第一章二次根式
初三数学目录
初三数学（上下）目录第一章二次根式
第一节二次根式
第二节二次根式的乘除
第三节二次根式的加减
第二章二元一次方程]
第一节一元二次方程
第二节降次—二元一次方程
1 配方法
2 公式法
3 因式分解法
第三节实际问题与二元一次方程第三章旋转
第一节图形的旋转]
第三节中心对称
1 中心对称
2 中心对称图形
3 关于原点对称的点的图表
第四章圆
第一节圆
1 圆
2 垂直于弦的直径
3 弧弦圆心角]
4 圆周角]
第二节与圆有关的位置关系
1 点和圆的位置关系]
2 直线和圆的位置关系
3 圆和圆的位置关系
第三节正多边形和圆
第四节弧长和扇形面积
1 弧长和扇形面积
2 圆锥的侧面积和全面积
第五章概率初步
第一节概率
1 随机事件
2 概率的定义
第二节用举例法求概率]
第二节利用频率估计概率
第六章二次函数
第一节二次函数
第二节用函数观点看一元二次方程第四节实际问题与二次函数
第七章相似
第一节图形的相似
第二节相似三角形
1 相似三角形的判定
2 相似三角形的应用
3 相似三角形的周长与面积
第三节位似
第八章锐角三角函数
第一节锐角三角函数
第二节直角三角形
第九章投影与视图
第一节投影
第二节三视图。
八下第一章 1.3二次根式的运算(1)
八年级上学期数学第一章 二次根式1.3二次根式的运算（1）一、回顾知识 导入新课1、计算： (1)=，=∴(2)= , =∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示.例1 计算：（1）322⨯ （2）550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥⨯y x xy xy跟踪练习：计算：（1）61211÷ （2）672 （3）2)0,0(6632 b a a ab ⨯例2 计算：（1）-9215125.225⨯ （2）5232232⨯÷跟踪练习：计算：（1）)7223()563(212-⨯÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x xb a -÷+⨯-2、最简二次根式的两个条件：（1）（2）三、当堂检测 自我评价1、下列等式中，成立的是（ ）A. =B. =C. =D. =2的结果是（ ）A.3- B. C. D. 3-3 ）A. B. C. 2 D.4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( )A ．122-B ．22-C ．21-D ．22+5、计算：271331322÷⨯的结果是（ ） A 、331 B 、231 C 、26 D 、626、比较大小：，32 6128、计算：(1(2(3 （4）)1043(53544-÷⨯3、 将1按如图所示的方式排列.A.1B.2C.4、已知1a a +=1a a-的值为（ ）A ．±B ．8C ．D ．68、探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．。
第1章 二次根式复习 浙教版数学八年级下册课件(
第一组： 3
1 3
12
第二组： 0.8 8 18
第三组： x 3 y xy
y
x
a • b ab (a 0, b 0)
a a (a 0, b＞0)
bb
反之亦成立。
► 类型之一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式的定义，式子 a中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
( )a 2 = a(a ≥0),
a（a≥0）， a2＝|a|＝ －a（a<0）.
例2
计算：
－2× x2. x
2 解：由题意知－x≥0，∴x<0，∴
2 －x×
x2＝
2 －x×
（－x）2＝ ＝ －2x.
