2009年高考数学预测卷一(理科)
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009年高考安徽数学(理科)试题及参考答案
2009年高考安徽数学理科试题及答案第I 卷 (选择题 共50分)一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈−，则乘积ab 的值是（ ） （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15 （2）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=−<=<⎨⎬−⎩⎭则A ∩B 是（ ）（A ） 11232x x x ⎧⎫−<<−<<⎨⎬⎩⎭或 (B) {}23x x <<(C) 122x x ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭ (D) 112x x ⎧⎫−<<−⎨⎬⎩⎭ （3）下列曲线中离心率为62的是（ ）（A ）22124x y −= （B ）22142x y −= （C ）22146x y −= （D ）221410x y −=(4)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d（B ）p:a ＞1,b>1， q:()(10)xf x a b a =−≠>的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q:2x x =（D ）p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数 （5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18 （6）设a ＜b,函数2()()y x a x b =−−的图像可能是（ ）（7）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ） （A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34（8）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调区间是（ ）（A ）5[,],1212k k k Z ππππ−+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ−+∈ （D ）2[,],63k k k Z ππππ++∈ （9）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =−−+−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）（A ）21y x =− （B ）y x = （C ）32y x =− （D ）23y x =−+ （10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
09年全国高考数学试题——全国卷1(理科)含答案
09年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[u （A B ）中的元素共有 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1iZ ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i(3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
2009年全国高考理科数学试题(含答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,A B = ，{4,7,9}()U A B C AB =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()(U U UC A B C A C B=（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
2009年高考试题——(辽宁卷)数学理(全解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,kkn kn n P k C Pp k n -=-=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{|35},{|55}M x x N x x =-<≤=-<<，则集合M N ⋂＝(A ){|55}x x -<< (B ){|35}x x -<< (C ) {|55}x x -<≤ (D ) {|35}x x -<≤ (1)B 解析：M N ⋂={|35}x x -<<。
(2) 已知复数12z i =-，那么1z=()55A + ()55B - 12()55C i + 12()55D i - (2)D 解析：111212,125iz i i z-=+==+。
（3）平面向量a 与b 的夹角为060， (2,0),||1a b ==，则|2|a b +=（Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12 （3）B 解析：1cos ,2a b <>=，||2a =，||1b =，222(2)44a b a ab b +=++ 144214122=+⨯⨯⨯+=，|2|a b +=(4) 若圆C 且与直线0x y -=和40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=，则圆Cx y23-O 2π712π1112π的方程为（A ）()22(1)12x y ++-=（B ）22(1)(1)2x y -++= （C ）22(1)(1)2x y -+-=（D ）()221(1)2x y +++=(4) B 解析：（法一）设圆心为(,)a a -，半径为r ，|r ==，∴1,a r = （法二）由题意知圆心为直线0x y -=、40x y --=分别与直线0x y +=的交点的中点， 交点分别为（0，0）、（2，－2），∴圆心为（1，－1。
2009年北京高考数学真题及答案(理科)
2009北京高考数学真题（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、本大题每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 A ．33B ．1C ．2D ．3 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若5(12)2(,a b a b +++为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．6488．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
2009年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （AB ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知1iZ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（A ）4（B ）4（C ）4(D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（10）已知二面角α-l-β为600，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。
2009年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案
2009年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|﹣3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x≤5} D．{x|﹣3＜x≤5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B． C．4 D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程．【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．5．（5分）（2009•辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．6．（5分）（2009•辽宁）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．【点评】本题考查等比数列前n项和公式．7．（5分）（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．9．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，） B．[，）C．（，）D．[，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y 轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009•辽宁）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC 与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．3：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比．【解答】解：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH=ABtan30°=AB而BD=AB故DH=2BH于是V D﹣GAC=2V B﹣GAC=2V P﹣GAC故选C．【点评】本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题．12．（5分）（2009•辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间．二、填空题13．（5分）（2009•辽宁）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为1013h．【考点】分层抽样方法．【分析】由三个分厂的产量比，可求出各厂应抽取的产品数，再计算均值即可．【解答】解：从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为25，50，25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为=1013．故答案为：1013【点评】本题考查分层抽样和样本的均值，属基本题．再求均值时，要注意各部分所占的比例．14．（5分）（2009•辽宁）等差数列{a n}的前n项和为S n，且6S5﹣5S3=5，则a4=．