清华大学本校用理论力学课件2-3 刚体平面运动
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A
150
0
cos15 vB v A cos30
B
vB vA AB AB
O
30
vB
能否由速度投影定理求得刚体的角速度？
解 第2章
直接求导法
A
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
R sin 2R sin R cos 2R cos
AB 2 cos 2 cos
aAO R aO
n a AO 2 vO R 2 R
n AO
aAO
aA a
A
2 vO aA j R
解 第2章
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO R
aO R
a
n BO
取O点为基点，分析B 点的加速度
BO
O
B
aO vO
aB aO aBO a
图形上各点加速度的分布如同图形绕C 作定轴转动一样
aM
C
M
a
arn
a r
P
r tan 2 2 r
例12 第2章
aA
art
aB cos30 a A cos75 arn aB 0.84R 2
向与AB垂直的方向投影
aB sin30 a A sin75 art art 0.55R 2 , AB art / AB 0.386 2
例11 圆盘的运动 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 、加速度为aO 。 求：轮缘上A、B二点的加速度。
B
O vO
aO
A
解 第2章
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO R
aO R
B O
aO v n O AO
取O点为基点，分析A 点的加速度
a A aO a AO a
A
O
45
0
30
0
B
解 第2章
选A为基点
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
aB aO k r 2r aA art arn a A R 2 A aA 2
2 arn 2 R AB
art ?
aB ?
3
R 2
arn
30
0
O
45
0
B
aB
等式两边向BA方向投影
vDO
vAO A
例3 轮系 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。 求：行星轮上M点速度。
M
O
A
解 第2章
基点法
vA
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
取A为基点 vC vA vr
y
M
vA ( R r )
图形的运动分解为随基点平动系的平动及 相对于基点平动系的定轴转动
平面运动的分解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
平 动 — 依赖于基点的选取 定轴转动 — 与基点的选取无关
返回
平面运动的运动方程 第2章
Y
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
Y0
S
O O0
X0
X
运动方程
xo xo (t ),
vM
vr r '
r ' ( R r )
vC 0
vr vA
C
vA
A
x
' ( R r ) / r 对M点：vM vA vr
vr r ' ( R r )
vr
vM 2( R r )
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
– 选瞬心C为基点时有 vP r 。 图形上各点速度分布如同图形绕C作定 轴转动一样
P
vP
C
– 平面图形的瞬时运动为绕瞬心的瞬时转 动，其连续运动为绕一系列瞬心的转动
瞬时速度中心的几种求法 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
(1) 已知一点的速度 及刚体的角速度
基点法 ω k
对B点： vB vO vBO
vBO ω rOB vO j
C vCO vO O vO vO vO D vO
vB vO (i j )
对C点： vC vO vCO 2vO i 对D点： vD vO vDO
vBO
B
vO (i j )
C
B
O vO A
D
解 第2章 圆轮与地面接触点A为速度瞬心
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO ＝ R
C
vO R
B
O vO
D
vA 0 ,
v B 2v0
vC 2v0 , v D 2v0
A
如轮子沿曲线轨道纯滚动， = vO / R是 否成立？
例6 三连杆机构 第2章
Y0
ε k
Y
O
arn
S
ar
X
r aO
aO
X0
共有5个可能的未知数（aP、aO 、 ） 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解！
O0
例10 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：R, = const。 求图示位置时滑块的加速度。
X X0
共有5个可能的未知数（vP、 vO 、 ） 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解！
例1 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
基点法
AB杆作平面运动，选A为基点 v A R
C l cos sin C l cos2
2 C (C l / 2)2 l 2 / 4
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。
例8 第2章
解
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
动瞬心轨迹沿定瞬心轨迹作无滑动的滚动！
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章 速度投影定理 vB 0 v A 0 刚
AC 3 2 l , DC 3 5 l 2 4
vB
D 90o B
90o O 1
vA OA 2l
AB
vA 2 AC 3
O
45o
vB BC AB l
vD DC AB 5 l 2
例7 轮系 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。 求：行星轮上M点速度。
M
