高考数学一轮复习专题5_5数系的扩充和复数的引入讲
知识讲解_数学的扩充与复数的引入_知识讲解
数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。
高考数学考点回归总复习课件 数系的扩充与复数的引入
注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能 比较大小.
(2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据, 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.
2.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实
轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数 集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是一一对应的.
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin2 cos2 2 1 sin2 2 .
4
故|
z1
z2
|的最大值为 3 ,最小值为 2
2.
技法二
数形结合思想
【典例2】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值 为( )
A.1 B. 2 C.2 D. 5
答案:C
2.(2010·陕西)复数
z 在1复i i平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 :因为z i i(1 i) 1 i 1 1 i,所以其对 1 i (1 i)(1 i) 11 2 2
应的点
1 2
,
1 2
位于第一象限, 故选A.
答案:A
3.(2010·湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则
【典例1】 已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数 时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点 在第三象限?
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：5.5 数系的扩充与复数的引入(专题拔高配套PPT课件)
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法 的几何意义,即������������ = ������������1 + ������������2 , ������1 ������2 = ������������2 − ������������1 . 4.常见运算结论 (1)(1±i)2=±2i;
第五章
知识梳理 双击自测
5.5 数系的扩充与复数的引入
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-4-
2.复数的几何意义
(1)复数 z=a+bi (2)复数 z=a+bi
复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). 平面向量������������(a,b∈R).
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ;
关闭
∵A(6,5),B(-2,3), ∴线段AB的中点C(2,4),则点C对应的复数为z=2+4i.
C
解析 答案
关闭
第五章
知识梳理 双击自测
5.5 数系的扩充与复数的引入
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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2.(2017浙江湖州考试)设i是虚数单位,复数1-2i的虚部是( A.-2 B.2 C.-2i D.2i
2020年高三数学第一轮复习教案-复数-数系的扩充与复数的引入
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【知识必备】
知识点二 复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
→ 平面向量OZ.
【知识必备】
知识点三 复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
对应的复数．
→→→ (4)复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的
复数．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【典题演练】
9.
-1
【作 业】
完成课时作业（六十一）
再见
【知识必备】
知识点三 复数的运算
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1 ＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【知识必备】
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材基础素材
§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的。
现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。
复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。
高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根，-i是-1的另一个平方根。
1.我们把平方等于—1的数用i表示，规定i2=—1，其中的i叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解,使实数的开方运算总可以实施(即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于—1的“新数”开始.2。
i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立.i可以与实数进行四则混合运算，是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立，这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。
二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi （a ，b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi ｜a,b ∈R ｝叫做复数集。
2。
复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示，即z=a+bi （a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz 。
【示例】 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数,哪些是虚数，哪些是纯虚数.4,2-3i ，0，21-+34i,5+2i,6i 。
思路分析：要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2—3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4，6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4，虚部为0;6i=0+6i ，则我们马上可知其实部是0，虚部是6。
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
数学数系的扩充和复数的引入
大贡献.
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
无理数
无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达 哥拉斯学派（弟子希伯修斯）利用毕达哥拉斯定理， 发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世 纪）是数学发展史上的一个里程碑.
一、数学史：数系的扩充
数
系 的
无理数 实数R
扩
分数 有理数Q
充
负整数 整数Z
（“想象中 (imaginary)的 数”）.
笛卡尔
(R.Descartes,1596--1661)
欧拉(L.Euler,1707~1783)
二、复数的概念
1．虚数单位的引入 新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
三、复数的几何意义
例7.设 z ∈C , 满足下列条件的点 z 的集合是什么图形?