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的前n项和的公式表示出S5和S3，然后把S5和S3的式子代入到6S5﹣5S3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a4的值．【解答】解：∵S n=na1+n（n﹣1）d∴S5=5a1+10d，S3=3a1+3d∴6S5﹣5S3=30a1+60d﹣（15a1+15d）=15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5解得a4=故答案为：【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．15．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2009•辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2009•辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．20．（12分）（2009•辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=．∵平面ABCD⊥平面DCED，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN==，∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（﹣1，1，﹣2）．又∵=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，∴cos（，）=•∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos•（2）假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，∴AB⊄平面DCEF．又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．又∵AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．21．（12分）（2009•辽宁）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列（2）第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，∵当X=0时表示四次射击都没有击中，∴P（X=0）==，∵当X=1时表示四次射击击中一次，P（X=1）==，∵当X=2时表示四次射击击中两次，∴P（X=2）==同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，∴X的分列为0 1 2 3 4P（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，，所求的概率为=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28【点评】本题考查离散型随机变量和相互独立事件的概率以及互斥事件的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布．22．（12分）（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．23．（12分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；证明题；分类讨论．【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a﹣1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a﹣1＜1时分类讨论函数的增减性；当a﹣1＞1时讨论函数的增减性．（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0即可得证．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1=1即a=2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．24．（10分）（2009•辽宁）选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；证明题．【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．25．（2009•辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．26．（2009•辽宁）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【点评】本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．。
2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．807．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6488．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为．11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；a2014=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选：D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解，∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．【考点】3I：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1]．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014= 0．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】16：压轴题．=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2014=0，故答案为：1，0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0），若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=1，c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵，且=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】8B：数列的应用．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2009年高考试题——数学理(四川卷)解析版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3V R = ()()()P A B P A P B =g g其中R 表示球的半径一、选择题： 1.设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =IＡ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
解析：由题)3,7(T ),5,5(-=-=S ，故选择C 。
解析2：由{|55},S x x =-<<{|73}T x x =-<<故{|53}S T x x =-<<I ，故选C ． ２.已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是 Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得3222log 2=⇒+=+a a ，故选择B 。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由22224lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=-，22(2)log 1f a a =+=+，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2(2)lim ()4x f f x →==，可得3a =．故选B ．３.复数2(12)34i i+-的值是 Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
2009年广东高考数学理科卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集U R =，集合{}212M x x =--和{}21,1,2N x x k k ==-=的关系的韦恩（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )第1题图A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由{}212M x x =--得{|13}M x x =-，{1,3,5,}N =则{1,3}M N =，有2个，选B.2.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()i a = ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出相关信息，求解出满足i 1n=最小正整数n 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()i i 1na ==，则最小正整数n 为4，选C.3.若函数()y f x =是函数(0,xy aa =>且)1a ≠的反函数，其图象经过点),,a a 则()f x = （ ）A.2log xB. 12log x C.12x D. 2x 【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点(),a a ，求解出反函数的方程.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()log ,a f x x =代入(),,a a 解得1,2a =所以()12log ,f x x =选B.4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=且()252523,n n a a n -=则当1n 时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）A.()21n n -B. ()21n + C. 2n D.