内外接球的知识点专题 学案

内、外接球专题一、几类常用的结论设R 为外接球的半径：类型一：正棱椎、圆锥公式：2=2l R h（l 是侧棱或母线长，h 是正棱椎或圆锥的高）类型二：长方体、正方体或者能够快速补成长方体或正方体的几何体公式：2R =（a b c 、、分别是长方体的长、宽、高）类型三：有侧棱垂直底面的椎体或柱体（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥）公式：R =（h 是侧棱长，r 是底面外接圆的半径）备注：三角形外接圆半径（1）直角三角形：斜边的一半。

（2）一般三角形：正弦定理求解。

（2sin sin sin a b c R A B C===）（3）球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线.（3）二、几类常见几何体球心的位置⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.三、几类常见长方体、正方体补形法⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.四：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2。

作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心）内切球半径为：612r a =外接球半径为：a R 46=正四面体的高：63h a =球心O 为正四面体高的四等分点，内心、外心两心合一。

图1图2图3题型一、公式法1．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（）A．3:8B．9:16C．1:4D．1:82．在三棱锥P ABC -中，AB ==，90ABC BCP PAB ∠=∠=∠= ，2cos 4CPA ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A．5πB．13πC．6πD．14π3．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A B C D 、、、四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π4．在四面体ABCD中，AB AC ==，6BC =，AD ⊥底面ABC ，DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（）A．B．C．D．5．已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（）A．73πB．283πC．4πD．16π6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,2PA =且ABC形，则该三棱锥外接球的表面积为()A．43πB．C．D．7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8．已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O 球面上的两点，且1,CA CB AB ===，若三棱锥S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π9．已知三棱锥S ABC -，ABC 是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为()A．B．C．D．10．已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上，,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π题型二、补形法1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为()A．B．C．D．2．图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（）A．83πB．43πC．27D．273．已知在三棱锥P ABC -中，2BAC π∠=，4AB AC ==，PA =PC =侧面PAC ⊥底面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A．B．C．D．4．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面,51213ABC AB BC AC ===，，,则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（）A．52B．52C．26D．265．在三棱锥A BCD -中，ABC ∆与BCD ∆都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为，则ABC ∆边长为（）A．B．C．D．66．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 的正三角形，,,PA PB PC 两两垂直，则球O 的体积为（）A．2B．C．D．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上一点，且13AE BE ==，，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱111A D DD ，分别交于,F G 两点，则AFG ∆的面积为（）A．B．C．D．8．已知三棱柱ABC﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC，若AB=AC=3，1283BAC AA π∠==，，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．104π题型三、三视图有关问题1．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（）A．B．1015πC．D．2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（)A．B．C．D．3．如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A．73πB．289πC．9D．43π4．某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是()．A．4πB．112πC．3πD．133π5．某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．43πB．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．316πB．318πC．48164πD．488．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9．多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（）A．3416B．173432C．178πD．2894π10．一个直三棱柱的三视图如图1所示，其俯视图是一个顶角为23π的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，12，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．174πB．214πC．D．12．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．四棱锥P ABCD-的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．815πB．8120πC．1015πD．10120π14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球的体积为A．3B．C．3D．题型四、确定球心位置法1．如图，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（）A．192πB．19πC．D．2．四面体ABCD 中，2AB AC BC ===，BD CD ==，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，则该四面体外接球的表面积为（）A．6011πB．449πC．3611πD．2011π3．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π4．在三棱锥A BCD -中，BCD 是边长为2的等边三角形，3ABC ABD π∠=∠=，3AB =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A．192πB．19πC．6D．5．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为56π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A．B．C．D．6．已知,,,P A B C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥P ABC -的体积为934，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠= ，则球O 的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．323π7．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，AC =若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为()A．8πB．9πC．253πD．1219π8．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==，则四面体A BCD -外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π9．已知边长为的菱形ABCD ，3A π=，沿对角线BD 把ABD 折起，二面角A BD C --的平面角是23π，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是（）A．20πB．28πC．36πD．54π10．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为，则球O 的体积为（）A．81πB．128πC．144πD．288π11．在四面体S ABC -中，,AB BC 2AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．24πC．6πD．综合练习1．三棱锥S ABC -中,侧棱SA ⊥底面ABC ,5AB =,8BC =,60B ∠= ,SA =,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.2．若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________．3．直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．4．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠= ，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120 ，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．5．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BCD ∆是边长为三角形.若8AB =，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．6．已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为__________．7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，点,E F 分别为1,CD DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为__________．8．三棱锥S ABC -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，5AC =，7BC =，侧面SAB 为正三角形，且与底面ABC 垂直，则此球的表面积等于__________．9．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC 中，AB =，60ACB ∠=︒90BCD ∠=︒，，AB CD ⊥，CD =，则该球的体积为__________．10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．11．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．12．在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，AB AC ==2BC =，点G 为ABC的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠_______.13．三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，SA ⊥面ABC ，2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________.14．已知球O 的体积为36π，则球O 的内接圆锥的体积的最大值为_____________．15．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为__________．16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，36π，则该几何体的体积为__________．17．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-，则该四面体的外接球的表面积是__________．18．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面SAD ，侧面SAB 的等边三角形，底面ABCD 是矩形，且2BC =，则该四棱锥外接球的表面积等于______________19．某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________.20．已知四面体A BCD -，BC BD 2,AC CD AD =====AB =，则四面体A BCD -外接球的表面积为_______．21．如图，多面体OABCD ，,,OA OB OC 两两垂直，==2AB CD ，=B AD C ，=AC BD ,,,A B C D 的外接球的表面积是_________．22．已知三角形PBD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2,120PD BD BDP ==∠=︒若点,,,,P A B C D 都在同一球面上，则此球的表面积等于__________．23．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为83，则球O 的表面积为__________．24．已知三棱锥S ABC -的四个顶点均在某个球面上，SC 为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为83，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．25．已知直角梯形0,90,224ABCD BAD ADC AB AD CD ∠=∠====，沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为__________．26．三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA DC ====，则该三棱锥的外接球的表面积是__________27．设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF DE ⊥，且1EF =，则球O 的表面积为__________．28．已知三棱锥A BCD -中，3,1,BC 4,BD AB AD ====，当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的体积为__________．29．三棱锥A BCD AB AD BD -===，,底面BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ,求三棱锥A BCD -外接球的表面积______________.30．在ABC 中，AC BC AB AC 8AB ===+=,,E F G 分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF 分别沿,,EF EG GF 向上折起，使,,A B C 重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球面积的最小值为________________.31．三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．32．已知,,,P E G F 都在球面C 上，且P 在EFG 所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ∠=︒，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥P EFG -内的概率为__________．33．已知等腰Rt ABC ∆中，2AB AC ==，,D E 分别为,AB AC 的中点，沿DE 将ABC ∆折成直二面角（如图），则四棱锥A DECB -的外接球的表面积为__________．34．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________。