10-11-1复变函数期末试卷

留数：

二计算下列各题(每小题5分).

（1） 求214)3)3(i i ＋及（+的值

（2） 求i i 2)1(+的模与辐角主值

(3) 计算积分⎰+=i

dz z I 30)Re(，路线分别为：

a. 从原点到i +3的直线段；

b. 自原点沿实轴至3，再由3沿直线向上至i +3

（4） 计算积分dz z ze c z

⎰-3

)

(α，其中α为1≠α的任何复数，曲线c 为1=z ，取正向。

（5）判别级数]31)1([12i n n n n +-∑∞

=的敛散性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛。

（6）求函数z arctan 在00=z 处的泰勒展开式，并指出收敛半径。

三

计算下列各题（每小题6分）

1）ξςd z z f c

⎰-=)(，其中2:=ςc 正向且2≠z ，求)(z f ，)1(f '，)34(i f +

（2）将2

1s in )2()(2--=z z z f 在+∞<-<20z 内展成洛朗级数，并由洛朗级数的特点，说明2=z 是什么类型的孤立奇点，并求]2),([Re z f s

四

计算下列各题（每小题7分）

（1）计算积分dz z z e c

z

⎰-2)1(，C 为正向圆周：2=z

(2) 已知调和函数y x y y x u 233),(-=，求解析函数iv u z f +=)(

五解答题

指出下列函数的有限奇点及类型，并求出在奇点处的留数 （1）21

)(z ze z f -= （2）)

1(2)(2++=z z z z f

六．解答题

将函数)

1()(2-=z z z f 在下列圆环域展为洛朗级数： （1） 10<

七证明题

若函数在区域D 解析，且)(z f 在D 内解析，证明)(z f 是常数.