()21n - 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出相关信息，先求出通项n a ，再利用对数函数化简，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由()252523nn a a n -=得222,0,n nn a a =>（步骤1） 则2,nn a = ()22123221log log log 1321,n a a a n n -+++=+++-=选C.（步骤2）5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C,选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60角，且12,F F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 （ ）A. 6B. 2C. 25D. 27【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()222312122cos 1806028,F F F F F =+--=所以327F =，选D.7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种 【测量目标】排列组合及其应用..【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法113223C C A 24,=若小张、小赵都入选，则有选法2223A A 12,=共有选法36种，选A.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是 （ ）第8题图A.在1t 时刻，甲车在乙车前面B.1t 时刻后，甲车在乙车后面C.在0t 时刻，两车的位置相同D.0t 时刻后，乙车在甲车前面 【测量目标】函数图象的应用. 【考查方式】给出相关图象，再求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0100t t ～、～与x 轴所围成图形面积大，则在01t t 、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 12题）9.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,,n a a a 则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】12na a a n+++ 平均数【试题解析】第一次当i =1时,1;s a =第二次当i =2时,12;2a a s +=最后输出12+;na a a s n++=s =平均数.10.若平面向量,a b 满足1,+=+a b a b 平行于x 轴，()2,1,=-b 则=a .【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算. 【难易程度】中等【参考答案】()1,1-或()3,1-【试题解析】设(,)x y =a ，则(2,1)x y +=+-a b ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，（步骤1）解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以(1,1)=-a 或(3,1)=-a .（步骤2） 11.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程. 【难易程度】中等【参考答案】221369x y += 【试题解析】3,212,6,3,2e a a b ====则所求椭圆方程为22 1.369x y += 12.已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0,1,EX DX ==则a = ，b = ．第12题图【测量目标】离散型随机变量的分布列.【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】51,124【试题解析】由题知2221111,0,1121,12612a b c a c a c ++=-++=⨯+⨯+⨯= 解得51,124a b ==. （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解. 【难易程度】较难 【参考答案】1-【试题解析】直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是)1(22--=-x ky ，该直线的斜率为2k-，（步骤1）直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）化为普通方程是12+-=x y ，该直线的斜率为2-，（步骤2）则由两直线垂直的充要条件，得()212k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 1.k =-（步骤3） 14．（不等式选讲选做题）不等式112x x ++的实数解为 ．【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】{x |32x-且2-≠x }【试题解析】112xx++1220x xx⎧++⎪⇔⎨+≠⎪⎩22(1)(2)2x xx⎧++⇔⎨≠-⎩2302xx+⎧⇔⎨≠-⎩解得32x-且2-≠x.所以原不等式的解集为{x|32x-且2-≠x}. 15．（几何证明选讲选做题）如图，点,,A B C是圆O上的点，且4,45AB ACB=∠=，则圆O的面积等于．第15题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.【难易程度】容易【参考答案】8π【试题解析】解法一：连结,,OA OB则902,AOB ACB∠==∠（步骤1）所以AOB△为等腰直角三角形，又4AB=，（步骤2）所以，圆O的半径22R=O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=（步骤3）解法二：设圆O的半径为R，在ABC△中，由正弦定理，得42sin45R=，解得22R=（步骤1）所以，圆O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）已知向量(sin,2)θ=-a与(1,cos)θ=b互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若10πsin()102θϕϕ-=<<，求cosϕ的值．【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵向量()sin,2θ=-a与()1cosθ，b=互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-=a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ ② ① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2） 由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ. 故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-<（步骤5）则()()2310cos 1sin ,10θϕθϕ-=--=（步骤6）()()()2cos cos cos cos sin sin .2ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7） 17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0~50 51~100 101~150 151~200 201~250 251~300 >300 级别 I II 1III2III1IV2IVV状况 优 良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染xy67 xy68xy69xy70xy71对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知77578125,2128,==32738123,18253651825182591259125++++=365735=⨯)第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得327385011825365182518259125x ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭（步骤1）又 9125123912581825318257365218253=++++ 所以 182501199125123501=-=x .（步骤2） （2）一年中空气质量为良的天数为 1195018250119365=⨯⨯（天）；（步骤3） 一年中空气质量为轻微污染的天数为 100503652365=⨯⨯（天）；（步骤4） （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是21933655P ==，（步骤5） 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B （7，53） 7733()C 155kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（k =0,1,2,…,7）（步骤6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A ，则)1()0(1)(=-=-=ξξP P A P =-1070733C 155⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭161733C 155⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6752537521⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-=78125766537812513441281522121767=+-=⨯+-.（步骤7） 18．（本小题满分14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F G 、分别是棱111,C D AA 的中点．设点1,1E G 分别是点,E G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG ⊥平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.第18题图【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系.