2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列30和答案

合集下载

(word完整版)2018年高考文科数学(全国I卷)试题及答案,推荐文档

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 •回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 •某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:1 A .-35.已知圆柱的上、下底面的中心分别为则该圆柱的表面积为绝密★启用前则下面结论中不正确的是种植收入减少策二产业收入捽端牧入柚收.入Hr 他收入建设后经济收入构威比例 A .新农村建设后, B .新农村建设后, C .新农村建设后, D .新农村建设后, 2 C ：笃 a其他收入增加了一倍以上养殖收入增加了一倍 4.已知椭圆养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2y_ 41的一个焦点为 (2,0)，贝U C 的离心率为 A . 12 2n 6•设函数f(x) B . 12n (a 1)x 2ax.若 C . 82nD . 10nA . y 2x f(x)为奇函数，则曲线 C . y 2x y f (x)在点(0,0)处的切线方程为 7 .在△ ABC 3 uuu A . - AB 4AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，贝U 1 UUT 1 UUU 3 UUIT AC B . -AB AC中, D . y x uuuEBA . {0,2}B . {1,2}C . {0}、九 1 i2.设z2i ，则 | z|1 iA . 0B . 1C . 12D • { 2, 1,0,1,2} .为更好地了解该地区农村的经济收入 01 , 02，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,1.已知集合 A= {0,2} , B= {- 2,- 1,0,1,2},则 AI BC . 3 UJID 1 uuuAB AC4 41 uuu 3 UJIT D. - AB AC4 42&已知函数f (x) 2cos x2sin x 2，贝VA. f (x)的最小正周期为n,最大值为3B. f (x)的最小正周期为n，最大值为4C . f (x)的最小正周期为2n,最大值为3D.f (x)的最小正周期为 2 n，最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图•圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从A . 2 17B. 25C. 3D . 210.在长方体ABCD ABGD i中，AB BC 2 , AC i与平面BB i C i C所成的角为30，则该长方体的体积为B. 6. 2C. 8.2D. 8 3A(1,a) , B(2,b)，且cos2 2，则|a b|A. 1B C. 2.5 D . 15552 x,x w 0,12.设函数f(x)1,则满足f(x1) f (2x)的x的勺取值范围是x0,A . (,1]B.(0,)C.(1,0)D . (,11.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题第四章数

考点测试30 等比数列一、基础小题1．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．75答案 B解析因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝52＝25.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D ．13答案 D解析设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q＝3或q ＝－3(舍)，所以a 1＝a 2q ＝13.故选D.3．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝( ) A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2)答案 B解析 ∵a 2a 6＝a 24＝8，∴a 21q 6＝8，∴q ＝2，∴S 8＝1－q81－q＝15(2＋1)．4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n>0知q >0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，∴q ＝4.5．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若n ∈N *时，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…，应选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12答案 A解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，∴a ＋16＝a 2，∴a ＝－13.故选A.7．已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析设数列{a n }的公比为q .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝a 1q 3×a 1q 6＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12.当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝(－8)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7.综上，a 1＋a 10＝－7.故选D.8．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.答案 16解析由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 二、高考小题9．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18答案 C解析设{a n }的公比为q ，由等比数列的性质可知a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，得a 4＝2，则q 3＝a 4a 1＝214＝8，得q ＝2，则a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.10．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________. 答案 1解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，又b >0，∴b ＝1. 11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________. 答案 6解析由已知得{a n }为等比数列，公比q ＝2，由首项a 1＝2，S n ＝126，得－2n1－2＝126，解得2n ＋1＝128，即n ＝6.12．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.答案 23－1解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，解得d ＝－32a 1，①∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1，② 由①②可得a 1＝23，d ＝－1.13．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.答案 5解析由等比数列的性质，知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4⇒a 3＝2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝5log 22＝5.三、模拟小题14．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023答案 B解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48. ∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1. ∴S 8＝－281－2＝255.15．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 5＝4a 26，则a 3的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．14答案 B解析 ∵{a n }为等比数列，设公比为q ，由a 3·a 5＝4a 26可得：a 24＝4a 26，∴a 26a 24＝14，即q 4＝14.∴q 2＝12，a 3＝a 1·q 2＝1.16．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和S n 中S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7答案 A解析设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，S 3＝a 1－q31－q＝316，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝－12，∴a n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，由a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.17．设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n <3S n ，则q 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,2)C ．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m ，则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.答案72m ＋1－748解析设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n .由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋－2d ＝105，a 1＋9d ＝a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝－49m1－49＝2m－48＝72m ＋1－748.一、高考大题1．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1.2．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27. 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n＋2n －2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12.二、模拟大题3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解 (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n －3＝22n ＋1＋13. 4．已知等比数列{a n }的公比q >1，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *. (1)求q ；(2)若a 25＝a 10，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .解 (1)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2(a n ＋a n q 2)＝5a n q . 由题意，得a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0. ∴q ＝2或q ＝12.∵q >1，∴q ＝2.(2)∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9. ∴a 1＝q ＝2.∴a n ＝a 1qn －1＝2n.∴a n 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .∴S n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2－2n ＋13n .5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2n.证明： (1)数列{a n ＋2n}是等比数列；(2)对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋2n，得a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)，又a 1＋2＝3，所以{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n ＝3n－2n.又3n－2n>2n(n ≥2)，故1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝11＋132－22＋…＋13n －2n <1＋122＋123＋…＋12n ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <32.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12. ∴{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列．∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第四章数列 30 Word版含答案

