《导学教程》高三数学二轮复习教案-专题二--第1讲-三角函数的图像与性质

专题二 三角函数、解三角形、平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是
解析 利用三角函数的图象与变换求解．
结合选项可知应选A.
答案 A
2．(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，3π5上的取值范围． 解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·
cos ωx ＋λ
＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ωx －π6＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即 ω＝k 2＋13(k ∈Z )．
又 ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.
(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－ 2. 即λ＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53x －π6－ 2. 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，
所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ 53x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．
考题分析
本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下．
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考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用
【例1】(2012·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (1，3)绕原点O 顺时针旋转
90°到点B ，那么点B 的坐标为________；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．
[审题导引] 根据三角函数的定义求出点B 的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.
[规范解答] 如图所示，
∵点A 的坐标为(3，1)， ∴∠AOx ＝60°，又∠AOB ＝90°，∴∠BOx ＝30°，
过B 作BC ⊥x 轴于C ，
∵OB ＝2，
∴OC ＝3，BC ＝1，
∴点B 的坐标为(3，－1)，
则直线OB 的倾斜角为5π6，即α＝5π6，
∴sin 2α＝sin 5π3＝－sin 2π3＝－32.
[答案] (3，－1) －32
【规律总结】
三角函数的定义与诱导公式的应用
(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．
(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件．
【变式训练】
1．(2012·惠州模拟)在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4，3π2 解析 在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x ＞cos x ，则x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，5π4.
答案 C
2．(2012·海淀一模)若tan α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析 cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α ＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝－45. 答案 －45
考点二：三角函数图象变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
【例2】(1)(2012·宿州模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝cos 2x 的图象经过怎样的变换得到
A ．向左平移π6个单位
B ．向右平移π6个单位
C ．向左平移π12个单位
D ．向右平移π12个单位
(2)(2012·泰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所
示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值是________．
[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；
(2)先由图象求出f (x )的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A ，故得f (x )，可求f .
[规范解答] (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3 ＝cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤ π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12， 故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位得到，故选D. (2)如图所示，T 4＝712π－π3＝π4，
∴T ＝π.则ω＝2.
又2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3，
又易知A ＝2，
故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2sin 2π3＝62. [答案] (1)D (2)62
【规律总结】
求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式及其图象变换的规律方法
(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.
(2)一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作把曲线y ＝sin ωx 上所有点向左(当φ＞0时)
或向右(当φ＜0时)平移⎪⎪⎪⎪
⎪⎪φω个单位长度而得到的． 【变式训练】
3．(2012·临沂模拟)若函数y ＝3sin x －cos x 的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3
解析 y ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6，函数图象向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －π6，要使所得到的图象关于y 轴对称，则有m ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即m ＝π3＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m ＝π3，选C.
答案 C
4．(2012·房山一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
解析 T 2＝π－3π8，∴T ＝5π4， ∴ω＝2πT ＝85. 又85×3π8＋φ＝3π2，∴φ＝910π.
答案 85 910π
考点三：三角函数图象与性质的综合应用
【例3】(2012·北京东城11校联考)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω＞0)的最小正周期是π.
(1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；
(2)若A 为锐角△ABC 的内角，求f (A )的取值范围．
[审题导引] 把f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式后求单调区间与对称中心，再根据A 的范围求f (A )的取值范围．
[规范解答] (1)f (x )＝1＋cos 2ωx 2
－32sin 2ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ωx ＋π3＋12， T ＝2π2ω＝π，ω＝1.
f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋12， －π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，
－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π.
函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z ， 令2x ＋π3＝π2＋k π，x ＝π12＋k π2，
∴对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z .
(2)0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3，
－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12
， －12≤cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2A ＋π3＋12＜1， 所以f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1. 【规律总结】
三角函数性质的求解方法
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．
(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．
[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．
(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．
【变式训练】
5．(2012·朝阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π4. (1)若f (α)＝7210，求sin 2α的值；
(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210， 所以22(cos α＋sin α)＝7210，
所以cos α＋sin α＝75.
平方得，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2
α＝4925， 所以sin 2α＝2425.
(2)因为g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4 ＝22(cos x ＋sin x )·22(cos x －sin x )
＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，2π3. 所以，当x ＝0时，g (x )的最大值为12；
当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14. 名师押题高考
【押题1】已知π2＜θ＜π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－35，则tan(π－θ)的值为 A.34 B.43 C ．－34 D ．－43
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴sin θ＝45，∴tan θ＝－43，
tan(π－θ)＝－tan θ＝43.
答案 B
[押题依据] 本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式，重点突出、考查全面，题目考查内容基础性较强，符合高考的方向，故押此题．
【押题2】(2012·北京东城一模)已知函数f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x .
(1)求f (x )的最小正周期
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度
得到的，当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4时，求y ＝g (x )的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x
＝sin 4x ＋cos 4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期为π2.
(2)依题意，y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋1
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x －π4＋1. 因为0≤x ≤π4，所以－π4≤4x －π4≤3π4.
当4x －π4＝π2，即x ＝3π16时，g (x )取最大值2＋1；
当4x －π4＝－π4，即x ＝0时，g (x )取最小值0.
[押题依据] 将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容，本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题．。