【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解【难易程度】较难【试题解析】（1）依题得所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111Rt Rt E FG DG E DE FG S S S =+△△四边形221212221=⨯⨯+⨯⨯=，（步骤1） 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴111111233E DE FG DE FG V S EE -==四边形.（步骤2）（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E ,)1,0,0(1G ，又因为)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，（步骤3） ∴10(1)10FG FE =+-+=，110(1)10FG FE =+-+=， 即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，（步骤4） 又1FE FE F =，∴⊥1FG 平面1FEE .（步骤5）第18(2)题图（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ， 则111111cos ,6E G EA E G EA E G EA<>==（步骤6） 设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ.（步骤7）19.（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题. 【考查方式】给出了抛物线方程与直线方程，利用公式、定理求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线C 与直线l 的联立方程组⎩⎨⎧=+-=022y x x y ,得⎩⎨⎧=-=1111y x ,⎩⎨⎧==4222y x ,（步骤1）又A B x x <，所以点,A B 的坐标分别为)4,2(),1,1(B A -（步骤2） ∵点Q 是线段AB 的中点∴点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛25,21Q （步骤3）∵点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．∴2s t = ，即),(2s s P ，且21<<-s （步骤4） 设线段PQ 的中点为(),M x y ,则点M 的轨迹的参数方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2252212s y s x （s 为参数，且21<<-s ）；消去s 整理，得454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x所以，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x ；（步骤5）（２)曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=可化为()()222572⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-y a x ， 它是以(),2G a 为圆心，以57为半径的圆，（步骤6）设直线:20l x y -+=与y 轴相交于点E ，则E 点的坐标为()0,2E ； 自点A 做直线:20l x y -+=的垂线，交直线2y =于点F ，在Rt △EAF 中，45,AEF ∠=2=AE ，所以2=AF ，∵257<， ∴当0<a 且圆G 与直线l 相切时，圆心G 必定在线段FE 上，且切点必定在线段AE 上，（步骤7） 于是，此时的a 的值就是所求的最小值. 当圆G 与直线:20l x y -+=相切时 571122=++-a ， 解得527-=a ，或者527=a （舍去） 所以，使曲线G 与平面区域D 有公共点的a 的最小值是527-．（步骤8）第19(2)题图20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图象与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点()0,2Q 2，求m 的值； （2）()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解. 【难易程度】较难【试题解析】设二次函数()y g x =的解析式为)0()(2≠++=a c bx ax x g则它的导函数为)0(2)(≠+='a b ax x g ，（步骤1）∵函数)0(2)(≠+='a b ax x g 的图象与直线x y 2=平行， ∴22a = ，解得1a =,所以c bx x x g ++=2)(，b x x g +='2)(（步骤2）∵()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠∴⎩⎨⎧-=-=-'1)1(0)1(m g g ，即⎩⎨⎧-=+-=+-1102m c b b ，解得⎩⎨⎧==mc b 2.所以m x x x g ++=2)(2，()()g x f x x ==2++xm x （0≠x ）（步骤3）（1）设点P ⎪⎭⎫⎝⎛++2,x m x x （0≠x ，0≠m ）为曲线()y f x =上的任意一点则点P 到点(0,2)Q 的距离为m x m x x m x x PQ 2222222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=（步骤4）22m当且仅当222m x =时，等号成立，此时min PQ =m m 222+（步骤5）又已知点P 到点(0,2)Q 2222=+m m两边平方整理， 得12=+m m当0>m 时，12=+m m ，解得12-=m当0<m 时，12=+-m m ，解得12--=m 所以m 的值为12-或者12--；（步骤6）（2）函数令kx x f x h -=)()(=2)1(2++-=-++xmx k kx x m x （0≠x ）令0)(=x h ，即02)1(=++-xmx k （0≠x ），整理，得02)1(2=++-m x x k （0≠x ），①（步骤7）函数kx x f x h -=)()(存在零点，等价于方程①有非零实数根，由0≠m 可知，方程①不可能有零根，当1k =时，方程①变为02=+m x ，解得02≠=mx ，方程①有唯一实数根， 此时， 函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；（步骤8）当1k ≠时，方程①根的判别式为)1(44k m --=∆，0≠m令)1(44k m --=∆=0，解得mk 11-=，方程①有两个相等的实数根m x x -==21，（步骤9）此时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 令44(1)0m k ∆=-->，得()11m k -<,当0m >时，解得mk 11->，当0m <时，解得mk 11-<， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根kk m x ---+-=1)1(111，k k m x -----=1)1(112此时， 函数kx x f x h -=)()(存在两个零点k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112（步骤10）综上所述，函数()y f x kx =-存在零点的情况可概括为当1k =时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；当mk 11-=时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 当0m >且m k 11->，或者0m <且mk 11-<时，函数kx x f x h -=)()(存在两个零点 k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112.（步骤11）21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==,从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -<< 【测量目标】数列的实际应用，间接证明.【考查方式】利用圆锥曲线性质求通项公式，放缩法等求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-，所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆， 切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，联立⎩⎨⎧=+-+=02)1(22y nx x x k y n ，消去y 整理，得 0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，①（步骤1）222222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=∆，0>n k 令0=∆，解得1222+=n n k n， 12+=n n k n （步骤2）此时，方程①化为012)2122()121(2222=++-++++n n x n n n x n n整理，得[]0)1(2=-+n x n ，解得1+=n n x x ，（步骤3） 所以121)11(12++=+++=n n n n n n ny n∴数列}{n x 的通项公式为1+=n nx x数列}{n y 的通项公式为121++=n n ny n .（步骤4）（２）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n n x x n n ，212n n -=<=135211352113521246235721n n n x x x x n n ---∴=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯+ =121+n =nn x x +-11（步骤5）∵121+=n y x nn=n n x x +-11，又因为π043<< 令x y x n n =，则π04x <<， 要证明n n n n y x y x sin 2<，只需证明当π04x <<时，x x sin 2<恒成立即可. （步骤6）设函数x x x f sin 2)(-=，π04x <<则x x f cos 21)(-='，π04x <<（步骤7）∵在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上x x f cos 21)(-='为增函数，∴当π04x <<时，π()1104f x x '=<=，（步骤8）∴x x x f sin 2)(-=在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减函数，∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=<f 对于一切π04x <<恒成立，（步骤9）∴x x sin 2<，即n n x x +-11=n n nny x y x sin 2< 综上，得13521n n nxx x x x y -<<（步骤10）。