O
A
解 第2章
M
瞬心法
vM
M
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
O
v A ( R r )
A
vA A
C
O
vA R r r r
vM CM 2(Rr ) vM CM
a
n BO
aBO R aO
a
n BO
A
v R R
2
2 O
2 vO a B (aO ) i aO j R
刚体平面运动中各点的加速度分析 第2章 加速度瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
图形上加速度为零的点称为该瞬时的瞬 时加速度中心 aP k r 2r
定瞬心轨迹和动瞬心轨迹 第2章
定瞬心轨迹：瞬心在固定坐标系中的轨迹
动瞬心轨迹：瞬心在固连的动坐标系中的 轨迹。
R
v0 C
C
' 1
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
C
' 2
' C3
C3
C1 C2
车轮沿着直线轨道作纯滚动
例8 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如 将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。 求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。
B l u A
例8 第2章
解
y
B
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
建立固定坐标系 Oxy ，瞬心 C 点的坐标为：
C
xC l sin
2 2 xC yC l2
yC l cos
O
l
A
u x
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的1/4圆周。 建立固联坐标系 A，瞬心 C 的坐标为：
AB
O
R
2R
B
vB
3 3 xB R cos 2R cos
vB xB R sin 2R sin
3 2 6 R 6
返回
刚体平面运动中各点的加速度分析 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
基点法 aP aO ε r ω (ω r ) aO k r 2r
3 已知：O1 B l , AB l , AD DB 2
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
求：1. B和D点的速度； 2. AB杆的角速度。
A D
90o
B
45o
90o O1
O
解 第2章
图中的几何关系：
OA＝ 2l , AB BC 3 l , 2
瞬心法
AB C*
vA
A
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
yo yo (t ), (t )
返回
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
基点法 vP vO r vO k r
Y0
k
Y
O
vr
S
O0
r vO
vO
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
– 图形上速度为零的点C称为该瞬时的瞬 时速度中心，即vC = 0。 – 瞬心一定存在并且是唯一的 OP vO
vCO
C S O
P
v C vO vCO
v C vO vCO vO OC
vO
ω
vO
当OC
vO
时,vC 0
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
刚体平面运动的简化 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
作平面运 动的刚体
Y0
S
O0
固定平面
X0
刚体上过点A并垂直于平面2的直线作平动， 其上A1、A2、…各点的运动与点A相同。 刚体的平面运动可简化为平面图形S 在自身 平面内的运动！ 返回
平面运动的分解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vB vA AB rAB vA vr
vB vA vr sin75 sin60 sin45
sin75 vB v A sin60
45
AB
30
sin45 vr v A sin60
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
C为AB杆的速度瞬心，AC 3R
AB
C
AB
vA 3 AC 3
vA
A 45°
vB AB BC
O
45°
B
vB
30°
例5 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
A
vA
vA
(2) 已知两点的速度方向， 且互不平行
vA
A
C
vA
B
vB
(3) 两点速度方向平行且 垂直于这两点的连线
A
v (4) 瞬时平动， A vB
A
vA
vA
A
C
B
vB
vB
B
vB
C
B
例4 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
体 运 动 与 复 合 运 动
例9 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
速度投影定理
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vB cos30 v A cos15
vA
vr 3 AB AB 3
例2 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
C
B
O vO A
Dபைடு நூலகம்
解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
O点的速度已知，取O点为基点。 v v i O O v AO ω rOA R i 对A点： v A vO v AO vA 0 ω vO / Rk
第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第3节
刚体平面运动
刚体平面运动 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体平面运动的简化 平面运动的分解 平面运动的运动方程 刚体平面运动中各点的速度分析
基点法 瞬心法 速度投影定理 直接求导 基点法 加速度瞬心法