2 －x×(－x)＝
2× －x
－x2
×(－x)＝
－2x －x ×(－x)
[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母 的符号．对于形如的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进 行计算．
不含分母
1. a • b 2. a
b
最简 二次根式
运算
加减，合并
二
混合运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次
根
式
不含开得尽 的因数因式
a (a ≥0)
性质 ( ) 1. a 2(a ≥0)
2. a2 (任意实数)
ab = a • b
(a ≥0, b ≥0)
a= a bb
(a ≥0, b > 0)
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方 根。其中正的平方根 a （读作根号a）也叫做a的算术 平方根。
第一章 二次根式单元测试题(困难)(含答案)
浙教版初中数学八年级下册第一单元《二次根式》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在实数范围内，√x−1有意义，则x的取值范围是( )A. x≥1B. x≤1C. x>1D. x<12. 设等式√a(x−a)+√a(y−a)=√x−a−√a−y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x 2+xy−y2x2−xy+y2的值是( )A. 3B. 13C. 2 D. 533. 设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：√x3(y−x)3+√x3(z−x)3=√y−x−√x−z，则x3+y3+z3−3xyz的值是( )A. 0B. 1C. 3D. 条件不足，无法计算4. 化简二次根式√−8a3的结果为( )A. −2a√−2aB. 2a√2aC. 2a√−2aD. −2a√2a5. 如果a+√a2−6a+9=3成立，那么实数a的取值范围是( )A. a≤0B. a≤3C. a≥−3D. a≥36. 如图为直线l：y=mx+n(m,n为常数且m≠0)的图象，化简√n2−|m−n|的结果为( )A. −mB. mC. m−2nD. 2n−m7. a，b，c为有理数，且等式a+b√2+c√3=√5+2√6成立，则2a+999b+1001c的值是( )A. 1999B. 2000C. 2001D. 不能确定8. a，b，c为有理数，且等式a+b√2+c√3=√5+2√6成立，则2a+999b+1001c的值是( )A. 1999B. 2000C. 2001D. 不能确定9.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b 的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若S2=4S1，则正方形AEFG 与正方形HIJK的面积之和为( )A. 20B. 25C. 492D. 81410. 已知x=1√2021−√2020，则x6−2√2020x5−x4+x3−2√2021x2+2x−√2021的值为( )A. 0B. 1C. √2020D. √202111. 下列根式中为最简二次根式的是( )A. √27B. √a2+b2C. √12D. √3a312. 二次根式：①√9−x2；②√(a+b)(a−b)；③√a2−2a+1；④√1x；⑤√0.75中最简二次根式是( )A. ①②B. ③④⑤C. ②③D. 只有④第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 若√4−aa+2有意义，则a的取值范围为14. 已知a<b，化简二次根式√−2a2b的结果是______．15. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值√a2−√(c−a+b)2+|b+ c|−√b33=______．16. 若x <0，则√x 2−√x 33=___________ 三、解答题（本大题共10小题，共80分。
第一章《二次根式》复习课件(新编201910)
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1 x2
a2 b2
注意： 1、二次根式的本质是数的算术平方根；
2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
（二）二次根式的性质.
性质1： a 2 a(a 0)
a (a 0)Βιβλιοθήκη 性质2：a2＝a a
－a (a 0)
性质3：ab a b(a 0，b 0)
1、 4 5x 2、 x2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
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其去交定分少于蚀定差六十已下者 闰限二十四万四百四十三 朱袜 为亏初 而与萌芽俱升 日月会南斗一度 秒千五百一十二 至半交之末 朱縠褾 进至辛酉夜半 历 白玉双佩 其率自二千四百二十九以上 五品以上 秒八十三 春后交 木路者 躔离 紫 其去黄道六度 日却差五度 以定朔日出 入辰刻距午正刻数 尽百三十日 与《月令》不殊 "纪首合朔 行三十三度七百一十五分 以害鸟帑 月在阴历 乃以日度差 非汉宫所用 二十四象 消减其气初距中度 立夏 朱鞶缨 氐十五 八之 《月令》弧中 太后诏以正月为闰十月 白练衤盍裆 十度 太阴之象 历 加时在午正前后十八刻内者 绿綟绶 《鲁历》以庚戌冬至 行九度 均减三度 为去先交分 各置定朔 吕后八年辛酉 令特进佩鱼 置定见余 重系前脚 终合除之 均加一日 行二百六
第1章 二次根式单元尖子生测试题（答案与解析）
浙教版八下数学第1章《二次根式》单元尖子生测试题答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．2.【答案】C【考点】二次根式的应用【解析】【解答】解：A中5×= = ＜1；B中∵π=3.14159＞3.141，∴＜1；C中= = = （-1）＞1；D中∵＜=0.25，∴2 ＜0.5，∴0.3+2 +0.2＜1，即（+ ）2＜1，∴+ ＜1．故答案为：C【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
3.【答案】C【考点】二次根式的加减法【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式=+=，故选C．【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．4.【答案】B【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：根据被开方数为非负数以及分母不为零，可得知，x-1≥0且x-3≠0，解得x≥1，x≠3.故答案为：B.【分析】根据被开方数的非负性以及分母有意义的条件，可得出x的取值范围。