2009年江西高考数学理科卷带详解
2009年高考理科 数学卷（江西）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()()211i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由纯虚数概念得：210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩，故选A.2.函数ln 1x y +=（ ）A.(4,1)--B.(4,1)-C.(1,1)-D.(]1,1- 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解，直接得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩141x x >-⎧⇒⎨-<<⎩，(步骤1) 11x ⇒-<<.故选C.（步骤2）3.已知全集U =AB 中有m 个元素，()()UU A B 中有n 个元素．若A B 非空，则A B的元素个数为 ( ) A.mn B.m +n C.n m - D.m n - 【测量目标】集合的含义，集合的基本运算. 【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()UU UA B A B ⎡⎤=⎣⎦，A B m n ∴=-，故选D4.若函数()π()1cos ,(0)2f x x x x=+，则()f x 的最大值为 （ ）A.1B.2 1 2 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域. 【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()1cos cos f x x x x x =+=+π2cos 3x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π(0)2x.（步骤1） 当π3x =时，ππ()2cos 2cos 0233f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选B.（步骤2） 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点()1,(1)g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率为 （ ） A.4 B.0.25- C.2 D.0.5- 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】利用导数求解切线方程，进而求解切点处的斜率. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】()()2f x g x x ''=+，（步骤1） (1)2,(1)(1)214g f g ''∴==+⨯=，故选A.（步骤2）6.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ( )C.12D.13【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】求出交点坐标，由角度关系确定离心率. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，又1260F PF ∠=，(步骤1)21222122tan PF c ac F PF b PF b a∴∠===2222231ac ea c e===--,（步骤2） 213e ∴=或23e =（舍去），33e ⇒=.（步骤3）第6题图7.()1nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n 的值可能为 （ ） A.a =2,b =1-,n =5 B.a =2-,b =1-,n =6 C.a =1-,b =2,n =6 D.a =1,b =2,n =5 【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用展开式中的常数项求参数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()5512433,1322nnb a +==+==，（步骤1）1,2,5a b n ⇒===.（步骤2）8．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为 （ ） A.470 B ．490 C ．495 D ．510【测量目标】数列的前n 项和.【考查方式】由通项公式化简求得结果. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222π2π1cos 1cos 2π33cos 223n n n n n ⎛⎫+- ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 2π32π3T ∴==,故数列{}n a 的最小正周期为3，（步骤1） 则2222223012453622S ⎛⎫⎛⎫++=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2222829302⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()()221010211323153922k k k k k k ==⎡⎤-+-⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑91011254702⨯⨯=-=.（步骤2）9.如图，正四面体ABCD 的顶点,,A B C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误的为 （ ）第9题图A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 【测量目标】二面角，线面平行的判定. 【考查方式】由题设已知条件，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】将原图补为正方体B 选项错误，故选B.10.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A.3181 B.3381 C.4881 D.5081【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】根据题意，先计算没有获奖的概率，再计算获奖即可. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】没有获奖的概率：5532331381P ⨯-==,(步骤1) ∴能获奖的概率为：150181P P =-=,故选D.（步骤2） 11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,t t t t ，则下列关系中正确的为 （ ）A BC DA.1432t t t t >>>B.3124t t t t >>>C.4231t t t t >>>D.3421t t t t >>> 【测量目标】几何概型的新定义.【考查方式】计算出各个选项的面积即可得出答案. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，12322,π,3t t t ∴===，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，423t ∴=，则4231t t t t >>>，选C.12.设函数()2()0f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点()(),(),s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ( ) A.2- B.4- C.8- D.不能确定 【测量目标】函数定义域求参数范围.【考查方式】由韦达定理、正方形性质直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，函数)2()0f x ax bx c a =++<的两根分别为：214b b ac x -+-=和224b b acx ---=，因为区域为正方形，12max ()x x f x ∴-=，222444b ac ac b a a--=24a a a ⇒=-=-或0a =（舍去），故4a =-. 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上. 13．已知向量()()()3,1,1,3,,7k ===a b c ，若()-a c b ，则k =【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】向量平行，对应坐标成比例即可得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】()3,6k -=--a c ，3613k --⇒=， 315,5k k ⇒=⇒=.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 【测量目标】三棱锥的体积.【考查方式】利用它球面距离进行求解即可. 【难易程度】中等 【参考答案】8 【试题解析】,A B 两点的球面距离为π，故90,AOB ∠=又OAB △是等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC △的外接圆半径为3，（步骤1）O 到平面ABC 的距离:d ==∴正三棱柱高3h =，又ABC △的面积S =，（步骤2） ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积8V Sh ==.（步骤3）15()2k x +的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则k = ．【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】画出图象，数形结合，求解. 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，曲线y =x 轴上半周的半圆，（步骤1）()2k x +(如图)，此时有：3b =.又2b a -=，1a ⇒=.（步骤2）在1a =处，半圆与直线相交，y ∴=(，（步骤3）将点(代入直线中：k =（步骤4）第15题图 16．设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=()02πθ,对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点;B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上;C ．