第5讲 函数的值域

第五讲 函数的值域【考纲解读】1.会求一些简单函数的值域或最值.2.会通过函数的最值求有关参数的范围，解决实际生活中的优化问题.【命题规律分析】通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，单独考查函数值域的题目在高考中已很少见，但求最值以及与最值有关的问题，在高考中却频频出现，对本部分内容的考查既可以以选择题、填空题的形式出现，也可以以解答题的形式出现.命题过程主要侧重在求函数的值域和最值以及最值的应用两个方面.【知识回顾】求函数的值域的方法常用的有：直接法，分离常数法，换元法，配方法，判别式法，不等式法，利用某些函数的有界性法，数形结合法，函数的单调性法，利用导数法，利用平移等．（一）直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围.（二）图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法.（三）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法.（四）分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法. （五）利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域.（六）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.（七）判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解.【考点分析】考点一 直接法 例1 求函数24x y -=的值域.解析：由,0-4022≥≥x x 及知[]2,042∈-x . 故此函数值域为[]0,2.点评：此方法适用于解答选择题和填空题.考点二 配方法例2 求下列函数的值域（1）232y x x =-+； （2）232y x x =-+，[1,3]x ∈； （3）y =.答案解析：（1）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞. （2）（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26 ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26].（3）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]考点三 分离常数法例3 求下列函数的值域.（1）525+-=x x y ； （2）1313+-=x x y答案解析：（1）5221521525++-=+-=x x x y由于052215≠+x ， 所以21-≠y所以函数的值域为}21|{-≠y y（2）令13+=x t ，则1>t tt t y 212-=-=)1,1(21)2,0(2),1(-∈-⇒∈⇒+∞∈tt t 所以函数的值域为)1,1(-点评：（1）本题是一道典型的分离常数法的应用，在教学中老师可以根据情况加入x 的取值范围.（2）本题利用换元变成类似于分离常数法的形式，但要注意换元后的范围，这是容易出错的地方.考点四 换元法例4 求下列函数的值域(1)x x y -+=14； (2)21x x y -+=； 答案解析：（1）设01≥-=x t ，则21t x -=∴原函数可以化为5)2(4122+--=+-=t t t y ，0≥t ∴由二次函数的图象可知5≤y ∴原函数的值域为]5,(-∞. (2)11012≤≤-⇒≥-x x 设αcos =x ，],0[πα∈则)4sin(2sin cos πααα+=+=y]2,1[)4s i n (2]45,4[4],0[-∈+⇒∈+⇒∈παπππαπα ∴原函数的值域是]2,1[-.点评：(1)运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.（2）三角换元时，确定α的取值范围是一个比较关键的环节，请老师和同学仔细体会.强调：1、换元前后取值范围不能改变；2、要使得换元后计算起来简单考点五 利用有界性例5 求下列函数的值域（1）1313+-=x x y ； （2）x x y sin 2sin 2+-=答案解析：（1）y y y x x x -+=⇒+-=1131313由03>x可知011>-+yy ，解得11<<-y 所以函数的值域是（-1,1）（2）由xxy sin 2sin 2+-=解得：22sin 1y x y -=+，由|sin |1x ≤得22||11y y -≤+ 两边平方后整理，得：231030y y -+≤，解得：331≤≤y ， 故所给函数的值域为1[,3]3．考点六 判别式法 例6 求下列函数的值域（1）22221x x y x x -+=++； （2）63422-+++=x x x x y答案解析：（1）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R .由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥ ， ∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5].（2）由已知得2(1)(4)(63)0y x y x y -+--+= (*) ① 若1y =，代入（*）式390x --=，∴3x =-， 此时原函数分母26x x +-的值为0，∴y ≠1；② 若y ≠1，则2(4)4(1)(63)01y y y y ⎧∆=-+-+≥⎨≠⎩2(52)01y y ⎧-≥⇒⎨≠⎩1y ⇒≠ 但当25y =时，代入(*)得：3x =-，∴25y ≠ ∴函数的值域为：2{|,1}5y y R y y ∈≠≠且．评注：本题中需要检验的原因是：函数22436x x y x x ++=+-可化简为1(3)2x y x x +=≠--． 用判别式法求函数值域时，由于变形过程中易出现不可逆步骤，从而改变函数的定义域或值域.因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数的定义域、判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求. 考点七 数形结合 例7 求下列函数的值域（1）|1||4|y x x =-++； （2）1sin 2cos xy x-=-.答案解析：（1）解法一：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， 由分段函数图象可知5y ≥， ∴函数值域为[5,)+∞.解法二：1-x 可看作数轴上为x 的点到1的距离，4+x 可看作数轴上为x 的点到-4的距离.所以|1||4|y x x =-++可看作数轴上为x 的点到1和-4的距离之和，而当数轴上的点位于1和-4之间时，到1和-4的距离之和为定值5，当数轴上的点位于1和-4两边时，到1和-4的距离之和大于5，故5≥y .（2）解法一（数形结合）：1sin 2cos xy x-=-可看作是点)1,2(和点)sin ,(cos x x 连线的斜率，点（2，1）是定点，而点)sin ,(cos x x 是以原点为圆心的单位圆上的点设过点（2,1）与单位圆相切的直线的方程为)2(1-=-x k y ，利用原点到直线的距离等于半径1这个条件，算出0=k 和34=k 所以，原函数的值域为4[0,]3.解法二（方程法）：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤∴2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3.例8 用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值.设}10,2,2min{)(x x x f x -+=（0≥x ），则)(x f 的最大值为（ ） A ．4 B.5 C.6 D.7答案解析：C.由题意知函数)(x f 是三个函数x y 21=，22+=x y ，x y -=103中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系下的图象，可知（4,6）为图象的最高点.变式训练：如果实数、满足，则的最大值为x y x y yx()()-+=2322A B C D ....1233323答案解析：D.等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=2322圆心为，，半径，如图，而则表示圆上的点，与坐()()()20300r y x y x x y ==-- 标原点，的连线的斜率。