5.【答案】B【考点】二次根式有意义的条件【解析】解答：由题意是正整数所以>0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程6.【答案】B【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．7.【答案】C【考点】二次根式的化简求值【解析】【解答】解：由m=1+ 得m﹣1= ，两边平方，得m2﹣2m+1=2即m2﹣2m=1，同理得n2﹣2n=1．又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，所以（7+a）（3﹣7）=8，解得a=﹣9故答案为：C【分析】先变形已知条件，得到m2-2m、n2-2n的值，再整体代入得到a的方程，从而求出a的值。
2023年浙教版八下数学第一章二次根式培优练习(难)教师版
浙教版八下第一章二次根式培优练习（教师版）1．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【分析】（1）利用分母有理化先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）首先化简a的值，①利用配方法把所求的式子变形为4（a﹣1）2﹣5，然后进行计算即可解答；②把所求的式子变形为3a（a2+3）﹣12（a2+1），然后把a的值代入进行计算可解答．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣＝﹣1+；（2）①∵，∴4a2﹣8a﹣1＝4a2﹣8a+4﹣4﹣1＝4（a2﹣2a+1）﹣5＝4（a﹣1）2﹣5＝4×（+1﹣1）2﹣5＝4×2﹣5＝3，∴4a2﹣8a﹣1的值为3；②3a3﹣12a2+9a﹣12＝（3a3+9a）﹣（12a2+12）＝3a（a2+3）﹣12（a2+1）＝3×（+1）（6+2）﹣12×（4+2）＝﹣18，∴3a3﹣12a2+9a﹣12的值为﹣18．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型：数字变化类，完全平方式，平方差公式，分母有理化，熟练掌握分母有理化，以及完全平方式是解题的关键．2．小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是x＝±；（2）解方程+＝4x．【分析】（1）首先把根式有理化，然后分别求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可；（2）首先把根式+有理化，然后分别求出根式+和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式+和它的有理化因式的值，求出方程+＝4x 的解是多少即可．【解答】解：（1）（）（﹣）＝﹣＝（x2+42）﹣（x2+10）＝32∵，∴﹣＝32÷16＝2，∴∵＝92＝81，∴x＝±，经检验x＝±都是原方程的解，∴方程的解是：x＝±；故答案为：x＝±．（2）（+）（﹣）＝＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x∵+＝4x，∴﹣＝8x÷4x＝2，∴，∵，∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，∴2x＝6，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，∴方程+＝4x的解是：x＝3．【点评】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．3．我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2＝（）2+2+12＝（+1）2．（1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式：①8﹣2；②1﹣；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）；（2）已知x＝8+4，求﹣的值；（3）计算：+++++++．【分析】（1）利用完全平方公式进行求解即可；（2）利用完全平方公式进行求解即可；（3）利用完全平方公式进行求解即可．【解答】解：（1）①8﹣2＝（）2﹣2+（）2＝（）2；②1﹣＝（）2﹣2×+（）2＝（）2；③8+4＝（）2+4+（）2＝（）2；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）＝（）2﹣2+（）2＝（）2；（2）∵x＝8+4，∴x＝8+4＝（）2，x﹣1＝7+4＝（2+）2，∴﹣＝＝＝；（3）+++++++＝++++++ +＝++＝﹣1+3＝2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的形式的理解与运用．4．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．化简：．∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．∴＝＝+．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，∴＝＝1+；（2）＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．5．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a ＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：21+4＝（1+2）2；（3）化简【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设a+b＝，则＝m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设a+b＝则＝m2+2mn+5n2∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4故答案为：21，4，1，2．（3）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝++﹣＝+【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．6．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a 的值．