一种组合PohligHellman和Pollardρ的迭代求解离散对数方法
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2019年5月 第43卷第3期
安徽大学学报(自然科学版) JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)
doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2019.03.005
May2019 Vol.43No.3
一种组合 Pohlig-Hellman和 Pollardρ 的 迭代求解离散对数方法
算法的计算效率.最后通过实例验证了结论的正确性和有效性.
关键词:Pohlig-Hellman算法;Pollardρ算法;迭代;离散对数;素域
中图分类号:TP309.7
文献标志码:A
文章编号:1000-2162(2019)03-0020-07
AniterativemethodbasedonPohlig-HellmanandPollardρ forcomputingdiscretelogarithm
时间才能计算出任一元素的离散对数.Pollardρ 算法的优点是不受群结构的限制,即群的阶可以是任 意的,且当用算法能得到元素的离散对数时,算法又是确定的,因此近30年,Pollardρ 算法受到学者极 大的关注[6-12].
作者提出一种基于 Pohlig-Hellman的迭代求解离散对数的方法[2],尽管算法的时间复杂度仍然为
O q ,但是算法的空间复杂度降为O 1 .Pohlig-Hellman算法的优点是,当群的阶光滑时,可以在 多项式时间内计算出任一元素的离散对数[3-5];当群的阶包含大的素因子,即群的阶不光滑时,需要指数
21
Pollard利用循环群ρ 形的特点提出一种计算离散对数的概率型算法[1],算法的时间复杂度和空 间复杂度均为O p (p 为大素数,是有限域Fp = 0,1,…,p -1 元素的个数).算法同时指出,可
以与 Pohlig-Hellman算法结合,使算法的Fra Baidu bibliotek间复杂度和空间复杂度均降为O q (q 是p -1的最大 素因子).但是 Pollard并没有给出如何与 Pohlig-Hellman算法结合.
胡建军,王 伟,李恒杰
(兰州文理学院 数字媒体学院,甘肃 兰州 730010)
摘 要:Pohlig-Hellman算法的优点是计算速度快,缺点是需要群的阶是光滑的.Pollardρ算法的优点是不受
群结构的限制,缺点是属于概率算法,计算的准确性低于 Pohlig-Hellman算法.学者很少关注 Pollardρ和
HUJianjun,WANG Wei,LIHengjie
(SchoolofDigitalMedia,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730010,China)
Abstract:TheadvantageofthePohlig-Hellmanalgorithmisthatthecalculationspeedisfast, butthedisadvantageisthattheorderofthegrouprequirestobesmooth.Theadvantageof Pollardρalgorithmisthatitisnotlimitedtothegroupstructure,butthedisadvantageisthe probabilityalgorithm,andtheaccuracy ofcalculationisusuallylowerthanthe PohligHellmanalgorithm.ScholarspaidlittleattentiontoeffectivefusionofbothPollardρand Pohlig-Hellmanalgorithms.Inordertosolvetheproblem,combined withtherespective strengthsofthetwoalgorithms,thepaperputforwardakindofPollardρ mixeddiscrete logarithmiterationalgorithmbasedonPohlig-Hellman.Theideaofthealgorithm wasthat thePohlig-Hellmanalgorithm wasusedtoiteratewhentheorderfactorwaslessthanor equaltothesmoothboundary,andthePollardρalgorithm wasusedtoiteratewhenthe orderfactorwasgreaterthanthesmoothboundary.Atthesametime,thecomputational efficiencyofthehybridalgorithm wasanalyzed,andthecorrectnessandvalidityofthe algorithmandtheanalysisresultswereverifiedbyanexample. Keywords:Pohlig-Hellmanalgorithm;Pollardρ algorithm;iteration;discretelogarithm; primedomain
Pohlig-Hellman两 个 算 法 的 有 效 融 合,针 对 这 一 问 题,结 合 两 个 算 法 各 自 的 长 处,提 出 一 种 基 于 Pohlig-
Hellman的 Pollardρ混合离散对数迭代求解算法.算法的思想是:当阶的素因子小于等于光滑界时,使用
Pohlig-Hellman算法迭代计算;当阶的素因子大于光滑界时,使用 Pollardρ算法迭代计算.同时分析了混合
收稿日期:2018-06-05 基金项目:国家自然科学基金资助项目(61070162,71071028);甘肃省高等学校科学研究项目(2015B-136) 作者简介:胡建军(1971-),男,甘肃天水人,兰州文理学院教授,E-mail:hujj518@163.com.