刚体平面运动中各点的加速度分析
150
0
cos15 vB v A cos30
B
vB vA AB AB
O
30
vB
能否由速度投影定理求得刚体的角速度？
解 第2章
直接求导法
A
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
R sin 2R sin R cos 2R cos
AB 2 cos 2 cos
aAO R aO
n a AO 2 vO R 2 R
n AO
aAO
aA a
A
2 vO aA j R
解 第2章
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO R
aO R
a
n BO
取O点为基点，分析B 点的加速度
BO
O
B
aO vO
aB aO aBO a
图形上各点加速度的分布如同图形绕C 作定轴转动一样
aM
C
M
a
arn
a r
P
r tan 2 2 r
例12 第2章
aA
art
aB cos30 a A cos75 arn aB 0.84R 2
向与AB垂直的方向投影
aB sin30 a A sin75 art art 0.55R 2 , AB art / AB 0.386 2
例11 圆盘的运动 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 、加速度为aO 。 求：轮缘上A、B二点的加速度。
B
O vO
aO
A
解 第2章
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO R
aO R
B O
aO v n O AO
取O点为基点，分析A 点的加速度
a A aO a AO a
A
O
45
0
30
0
B
解 第2章
选A为基点
基点法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
aB aO k r 2r aA art arn a A R 2 A aA 2
2 arn 2 R AB
art ?
aB ?
3
R 2
arn
30
0
O
45
0
B
aB
等式两边向BA方向投影
vDO
vAO A
例3 轮系 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。 求：行星轮上M点速度。
M
O
A
解 第2章
基点法
vA
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
取A为基点 vC vA vr
y
M
vA ( R r )
图形的运动分解为随基点平动系的平动及 相对于基点平动系的定轴转动
平面运动的分解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
平 动 — 依赖于基点的选取 定轴转动 — 与基点的选取无关
返回
平面运动的运动方程 第2章
Y
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
Y0
S
O O0
X0
X
运动方程
xo xo (t ),
vM
vr r '
r ' ( R r )
vC 0
vr vA
C
vA
A
x
' ( R r ) / r 对M点：vM vA vr
vr r ' ( R r )
vr
vM 2( R r )
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
– 选瞬心C为基点时有 vP r 。 图形上各点速度分布如同图形绕C作定 轴转动一样
P
vP
C
– 平面图形的瞬时运动为绕瞬心的瞬时转 动，其连续运动为绕一系列瞬心的转动
瞬时速度中心的几种求法 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
(1) 已知一点的速度 及刚体的角速度
基点法 ω k
对B点： vB vO vBO
vBO ω rOB vO j
C vCO vO O vO vO vO D vO
vB vO (i j )
对C点： vC vO vCO 2vO i 对D点： vD vO vDO
vBO
B
vO (i j )
C
B
O vO A
D
解 第2章 圆轮与地面接触点A为速度瞬心
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vO ＝ R
C
vO R
B
O vO
D
vA 0 ,
v B 2v0
vC 2v0 , v D 2v0
A
如轮子沿曲线轨道纯滚动， = vO / R是 否成立？
例6 三连杆机构 第2章
Y0
ε k
Y
O
arn
S
ar
X
r aO
aO
X0
共有5个可能的未知数（aP、aO 、 ） 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解！
O0
例10 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：R, = const。 求图示位置时滑块的加速度。
X X0
共有5个可能的未知数（vP、 vO 、 ） 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解！
例1 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
基点法
AB杆作平面运动，选A为基点 v A R
C l cos sin C l cos2
2 C (C l / 2)2 l 2 / 4
动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。
例8 第2章
解
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
动瞬心轨迹沿定瞬心轨迹作无滑动的滚动！
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章 速度投影定理 vB 0 v A 0 刚
AC 3 2 l , DC 3 5 l 2 4
vB
D 90o B
90o O 1
vA OA 2l
AB
vA 2 AC 3
O
45o
vB BC AB l
vD DC AB 5 l 2
例7 轮系 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。 求：行星轮上M点速度。
M
O
A
解 第2章
M
瞬心法
vM
M
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