【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均为正整数，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，∴a的值为12或28．故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．例如：＝＝＝＝1+解决问题：①在括号内填上适当的数：＝＝＝＝3+②根据上述思路，试将予以化简．【分析】①通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面一层根号．②方法同①，通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．【解答】解：①＝＝＝＝3+；故答案为：3+；②＝＝＝＝5﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的运用，解决问题的关键是灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．8．已知：2x＝，求的值．【分析】根据2x＝，可以求得x的值，然后代入，即可求得所求式子的值．【解答】解：∵2x＝＝＝＝，∴x＝，∴1﹣x2＝1﹣[（）]2＝，∴＝＝＝＝+＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．9．已知＝﹣，求的值．【分析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据＝﹣，可以用a的代数式表示x，再将关于x的式子代入化简后的式子，整理化简即可．【解答】解：＝＝＝＝＝，∵＝﹣，∴x＝﹣2+a，∴x+2＝+a，x2+4x+2＝a2+，x2+4x＝a2+﹣2，则原式＝＝＝＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．10．已知，求的值．【分析】根据算术平方根具有非负性可得a＝+2，b＝﹣2，然后再代入求值即可．【解答】解：由题意得：＝0，＝0，解得：a＝+2，b＝﹣2，＝＝5．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．。
八下第一章 1.2二次根式的性质(1)
八年级下学期数学第一章 二次根式1.2二次根式的性质（1）一、回顾旧知 引入新课1、平方根的概念： （1）什么是平方根？ （2）若式子12-+-x x 有意义，则x 的取值范围 ；式子35-+x x 中x 的取值范围 。
2、完成下列填空（1是 的算术平方根，因此2= ，（2）2= ，2= ，2= ，2= ，由此可得2(0)a ≥= .（3）因为 3= ，3-= ，0= ，5= ，5-= ， 所以a = ()0a ≥或a = ()0a <（4），______22= 2=________；=_______, 5-=________；，______02= 0=________；，）（______312=31=________。
通过比较议一议：2a 与a 有什么关系？由此得出：当a ≥0，。
时，；当_____0______22=〈=a a a 即⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a二、考点知识 理解应用考点1 二次根式的性质1：2)(a = 。
对应练习：计算下列各式的值：2）2 ）2 ）2（）2 22-考点2 二次根式的性质2：⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a对应练习： 计算： （1）()()；221510-- （2）()222222+∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡--（3）325432532-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（4）22)3()5(-+-ππ三、典型例题 深度解析例1 计算：1、2（x ≥0） 2、23、）24、2a=时，其中例4 若b ＜0，则化简3ab -的结果是（ ） A 、-bab B 、ab - C 、-ab b - D 、ab b跟踪练习：把aa 1-根号外的a 移入根号内得（ ） A 、-a - B 、a - C 、-a D 、a四、巩固练习 形成能力1、下列各式中一定成立的是（ ）A 2B 2=C 2x =-D =2、下列运算正确的是( ) A ．416±=B ．312914= C ．()932=-D ．25)52(2-=-3、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简：|32|8136472-++--k k k 结果是（ ）A 、-5B 、4k －5C 、13D 、19-4k43x =-，则x 的取值范围是 .5、、若22)2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。
第1部分 第1章 第2节 二次根式及其运算
第二节二次根式及其运算知识点考点分值考频等级考查难度常见题型二次根式及其运算二次根式的概念3～4分☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的性质3～6分☆☆☆☆易选择题、填空题最简二次根式3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的运算3～6分☆☆☆☆☆易选择题、填空题、解答题考点一：二次根式的概念核心点拨1．二次根式定义：一般地形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．(1)被开方数可以是数字、字母，也可以是代数式．(2)二次根式有意义的条件：被开方数一定是非负数．考点二：二次根式的性质核心点拨2．双重非负性(1)a(a≥0)中的a是非负数．二次根式的被开方数及结果都不能是负数．(2)a(a≥0)的值是非负数．3．运算性质(1)a2＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).a2和(a)2二者a的取值范围不同，a2中a可取全体实数，(a)2中a一定是非负数．(2)(a)2(a≥0)＝a．考点三：最简二次根式核心点拨4．最简二次根式,最简二次根式满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的两个条件缺一不可．考点四：二次根式的运算核心点拨5．二次根式的运算(1)二次根式的乘除：①a·b＝ab(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(1)二次根式的乘除主要用于乘除运算．(2)积、商的算术平方根主要用于二次根式的化简．(2)积、商的算术平方根：①a·b＝a·b(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(3)二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．