8.2 可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程56244
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
可分离变量的微分方程
代入原方程得
du (1 2e ) u y 2e u (1 u) 0 dy
u
u 1 2 e dy 分离变量，得 du 0 u y u 2e
两端积分
d ( u 2e u ) dy u 2e u y ln C
y( u 2e u ) C .
.
第三节 齐次方程
dy y 1. 定义 可化为形如 dx x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y 2 xy )dx ( x 2 xy y 2 )dy
y y 2 2 dy 2 y xy x x . 可化成 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x 是齐次方程.
两端积分
dy csc xdx y ln y
lnln y ln(csc x cot x ) ln C
于是，y
e
C (csc x cot x )
为原方程的通解.
将y x e 代入，有
2
ee
C (10)
, C 1.
csc x cot x
故所求特解为
ye
du u cos u 1 代入原方程得 x u dx cos u dx 分离变量，得 cos udu x
两端积分，得
sin u ln x C
y 原方程的通解为 sin ln x C . x
x x x y y 例2 解方程 1 2e dx 2e 1 dy 0. y x dx du 解 令 u( y ), 则 u y . y dy dy
dy f ( x )dx . g( y )
可分离变量的微分方程
dV πr 2 dh
(3)
其中r是时刻t的水面半径，右端置负号是由于dh<0 而dV>0的缘故，又因
r 100 2 (100 h) 2 200h h 2
所以(3)式变成：dV π(200h h )dh (4) 比较(2)和(4)两式，得：
设G ( y )、F ( x)分别为g ( y )、f ( x)的原函数, 则 :
G ( y ) F ( x) c
(3)
隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解 隐式通解:(3) 式中含有任意常数,因此(3)式为微分方 程(2)的隐式通解.
dy 例1 求微分方程 2 xy的通解. dx
此方程为逻辑斯蒂曲线方程.
例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子 而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象
叫做衰变.由原子物理学知道，见到的衰变速度与当
时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量
为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规
律.
dM 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 .由于 dt 铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM M0000 c ( ) 0.62 2 g 3 5 π 14 105 0.62 2 g 15
π t 4.65 2 g
3 (7 105 103 h 2
5 3h 2 )
解 : 由原方程得 dy 2 xdx y
dy 两端积分得 2 xdx y
当y 0时，有 ln y x 2 c1 ye
x 2 c1
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
可分离变量的一阶微分方程
可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程是数学中的基础知识之一，它可以用来描述物理、化学、生物等自然现象的变化规律。
其中，可分离变量的一阶微分方程是比较基础和常见的一种，本文将从基础知识、应用实例和解题技巧三个方面来介绍可分离变量的一阶微分方程。
一、基础知识一个一阶微分方程的一般形式是dy/dx=f(x,y)，其中y是因变量，x是自变量，f(x,y)是已知的函数关系式。
如果方程可以被写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，其中g(y)是y的函数，那么就称这个方程是可分离变量的一阶微分方程。
对于可分离变量的一阶微分方程，求解过程很简单，只需要将方程两边做积分即可，具体过程如下：将dy/g(y)=f(x)dx两边同时进行积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
对于左边的积分，可以通过变量代换后再进行积分，最终得到y的解函数。
对于右边的积分，可以通过不定积分求出定积分的形式，从而得到x的解函数。
最后将x的解函数和y的解函数合并起来，就得到了原方程的解函数。
二、应用实例可分离变量的一阶微分方程在实际应用中非常广泛，下面列举一些常见的应用实例：1. 空气阻力的研究：在研究物体自由下落或空气阻力对物体运动的影响时，可将方程分离变量后求解，得到物体的位置和速度随时间的变化规律。
2. 化学反应速率的研究：在研究化学反应速率的变化规律时，可将反应速率的表达式分离变量后求解，得到反应物和产物浓度随时间的变化规律。
3. 经济增长模型的研究：在研究经济增长模型时，可将模型的增长率表达式分离变量后求解，得到经济增长率随时间的变化规律。
三、解题技巧对于可分离变量的一阶微分方程的解题，除了基础知识和应用实例外，还需要掌握一些技巧，以便能够快速准确地求解方程。
1. 首先要观察方程中是否存在常数，如果有常数，可以先将其移项，形成纯函数关系式。
2. 其次要观察方程中是否存在分数形式的因式，如果有分数形式的因式，可以将其置于一侧的分母位置，形成纯函数关系式。
可分离变量的微分方程
微积分Calculus可分离变量的微分方程0),,(='y y x F 或),(y x f y ='一阶微分方程的一般形式形如的方程称为变量已分离的微分方程．නM(x)dx +නN(y)dy =C 其中Ｃ是任意常数。
一可分离变量的微分方程1定理一M(x )dx+N(y)dy=0（9-13）将式两边积分得其通解为：（9-13）（9-14）形如dy dx =f x g y 或M(x)N(y)dx +P(x)Q(y)dy =0的微分方程称为可分离变量的微分方程．2定理二（9-15）（9-16）)()()()(=+dy y N y Qdx x P x M dxx f y g dy)()(=对于式，当可变形为0)(,0)(≠≠y N x P （9-16 ）对式当可转化为0)(≠y g （9-15）例一解微分方程21y e dx dy x −=解当时，分离变量得012≠−y dxe y dyx =−21两边同时积分得⎰⎰=−dxe y dyx 21因此通解为c e y x +=arcsin 其中Ｃ是任意常数.1−y 2=0当时，有1±=y 显然和也是该微分方程的两个解(称为奇解)。