考点测试等差数列一、基础小题．在等差数列{}中，已知＋＝，则＋＝( )．．．．答案解析由题意可知＋＝＋＝，所以＋＝＋＋＝＋＝，选.．在等差数列{}中，＝，＝，则{}的前项和等于( )．．．．答案解析＝＝＝＝.．在等差数列{}中，＝，公差≠，若＝＋＋…＋，则的值为( )．．．．答案解析＝＋＋…＋＝＋＝＝，∴＝.故选.．设为等差数列{}的前项和，若＝，公差＝，＋－＝，则＝( )．．．．答案解析由＝，公差＝，得通项＝－，又＋－＝＋＋＋，所以＋＋＋＝，得＝.．等差数列{}的前项和为，若>，<，则下列结论正确的是( )．<．<．>．>答案解析因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{}是递减的，且最大，即≤对一切∈*恒成立．可见选项错误；易知<<，＝＋<，选项错误；＝(＋)＝<，选项错误；＝(＋)＝>.．设等差数列{}的前项和为.若＝－，＋＝－，则当取最小值时，等于( )．．．．答案解析∵＋＝＋＝－＋＝－，∴＝.＝－＋×＝－＝(－)－，显然，当＝时，取得最小值．故选.．设是公差为(≠)的无穷等差数列{}的前项和，则下列命题错误的是( )．若<，则数列{}有最大项．若数列{}有最大项，则<．若数列{}是递增数列，则对任意∈*，均有>．若对任意∈*，均有>，则数列{}是递增数列答案解析、、均正确，对于，若首项为－，＝时就不成立．．已知数列{}中，＝且＝＋(∈*)，则＝.答案解析由＝＋知，数列为等差数列，则＝＋(－)，即＝.∴＝＝.二、高考小题．已知等差数列{}前项的和为，＝，则＝( )．．．．答案。

2018版高考数学文人教大一轮复习讲义教师版文档第四

1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × ) (4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2017·青岛质检)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)． 4．若函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0)的部分图象如图所示，则ω等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析由函数图象知T ＝π4×2＝π2，ω＝2πT ＝2ππ2＝4.5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心．解由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)答案 A解析由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型的应用例3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．答案 (－2，－1)解析方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案 [－2,1)解析由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m的取值范围是__________．答案 [2π9，5π18]解析画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π12)，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C.2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为( ) A ．－2或0 B ．0或1 C ．±1 D ．±2答案 A解析由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0. 3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A解析由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称答案 B解析由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8．(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10．(2016·邢台模拟)先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________．答案 (－32，1]解析依题意得 g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和．解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)

可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1 ，故
an
n
，所以，
Sn
nn 1
2
．
第 5页（共 7页）
（2）由（1），有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ，由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ，
二、填空 1．（2018 北京理）设 an 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 an 的通项公式为__________．
1．【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ，an 3 6n 1 6n 3 ．
2．（2018 江苏）已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的最小值为 ▲ ．
7 21
11 22
4n 5 2n2
，
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
，
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5．（2018 天津文）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求 Sn 和 Tn；（Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．

