流体力学 第7章

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流体微团得运动分析
∂v x ∂v x ∂v x vMx = v x + δx + δy + δz ∂z ∂x ∂y ∂v y ∂v y ∂v y vMy = v y + δx + δy + δz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v vMz = v z + z δx + z δy + z δz ∂x ∂y ∂z
cs cv
得
∫∫∫
cv
∂ρ + ∇ ⋅ ( ρ υ ) dV = 0 ∂t
因为控制体是任意的，所以被积函数必须为零。 因为控制体是任意的，所以被积函数必须为零。于是 得出微分形式的连续性方程
∂ρ + ∇ ⋅ ( ρυ ) = 0 ∂t
或
∂ ρ ∂ (ρ v x ) ∂ (ρ v y ) ∂ (ρ v z ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
v Mx = v x +
∂v x δ x + (γɺ z δ y + γɺ y δ z ) + (ω y δ z − ω z δ y ) ∂x
v My = v y +
∂v y ∂y
δ y + (γɺ xδz + γɺ z δx ) + (ω z δ x − ω xδz )
v Mz
∂v z = vz + δ z + (γɺ y δ x + γɺ xδ y ) + (ω xδ y − ω y δ x ) ∂z
对于不可压缩流体
dρ =0 dt
可简化为 divυ = ∇ ⋅υ = 0 或
∂vx ∂v y ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z
对于不可压缩流体定常流动和不定常流动都是适用的。 对于不可压缩流体定常流动和不定常流动都是适用的。 ∂vx ∂v y 对于不可压缩流体的平面流动， 对于不可压缩流体的平面流动，则： ∂x + ∂y = 0
第7章 理想流体的多维流动基础 章
7.1 微分形式的连续性方程
dm =0 dt
根据质量守恒定律， 根据质量守恒定律，系统的 m 是不变的
故 所以
∂ ∂t
∫∫∫
cv
cv
ρ dV + ∫∫ ρ υ ⋅ d A = 0
cs
应用奥氏公式
∫∫ ρυ ⋅ dA = ∫∫∫ divρυ dV = ∫∫∫ ∇ ⋅ ( ρυ )dV
上式右边后三项展开
∂v y ∂vx ∂v ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ +ρ + vx +ρ + vy + ρ z + vz =0 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
因为： 因为： 所以
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + vx + vy + vz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
∂v x ∂v y ∂v z dρ + ρ ∂x + ∂y + ∂z = 0 dt
∂ρ + ∇ ⋅ ( ρυ ) = 0 ∂t
∂ ρ ∂ (ρ v x ) ∂ (ρ v y ) ∂ (ρ v z ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
微分形式的连续方程是流体力学的基本方程之一， 微分形式的连续方程是流体力学的基本方程之一，它 适用于可压缩和不可压缩流体， 适用于可压缩和不可压缩流体，也适用于定常流动和非定 常流动。 常流动。 在流场得某点， 在流场得某点，单位体积流体质量得时间变化率与经 过该点单位体积流体质量得净通量之和等于零