对于任意整数()3n n，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上;D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 【测量目标】直线方程，点到直线的距离公式.【考查方式】利用点到直线的距离公式、n 边形内切性质直接进行计算. 【难易程度】中等 【参考答案】,,A B C 【试题解析】()cos 2sin 1x y θθ+-=，∴点()0,2P 到M 中每条直线的距离:221cos sin d θθ==+，即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中所有直线上与经过一个定点（0,2）, A 正确；（步骤1） 又因(2,0)点不存在任何直线上,B 正确 ；（步骤2）对任意n ≥3,存在n 正边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；（步骤3） M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错.（步骤4）三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（1）设函数e ()xf x x=，求函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，求不等式()()1()0f x k x f x '+->的解集． 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，解决不等式问题.【考查方式】求函数导数，判断单调区间，分类讨论，来求解参数解集. 【难易程度】中等【试题解析】（1）22111()e e e x x xx f x x x x-'=-+=，由()0f x '=1x ⇒=.(步骤1) 当0x <时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '<；(步骤2) 当1x >时，()0f x '>.（步骤3）()f x ∴的单调增区间是[)1,+∞； 单调减间是()(],00,1-∞.（步骤4）（2）由()221()1()e x x kx kx f x k x f x x -+-'+-==()()211e 0xx kx x --+>， ()()110x kx ⇒--<.（步骤5）当01k <<时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（步骤6） 当1k =时，解集为：∅；（步骤7） 当1k >时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（步骤8）18．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是50%若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． (1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望()E ξ．【测量目标】离散型随机变量的分布列及数学期望. 【考查方式】分布列及数学期望的求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.1(0)64P ξ==, 3(5)32P ξ==, 15(10)64P ξ==, 5(15)16P ξ==, 15(20)64P ξ==, 3(25)32P ξ==, 1(30)64P ξ==.(步骤1)ξ0 5 10 15 20 25 30P164 332 1564 516 1564 332 164（步骤2） （2）31551531()5101520253015326416643264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ∴数学期望()15E ξ=.（步骤3）19．△ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+,1sin()cos 2B AC -==.（1）求,A C ；（2）若33ABC S =+△,求,a c . 【测量目标】两角差的正弦，正弦定理.【考查方式】由题设等式，进行化简，进而求解答案. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)sin sin tan cos cos A B C A B +=+，sin sin sin cos cos cos C A BC A B+⇒=+, sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B ∴+=+sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B ∴-=-，(步骤1)sin()sin()C A B C ⇒-=-,C A B C -=-或πC A -=－()B C -(不成立)，即2C =A +B ,π3C ⇒=,2π3A B ⇒+=①.（步骤2） 又1sin()cos 2B A C -==，则π6B A -=②或5π6B A -=（舍去）∴①②联立得：π5π412A B ==，.（步骤3）(2)162sin 3328ABC S ac B ac ===+△（步骤4） 由正弦定理得：sin sin a c A C =,23⇒=，解得，22,3a c ==（步骤5）20． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =4，AB =2. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.第20题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用. 【考查方式】由球的性质、等面积法，空间向量运算求解. 【难易程度】较难【试题解析】方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC . 又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，（步骤1）又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，则CD ⊥AM ，∴AM ⊥平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD .(步骤2)（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得，22122,232AM PD MC MD CD ===+=,（步骤3） 则1262ACM S AM MC ==△设D 到平面ACM 的距离为h ，D ACM M DCA V V --=,又118323M DCA DCA V S PA -=⨯=△,182633h ⇒⨯=,263h ⇒=.（步骤4） 设所求角为θ，则6sin 3h CD θ==6arcsin 3θ∴=.（步骤5） （3）可求得PC =6.因为AN ⊥NC ，由PN PA PA PC =，得83PN =,（步骤6）59NC PC ∴=,故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59.（步骤7） 又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等， 由（2）可知所求距离为5106927h =.(步骤8) 方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0)A B C ，(0,0,4)P ，(0,4,0),(0,2,2)D M ，（步骤3） 设平面ACM 的一个法向量(),,x y z =n ，由,AC AM ⊥⊥n n 可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则()2,1,1=-n .（步骤4）设所求角为α，则46sin 326CD CD α-===⨯n n，6arcsin 3α⇒=.∴所求角的大小为6arcsin3.（步骤5）第21题图（3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC △中，2PA PN PC =,（步骤6）所以83PN =,则10539NC NC PC PN PC =-==，，（步骤7） 所以所求距离等于点P 到平面ACM 距离的59，设点P 到平面ACM 距离为h ，则263AP h ==n n ，（步骤8）∴所求距离为5106927h =.（步骤9）21已知如图，点()100,P x y 为双曲线22221(8x y b b b-=为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P . (1)求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程;(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E 上任取一点()()111,0Q x y y ≠,直线,QB QD 分别交y 轴于,M N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.第21题图【测量目标】圆锥曲线的轨迹方程，双曲线的简单几何性质，圆锥曲线中的定点问题，间接证明.【考查方式】由直线方程求解轨迹方程，进而利用椭圆性质求解定点. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由已知得()23,0F b ，08,3b A y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线2F A 的方程为：()033y y x b b=--，（步骤1） 令0x =得，09y y =，即()200,9P y ，（步骤2） 设(),P x y ，则00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22002218x y b b -=得，222241825x y b b -=，⇒22221225x y b b -=.P ∴的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=.（步骤3） （2）在22221225x y b b-=中，令0y =得222x b =，则不妨设()),0,,0B D ，于是：直线QB 的方程为:)y x =，（步骤4）直线QD 的方程为: )y x =.（步骤5）则,0,M N ⎛⎛ ⎝⎝则以MN为直径的圆的方程为20x y y ⎛⎫⎛⎫++=⎝，（步骤6） 令0y =得，222122122b y x x b =-，而()11,Q x y 在22221225x y b b -=上， 则222112225x b y -=.（步骤7） 5x b ∴=±，即以MN 为直径的圆过定点()()5,0,5,0b b -.22．各项均为正数的数列{}n a ，12,,a a a b ==，且对满足m +n =p +q 的正整数m ,n ,p ,q 都有()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.