2018年高考文科数学试题及答案

2018年高考文科数学试题及答案删去明显有问题的段落。

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,2}，B={-2,-1,0}，则A∩B=（）。

A。

{1,2} B。

{1,2,-2,-1,0} C。

{} D。

{-1,-2}答案】A难度】容易点评】本题在高考数学（文）提高班讲座第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2.设z=(1-i)/(1+i)+2i，则z=（）。

A。

1 B。

2 C。

1+2i D。

1-2i答案】C难度】容易点评】本题在高考数学（文）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。

得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）。

A。

新农村建设后，种植收入减少B。

新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C。

新农村建设后，养殖收入增加了一倍D。

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案】A难度】中等点评】本题在高考数学（文）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(0,-2)，点P在x轴正半轴上，且PA=PB=2.则点P的坐标为（）。

A。

(√2,0) B。

(2,0) C。

(0,√2) D。

(0,2√2)答案】A难度】中等点评】本题在高考数学（文）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列29和答案

考点测试29 等差数列一、基础小题1．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝( ) A．10 B．18C．20 D．28答案 C解析由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.2．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则{a n}的前5项和S5等于( )A．7 B．15C．20 D．25答案 B解析S 5＝a1＋a52＝a2＋a42＝5×62＝15.3．在等差数列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19答案 A解析a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝( )A．8 B．7C．6 D．5答案 D解析由a1＝1，公差d＝2，得通项a n＝2n－1，又S k＋2－S k＝a k ＋1＋a k＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是( )A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0 D．S15>0答案 C解析因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n}是递减的，且S7最大，即S n≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16<a15<0，S16＝S15＋a16<S15，选项B错误；S15＝152(a1＋a15)＝15a8<0，选项D错误；S13＝132(a1＋a13)＝13a7>0.6．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．9答案 A解析∵a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，∴d＝2.S n＝－11n＋n n－2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，显然，当n＝6时，S n取得最小值．故选A.7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列答案 C解析A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．8．已知数列{a n}中，a1＝1且1a n＋1＝1a n＋13(n∈N*)，则a10＝________.答案 14解析由1a n ＋1＝1a n ＋13知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则1a n ＝1＋13(n －1)，即a n ＝3n ＋2. ∴a 10＝310＋2＝14.二、高考小题9．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97答案 C解析设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.10．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列答案 A解析不妨设该锐角的顶点为C ，∠A 1CB 1＝θ，|A 1C |＝a ，依题意，知A 1、A 2、…、A n 顺次排列，设|A n A n ＋1|＝b ，|B n B n ＋1|＝c ，则|CA n |＝a ＋(n －1)b ，作A n D n ⊥CB n 于D n ，则|A n D n |＝sin θ，于是S n ＝12|B n B n＋1|·|A n D n |＝12·c ·sin θ＝12bc sin θ·n ＋12(a －b )c sin θ，易知S n是关于n 的一次函数，所以{S n }成等差数列．故选A.11．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.12．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 20解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d＝20.13．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析设该等差数列为{a n }，若项数为2n －1，n ∈N *，则有a 2n －1＝2015，a n ＝1010，由a 1＋a 2n －1＝2a n ，得a 1＝5.若项数为2n ，n ∈N *，则有a 2n ＝2015，a n ＋a n ＋12＝1010，由a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，得a 1＝5.综上，a 1＝5. 三、模拟小题14．在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＋a 13＝m ，其前n 项和S n ＝5m ，则n ＝( )A ．7B ．8C ．15D ．17答案 C解析由a 3＋a 8＋a 13＝m ，得a 8＝m3，则S 15＝a 1＋a 152＝15a 8＝5m ，故n ＝15.15．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121答案 B解析设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝b 1＋b 72＝72＝－112，则a 8＝－109.16．已知{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．(－7，－6)C ．(－8，－6)D ．(－6，－5)答案 A解析对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即1a n ≥1a 8，∵{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即a ∈(－8，－7)．17．在数列{a n }中，已知a 1＝32，当n ∈N *，且n ≥2时，a n ＝1－14a n －1，则a 2016＝( )A ．40312016 B ．20154033 C ．20164031 D ．40338062答案 D解析 ∵a n ＝1－14a n －1，∴a n －12＝12－14a n －1＝2a n －1－14a n －1，则1a n －12＝a n －1－＋22a n －1－1＝2＋22a n －1－1，即1a n －12－1a n －1－12＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －12为等差数列，则1a n －12＝1＋2(n －1)＝2n －1，因此a n ＝12＋12n －1，所以a 2016＝40338062.18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋a 1＋a k ＋12＝k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.一、高考大题1．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63. 所以b 6与数列{a n }的第63项相等．2．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)． (2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *，知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.二、模拟大题3．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1－a n －＝13， ∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．解 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ， ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1n ， ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2an ＝2n (n ≥2)，又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n ＋1c n <1，数列{c n }单调递减，又c 1＝c 2＝12，∴(c n )max ＝12，故λ>12.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N )成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋16d ＝34，3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，移项得2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ＝6＋6t －3－t＋t ＋t，整理得m ＝3＋4t －1.因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2,3,5. 当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列． 6．在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解 (1)∵a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，①a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44，②②－①得，a n ＋2－a n ＝2.又∵a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23，∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项，2为公差的等差数列．从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24，n 为奇数，n －21，n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋＝2－n2·44 ＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值为－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋…＋＝a 1＋2＋n －12·(－44)＝－23＋n ＋n －2－22(n －1)＝n 22－22n －32.故当n＝21或n＝23时，S n取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，S n取得最小值为－242；当n为奇数时，S n取最小值为－243.。

