河南省南阳周口驻马店漯河三门峡信阳六市2016届高三数学第一次联考试题 理

2016年河南省六市高三第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|30,1,A x x x B a =-<=，且A B 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(0,1)(1,3)C ．(0,1)D ．(,1)(3,)-∞+∞2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ）A C 3.若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+4.向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π5、已知正项数列的前n 项和为Sn ，若都是等差数列，且公差相等，则6.实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为（ ）A ．0B ．-2C ．1D ．-17.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．8.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤ 9.已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、 右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4 C10.三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ==⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的处接球表面积为（ ） A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 11.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1xy x x =>+的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A ．πB ．3πC ．4πD ．2π 12.已知函数ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．14. 2212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是70，则n =________．15.已知点(0,2)A ，抛物线21:(0)C y ax a =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于________．16.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S 则10596S S -=________．三、解答题 （本题必作5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分） 17.（本小题满分12分）如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该 声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求P 到海防警戒线AC 的距离．18.（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（1）工期延误天数Y 的均值与方差；（2）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面1ABB A 为矩形，11,AB BC AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，1BC AB ⊥．（1）证明：1CD AB ⊥；（2）若OC =，求二面角1A BC B --的余弦值． 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．（1）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()(1)(21)ln f x a x x g x x a x x =-=----，其中a R ∈． （1）若()g x 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图像交x 轴于,A B 两点，AB 中点横坐标为0x ，问：函数()F x 在点00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？ 22.（本小题满分 10分）已知C 点在O 直径BE 的延长线上，CA 切O 于A 点，CD 是ACB ∠的平分线且交AE 于点F ，交AB 于点D ． （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB AC =，求ACBC的值．23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为13x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AOB ∆的面积． 24．（本小题满分12分） 设函数()22f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|64x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．B 8．B 9．C 10．D 11．A 12．C 二、填空题 13．14π14．4 15．4 16．909 17．解：（1）依题意，有, 1.5812PA PC x PB x x ===-⨯=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分在PAB ∆中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x +-+--+∠=== ，同理在PAC ∆中，222222502550,cos 2250PA AC PC x x AC PAC PA AC x x+-+-=∠=== ． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=， 解得：31x =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中， 由25cos 31PAD ∠=，得sin 31PAD ∠==，∴sin 3131PD PA PAD =∠==故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为千米． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）由已知条件和概率的加法公式，有(300)0.3P X <=，(300700)0.70.30.4P X ≤<=-=， (700900)0.90.70.2P X ≤<=-=， (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=．所以Y 的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P x P X ≥=-<=，又(300900)0.90.30.6P X ≤<=-=．由条件概率，得(300900)0.66(6/300)(900/300)(300)0.77P X P Y X P X X P X ≤<≤≥=<≥===≥．故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延期不超过6天的概率是67． ．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）由1AB B ∆与DBA ∆相似，知1DB AB ⊥，又1,BC AB BD BC B ⊥= ， ∴1AB ⊥平面,BDC CD ⊂平面BDC ，∴1C D A B⊥；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由于13OC BC ==，在ABD ∆中可得3OB =，所以BOC ∆是直角三角形，BO CO ⊥．由（1）知1CO AB ⊥，则CO ⊥平面11ABB A ，以O 为坐标原点OA OD OC 、、所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则1((0,(0,0,(333A B C B -，1,((33333BC AB BB ==--= ，设平面ABC ，平面1BCB 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z ==，则11111100BC n y z AB n x y ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，∴11n =- ；222122200BC n y BB n y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，∴2(12)n =- ，∴121212cos ,n n n n n n ==1A BC B --为钝二面角 ∴ 二面角1A BC B --的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由圆R 的方程知圆R的半径r =,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，所求圆R 的方程为22((8x y -+-=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R==化简得20122088y k k x -=- ， 因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以21220141282x k k x -==--． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）方法一（1）当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 由（2）知12210k k +=， 所以1212210y y x x +=，故2222121214y y x x =． 因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以222211221,124122412x y x y +=+=， 即222211221112,1222y x y x =-=-， 所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得221224x x +=，所以2222121211(12)(12)1222y y x x +=-+-= 所以222222222211221212()()36OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分方法（二）（1）当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立2212412y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424,1212k x y k k ==++， 所以2221112124(1)12k x y k ++=+， 同理，得2222222224(1)12k x y k ++=+． 由（2）12210k k +=，得1212k k =-，所以22222222121122221224(1)24(1)1212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++ 2221112221111241()224(1)3672361121212()2k k k k k k ⎡⎤+-⎢⎥++⎣⎦=+==+++-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分（2）当直线,OP OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=．综上：2236OP OQ +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）222(1)(2)()2(1)a x a x a g x x a x x-----'=---= ∵()g x 在其定义域内为增函数，0x >， ∴若()0g x '≥，在0x >上恒成立， 则22(1)(2)0x a x a ----≥恒成立，∴152(1)1a x x ⎡⎤≥-++⎢⎥+⎣⎦恒成立． 而当0x >时，12(1)31x x ++>+， ∴[)2,a ∈+∞． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln F x x x ax =--，不妨设：(,0),(,0),0A m B n m n << 结合题意，有220002ln 0(1)2ln 0(2)2(3)220(4)m m am n n an m n x x a x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩（1）-（2）得2ln ()()()m m n m n a m n n-+-=- 所以02ln 2m n a x m n=--， 由（4）得0022a x x =-， 所以2(1)2()ln (5)1m m m n n m n m n n--==++ 设(0,1)m t n =∈，（5）式变为2(1)ln 0((0,1))1t t t t --=∈+． 设222222(112(1)2(1)(1)4(1)()ln ((0,1)),()01(1)(1)(1)t t t t t t h t t t h t t t t t t t t -+--+--'=-∈=-==>++++， 所以函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+在(0,1)上单调递增，因此，()(1)0h t h <=， 也就是2(1)ln 1m m n m n n -<+，此式与（5）矛盾． 所以()F x 在点00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）22．（1）∵AC 为O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又DC 是ACE ∠的平分线，∴ACD DCB ∠=∠．由B DCB EAC ACD ∠+∠=∠+∠，得ADF AFD ∠=∠，又090BAE ∠=，∴01452ADF BAE ∠=∠=． （2）∵,,AB AC B ACB EAC ACB ACB =∠=∠=∠∠=∠，∴ACE BCA ∆∆ ∴AC AE BC AB=，又0180ACE ABC CAE BAE ∠+∠+∠+∠=，∴030B ACB ∠=∠=．在Rt ABE ∆中，∴0tan 30AC AE BC AB ===． 23．解：（1）由曲线C 的极坐标方程是：22cos sin θρθ=，得22sin 2cos ρθρθ=． ∴由曲线C 的直角坐标方程是：22y x =．由直线l 的参数方程13x t y t =+⎧⎨=-⎩，得3t y =+代入1x t =+中消去t 得：40x y --=， 所以直线l 的普通方程为：40x y --=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程22y x =，得2870t t -+=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12AB t =-===因为原点到直线40x y --=的距离d ==所以AOB ∆的面积是111222AB d =⨯= ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）∵226x a a -+≤，∴262x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴33322a a x -≤≤-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为不等式()6f x ≤的解集为64x x -≤≤， 所以3362342a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得()224f x x =+-． ∴2224(1)5x k x +-≤--， 化简整理得：2221(1)x k x ++≤-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 令23,1()22121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()y g x =的图象如图所示：要使不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，需212k ->，或211k -≤-，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴k的取值范围是{}|0k k k k ><=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。