（1）当a =12,b =45时，求通项{}n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1na λλ.【测量目标】数列的通项公式，间接证明.【考查目标】利用数列性质、等式关系求解通项，利用函数定义间接证明范围. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）由()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得，()()()()1211211111n n n n a a a a a a a a --++=++++，将1214,25a a ==代入化简得：11212n n n a a a --+=+.（步骤1） 11111131n n n n a a a a ----∴=++，故数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列. 1113n n n a a -∴=+，即3131n n n a -=+.（步骤2） （2）证明:由题设()()11m nm n a a a a +++的值仅与m n +有关，记为m n b +，则()()()()1111111n nn n n a a a a b a a a a +++==++++，（步骤3）函数()()()()011a xf x x a x +=>++，则在定义域上有:1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪<<⎪+⎩， 故对1,()n n b g a *+∈N 恒成立. （步骤4）又()222()1nn n a b ga a =+，注意到10()2g a <，解上式得， na =，取λ=1na λλ.（步骤5）。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。
2009年辽宁高考数学理科卷带详解
2009 年全国统一考试（辽宁卷）理科数学一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） .1.已知集合 M x3x , 5 , N x5x 5 则M N( ),A.x 5 x5B.x3x5C. x 5 x , 5D. x 3 x , 5【测量目标】集合的基本运算 .【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围.【难易程度】容易【参考答案】 B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解 .2.已知复数z 12i，那么1=() zA. 5 2 5 iB. 5 2 5 iC. 1 2i D.1 2i55555555【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值.【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】111(11 2i2i)12i12i .z2i2i)(1122553.平面向量a与b的夹角为60， a(2,0)， b 1 则a2b()A.3B. 2 3C. 4D. 12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模.【难易程度】容易【参考答案】 Ba2, a 2a24a b4b244 2 1 cos60412 ,【试题解析】由已知2b∴a 2b 2 3.4. 已知圆 C 与直线x y0 及 x y 40都相切，圆心在直线x y 0 上，则圆 C 的方程为() A. ( x 1)2( y 1)22 B. ( x1)2( y 1)22C. (x 1)2( y 1)22D. ( x1)2( y1)22【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程【难易程度】容易【参考答案】B.【试题解析】圆心在x y 0 上,排除C、D,再结合图象,或者验证 A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可 .5.从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ) A.70 种 B. 80 种 C. 100 种 D.140 种【测量目标】排列组合 .【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】直接法：一男两女,有C15C42＝ 5×6＝ 30 种 ,两男一女 ,有C52C14＝ 10×4＝40种 ,共计70 种.间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有 C53＝10种 ,都是女医生有C14＝ 4 种,于是符合条件的有 84－ 10－ 4＝ 70 种 .6.设等比数列a n的前 n 项和为 S n，若S63,则S9=() S3S6A. 278D.3 B. C.33【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设公比为q,则 S6(1 q3 )S31q33q3 2 .S3S3S9 1 q3q6 1 2 4 7于是1 q312.S367.曲线yx(1,1) 处的切线方程为()在点x 2A. y x2B. y3x2C.y2x3D. y2x 1【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程.【难易程度】中等【参考答案】 Dx 2 x22 ,当 x1时切线斜率为 k2 .【试题解析】 y2)2( x 2)( x8.已知函数 f ( x) A cos(xπ 2 ( )) 的图象如图所示， f ( )，则 f 0)( =23第 8 题图2 2 1 1A.B.C.D.w.w.w.k3322【测量目标】函数 yAsin( x) 的图像与性质 .【考查方式】给出函数 yA sin( x) 的图像，运用其性质求解未知数 .【难易程度】中等【参考答案】 B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π f (2π 2π π 7π 于是 f (0) ) ,注意到与关于对称333212所以2ππ 2f ()f ( ).3231 9.已知偶函数 f ( x) 在区间0, ) 单调增加，则满足 f (2 x 1) f () 的 x 取值范围是3（ ）1 2B.1 21 2 D.1 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. ( ,),3 C. ( ,)2 ,3 33 2 33【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】 A【试题解析】由于f ( x) 是偶函数 ,故 f ( x) f ( x ) ∴得 f ( 2x 1) f (1 ) ,再根据 f ( x) 的单11 2 3调性得 2x解得13x.3310.某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据 a 1 ， a 2 ， ...a N ，其中收入记为正数，支出记为负数 .该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10 题图A. A0,V S TB. A0,V S TC. A0,V S T w.w.w.k.s.5.u.c.o.mD. A0,V S T【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】月总收入为S,因此A0 时归入S,判断框内填 A0 支出T为负数,因此月盈利V S T .11.正六棱锥 P－ABCDEF 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－GAC 与三棱锥P－GAC体积之比为 ()A. 1:1B. 1: 2C. 2 :1D. 3: 2【测量目标】锥的体积 .【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比.【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】由于G 是 PB 的中点 ,故 P－GAC 的体积等于 B－GAC 的体积 .在底面正六边形ABCDEF 中BH AB tan 303AB 而BD3AB 故DH＝2BH3于是22VD GACVB GACVP GAC第 11 题图12.若x1满足2x2x 5 ,x2满足 2x2log 2 ( x 1) 5 , x1 x2()5B.37D.4A. C.22【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和 .【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】由题意2x2x5①2x2log 2 ( x1)5②（步骤 1）所以 2x52x , x log(52x) 即 2x2log2(52x ) （步骤2）11211令 2x172t ,代入上式得 72t2log 2 (2t 2)22log 2 (t1)52t2log 2 (t1) 与②式比较得 t x2于是 2 x17 2x2（步骤3）x17x2,故选 C.（步骤 4）213.某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1： 2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h， 1032h，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为_________h.【测量目标】分层抽样 .【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案.【难易程度】容易【参考答案】 1013【试题解析】x 98011020210321.4101314.等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 6S55S35, 则 a4.【测量目标】数列的通项公式a n与前 n 项和 S n的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等【参考答案】131n(n【试题解析】∵ S n na11)d ∴S55a110d , S3 3a13d .2∴ 6S55S330a160d (15a115d ) 15a145d 15(a13d )15a4.∵ 6S5 5S3 5, 故a41 . 315.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为m 3. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第15 题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于 1 ×2×4×3＝4.616.已知F是双曲线x2y21 的左焦点， A(1,4), P 是双曲线右支上的动点，则PF PA 的412最小值为.