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第四章数列 30 Word版含答案

考点测试等比数列一、基础小题．在等比数列{}中，已知·＝，则＝( )．．．．答案解析因为·＝·＝·＝，∴＝＝.．已知等比数列{}的公比为正数，且·＝，＝，则的值为( )．－．．．－答案解析设数列{}的公比为，由·＝，得·＝，解得＝，所以＝或＝－(舍)，所以＝＝.故选.．在正项等比数列{}中，是其前项和．若＝，＝，则＝( )．．(＋)．(－)．(－)答案解析∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝＝(＋)．．若等比数列{}满足＋＝，则公比为( )．．．．答案解析由＋＝＝>知>，又＝＝＝，∴＝.．已知数列{}，则“，＋，＋(∈*)成等比数列”是“＝＋”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析若∈*时，，＋，＋成等比数列，则＝＋，反之，则不一定成立，举反例，如数列为，…，应选.．已知等比数列{}的前项和为＝·－＋，则的值为( )．．－．．－答案解析当≥时，＝－－＝·－－·－＝·－，当＝时，＝＝＋，∴＋＝，∴＝－.故选.．已知数列{}为等比数列，＋＝，＝－，则＋＝( )．．．－．－答案解析设数列{}的公比为.由题意，得(\\(＋＝，×＝×＝－，))所以(\\(＝－，＝))或(\\(＝，＝－，))解得(\\(＝，＝－))或(\\(＝－，＝－().))当(\\(＝，＝－))时，＋＝(＋)＝＋(－)＝－；当(\\(＝－，＝－()))时，＋＝(＋)＝(－)×＝－.综上，＋＝－.故选.．已知各项不为的等差数列{}，满足－＋＝，数列{}是等比数列，且＝，则＝.答案解析由题意可知，＝＝＝(＋)＝，∵≠，∴＝，∴＝.二、高考小题．已知等比数列{}满足＝，＝(－)，则＝( )。

2018年高考理数：数列含答案

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；（II）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

2018年高考数列专题复习(精典版知识点大题分类选择题答案解析详解)

WORD 格式整理文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1. 基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2. 等差数列与等比数列的联系1）若数列 aa 是等差数列，则数列{ }a n 是等比数列，公比为nda ，其中a 是常数， d是a n 的公差。

（a>0 且a≠1）；2）若数列a是等比数列，且a n 0，则数列log a a n 是等差数列，公差为log a q ，n其中a是常数且a 0, a 1，q是 a 的公比。

n3）若{ a } 既是等差数列又是等比数列, 则{a n } 是非零常数数列。

n3. 等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义{a n }为A P a n 1 a n d(常数）{ an1 qa }为G P (常数）nan通项公式a = a1 +（n-1）d= a k +（n-k）d=dn+ a1-dnn 1 na n a q a q1 kk求和公式snd2n(aa1n2n 2 (a1)d2na1)nn( n21)dsnna1a (111qqn ) a11a qnq(q(q1)1)中项公式a b2A= Gab。