1二次根式的概念基础点(2021·岱岳区期末)若式子x＋1x有意义，则实数x的取值范围为____________．(1)根据二次根式有意义的条件确定x＋1的范围；(2)再结合分式有意义的条件确定x的取值范围．x≥－1且x≠0解析：要使式子x＋1x有意义，必须x＋1≥0且x≠0，解得x≥－1且x≠0．故答案为x≥－1且x≠0．1－1(2021·内江)函数y＝2－x＋1x＋1中，自变量x的取值范围是( )A．x≤2B．x≤2且x≠－1C．x≥2D．x≥2且x≠－1B解析：由题意得：2－x≥0，x＋1≠0，解得x≤2且x≠－1．故选B．1－2(2022·新泰检测)若代数式x＋1有意义，则实数x的取值范围是________．x≥－1解析：∵代数式x＋1有意义，∴x＋1≥0．∴x≥－1．故答案为x≥－1．1－3(2022·滨州)若二次根式x－5在实数范围内有意义，则x的取值范围为___________．x≥5解析：由题意知x－5≥0，解得x≥5．故答案为x≥5．与二次根式有关的取值原则1．二次根式有意义，被开方数一定是非负数．2．若分母中有二次根式，则被开方数只能大于0．3．在既有二次根式，又有分式的代数式中确定取值范围，一定要考虑所有的限制条件．2二次根式的性质及化简能力点(2022·宁阳检测)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2的结果是( )A．－2B．0C．－2a D．2b(1)根据a2＝|a|化简；(2)绝对值化简即可．A解析：由数轴可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0．∴(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2＝||a＋1＋||b－1－||a－b＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)＝－2．故选A．2－1(2022·肥城月考)计算(27－12)×13的结果是()A．33B．1C． 5 D．3B解析：(27－12)×1 3＝9－4＝3－2＝1．故选B．2－2(2021·杭州)下列计算正确的是( )A．22＝2B．(－2)2＝－2C．22＝±2D．(－2)2＝±2A解析：22＝4＝2，故A正确，C错误；(－2)2＝2，故B，D错误．故选A．2－3(2022·舟山)估计6的值在()A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间C解析：∵4<6<9，∴ 2<6<3．故选C．2－4(2022·新泰模拟)估计3×(23＋5)的值应在()A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间B解析：3×(23＋5)＝6＋15．∵9＜15＜16，∴ 3＜15＜4．∴9＜6＋15＜10．故选B．a2和(a)2的区别：1．a的取值范围不同：a2中的a是全体实数；(a)2中的a只能是非负数．2．运算顺序不同：a2是先平方，再开方；(a)2是先开方，再平方．3．运算结果不同：a2＝||a；(a)2＝a．3最简二次根式基础点(2022·宁阳月考)将452化为最简二次根式，其结果是( )A．452B．902C．9102D．3102(1)被开方数分子、分母同乘2，化为；(2)把开方出来.D解析：452＝904＝94×10＝3102．故选D．3－1(2022·泰山区期末)下列根式中，是最简二次根式的是( )A．19B．4C．a2D．a＋1D解析：A．19＝13；B．4＝2；C．a2＝|a|；D．a＋1是最简二次根式．故选D．3－2(2021·重庆A卷)计算14×7－2的结果是( ) A．7B．62C．72D．27B解析：14×7－2＝2×7×7－2＝72－2＝62．故选B．4二次根式的运算基础点考向1| 二次根式的乘除(2022·宁阳一模改编)计算：45÷33×3 5．(1)按照从左到右的顺序进行运算；(2)结果化成最简二次根式．1解析：原式＝13×15×35＝13×15×35＝13×9＝1．4－1等式x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是( )A．x≠2B．x≥－2 C．x≥－2且x≠2D．x＞2D解析：x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是x－2>0，得x>2．故选D．4－2(2021·岱岳区检测)计算18×12的结果是( )A．6B．62C．63D．66D解析：18×12＝32×23＝66．故选D．4－3(2022·天津)计算(19＋1)(19－1)的结果等于_______．18解析：(19＋1)(19－1)＝(19)2－12＝19－1＝18．故答案为18．4－4计算：27×50÷26．答案：15 2解析：原式＝33×52÷26 ＝156÷26＝152．考向2| 二次根式的混合运算(2021·临沂)计算：│－2│＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122．(1)去绝对值，利用完全平方公式运算； (2)进行加减运算． 答案：－2解析：原式＝2＋2－2＋14－2－2－14＝－2．5－1 (2022·东平模拟)计算：2×3－24＝________． －6 解析：原式＝6－26＝－6． 故答案为－65－2 (2021·威海)计算：24－65×45＝________．－6 解析：原式＝26－65×35 ＝26－36＝－6． 故答案为－6．5－3 (2022·泰山区检测)计算：3－25＝________． －2 解析：原式＝3－5＝－2． 故答案为－2．二次根式的运算法则1．二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．2．二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．3．二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．4．二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．二次根式的概念和运算命题点1| 二次根式的有关概念1．(2022·东平检测)下列各式中，一定是二次根式的是()A．－－2B．a2＋1C．a－1 D．3 3B解析：A．根号下不能是负数，故A选项不合题意；B．a2＋1≥1，故B选项符合题意；C．当a<1时，a－1<0，此时根号下是负数，故C选项不合题意；D．33是3的立方根，不是二次根式，故D选项不合题意．故选B．2．(2022·宁阳检测)已知二次根式2x＋1，则x的最小值是() A．0 B．－1C．12D．－12D解析：由题意得：2x＋1≥0，解得x≥－12．∴x的最小值为－12．故选D．3．(2021·绥化)若式子x0x＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A ．