知()f x 是定义在-00+∞⋃∞（，）（，）上的奇函数，当0+x ∈∞（，）时，()=2ln ()f x ax x a R +∈（1） 求()f x 的解析式；（2） 是否存在负实数，当[)x e ∈-,0时，使得()f x 的最小值是4，若存在，求的值，如果不存在，请说明理由。
（其中：ln -x （）的导数是）21．（12分）若抛物线x y 42=的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点2B ，与轴的右半轴交于点2A ,椭圆的左、右焦点为21F F 、，且1221223cos F B B F F ∠=（1）求椭圆的标准方程；（2）过点)2,0(D 的直线，斜率为)0(＞k k ，与椭圆交于N M ,两点.()i 若N M ,的中点为H ，且存在非零实数，使得22=OH A B λ，求出斜率的值；()ii 在轴上是否存在点()0,m Q ，使得以QN QM ,为邻边的四边形是个菱形？若存在求出m 的范围，若不存在，请说明理由.AAAAAA ：王吉勇 审题人：陈晓燕重庆一中2017届高三下期第三次月考数 学 答 案（文科）5一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）15:....;610:.D D C A B DCABC --二． 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12.99 13.415.4x =-三． 解答题（本大题共6小题，共75分） 16．解：（1）当221111,1,2,(1)21n n n n a S n a S S n n n -===≥=-=--=-经验证，,21n n N a n +∈=-（2）22119918+3213,.198nn n a n n n n n a n T S ---+=-+∴=+=-17．解：（1）118122121119133127121119120,125,44x y ++++++==== 171717-,125+120=543y=-543555172100-51431305b a x y x x ∴=∴=⨯∴+=∴=+∴≈ ，（）100, 18.解:(1)1cos 211()22cos 21sin(2)1222226x f x x x x x π+=--=--=-- ∵51212x ππ-≤≤, ∴22363x πππ-≤-≤,∴sin(2)126x π-≤-≤ 所以当sin(2)16x π-=, 即262x ππ-=, 得3x π=, ()f x 取得最大值;(2) sin 2sin B A =, 即2b a =, 1,2a b == 由余弦定理214212cos 54cos c C C =+-⨯⨯=-, ∵02C π<<, ∴0cos 1C <<∴215c <<,即1c <<又∵*c N ∈ ∴2c =, 经检验符合三角形要求. 19．解：（1）在菱形ABEF 中，因为060,ABE ∠=，所以AEF ∆是等边三角形，又因为点H 是线段EF 的中点.，所以AB EF AH AB ⊥⇒⊥因为面ABEF 所在平面与直角梯形ABCD 互相垂直，且面ABEF 面ABCD=AB ， 所以AH ABCD ⊥，所以AH BC ⊥在直角梯形中，=224AB AD CD ==，90BAD CDA ︒∠=∠=，得到AC BC ==，从而222+AC BC AB =，所以AC BC ⊥，又AH AC=A 所以BC AHC ⊥，所以平面AHC 平面BCH ; （2）=3C ABEF F ADC ABCDEF V V V --+=多面体 20.解:(1)当(,0)x ∈-∞时,则0x ->,由已知得()2()()f x ax ln x f x -=-+-=-,∴()2ln()f x ax x =-- ∴2ln ,(0)()2ln(),(0)ax x x f x ax x x +>⎧=⎨--<⎩(2)假设存在0a <满足题意, ∵()2ln(),[,0)f x ax x x e =--∈-,∴2()2(),[,0)a x a f x a x e x x-'=-=∈-,令2()0,f x x a '== 当2e a - , 即2a e <-时,()f x 在2(,)e a -上单调递减,在2(,0)a上单调递增, ∴min 2()()4f x f a==,解得2a e =-;当2e a ≤-, 即20a e-≤<时,()f x 在[,0)e -上单调递增, ∴min ()()4f x f e =-=,解得62a e e=-<-,矛盾!综上所述,存在2a e =-满足题意.21.解:(1)抛物线24y x =的焦点为(1,0), ∴椭圆的焦点12(1,0),(1,0)F F -.设短半轴长, 长半轴长,因为122122||cos ||3F B B F F OB ∠=∴2b a ==,∴椭圆的标准方程为22143x y +=(2)由题意设直线的方程为2,(0)y dx k =+>, 他与椭圆交于1122(,),(,)M x y N x y 两点,则22222,(0),(43)1640143y kx k k x kx x y =+>⎧⎪⇔+++=⎨+=⎪⎩ 22212212212301611,1230,,0,4342443k k x x k k k k k x x k ⎧⎪∆=->⎪-⎪+=∆=->>>>⎨+⎪⎪⋅=⎪+⎩由得又故 ,M N 的中点2286(,)4343k H k k -++ 又22//OH A B2222643843OHA B k k k k k +====-+,解得12k =>,所以k = (3)设在轴上存在点(,0),Q m 使得以,QM QN 为邻边的四边形为菱形,则2260431,1843HQ MNk HQ MN k k k kmk -+⊥⇔⋅=-⋅=---+则2212()343264km kk kk=->=-≥=-++当且仅当314,2k kk=>,即k=取等号又2243kmk=-<+, 故在轴上存在点(,0)Q m,使得以,QM QN为邻边的四边形为菱形,m范围[。