2推广：2 a n =a n m a n m 2推广：a n a n m a n m性质1若m+n=p+q 则a m a a a 若m+n=p+q，则a m a n a p a q 。

n p q2若{ } a 也k 成A.P（其中k n N ）则{ } n kn 若{ }k 成等比数列（其中k n N ），n为A.P。

则{a } 成等比数列。

kn专业资料值得拥有WORD 格式整理3．s n ,s2 s ,s3 s2 成等差数列。

s n ,s2n s n,s3n s2n成等比数列。

n n n n4d anna a a1 m n m n( )1 m nnq1ana1，an m nq (m n)am4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （文16）已知{a n} 是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9 成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n} 的通项; （Ⅱ）求数列{2 an} 的前n 项和Sn.n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得12d1＝1 8d1 2d，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n} 的通项a n＝1+（n－1）×1＝n.m ( Ⅱ) 由（Ⅰ）知2a =2n，由等比数列前n 项和公式得nS m=2+22+23+⋯+22+23+⋯+2n= 2(1 2 )1 2 =2n+1-2.n+1-2.小结与拓展：数列 aa 是等差数列，则数列{a} 是等比数列，公比为nnda ，其中a 是常数， d 是 a 的公差。

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列31和答案

考点测试31 数列求和一、基础小题1．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n 项和为( )A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2答案 C解析S n＝－2n1－2＋n＋2n－2＝2n＋1－2＋n2.2．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1n n ＋，则S5等于( )A．1 B．5 6C ．16D ．130答案 B解析因a n ＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.3．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( )A ．－495B ．765C ．1080D ．3105答案 B解析由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765，故选B.4.12＋12＋38＋…＋n2n 等于( ) A ．2n －n －12nB ．2n ＋1－n －22nC ．2n －n ＋12nD ．2n ＋1－n ＋22n答案 B解析解法一：令S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2n ＋1－n －22n .故选B.解法二：取n ＝1时，n2n ＝12，代入各选项验证可知选B.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49答案 C解析将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48.6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A ．212B ．6C ．10D ．11答案 B解析依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B.7．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830答案 D解析当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k－1＝4k －3，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30＋2＝30×61＝1830.8．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．－100D ．10200答案 B解析由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.二、高考小题9．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6.10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.11．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案－1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.12．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 3n －1解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2.又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q＝3(q＝0舍去)．所以a n＝a1q n－1＝3n－1.13．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．答案9解析依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0，可知a>0，b>0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，将a－2＝2b代入ab＝4，可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4，可解得a＝1，b＝4，此时a ＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.三、模拟小题14．已知数列2015,2016,1，－2015，－2016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项和S2016等于 ( )A．2008 B．2010C．1 D．0答案 D解析由已知得a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴a n＋1＝a n－a n－1，故数列的前8项依次为2015,2016,1，－2015，－2016，－1,2015,2016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S6＝0.∵2016＝6×336，∴S2016＝0.15．已知在数列{a n}中，a1＝1，na n＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n －1(n≥2)，则a2016＝( )A．2200863B．2200963C ．2201063D ．2201163答案 B解析 ∵na n ＝a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1(n ≥2)，∴(n －1)a n －1＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －2)a n －2(n ≥3)．