如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA 可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最A OA 大值为︒60tan .变式训练：已知，满足，求的最大值与最小值x y x y y x 22162513+=- 答案解析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用y x x y -+=31625122构造直线的截距的方法来求之. 令，则，y x b y x b -==+33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22162513+= 且在轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625122截距.y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++-=316251169961640002222由，得±，故的最大值为，最小值为。

∆==--01331313b y x考点八 基本不等式例9（1）求2211()212x x y x x -+=>-的值域； （2）若函数)(x f y =的值域是]3,21[，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域是（ ） A .]3,21[ B .]210,2[ C .]310,25[ D .]310,3[ 答案解析：（1）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即12x =.∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞. (2)B ． 令)(x f t =，则]3,21[∈t ，tt t F 1)(+=，根据其图象可知： 当1=t 时，2)1()()(min min ===F t F x F 当3=t 时，310)3()()(max max ===F t F x F ， 故其值域为]310,2[ 考点九 函数的值域（最值）的综合应用例10 若函数131)(23++-=x ax x x f 在)3,0(上为单调增函数，求a 的取值范围. 答案解析：12)(2'+-=ax x x f函数)(x f 在（0,3）上为增函数，∴)3,0(,012)(2'∈≥+-=x ax x x f ， ∴xx a 212+≤令)3,0(,212)(∈+=x xx x g 12122212)(=⋅≥+=xx x x x g ，当且仅当1=x 时等号成立.∴1)(min =x g ，即a 的取值范围是]1,(-∞.点评：若)(x f c ≥，求c 的范围，可先求出)(x f 的最大值max )(x f ，只要c 满足max )(x f c ≥即可，从而求得参数c 的范围；若)(x f c ≤，求c 的范围，可先求出)(x f 的最小值min )(x f ，只要c 满足min )(x f c ≤即可，从而求得参数c 的范围.例11 已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值．答案解析：43)2()(22a a x x f y -++== （1）min 12(1)432aa y f a -<->=-=-=-当，即时，，解得：7a =（2）当112a -≤-≤，即22a -≤≤时，2min ()3324a a y f =-=-=-，解得a =± （3）当12a->，即2a <-时，min (1)43y f a ==+=-，解得：7a =-．综合（1）（2）（3）可得：a =±7．变式训练：（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【课后练习】一、选择题1.（2011湖南文8）已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3)【答案】B【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <2. （2011广东南海中学09届模拟）函数∑=-=20071)(n n x x f 的最小值为（ ）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006[解析] A ；根据绝对值的几何意义，∑=-=20071)(n n x x f 表示数轴上与数x 对应的点到数2007,,3,2,1 对应的点的距离之和，当此点对应于数1004时)(x f 取得最小值，为10041003)1003321(2)(min ⨯=++++= x f3.（2011湖南理8）设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 C D 【答案】D【解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得x =，因x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2x =时，||MN 达到最小.即2t =4.（2011天津文10）设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 【答案】D【解析】解()22x g x x <=-得220x x -->，则1x <-或2x >．因此()22x g x x ≥=-的解为：12x -≤≤．于是()222,12,2,12,x x x x f x x x x ⎧++<->=⎨---≤≤⎩或当1x <-或2x >时，()2f x >．当12x -≤≤时，2219224x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则()94f x ≥-， 又当1x =-和2x =时，220x x --=，所以()904f x -≤≤． 由以上，可得()2f x >或()904f x -≤≤，因此()f x 的值域是()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U ．故选Ｄ． 5．（2012湖南理8）已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为 A．B.C.D. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-====-.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++ ，min ()ba∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二、填空题6.（2011上海文14）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 【答案】[2,7]- 三、解答题821m =+xm7.（2011北京文18）已知函数()()xf x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e ==-. 8.（2011福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以101122aa +=⇒=； (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2210(6)3y x x =+--，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； ()()()()()()21062363046f x x x x x x ⎡⎤'=-+--=--⎣⎦，令/()0f x =得4x =，故函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当4x =时函数()f x 取得最大值(4)42f =答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 9.（2011湖南理20）如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈.E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时.（Ⅰ）写出y 的表达式（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.解析：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+. （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <≤时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩.(1)当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-. (2) 当1053c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c=. 10.（2011山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .【解析】（Ⅰ）因为容器的容积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r rππ-+24cr π,定义域为]20，（.（Ⅱ）因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<所以r =, 该容器的建造费用最小.。