1=y 1±=y求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=1)1(1122y x y y x dx dy 解当时，分离变量得012≠−y 2211x xdx y ydy+−=−两边同时积分得微分方程通解c y x =−−+2211例二,1±=y 且满足所给条件。
y =±1把代入通解可得1)1(=y 2=c 因此满足定解条件的特解为21122=−−+y x 当时，012=−y求解Logistic 人口模型.)0(,)()1(00m m x x x t x xx xa dt dx≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=−=解分离变量得adtdx xx x x m m=−)(即adt dx xx x m =−+)11(两边同时积分得1)ln(ln c at x x x m +=−−例三整理得cex t x at m−+=1)(其中为任意常数.1c e c =将初始条件代入上式得00)(x t x =c =1(x m x 0−1)e at 0所以特解为)(00)1(1)(t t a m me x x x t x −−−+=。
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
常见的微分方程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
可分离变量的微分方程
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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
可分离变量的一阶微分方程.
形如
dy f (x)g( y) dx
P1(x)P2 ( y)dx Q1(x)Q2 (x) 0
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
解 首先分离变量 ，得
dt
b
或
dN a(b N ) N dt
其中a k b
分离变量，得 dN
adt
N (b N )
两边积分
N (b N ) N (b N )
dN
abdt
得
ln N abt ln C
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
8.2 可分离变量的一阶微分方程
y f (x, y)
(1)
如果能化成
g( y)dy f (x)dx (2)
的形式，即可表示为一端只含y的函数和dy, 而另一端只含
x的函数和dx, 那么原方程就称为可分 离变量的微分方程
(differential equation of separated variables).
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 即
ln y x3 C1 y ex3 C1或y eC1ex3
因 eC1仍是任意常数，3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成ln y,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
再利用初值条件y x1 1,确定C 1,从而所求特解为y x
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程
十、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解:
1、 dy 1 1； dx x y
2、 y y 2 2(sin x 1) y sin2 x 2sin x cos x 1； 3、 dy 1 y .
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
xy
x2 y2 y,
y
1
y 2
y,
x x
原方程是齐次方程.
3. dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y 2 3x 2 )dy 2xydx 0, y x0 1； 2、( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2 2xy x 2 )dy 0 ,
y 1 . x1
七、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx
8-2可分离变量
ln y + ln C = ln u + u 2 + 1
2
(
)
x x x 代入方程得： 将 u = 代入方程得： y + y + 1 = Cy y
通解： 通解： x + x 2 + y 2 = Cy 2
小结 可分离变量微分方程
形式： 形式： dy = f ( x ) ⋅ g( y )
y u u = 可得： x du = 可得： 作变量代换 −u x 2 dx 1 + 1 + u
可分离变量但不好积分。 可分离变量但不好积分。 换个位置考虑， 看成函数， 看成自变量， 换个位置考虑，将 x 看成函数，y 看成自变量，有
的通解. 例4 求微分方程 ydx − ( x + x 2 + y 2 )dy = 0 的通解
的连续函数. 分别是 x 或 y 的连续函数 分离变量： M1 ( x ) dx + N 2 ( y ) dy = 0 分离变量：
N1 ( x ) M2 ( y)
N1 ( x ) M 2 ( y) ≠ 0
两端分别积分， 两端分别积分，即得
M1 ( x ) N 2 ( y) ∫ N1 ( x ) dx + ∫ M 2 ( y ) dy = C
积分， 积分，得：
du ∫ ϕ (u) − u = ln x + C
y 便得原方程的通解。 代入 u = 便得原方程的通解 x
的通解. 例4 求微分方程 ydx − ( x + x 2 + y 2 )dy = 0 的通解
dy y y/x 解 方程可化为 = = 2 2 dx x + x + y 1 + 1 + ( y/x )2
可分离变量的微分方程
下页
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
下页
例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
什么是可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。
具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。
为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。
最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。