两式相减，得na n －(n －1)a n －1＝(n －1)a n －1(n ≥3)，即na n ＝2(n －1)a n －1，∴a n a n －1＝2×n －1n(n ≥3)．易知a 2＝12，故a 2016＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a 2016a 2015＝22014×12×23×…×20152016＝220142016＝2200963. 16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝32n －11，前n 项和为S n ，下列关于a n 及S n 的叙述中正确的是( )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值答案 C解析解法一：因为a n ＝32n －11，所以当n ＝1,2,3,4,5时，a n <0；当n ≥6时，a n >0.故S n 有最小值，且为S 5，没有最大值．由a n ＝32n －11知，当n ＝1,2,3,4,5时，a n <0，且此时数列单调递减，当n ≥6时，a n >0，且此时数列单调递减，所以a n 的最小值为a 5，最大值为a 6.解法二：画出函数y ＝32x －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，⎝ ⎛⎭⎪⎫112，0为函数图象的对称中心，故S 5最小，a 5最小，a 6最大．17．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n 为________．答案 3n －1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }为等比数列，∴S n ＝－3n1－3＝3n －1.18．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝________.答案－20112解析 a 2＝－1a 1＋1＝－11＋1＝－12，a 3＝－1a 2＋1＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1a 3＋1＝－1－2＋1＝1，因此a 4＝a 1，依次下去，得到a n ＋3＝a n ，因此数列{a n }是以3为周期的周期数列，∵2014＝3×671＋1，∴S 2014＝671×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝671×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－2＋1＝－20112.一、高考大题1．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前10项和，其中表示不超过x 的最大整数，如＝0，＝2.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.2．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n .所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1. 当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3. 当n ≥3时，T n ＝3＋－3n －21－3－n ＋n －2＝3n －n 2－5n ＋112，把n ＝2代入公式，T 2＝3所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n－n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.二、模拟大题3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝lga n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n＝1，又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n.(2)由(1)得b n ＝lg n －lg (n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2) ＝lg2n ＋n ＋.4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d >0，因为a 3，a 4＋52，a 11成等比数列，所以⎝⎛⎭⎪⎫a 4＋522＝a 3a 11，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋3d 2＝(1＋2d )(1＋10d )，即44d 2－36d －45＝0，所以d ＝32(d ＝－1522舍去)，所以a n ＝3n －12.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝4n －n ＋＝43⎝⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，所以T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝2n3n ＋2. 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1. (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n a 1＋a n2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋－4n 1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)．6．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由已知条件，得(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．又因为q ≠1，所以a 2＝a 3＝2. 由a 3＝qa 1，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2n －12 ；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2n2 .所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12 ，n 为奇数，2 n2 ，n 为偶数.(2)由(1)，得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，n ∈N *.设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋…＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋…＋n ×12n ，上述两式相减，得12S n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝1－12n1－12－n 2n＝2－n ＋22n，所以S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. 所以数列{b n }的前n 项和为S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.。