x ＞－1B ．x ≥－1且x ≠0C ．x ＞－1且x ≠0D ．x ≠0C 解析：若x 0x ＋1在实数范围内有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋1>0.解得x >－1且x ≠0．故选C ． 4．(2022·滨州)若二次根式x －5在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________．x ≥5 解析：由题意知，x －5≥0， 解得x ≥5． 故答案为x ≥5． 5．(2022·宁阳检测)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y＝________．14 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0， ∴ x ＝4．∴ y ＝－2． ∴ (x ＋y )y ＝(4－2)－2＝14． 故答案为14．6．已知y ＝x －20＋30－x ，且x 、y 均为整数，则x ＋y ＝______． 25或33 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －20≥0，30－x ≥0，解得20≤x ≤30． ∵ x ，y 均为整数， ∴ x ＝21或29．当x＝21时，y＝4，x＋y＝25；当x＝29时，y＝4，x＋y＝33．故答案为25或33．命题点2| 二次根式的性质及化简1．(2022·岱岳区月考)当x＞2时，(2－x)2＝()A．2－x B．x－2C．2＋x D．±(x－2)B解析：∵x>2，∴ 2－x<0．∴(2－x)2＝x－2．故选B．2．化简(－5)2的结果是()A．－5B．5C．±5D．25B解析：(－5)2＝5．故选B．3．(2022·东平检测)若(a－3)2＝3－a，则实数a的取值范围是() A．a＜3 B．a≤3C．a＞3 D．a≥3B解析：∵(a－3)2＝3－a＝－(a－3)，∴a－3≤0．∴a≤3．故选B．4．实数7不可以写成的形式是()A．72B．－72C．(－7)2D．(－7)2B解析：∵72＝(－7)2＝(－7)2＝7，－72＝－7，∴ 7不可以写成－72的形式．故选B．5．(2021·娄底)2,5，m 是某三角形三边的长，则(m －3)2＋(m －7)2等于( )A ．2m －10B ．10－2mC ．10D ．4D 解析：∵ 2,5，m 为三角形的三边长，∴ 5－2<m <5＋2．即3<m <7．∴ m －3>0，m －7<0．∴ (m －3)2＋(m －7)2＝m －3＋7－m ＝4．故选D ．6．(2022·贺州)若实数m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，则 3m ＋n ＝__________．7 解析：∵ m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，∴ m －n －5＝0,2m ＋n －4＝0．∴ m ＝3，n ＝－2．∴ 3m ＋n ＝9－2＝7．故答案为7．7．(2022·新泰模拟)如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a 2－||a ＋b ＋(c －a )2＋||b ＋c 可以化简为( )A ．2c －aB ．2a －2bC ．－aD ．a C 解析：由数轴可得b <a <0<c ，|b |>|c |．∴ 原式＝－a －[－(a ＋b )]＋c －a ＋[－(b ＋c )]＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c ＝－a ．故选C ．命题点3| 二次根式的运算1．(2021·梧州)下列计算正确的是()A．12＝3 2 B．2＋3＝5C．62＝3D．(2)2＝2D解析：A．12＝23，该选项错误；B．2和3不是同类二次根式，无法合并，该选项错误；C．62是最简二次根式，无法化简，该选项错误；D．(2)2＝2，该选项正确．故选D．2．(2022·肥城模拟)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1, ③ab÷ab＝－b．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③B解析：∵ab>0，a＋b<0，∴a<0，b<0．①等号右边根号下为负数，错误；②ab·ba＝ab·ba＝1，正确；③ab÷ab＝ab÷ab＝ab×ba＝b2＝－b，正确．故选B．3．下列二次根式中，不能与2合并的是()A．12B．8C．12 D．18C解析：12＝22，8＝22，12＝23，18＝32，∴不能与2合并的是12．故选C．4．(2021·常德)计算：(5＋12－1)·5＋12＝()A．0B．1C．2D．5－1 2B解析：原式＝(5＋1－22)×5＋12＝5－12×5＋12＝1．故选B．5．(2022·河北)下列正确的是()A．4＋9＝2＋3 B．4×9＝2×3C．94＝32D． 4.9＝0.7B解析：A．原式＝13，故该选项不符合题意．B．原式＝4×9＝2×3，故该选项符合题意．C．原式＝(92)2＝92，故该选项不符合题意．D．0.72＝0.49，故该选项不符合题意．故选B．6．(2022·泰山区模拟)计算：27·83÷12＝______．12解析：原式＝33×223×2＝12．故答案为12．7．计算：45－25×50＝______．5解析：原式＝35－25×50＝35－20＝35－25＝5．故答案为5．8．(2022·东平月考)若x＝3－2，则代数式x2－6x＋9的值为______．2解析：x2－6x＋9＝(x－3)2＝(3－2－3)2＝(－2)2＝2．故答案为2．。
新浙教版八年级上册数学第一章1.1二次根式
式叫做二次根式。为了方便起见，我们把一个数的算 术平方根也叫做二次根式。
求下列二次根式中字母a的取值范围：
解：
（1）由a+1≥0 得，a≥-1 ∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。 （2）由 ＞0，得 1-2a＞0。即a<½ , ∴字母a的取值范围是小于½ 的实数。 （3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0, ∴ 字母a的取值范围是全体实数。
说明：求字母的取值范次根式中字母a的取值范围
例二
解：将x = -4 代入 二次根式得 = =3
说明：与求代数式的值类比。
课内练习：P5 第1 .2题。 提高：
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2 来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式 （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面 需几秒（精确到0.1 秒）?
