第4讲[1].概率初步.理科.教师版

【例8】 一个口袋中有完全相同的 2 个白球， 3 个黑球， 4 个红球，从中任取 2 球，观察球的颜色．
⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数； ⑶“至少有1 个白球”这一事件包含哪几个基本事件； 【解析】 ⑴这个试验的基本事件空间是 {( 白，白 ) ， ( 黑，黑 ) ， ( 红，红 ) ， ( 白，黑 ) ， ( 白，红 ) ， ( 黑，红 )} ． ⑵这个试验共有 6 个基本事件．
【例7】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．
⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“ 两次点数相同” 这一事件包含了几个基本事件； ⑶“ 两次点数之和为 6 ” 这一事件包含了几个基本事件； ⑷“ 两次点数之差为1 ” 这一事件包含了几个基本事件． 【解析】 ⑴这个试验的基本事件空间为 {(1， 1) ， (1 ， 2) ， ， (1 ， 6) ， (2 ， 1) ， (2 ， 2) ， ， (6 ， 5) ， (6 ， 6)} ， 共 36 个基本事件； ⑵“ 两次得到的点数相同” 包含的基本事件有 {(1 ， 1) ， (2 ， 2) ， (3 ， 3) ， (4 ， 4) ， (5 ， 5) ， (6 ， 6)} ， 6 个； ⑶“ 两次点数之和为 6 ” 包含的基本事件有 {(1 ， 5) ， (2 ， 4) ， (3 ， 3) ， (4 ， 2) ， (5 ， 1)} ， 5 个． ⑷“ 两次点数之差为1 ” 包含的基本事件有 (1， 2) ， (2 ， 1) ， (2 ， 3) ， ， (5 ， 6) ， (6 ， 5) ， 10 个．
【例3】 下列事件：
①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了； ③一所学校共有 998 名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合 A ， B， C ，满足 A B ， B C ，则 A C ； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在 2 张签上都写上“ 死” 字，再让画师抽“ 生死签” ， 画师抽到死签； ⑥从1 ， 3， 5， 9 中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ A． 2 个 【解析】 B；①②③ B． 3 个 ） C． 4 个 D． 5 个
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3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件， 称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用 表示．
（二）典例分析
【例11 】 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数 进球次数 进球频率
8 6
10 8
12
9
9 7
10 7
16
60 45
100 74
12
（1）在表中直接填写进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？ 3 4 3 7 7 3 3 37 【解析】 （1）进球频率依次为 ， ， ， ， ， ， ， ； 4 5 4 9 10 4 4 50 3 （2）约为 ． 4
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若 C A B ，则若 C 发生，则 A 、 B 中至少有一个发生，事件 A B 是由事件 A 或 B 所包含
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有 P( A) 1 P ( A) ．
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<教师备案> 1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果” ，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指 一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和 必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断． 2．概率可以通过频率来“ 测量 ” ，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计 定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率． 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某 个常数附近摆动，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事 件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性 的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．
⑵求这个试验的基本事件总数； ⑶“ x y 5 ”这一事件包含哪几个基本事件？“ x 3且y 1 ”呢？ ⑷“ xy 4 ”这一事件包含哪几个基本事件？“ x y ”呢？
【解析】 ⑴这个试验的基本事件空间为： {(1 ， 1) ， (1 ， 2) ， (1 ， 3) ， (1 ， 4) ， (2 ， 1) ， (2 ， 2) ， (2 ， 3) ， (2 ， 4) ， (3 ， 1) ， (3 ， 2) ， (3 ， 3) ， (3 ， 4) ，
【解析】 ⑴为必然事件，⑵为随机事件，⑶为不可能事件，
⑷为不可能事件，⑸为随机事件，⑹为必然事件．
【例6】 同时掷两枚骰子，点数之和在 2 ~ 12 点间的事件是
事件，点数之和小于 2 或大于 12 的事件是 件．
【解析】 必然，随机，不可能，不可能；
事件，点数之和为 12 点的事件是 事件，点数之差为 6 点的事件是 事
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第 4 讲 概率初步
高考要求
随机事件的概率 事件与概率 随机事件的运算 概率 古典概型 几何概型 ⑴事件与概率 ①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． ②了解两个互斥事件的概率加法公式． ⑵古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式． ②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． ⑶随机数与几何概型 ①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义． 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型 几何概型 A B C B B
（二）典例分析
【例10 】 对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：
抽查件数 合格件数
50 47
100 95
200 192
300 285
500 478
根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到 950 件合格品，大约需要抽查多少件产品？ 【解析】 各次抽查合格品的频率依次为： 0.94 ， 0.95 ， 0.96 ， 0.95 ， 0.956 ， 频率非常接近 0.95 ，在它附近摆动，故合格品的概率约是 0.95 ． 950 要得到 950 件合格品，大约需要抽查 1000 件产品． 0.95
【例1】 下列说法：
①既然抛掷硬币出现正面的概率为 0.5 ，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一 次正面朝上，一次反面朝上； 1 ②如果某种彩票的中奖概率为 ，那么买1000 张这种彩票一定能中奖； 10 ③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来 决定哪一方先发球，这样做不公平； 1 ④一个骰子掷一次得到 2 的概率是 ，这说明一个骰子掷 6 次会出现一次 2 ． 6 其中不正确的说法有（ ） A．1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【解析】 D．
【解析】 ⑴为随机事件；⑵为必然事件；⑶为不可能事件；
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⑷为必然事件；⑸为不可能事件；⑹为随机事件．
【例5】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴在标准大气压下且温度低于 0 C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨； ⑶没有水分，种子发芽； ⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖； ⑹若平面 平面 m ， n ∥ 】 在天气预报中，如果预报“ 明天的降水概率为 85% ” ，这是指（
）
A．明天该地区约有 85% 的地区降水，其它15% 的地区不降水 B．明天该地区约有 85% 的时间降水，其它时间不降水 C．气象台的专家中，有 85% 的人认为会降水，另外 15% 的专家认为不会降水 D．明天该地区降水的可能性为 85% 【解析】 概率是指某一事件发生的可能性，故选 D．
【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴六月天下雪； ⑵同时掷两颗骰子，事件“ 点数之和不超过12 ” ； ⑶太阳从西边升起；
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⑷当 x ≥ 100 时，事件“ lg x ≥ 2 ” ； ⑸数列{an } 是单调递增数列时，事件“ a 2008 a 2009 ” ； ⑹骑车通过10 个十字路口，均遇红灯．
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⑶“至少有1 个白球”包含以下三个基本事件： ( 白，白 ) ， ( 白，红 ) ， ( 白，黑 ) ．
【例9】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数
1 4
2 3
1 4
2 3
为 x ，转盘②得到的数为 y ，结果为 ( x ， y) ． ⑴写出这个试验的基本事件空间；
例题精讲
板块一：事件及样本空间
（一）知识内容
1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实 验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母 A ， B， C， 来表示随机事件，简称为事件．
板块二：随机事件的概率
（一）知识内容