2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列28和答案

第四章数列考点测试28 数列的概念与简单表示法一、基础小题1．已知数列{a n}的通项公式a n＝1n n＋2(n∈N*)，则1120是这个数列的( )A．第8项B．第9项C．第10项D．第12项答案 C解析由题意知1120＝1n n＋2，n∈N*，解得n＝10，即1120是这个数列的第10项，故选C.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a2等于( ) A．4 B．2C．1 D．－2答案 A解析由S n ＝2(a n －1)，得a 1＝2(a 1－1)，即a 1＝2，又a 1＋a 2＝2(a 2－1)，得a 2＝4.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则数列{a n }的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝(n －1)2C ．a n ＝(n －1)3D ．a n ＝(n －1)4答案 B解析 a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，所以a 2＝0＋1＝1，a 3＝1＋3＝4，a 4＝4＋5＝9，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝(n －1)2.4．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是( ) A ．107 B ．108 C ．8658D ．109 答案 B解析因为a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋8658，n ∈N *，所以当n ＝7时，a n 取得最大值108.5．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A ．6116B ．259C ．2516D ．3115答案 A解析解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516， ∴a 3＋a 5＝6116，故选A.6．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2016的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 B解析因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，数列{a n }成周期数列，周期为6，因为2016＝2＋335×6＋4，所以a 2016＝6.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧2 n ＝1 ，2n －1 n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－＝2n －1.此时对于n ＝1不成立，故a n ＝⎩⎨⎧2 n ＝1 ，2n －1 n ≥2 .8．数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝12.因为13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，①所以当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3n －2.②所以①－②，得a n ＝3n ＋1.所以a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.二、高考小题9．根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n ，故选C.10．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C. 11．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________. 答案12解析由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，……，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.12．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.答案 1 121解析解法一：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.解法二：由a n ＋1＝2S n ＋1，得a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，又S 1＋12＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，∴S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，∴S 5＝35－12＝121.13．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析由已知得，a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 三、模拟小题14．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130答案 C解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1＝32 a 1－1 ，a 1＋a 2＝32 a 2－1 ，解得⎩⎨⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项逐一检验，只有C 符合．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3)答案 C解析因为{a n}是递增数列，所以⎩⎨⎧3－a >0，a >1，3－a ×2＋2<a 2.解得2<a <3，所以实数a 的取值范围是(2,3)． 17．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2017项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2017＝________.答案 2解析由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2017＝4×504＋1，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2017项的乘积为1504·a 1＝2.18．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时， ⎩⎨⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝ n ＋1 n ＋2 ，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n n ＋1 ，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.一、高考大题1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n >1，n ∈N *.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n . 所以T 1＝b 1＝13；当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋，所以3T n ＝1＋，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ＝136－2n ＋12×3n －1，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3n －1. 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3n －1. 2．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)．(1)证明：1≤a na n ＋1≤2(n ∈N *)； (2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12 n ＋2 ≤S n n ≤12 n ＋1(n ∈N *)．证明(1)由题意得a n＋1－a n＝－a2n≤0，即a n＋1≤a n，故a n≤1 2 .由a n＝(1－a n－1)a n－1，得a n＝(1－a n－1)(1－a n－2)…(1－a1)a1>0.由0<a n≤12，得anan＋1＝anan－a2n＝11－a n∈，即1≤anan＋1≤2.(2)由题意得a2n＝a n－a n＋1，所以anan＋1＝1an＋1－1an，Sn＝a1－a n＋1.①由anan＋1＝1an＋1－1an和1≤anan＋1≤2，得1≤1an＋1－1an≤2，所以n≤1an＋1－1a1≤2n，因此12 n＋1≤a n＋1≤1n＋2(n∈N*)．②由①②得12 n＋2≤Snn≤12 n＋1(n∈N*)．二、模拟大题3．已知数列{a n}中，a n＝1＋1a＋2 n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．解(1)∵a n＝1＋1a＋2 n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．又∵a＝－7，∴a n＝1＋12n－9(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)．∴数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)a n＝1＋1a＋2 n－1＝1＋12n－2－a2.∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a<－8.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)证明：∵a n a n＋1＝4S n－1，∴a n＋1a n＋2＝4S n＋1－1，∴a n＋1(a n＋2－a n)＝4a n＋1.又a n≠0，∴a n＋2－a n＝4.(2)由a n a n＋1＝4S n－1，a1＝1，得a2＝3.由a n＋2－a n＝4知数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.5．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝12a2n＋12an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)由S n＝12a2n＋12an(n∈N*)，可得，a1＝12a21＋12a1，解得a1＝1，a1＝0(舍)．S2＝a1＋a2＝12a22＋12a2，解得a2＝2(负值舍去)；同理可得a3＝3，a4＝4.(2)因为S n ＝12a 2n ＋a n 2，① 所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12，② ①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解 (1)当n ≥2时，由题可得 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n 2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ， n ＋1 a n ＋1na n＝3， ∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)．∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n·3n －2(n ≥2)． ∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n n ＋1 ，设f (n )＝n n ＋12·3n (n ≥2，n ∈N *)，a nn ＋1＝132·1f n ，则f (n ＋1)－f (n )＝2 n ＋1 1－n 2·3n ＋1<0，∴1f n ＋1 >1f n (n ≥2)．故n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f n 是递增数列．又132·1f 2 ＝13及a 12＝12， ∴所求实数λ的最小值为13.。