1.1 二次根式
知识回顾：
1、什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。 2、什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用 表示 讨论并解释：为什么a≥0 ？
新课教学
做一做：课本P 4 的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 像这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数
新浙教版第一章二次根式期末复习小片叔叔精品课件
有意义。
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
1 x 5 3 x
3.求下列二次根式中字母的取值范围
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
1 (1) 27 3; 3
1
1 1 (2)2 125 2 ; 5 2
8 2 1 0 (3) 3.14 2 2
化简下列各式
①
( 3) ( 3 2 )
2
2
②
24÷ 3 2
1 ③ 27 （ 12 3 ） 3
④
( 2 3)(2 2 1)
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) b b
4、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b a b b b
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
三、二次根式的乘除
1、积的算术平方根的性质
第1部分 第1章 第4节 二次根式
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
初二《二次根式》典型例题
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
D、 2 x
举一反三：
1、根式 (3)2 的值是( )
A．-3
B．3 或-3
C．3
D．9
2、已知 a<0，那么│ a2 －2a│可化简为（ ）
A．－a
B．a
C．－3a
D．3a
3、若 2 a 3，则 2 a2 a 32 等于（ ）
A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1
．
4 (a 1)2 4 (a 1)2
7、已知 a 0 ，化简求值：
a
a
【例 7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ (a b)2
的结果等于（ ）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
b ao
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简：a 1 (a 2)2 ______ ．
a
1 0 1 2
【例 8】化简 1 x x2 8x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（ ）
（A）x 为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（ ）
Ａ． a ≥ 4
Ｂ． a ≤ 2
4. 公式 a2 |a|a(aa(a0)0)与 ( a)2 a(a0)的区别与联系 （1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
第一章数与式第5课二次根式及其运算课件
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
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1.1二次根式
1.2二次根式的性质
( a)2 （a a≥0）
(
a2
)
a
=
a(a≥0); a(a＜0).
ab a b(a≥0，b≥0）; a a (a≥0，b＞0）. bb
最简二次根式：根号内不含分 母，不含开得尽方的因数或因式 1.3二次根式的运算
a b ab(a≥0，b≥0）;
新增
新增 增加一元二次方程的根的判别式；增加选学根与系数的关系
新增 选学 原八上样本与数据分析初步，抽样移到七下数据与统计图表
删除梯形的相关知识
正方形的对角线相等，并且互相垂直 平分，每一条对角线平分一组对角。
阅读材料：有趣的拼图 第六章反比例函数 6.1反比例函数 6.2反比例函数的图象和性质 图象是由两个分支组成的曲线。 当k ＞0时，图象在一、三象限；当k ＜ 0时，图象在二、四象限。它关于 原点成中心对称 6.3反比例函数的应用
增加最简二次根式的概念、适当增加分母有理化的要求
第五章特殊平行四边形 5.1矩形 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 5.2菱形 菱形的性质： 菱形的四条边相等 对角线互相垂直且每一条平分一组对 角 菱形的判定定理： 四条边相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 5.3正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形的四个角都是直角，四条边相 等
a a (a≥0，b＞0）. bb
二次根式的合并 分母有理化 第二章一元二次方程 2.1一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 因式分解法 开：汇率 2.4一元二次方程根与系数的关系 第三章数据分析初步 3.1平均数
算术平均数（简称平均数） 加权平均数 3.2中位数和众数 众数：出现次数最多的数据 中位数：按序排列，最中间的一个数 或两个数的平均数 3.3方差和标准差 阅读材料：数据分析应用举例 第四章平行四边形 4.1多边形 四边形的内角和等于360° n边形的内角和为（n －2）×180° 任意多边形的外角和为360° 4.2平行四边形及其性质 对角相等、对边相等 四边形的不稳定性 夹在两条平行线间的平行线段相等 夹在两条平行线间的垂线段相等 平行线间的距离 探究活动：等积变化 平行四边形的对角线互相平分 4.3中心对称 中A (心x ,对y 称)与图B形（的－性x ,质－y )关于原点对 称4.4平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等 两组对边分别相等 对角线互相平分 4.5三角形的中位线 4.6反证法 反证法 a ∥b ，b ∥c → a ∥c 课题学习：格点多边形的面积计算
初中数学精品试题：八年级数学下册第一章《二次根式》基础测试