O
v A ( R r )
A
vA A
C
O
vA R r r r
vM CM 2(Rr ) vM CM
a
n BO
aBO R aO
a
n BO
A
v R R
2
2 O
2 vO a B (aO ) i aO j R
刚体平面运动中各点的加速度分析 第2章 加速度瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
图形上加速度为零的点称为该瞬时的瞬 时加速度中心 aP k r 2r
定瞬心轨迹和动瞬心轨迹 第2章
定瞬心轨迹：瞬心在固定坐标系中的轨迹
动瞬心轨迹：瞬心在固连的动坐标系中的 轨迹。
R
v0 C
C
' 1
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
C
' 2
' C3
C3
C1 C2
车轮沿着直线轨道作纯滚动
例8 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如 将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。 求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。
B l u A
例8 第2章
解
y
B
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
建立固定坐标系 Oxy ，瞬心 C 点的坐标为：
C
xC l sin
2 2 xC yC l2
yC l cos
O
l
A
u x
定瞬心轨迹为以 O 为圆心的1/4圆周。 建立固联坐标系 A，瞬心 C 的坐标为：
AB
O
R
2R
B
vB
3 3 xB R cos 2R cos
vB xB R sin 2R sin
3 2 6 R 6
返回
刚体平面运动中各点的加速度分析 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
基点法 aP aO ε r ω (ω r ) aO k r 2r
3 已知：O1 B l , AB l , AD DB 2
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
求：1. B和D点的速度； 2. AB杆的角速度。
A D
90o
B
45o
90o O1
O
解 第2章
图中的几何关系：
OA＝ 2l , AB BC 3 l , 2
瞬心法
AB C*
vA
A
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
yo yo (t ), (t )
返回
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
基点法 vP vO r vO k r
Y0
k
Y
O
vr
S
O0
r vO
vO
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
– 图形上速度为零的点C称为该瞬时的瞬 时速度中心，即vC = 0。 – 瞬心一定存在并且是唯一的 OP vO
vCO
C S O
P
v C vO vCO
v C vO vCO vO OC
vO
ω
vO
当OC
vO
时,vC 0
刚体平面运动中各点的速度分析 第2章
刚体平面运动的简化 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
作平面运 动的刚体
Y0
S
O0
固定平面
X0
刚体上过点A并垂直于平面2的直线作平动， 其上A1、A2、…各点的运动与点A相同。 刚体的平面运动可简化为平面图形S 在自身 平面内的运动！ 返回
平面运动的分解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vB vA AB rAB vA vr
vB vA vr sin75 sin60 sin45
sin75 vB v A sin60
45
AB
30
sin45 vr v A sin60
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
瞬心法
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
C为AB杆的速度瞬心，AC 3R
AB
C
AB
vA 3 AC 3
vA
A 45°
vB AB BC
O
45°
B
vB
30°
例5 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
A
vA
vA
(2) 已知两点的速度方向， 且互不平行
vA
A
C
vA
B
vB
(3) 两点速度方向平行且 垂直于这两点的连线
A
v (4) 瞬时平动， A vB
A
vA
vA
A
C
B
vB
vB
B
vB
C
B
例4 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
体 运 动 与 复 合 运 动
例9 曲柄滑块机构 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 v B , AB 。
A
O
R
45
0
30
0
B
解 第2章
速度投影定理
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
vB cos30 v A cos15
vA
vr 3 AB AB 3
例2 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。
C
B
O vO A
Dபைடு நூலகம்
解 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
O点的速度已知，取O点为基点。 v v i O O v AO ω rOA R i 对A点： v A vO v AO vA 0 ω vO / Rk
第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第3节
刚体平面运动
刚体平面运动 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体平面运动的简化 平面运动的分解 平面运动的运动方程 刚体平面运动中各点的速度分析
基点法 瞬心法 速度投影定理 直接求导 基点法 加速度瞬心法
刚体平面运动中各点的加速度分析