2018年高考数学考前回扣教材4 数列

回扣4 数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数) (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ②通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ③中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)判断等比数列的三种常用方法①定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.②通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. ③中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如{a n·b n}(其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)通项公式形如a n＝c(an＋b1)(an＋b2)(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n＝(－1)n·n或a n＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n.1.已知数列的前n项和求a n，易忽视n＝1的情形，直接用S n－S n－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1.2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝n＋12n＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如1n(n＋2)≠1n－1n＋2，而是1n(n＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n－1n＋2.8.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n－4(n∈N*)，则a n等于()A.2n＋1B.2nC.2n－1D.2n－2答案 A解析a n＋1＝S n＋1－S n＝2a n＋1－4－(2a n－4)⇒a n＋1＝2a n，再令n＝1，∴S1＝2a1－4⇒a1＝4，∴数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.2.已知数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n，且a1＝2，a2＝3，S n为数列{a n}的前n项和，则S2 016的值为( ) A.0 B.2 C.5 D.6 答案 A解析由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6·336，∴S 2 016＝336S 6＝0，故选A.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝14－a 6，则S 10等于( ) A.35 B.70 C.28 D.14 答案 B解析 a 5＝14－a 6⇒a 5＋a 6＝14， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝70.故选B.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则使S n ＋63a n 取得最小值时n 的值为( )A.7B.7或8C.172 D.8答案 D解析 a 2＝4，S 10＝110⇒a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110⇒a 1＝2，d ＝2，因此S n ＋63a n ＝2n ＋n (n －1)＋632n ＝n 2＋632n ＋12，又n ∈N *，所以当n ＝8时，S n ＋63a n 取得最小值.5.等比数列{a n }中，a 3a 5＝64，则a 4等于( ) A.8 B.－8 C.8或－8 D.16 答案 C解析由等比数列的性质知，a 3a 5＝a 24，所以a 24＝64，所以a 4＝8或a 4＝－8.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A.4n －1 B.4n －1 C.2n －1 D.2n －1答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2×(1－12n )1－122×(12)n －1＝2n－1.故选D. 7.设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是( )A.2936B.3144C.3655D.4366 答案 C解析由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2).则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A.4B.3C.23－2D.92答案 A解析据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4.9.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于________. 答案 4解析由等比数列的性质有a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5，所以T 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1a 2…a 8)＝lg(a 4a 5)4＝lg(10)4＝4.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n 且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________. 答案 n 2－n ＋2 解析 a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n ，采用累加法可得∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋2＝n 2－n ＋2.11.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________. 答案 2×3n －1－1解析设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)， ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1.12.数列113，219，3127，4181，51243，…的前n 项之和等于________________.答案n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ] 解析由数列各项可知通项公式为a n ＝n ＋13n ，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ]. 13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，且λ≠－1)，且a 1，2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和.解 (1)方法一 ∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，以λ＋1为公比的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 方法二 ∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1. ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＋1＝S n ＋1 (n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2， ∴数列{a n }为以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n ， a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1.①∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n .②①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n .整理得T n ＝(3n －5)·2n ＋5.14.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若λ≤T n 对于任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，①∴S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2).②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴T n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，∵T n ＝21＋1n ，∴T n 单调递增，∴T n ≥T 1＝1，∴λ≤1.故λ的取值范围为(－∞，1].。

23 数列的综合应用-2018年高考数学(文)考点一遍过含解析

考点23数列的综合应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题。

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法．考向一等差、等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；(2)如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．典例1已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92。

（1）求{}na 的通项公式；（2）设等比数列{}nb 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}nb 的前n 项和nT .【解析】（1)设na 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a da d 化简得11322,,2ada d解得11=1,2a d ，故通项公式为1=1+2n n a ，即1=2n n a 。

（2）由（1)得1415151=1==82b b a ，。

设nb 的公比为q ，则3418b q b ，从而2q 。

故nb 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n nb q Tq .典例2 已知等比数列{}n a 的公比为12q ． (1）若314a,求数列{}n a 的前n 项和；（2）证明：对任意kN ,21,,k k ka a a 成等差数列．（2）对任意k N ,11122111112()2()(21)kkk k kk k a a a a q a q a q a q q q ，由12q得2210q q ，故212()0k k k a a a ．所以，对任意kN，21,,kk ka aa 成等差数列．1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且373,28aS ==，在等比数列{}n b 中，344,8bb ==。

2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列30和答案

(word完整版)2018年高考文科数学(全国I卷)试题及答案,推荐文档

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第四章 数

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第四章 数列 30 Word版含答案

2018版高考数学文人教大一轮复习讲义 教师版文档第四

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)

2018年高考文科数学试题及答案

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列29和答案

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第四章 数列 30 Word版含答案

2018年高考理数： 数列 含答案

2018年高考数列专题复习(精典版知识点大题分类选择题答案解析详解)

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列31和答案

2018年高考数学文科考点过关习题第四章数列28和答案

2018年高考数学考前回扣教材4 数列

23 数列的综合应用-2018年高考数学(文)考点一遍过含解析

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题第四章数

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第四章数列 30 Word版含答案

2018版高考数学文人教大一轮复习讲义教师版文档第四

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第四章数列 30 Word版含答案

2018年高考理数：数列含答案