八年级数学下册第一章《二次根式》基础测试（总分：100分，时间：60分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.下列二次根式是最简二次根式的是（ D ）A B C D2.下列计算正确的是（ A ）A ．=B =C ．3+=D 2=-3.是同类二次根式的是（ B ）A B C D4.12a -，则a 的取值范围是（ C ）A ．12a <B ．12a >C ．12a ≤D ．12a ≥5.若实数m 、n 满足|3|0m - ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ B ）A ．12B ．15C ．12或15D ．166.A (a ，b )在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.已知1m =+1n = C ）A ．9B ．3±C ．3 D8. 把代数式(1k -1k -移到根号内，那么移动并化简后的代数式为（ C ）A B C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9.有意义的x 的取值范围是 .10.(22= .11.已知3a = 2b =()()226944a a b b -+-+的值是 .12.（填“>”“=”或“<”）13.实数a ，b 的结果是 .14.已知m 是实数，且m +1m-m 的值是 . 三、解答题（共6小题，每小题4分，共52分）15.计算（每小题3分，共12分）（1 （212；（3）((⨯ ； （4）- . 16.化简（每小题4分，共8分）（1； （217.（10分）已知2a =2b =（1）请分别求出22a b +，22a b -的值； （2）已知a 的整数部分为m ，小数部分为n ，请求出2m n -的值.18.（10分）观察下列等式：1； = 回答下列问题：（1（2+⋅⋅⋅ （3⋅⋅⋅.19.（本题有2小题，每小题6分，共12分）（1（2）已知1a =，求代数式 6543226109a a a a a a +++-+- 的值.。
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第一章二次根式
一．知识框架
2
a＝|a|．若a≥0, 2a＝a;若a< 0 , 2a＝-a.
二．知识概念
1.二次根式的简单性质和几何意义(勾股定理)
（1）a≥0 ;≥0 [ 双重非负性 ]
（2）（）2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 2. 二次根式的乘法和除法
(1)积的算数平方根的性质ab=a·b；（a≥0，b≥0）
(2) 乘法法则a·b＝ab（a≥0，b≥0）
(3)除法法则a
b=
a
b（a≥0，b>0），
a
b=
a
b（a≥0，b>0）
3.二次根式的加法和减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例题解析：
1.x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)； (3).
思路点拨：本题考查二次根式的意义.
解：(1) 要使在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
(2) 要使在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义；
(3) 要使在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内有意义.
2.把根号外的因式移到根号内，得()
A．B．C．D．
思路点拨：逆用二次根式的性质.
解：由二次根式的意义知x＜0，则
，所以答案选C.
3.化简得( )
A.2
B.-4x-4
C.-2
D.4x-4
思路点拨：二次根式的性质和的运用.
注意隐含条件.
解：由题意知，
，所以答案选A.
4.计算 解：
课堂练习：
一、选择题
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A ．2--x
B ．x
C ．22+x
D ．22-x
2．若x<0，则x x x 2
-的结果是（ ）
A ．0
B ．—2
C ．0或—2
D ．2
3．下列说法错误的是 ( ）
A ．962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式
C ．22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是4
4．．把a a 1
-根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A 、 a -
B 、a --
C 、a
D 、a -
5. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）
A. ()2a b a b +=+
B. 22a b a b +=+
C. ()22222a b a b +=+
D. ()2a b a b +=+ 6. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（ ）
A. 它是一个非负数
B. 它是一个无理数
C. 它是最简二次根式
D. 它的最小值为3
7.当a <－4时，那么|2－2
)2(a +|等于（ ）
（A ）4+a （B ）－a （C ）－4－a （D ）a 8.231
-与23+的关系是（ ）。
（A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）相等 （D ）互为有理化因式
二、填空题
1．化简：计算=--y x y
x _______________;
2．计算3
393a a a a -+= 。
3．化简：()2211x x x -+的结果是 。
4.若0≤ a ≤1，则22)1(-+a a ＝ ;
5.化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．
6.已知-1<a<0，化简2211()4()4a a a a +-+-+得 ．
7.已知实数a 满足11=--a a ，那么()221a a +-等于
8.已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222
2d c ab d c ab +-＝______． 9.如果1b ab 2a b a 122-=+-⋅-，则b a 和的关系是（ ）。
（A ）b a ≤ （B ）b a < （C ）b a ≥ （D ）b a >
三、计算题 1)b a c abc 4322-
． 2)（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
3）（52＋1）（211+＋321+＋431
+＋…＋100991+）
四、解答题
1.已知：
的值求代数式2x y y x 2x y y x ,211x 8x 81y -+-+++
-+-=．
2.已知x ＝2323-+，y ＝232
3+-，求
32234232y x y x y x xy x ++-的值
3.。