河南省信阳高级中学2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学(文)试题(一)(含解析)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，，，故选C。

考点：集合的运算2. 已知复数，若，则复数z的共轭复数A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 设等差数列的前项和为，若，则A. 27B. 36C. 45D. 54【答案】D【解析】由题意，可得：∴，即∴故选：D4. 已知命题：“”是“”的充要条件；：，，则A. ￢∨为真命题B. ∧￢为假命题C. ∧为真命题D. ∨为真命题【答案】D【解析】函数是增函数，所以，所以是充要条件，所以命题使正确的，为真命题，由图像可知和关于直线对称，没有交点，所以不存在，使，所以命题使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知是真命题，故选D.5. 已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用任意角的三角函数的定义和诱导公式，即可求解的值.详解：因为角的终边经过点，由三角函数的定义可知，又由诱导公式可得，故选C.点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义和诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为A. 8πB.C.D. 12π【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.7. 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】试题分析：当输入的值为时，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；退出循环输出结果为，故选A.考点：1、程序框图；2、条件结果及循环结构.8. 一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为A. B. 3 C. 9 D. 17【答案】C【解析】设没记清的数为，若，则这列数：，2，2，2，4，5，10，平均数为，中位数为2，众数为2，所以，，若，则这列数为2，2，2，，4，5，10，则平均数为，中位数为，众数为2，所以，若，则这列数为 2，2，2，4，5，，10，或 2，2，2，4，5，10，，则平均数为，中位数4，众数2，所以，所以-11+3+17=9点睛：仔细审题，回想平均数、中位数、众数的定义及等差数列的性质。

9. 函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】【解析】函数为偶函数，所以去掉A,D.又当时，，所以选C.10. 正方体的棱长为1,点P,Q,R分别是棱的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查了正棱柱的结构特征，意在考查学生对该知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键．11. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，圆的圆心为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，进而推断当三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小为，故选C.考点：抛物线的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.12. 已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】B容易判断不满足f（3+x）=f（2﹣x），C容易判断不满足2≤f（x）≤8，根据A的表达式即可判断满足f （3+x）=f（2﹣x），2≤f（x）≤8，从而得出正确选项为A．【详解】A．x∈Q时，3+x，2﹣x∈Q；∴f（3+x）=2，f（2﹣x）=2；即f（3+x）=f（2﹣x）；同理，x∈∁R Q时，有f（3+x）=f（2﹣x）；显然2≤f（x）≤8，∴A正确；B．显然f（x）不满足f（3+x）=f（2﹣x），即B错误；C.3≤f（x）≤9，不满足2≤f（x）≤8，即C错误；D．f（0）=2，f（5）=8；不满足f（3+2）=f（2﹣2）；即不满足f（3+x）=f（2﹣x），∴D错误．故答案为：A【点睛】本题主要考查偶函数的概念，余弦函数的值域，考查了分段函数的概念及分段函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若满足，则该学校今年计划招聘教师最多_____________人.【答案】10【解析】可行域内正整数解为,所以,即学校今年计划招聘教师最多人14. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足，则该双曲线的离心率的值为_____．【答案】2【解析】分析：利用向量的数量积公式，可得﹣4a+b2=2a，即16﹣a2=6a，可得a的值，由此可求双曲线的离心率．详解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴=（﹣a，﹣b），=（4，﹣b）∵=2a，∴（﹣a，﹣b）•（4，﹣b）=2a，∴﹣4a+b2=2a，∴b2=6a，∴16﹣a2=6a，∴a=2，∴e=，故答案为：2点睛：（1）本题主要考查向量的数量积公式，考查双曲线的离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和学生的计算能力．（2）求圆锥曲线的离心率常用的有两种方法，一是公式法，先求出a和c,再求e，二是方程法,根据已知得到关于e的方程，解方程即可.15. 已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为__________．【答案】【解析】△ABC中，（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc，由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，∴2cosCsin（A+B）=sinC，2cosCsinC=sinC，∵sinC≠0，∴cosC=，又∵C∈（0，π），∴C=，B=﹣A；∴由正弦定理，又∵a+b=2，∵A∈（0，），A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，故答案为：.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答16. 已知数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先利用项和公式计算出，再化简不等式恒成立得到，再求函数的单调性得函数f(n)的最大值，即得解.【详解】因为，所以，所以，因为.所以所以.设，所以函数f(n)是减函数，所以f(n)的最大值为f(1)=.故正实数的取值范围是.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查项和公式，考查函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到，其二是求得函数f(n)的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知向量，设函数.