(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
o
x
课堂小结
1.虚数单位i 的引入；
2.复数有关概念：
z=a+bi
3.复数的分类
4.复数的几何意义
z=a+bi Z(a,b)
a
无理数
实数 有理数 ൞整数 ቊ自负然整数数
破 但了希毕伯斯达却哥拉将斯这学一派秘密的透信物条露了,于都出是可去毕.归毕达达哥结哥拉为拉斯斯命数大令或怒他,不数要许将的外他传处. 死.希伯斯连忙外逃,然而还比是例被抓，住这了,是被扔世入界了大所海以,为美科学
的 无发 理展 数献 的出 发了 现宝,导贵致的了生第命一好.次希数伯和学斯谐危发的机现的,为源这数泉类学数．的,发被展称做为出无了理重数.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入2222数学
未知数。
第十四页，共二十三页。
解：
x 2 3y
根据相等的意义得： 2x y 1
解方程可得：
x 1
y
1
复数相等 转化(zhuǎnhuà) 求方程组解的
的问题 (xiāngděng)
两个复数不能比较(bǐjiào)大小，但它们的模可以 比较大小。
第二十页，共二十三页。
小结 ： (xiǎojié)
＊ 复数(fùshù)定义：
形如 abi(a,bR的)数叫复数，a 叫复数的实部
Re z， b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C表示。
＊ 复数 abi与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ：
探索(tàn suǒ)
复数是由实数扩充得到的，那么(nà me)实数集的性 质和特点能不能推广到复数集呢？
实数的部分性质(xìngzhì)和特点：
(1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 实数可以用数轴上的点表示； (3) 不相等的实数可以比较大小； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
数系的扩充(kuòchōng)和复数的引入
第一页，共二十三页。
复习(fùxí)回顾
数 自然数 系 的 整数 扩 充 有理数
实数
用图形(tú xíng)表示为：
QZ
N
R
(kuòchōng)
第二页，共二十三页。
ห้องสมุดไป่ตู้
新课引入
我们知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根。
即：在实数范围内， x2 1
【高中数学】数系的扩充与复数的引入
【高中数学】数系的扩充与复数的引入知识讲解1. 复数的有关概念 （1）复数的概念形如a+bi (a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0，则a+bi 为实数；若b≠0，则a+bi 为虚数；若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
{}{}虚数纯虚数⊂，{}{}{}实数虚数复数 ==C（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔=⎧⎨=⎩a c b d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔=⎧⎨=-⎩a c b d(a,b,c,d ∈R)两个重要命题：定理：复数是实数的充要条件是；1z z z =定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200z z z z +=≠ （4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般的，可用Z (a,b) (a,b ∈R)表示复数a+bi (a,b ∈R)或用向量O Z表示复数a+bi.（5）复数的模向量O Z的模叫做复数z=a+bi 的模，记为|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22a b +。
2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a,b) (a,b ∈R) （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量O Z(a,b ∈R) 3、复数的运算（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）加法：R d c b a i d b c a di c bi a ∈+++=+++,,,)()()()( 减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+ 乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++除法：)())(())(()()(转化为乘法运算…=-+-+=++=+÷+di c di c di c bia dic bi a di c bi a ，简记为“分母实数化”。
高中数学一轮复习数系的扩充与复数的引入PPT课件
热点 提示
1.从近几年的高考试题看，复数的概念及其代 数形式的运算成为命题的热点，通常分两种 题型，即选择题和填空题．一是考查复数的 概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数 代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础 知识． 2．预测2011年高考命题仍会以考查复数的概 念，包括以实部与虚部、虚数与纯虚数以及 复数的代数形式的运算为重点进行命题.
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
第40页/共55页
解法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
3ii 3i
＝－1＋i.
第41页/共55页
变式迁移 3 计算： (1)－1＋ii32＋i； (2)11＋－ii2＋11－＋ii2； (3)(1＋2i)2007＋(1－2i)2007.
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故所求复数为xy＝＝11＋－ii 或xy＝＝11－＋ii 或xy＝＝－－11＋－ii 或xy＝＝－－11－＋ii .
第34页/共55页
• 解这类题的关键是将复数设成z＝a＋bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复 数相等，实现复数问题向实数问题的转化，使问题得以解决.
第35页/共55页
＝
212007[(2i)1003·(1＋i)＋(－2i)1003·(1－i)]
＝ 12[(－i)·(1＋i)＋i·(1－i)]＝ 2.
第44页/共55页
【例 4】 如右图，平行四边形 OABC，顶点 O、 A、C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)A→O表示的复数，B→C表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数．
高三数学一轮复习精品课件：第5讲 数系的扩充与复数的引入
考点一 复数的有关概念
【例 1】 (1)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( )
A.i
B.－i
C.1 D.－1
(2)(2017·武邑中学期末)设 i 是虚数单位，复数a2＋ －ii是
纯虚数，则实数 a＝( )
A.2
1 B.2
C.－12 D.－2
解析 (1)因为 i607＝(i2)303·i＝－i，－i 的共轭复数为 i. 所以应选 A. (2)∵a2＋ －ii＝（a＋i）5（2＋i）＝（2a－1）＋5 （a＋2）i 是纯虚数，∴2a－1＝0 且 a＋2≠0，∴a＝12，故选 B. 答案 (1)A (2)B
规律方法 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复 数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代 数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部.