第3期
胡建军,等:一种组合 Pohlig-Hellman和 Pollardρ的迭代求解离散对数方法
安徽大学学报(自然科学版) JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)
doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2019.03.005
May2019 Vol.43No.3
一种组合 Pohlig-Hellman和 Pollardρ 的 迭代求解离散对数方法
算法的计算效率.最后通过实例验证了结论的正确性和有效性.
关键词:Pohlig-Hellman算法;Pollardρ算法;迭代;离散对数;素域
中图分类号:TP309.7
文献标志码:A
文章编号:1000-2162(2019)03-0020-07
AniterativemethodbasedonPohlig-HellmanandPollardρ forcomputingdiscretelogarithm
时间才能计算出任一元素的离散对数.Pollardρ 算法的优点是不受群结构的限制,即群的阶可以是任 意的,且当用算法能得到元素的离散对数时,算法又是确定的,因此近30年,Pollardρ 算法受到学者极 大的关注[6-12].
作者提出一种基于 Pohlig-Hellman的迭代求解离散对数的方法[2],尽管算法的时间复杂度仍然为
O q ,但是算法的空间复杂度降为O 1 .Pohlig-Hellman算法的优点是,当群的阶光滑时,可以在 多项式时间内计算出任一元素的离散对数[3-5];当群的阶包含大的素因子,即群的阶不光滑时,需要指数
21
Pollard利用循环群ρ 形的特点提出一种计算离散对数的概率型算法[1],算法的时间复杂度和空 间复杂度均为O p (p 为大素数,是有限域Fp = 0,1,…,p -1 元素的个数).算法同时指出,可
以与 Pohlig-Hellman算法结合,使算法的Fra Baidu bibliotek间复杂度和空间复杂度均降为O q (q 是p -1的最大 素因子).但是 Pollard并没有给出如何与 Pohlig-Hellman算法结合.
胡建军,王 伟,李恒杰
(兰州文理学院 数字媒体学院,甘肃 兰州 730010)
摘 要:Pohlig-Hellman算法的优点是计算速度快,缺点是需要群的阶是光滑的.Pollardρ算法的优点是不受
群结构的限制,缺点是属于概率算法,计算的准确性低于 Pohlig-Hellman算法.学者很少关注 Pollardρ和
HUJianjun,WANG Wei,LIHengjie
(SchoolofDigitalMedia,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730010,China)
Abstract:TheadvantageofthePohlig-Hellmanalgorithmisthatthecalculationspeedisfast, butthedisadvantageisthattheorderofthegrouprequirestobesmooth.Theadvantageof Pollardρalgorithmisthatitisnotlimitedtothegroupstructure,butthedisadvantageisthe probabilityalgorithm,andtheaccuracy ofcalculationisusuallylowerthanthe PohligHellmanalgorithm.ScholarspaidlittleattentiontoeffectivefusionofbothPollardρand Pohlig-Hellmanalgorithms.Inordertosolvetheproblem,combined withtherespective strengthsofthetwoalgorithms,thepaperputforwardakindofPollardρ mixeddiscrete logarithmiterationalgorithmbasedonPohlig-Hellman.Theideaofthealgorithm wasthat thePohlig-Hellmanalgorithm wasusedtoiteratewhentheorderfactorwaslessthanor equaltothesmoothboundary,andthePollardρalgorithm wasusedtoiteratewhenthe orderfactorwasgreaterthanthesmoothboundary.Atthesametime,thecomputational efficiencyofthehybridalgorithm wasanalyzed,andthecorrectnessandvalidityofthe algorithmandtheanalysisresultswereverifiedbyanexample. Keywords:Pohlig-Hellmanalgorithm;Pollardρ algorithm;iteration;discretelogarithm; primedomain
Pohlig-Hellman两 个 算 法 的 有 效 融 合,针 对 这 一 问 题,结 合 两 个 算 法 各 自 的 长 处,提 出 一 种 基 于 Pohlig-
Hellman的 Pollardρ混合离散对数迭代求解算法.算法的思想是:当阶的素因子小于等于光滑界时,使用
Pohlig-Hellman算法迭代计算;当阶的素因子大于光滑界时,使用 Pollardρ算法迭代计算.同时分析了混合
收稿日期:2018-06-05 基金项目:国家自然科学基金资助项目(61070162,71071028);甘肃省高等学校科学研究项目(2015B-136) 作者简介:胡建军(1971-),男,甘肃天水人,兰州文理学院教授,E-mail:hujj518@163.com.
第3期
胡建军,等:一种组合 Pohlig-Hellman和 Pollardρ的迭代求解离散对数方法