需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。
可分离变量的微分方程精选
可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。
2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。
3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。
方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。
3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。
其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。
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1．用分离变量法求下列微分方程的解： ⑴'4y x y =； 【解】分离变量得
1
4dy xdx y
=，积分得2222y x c =+， 整理得2
2
()y x c =+。
⑵'ln 0xy y y -=；
【解】分离变量得
11
ln dy dx y y x
=，积分得1ln ln ln ln y x c =+， 整理为1ln ln ln y c x =，即为1ln y c x =±，或为cx
y e =。
⑶'10
x y
y +=；
【解】方程为
1010x y dy
dx
=⋅，分离变量得1010y x dy dx -=， 积分得1010ln10ln10ln10
y x c
--=+
， 整理得10
10y
x c -+=。
⑷2
2
sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=；
【解】分离变量得
22sec sec tan tan y x dy dx y x =-，整理为22sec sec tan tan y x
dy dx y x
=-， 积分得1ln tan ln tan ln y x c =-+，即为1
ln tan ln
tan c y x
=， 整理得tan tan c
y x
=，或为tan tan x y c =。
⑸
011x y dx dy y x
-=++，0
1x y ==；
【解】分离变量得2
2
()()y y dy x x dx +=+，积分得
2323
11112323
y y x x c +=++， 整理得2
3
2
3
13232y y x x c +=++，
代入0x =，1y =，得1320c +=+，即15c =，
得所求微分方程的解为2323
32325y y x x +=++。
⑹2'x y
y e
+=，0
0x y
==。
【解】分离变量得2y
x
e dy e dx -=，积分得212
y
x
e e c --=
+， 代入0x =，0y =，得0
012
e e c -=+，即有32c =-，
得所求微分方程的解为21322
y
x e e --=-，即为223y x e e -=-。
2．求下列齐次方程的解： ⑴'ln
y
xy y x
=； 【解】将方程整理成齐次形式'ln y y y x x
=
， 即令
y
u x
=，亦即y xu =，得''y u xu =+， 代入方程得'ln u xu u u +=，
这是可分离变量的微分方程，分离变量得
11
(ln 1)du dx u u x
=-，
积分得 1ln ln 1ln ln u x c -=+，亦即为ln 1u cx -=， 回代变量得 ln
1y
cx x
-=。
⑵
dy x y
dx x y
+=
-； 【解】将方程整理成齐次形式11y
dy x y
dx x
+
=
-， 即令y u x =，亦即y xu =，得dy du u x dx dx
=+，
代入方程得 11du u
u x dx u
++=
-， 这是可分离变量的微分方程，分离变量得2
11
1u du dx u x
-=+， 积分得 2
11arctan ln(1)ln 22
u u x c -+=+，
回代变量得 2211
arctan ln(1)ln 22
y y x c x x -+=+，
整理为 222arctan ln()y
x y c x
-+=。
⑶22'0xy y y x --
-=；
【解】将方程整理成齐次形式2'()10y y
y x x
-
--=， 即令
y
u x
=，亦即y xu =，得''y u xu =+， 代入方程得 2
'10u xu u u +---=，即为2
'10xu u --=， 这是可分离变量的微分方程，分离变量得
211
1
du dx x
u =
-， 积分得 21ln 1ln ln u u x c +-=+，亦即2
1u u cx +-=，
回代变量得
2()1y y
cx x x
+-=。
⑷2
2
2
()x dy y xy x dx =-+； 【解】将方程整理成齐次形式
2()1dy y y
dx x x
=-+， 即令y u x =，亦即y xu =，得dy du u x dx dx
=+，
代入方程得 21du
u x u u dx
+=-+，
这是可分离变量的微分方程，分离变量得
2
1
(1)du dx u x
=-， 积分得 1
ln 1
x c u -
=+-， 回代变量得 1ln 1x c y x
-=+-，即为
1ln x
x c x y =+-， 或为1ln x
x c x y
=--，再整理得x
x y x ce -=。
⑸2
2
()
0dy
y x xy dx
+-=； 【解】将方程整理成齐次形式2
()(1)0y y dy
x
x dx
+-
=， 即令y u x =，亦即y xu =，得dy du u x dx dx
=+，
代入方程得 2
(1)()0du u u u x
dx +-+=，即为(1)0du u u x dx
+-=， 这是可分离变量的微分方程，分离变量得 11
(1)du dx u x
-=，
积分得 1ln ln ln u u x c -=+， 回代变量得
1ln ln ln y y x c x x -=+，整理得1ln y
c y x
=， 亦即为y x
y ce =。
⑹2
(2)'0x x y y y +-=，1
1x y
==。
【解】将方程整理成齐次形式 2
(12)'()0y y y x x
+-=，
即令
y
u x
=，亦即y xu =，得''y u xu =+， 代入方程得 2
(12)(')0u u xu u ++-=，即为2
(12)'0u u x u u +++=，
这是可分离变量的微分方程，分离变量并整理得 111
()1du dx u u x
+=-+，
积分得 1ln ln 1ln ln u u x c ++=-+，即为(1)c
u u x
+=，
回代变量得 (1)y y c x x x
+=，即为2
xy y cx +=，
代入1x =，1y =得11c +=，知2c =， 得所求微分方程的解为2
2xy y x +=。