【训练 1】 (1)(2017·河南六市联考)如果复数21－ ＋b2ii(其中 i 为
对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的
复数是( )
A.4＋8i
B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 ∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，
则点C对应的复数为z＝2＋4i.
答案 C
4.(2015·全国Ⅱ卷)若 a 为实数，且21＋＋aii＝3＋i，则 a
等于( ) A.－4
B.－3 C.3 D.4
解析 由21＋＋aii＝3＋i，得 2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
即 ai＝4i，因为 a 为实数，所以 a＝4.故选 D.
答案 D
高考数学数系的扩充与复数的引入
高考数学数系的扩充与复数的引入
2021高考各科温习资料
2021年高三开学曾经有一段时间了，高三的同窗们是不是曾经投入了紧张的高考一轮温习中，数学网高考频道从高三开学季末尾为大家系列预备了2021年高考温习，2021年高考一轮温习，2021年高考二轮温习，2021年高考三轮温习都将继续系统的为大家推出。
1.温习平面向量内容时要留意：
(1)向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段终点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.
(2)共线向量战争面向量的两条基本定理，提醒了共线向量战争面向量的基本结构，它们是进一步研讨向量的基础.
(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判别相应的两条直线能否垂直.
(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要留意这一点，如数量积不满足结合律.
(5)要留意向量在几何、三角、物理学中的运用.
(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，温习中要
留意培育准确的运算才干和灵敏运用知识的.。
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第05节数系的扩充和复数的引入【考纲解读】扩充【知识清单】1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)． 对点练习：【2017浙江台州4月一模】已知复数的实部为1，则_________，__________．【答案】 1【解析】，实部，所以，.2．复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)．2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 对点练习：【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==. 对点练习：【2017浙江,12】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab= ．【答案】5，2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1 复数的有关概念及性质 【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋ni(m ，n ∈C)，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋yi ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A. 【1-2】(1)i 是虚数单位，若复数a －103－i(a∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)若3＋bi1－i＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.【答案】（1）D ；（2）3.【解析】(1)复数a －103－i ＝a －10（3＋i ）10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi ＝(1－i)(a ＋bi)＝(a ＋b)＋(b －a)i ，根据复数相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ， ∴a ＋b ＝3.故填3. 【领悟技法】（1）2i 1=-中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋ni ，如果m ，n ∈C(或没有明确界定m ，n ∈R)，则不可想当然地判定m ，n ∈R.(3)对于a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b≠0. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 【答案】A【变式二】已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ）A 【答案】B 【解析】设2i a i -+bi =,则b abi i -=-2,故⎩⎨⎧-==-12ab b ,解之得21=a ,则i z 21+=,故3||=z ,应选B.考点2 复数的几何意义 【2-1】【2017浙江模拟】当时，复数在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】<m<1，则3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．【2-2】已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinA －cosB)＋(sinB －cosA)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A即sinA －cosB ＞0.同理可得，sinB －cosA ＞0.故选A. 【领悟技法】 复数的几何意义(1) (其中a ，b ∈R)．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离． 【触类旁通】【变式一】已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限. 【变式二】复数22iz i-=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因5435)2(222i i i i z -=-=+-=，故543iz +=在第一象限，应选A ．考点3 复数的代数运算 【3-1】复数()()232i i z i--=的实部与虚部之和为（ ）A ．-3B ．4C ．3D ．-11 【答案】D 【解析】【3-2】【2017浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( )A. 12i -B. 12i +C. 12i --D. 12i -+ 【答案】B【解析】设z a bi z a bi =+∴=-，所以()22332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=+ ，所以33,21,2a b a b ==∴== ，所以选B. 【领悟技法】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 【触类旁通】【变式一】【2017浙江高考模拟】已知复数1iz i+=，其中i 为虚数单位，则z = （ ）A.12 B.2【答案】C.【解析】由题意得，1z i =-，∴||z =，故选C.【变式二】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C【易错试题常警惕】易错典例：已知复数3412iz i+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．25i - B ．25i C ．45 D ．25易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错． 正确解析：34112125i i z i +-==+，所以1125i z +=，虚部为25，选D. 温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.2.注意利用共轭复数的性质22|z |||zz z ==，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】2017“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内，复数1z i =-对应的向量为OP ，复数2z 对应的向量为OQ ，那么向量PQ 对应的复数为（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -+ D. 1i -- 【答案】D。