（1）求的表达式并完成下面的表格和画出在范围内的大致图象；（2）若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．【答案】（1）见解析；（2）或【解析】试题分析：（1）由题意可得，平面向量数量积的坐标运算可得，的关系式，通过两角和差正弦函数公式进行化简即可，利用的解析式，进行六点画图的方法填表画图；（2）由（1）中图象的对称性可求出的范围以及的值，因此（1）中化简非常关键,不可出错.试题解析：（1），…………3分（2）由图可知，或，∴或．考点：1.两角和与差的正弦函数公式的应用；2.平面向量数量积的运算.18. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（2）在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率． 【答案】（1）17；（2） 【解析】 【分析】(1)根据数学成绩优秀率是30%得到a,b 的值.(2)利用古典概型求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【详解】（1）∵该样本中，数学成绩优秀率是30%， ∴，解得a=14，b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17（2）在地里及格学生中，a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4=31 ∵a≥10，b≥7，∴a，b 的搭配有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），（24，7）（22，9），（23，8），（24，7），共有15种.记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，可得7+9+a＜5+6+b，即a+5＜b．事件A包括：（10，21），（11，20），（12，19），共3个基本事件；所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P（A）=．【点睛】(1)本题主要考查概率，考查古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.19. 如图，三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(l)因为平面，由线面垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面；(Ⅱ)由，平面，所以平面，利用线面平行的性质定理可得；(Ⅲ)记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，先证明，所以，结合，可得，而三棱柱与三棱柱等高，由此得．试题解析：（1）因为平面，所以．在三棱柱中，因为，所以四边形为菱形，所以．所以平面．（2）在三棱柱中，因为，平面，所以平面．因为平面平面，所以．（3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.因为三棱锥与三棱柱同底等高，所以，所以.因为，所以. 因为三棱柱与三棱柱等高，所以△与△的面积之比为，所以．20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（1）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用点到直线的距离公式可求得，由点都在坐标轴的正半轴上，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）由以为直径的圆经过点，可得，即，由在直线上，可将用表示，然后联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得，化简可得结论.试题解析：（1）∵直线与相切，∴.由，，解得.∵点都在坐标轴正半轴上，∴.∴切线与坐标轴的交点为，.∴，.∴椭圆的方程是.（2）的关系满足.证明如下：设，∵以为直径的圆经过点，∴，即.∵点在直线上，∴.∴（*）由消去，得.即显然∴由一元二次方程根与系数的关系，得代入（*）式，得.整理，得.又由（1），有.消去，得∴∴满足等量关系.点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系之相切以及直线与椭圆的位置关系之相交与韦达定理相结合，计算量较大，由一定难度；由直线与坐标轴的交点可得椭圆中的，的值，即可得椭圆的方程，对于第二问主要用到直径所对的圆周角为直角转化为向量的数量积为，由直线相交得与的关系，最后用到最常见的直线与椭圆相交联立方程组与韦达定理结合，得.21. 已知函数,．（1）设，求函数的单调区间；（2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（I）由题意．令，得，令，得．可得函数的单调区间．（II）由已知有，．令，则．由题可得函数在区间上单调递增．且，．故存在，使得，且当时，，当，,所以存在，使得为函数的极小值点．试题解析：（I）由题意可知：，其定义域为，则．令，得，令，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（II）由已知有，对于，有．令，则．令，有．而，所以，故当时，．函数在区间上单调递增．注意到，．故存在，使得，且当时，，当,所以存在，使得为函数的极小值点．22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）若直线与圆相交于，两点，求弦长,若点,求的值；（2）以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆和圆的交点为，，求弦所在直线的直角坐标方程．【答案】（1），16；（2）【解析】【分析】(1)先把直线和圆的参数方程化成直角坐标方程再求弦长，利用直线参数方程t的几何意义求的值.(2)直接把两圆是方程相减即得直线PQ的方程.【详解】（1）由直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t，可得，即直线l的普通方程为．圆的参数方程为（为参数），根据消去参数，可得，所以圆心O到直线l的距离，故弦长．把直线的参数方程代入圆的方程得所以.（2）圆C的极坐标方程为，利用，，，可得圆C的普通方程为．∵圆O方程为，∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为，即．【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查直线的参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求值时，一定要把直线的参数方程化成标准的参数方程.23. 已知函数,.（1）求不等式的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离，得到，令，结合函数的图象求出的范围即可．试题解析：（1）原不等式等价于或或，得或∴不等式的解集为.（2）由方程可变形为，令，作出图象如下：于是由题意可得.点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．。