【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值.【难易程度】中等【参考答案】 9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F (4,0) ,于是由双曲线性质PF PF2a 4 而 PA PF ⋯ AF5两式相加得 PF PA ⋯9,当且仅当A, P, F三点共线时等号成立.17.（本小题满分 12 分）如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，，B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75 ， 30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为60 ， AC 0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B， D 的距离（计算结果精确到0.01km，2 1.414，6 2.44）第 17 题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题 .【难易程度】中等【试题解析】在△ABC 中， DAC30 ,ADC 60 DAC 30 . （步骤1 ）所以CD AC 0.1 又 BCD180 60 6060 ，（步骤 2）故 CB 是 △ CAD 底边 AD 的中 垂 线 ， 所 以 BDBA , （ 步 骤 3 ） 在 △ ABC 中 ，A BA C即s i n B C A s i n A B CAC sin 603 263 26AB20（步骤 4）因此， BD0.33km .故 B ，D 的距离sin1520约为 0.33km. （步骤 5）18.（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为 AB ， DF 的中点 .（ 1）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（ 2）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第 18 题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系 .【难易程度】较难【试题解析】（ 1）解法一：取 CD 的中点 G ，连接 MG ， NG.设正方形 ABCD ， DCEF 的边长为 2，则 MG ⊥CD ， MG =2， NG2 （步骤 1）因为平面 ABCD ⊥平面 DCED ，所以 MG ⊥平面 DCEF ，可得∠ MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角 . （步骤 2）因为 MN 6 ，所以 sin MNG6为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值.（步骤 3）3解法二：设正方形 ABCD ，DCEF 的边长为2，以 D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ， DA 为 x, y, z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤 1）则 M（ 1,0,2） ,N(0,1,0),可得MN( 1,1,2) （步骤2）MN DA6又 DA (0,2,2) 为平面DCEF的法向量，可得 cos(MN , DA )·MN DA3所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos MN , DA 6（步骤 3）3第18 题 (1)图(2)假设直线 ME 与 BN 共面，则 AB 平面 MBEN ，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF .又AB//CD ，所以 AB //平面 DCEF .而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB //EN.又 AB//CD//EF ，所以 EN//EF，这与 EN EF=E 矛盾，故假设不成立.所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线 .19.（本小题满分 12 分）某人向一目射击1.该目标分为 3 个不4 次，每次击中目标的概率为3同的部分，第一、二、三部分面积之比为1: 3: 6 .击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比 .（ 1）设 X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（ 2）若目标被击中 2 次， A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求P( A)【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题.【难易程度】中等【试题解析】（ 1）依题意 X 的分列为X 0 1 2 3 4P16 32 24 8 18181818181（ 2）设A 1 表示事件 “第一次击中目标时，击中第i 部分 ”， i1,2 .B 1 表示事件 “第二次击中目标时，击中第i 部分 ”,i1,2依题意知 P （ A 1） =P(B 1)=0.1 ， P （A 2） =P(B 2)=0.3，（步骤 1）A A 1B 1 A 1 B 1 A 1B 1A 2B 2 ,（步骤 2）所求的概率为 P( A)P( A B ) P( A B ) P （A B ） P( A B )1 11 11 122= P( A 1 B 1 )P( A 1) P( B 1) P （A 1 )P(B 1 ) P( A 2 ) P( B 2 )= 0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28 . （步骤 3）20.（本小题满分 12 分）已知，椭圆C 过点 A (1,3) ，两个焦点为 ( 1,0),(1,0) .2（ 1） 求椭圆 C 的方程； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ 2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数， 证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 .【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系 .【难易程度】较难【试题解析】 (1)由题意，c=1,可设椭圆方程为191（，步骤 1）解得 b23 ，b231 b2 4b 24（舍去）所以椭圆方程为x2y241. （步骤 2）3(2) 设直线 AE 方程为： yk (x 1)3，代入x2y2241得3(3 4k 2 ) x24k (3 2k )x4(3k )2120 （步骤 3）2设 E(x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1,3) 在椭圆上，所以24( 3 k) 2123 x F2, y E kx E 4k 2k （步骤 4） 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率3 24(3k )2123 互为相反数，在上式中以k 代 k ，可得 x F2y Ekx E3 4k2k2（步骤 5）所以直线EF 的斜率 k EFy F y E k (x Fx E ) 2k 1x FxE x Fx E2即直线 EF 的斜率为定值，其值为1 （步骤 6）.221.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)1 x2 ax ( a1)ln x,a1 .2（ 1）讨论函数 f ( x) 的单调性； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ 2）证明：若 a 5 ，则对任意 x 1 ， x 2(0, ) ， x 1 x 2 ，有f ( x 1 )f ( x 2 ) 1.x 1x 2【测量目标】函数的单调性 .【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性.【难易程度】较难【试题解析】 (1) f ( x) 的定义域为 (0,) . f ( x) x aa 1 x 2ax a1xx(x 1)( x 1 a)（步骤1）x（ i ）若 a 11 即 a2 ,则 f (x)(x1)2) 单调增加 . （步骤 2）x故 f ( x) 在 (0,(ii)若 a 1 1 , , a, x (a 1,1) 时， f ( x) 0 ; （步骤 3 ）而 a 1 故 12 则当当 x(0, a 1)及 x (1, ) 时， f ( x)故 f ( x) 在 ( a 1,1)单调减少，在 (0, a 1),(1, ) 单调增加 . （步骤 4）(iii) 若 a 11 ,即 a2 ,同理可得 f ( x) 在 (1,a 1) 单调减少， 在 (0,1),( a 1,) 单调增加 . （步骤 5）(2) 考虑函数 g( x)f ( x) x1 x2 ax (a 1)ln xx （步骤 6）2则 g ( x)x (a1)a1⋯2 xga 1(a1) 1 ( a 1 1)2（步骤 7）xx由 于 1 a 5 , 故 g (x)0 ， 即 g( x) 在 (4, +∞)单 调 增 加 ， 从 而 当 x 1 x 2 0 时 有g(x1 )g (x2 ) 0 ，（步骤8 ）即f ( x1) f ( x2 )x1x20 ，故f (x1 ) f (x2 )x11 ，当x20 x1x2f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x1)1.（步骤9）时，有x2x2x1x122.（本小题满分 10 分）已知△ABC中， AB=AC, D 是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点 A,C 重合），延长 BD 至 E.(1)求证： AD 的延长线平分CDE ；(2) 若BAC= 30，△ABC中 BC边上的高为2+ 3 ，求△ABC 外接圆的面积.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第 22 题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设 F 为 AD 延长线上一点∵A， B， C，D 四点共圆，∴∠（步骤 1）又AB=AC∴∠ ABC=∠ ACB,且∠ ADB =∠ACB ,∴∠ ADB=∠ CDF ,.CDF= ∠ ABC （步骤 2）对顶角∠ EDF =∠ ADB, 故∠ EDF =∠ CDF ,即 AD 的延长线平分∠CDE . （步骤 3）第22 题图(2)设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC.连接 OC, OA 由题意∠ OAC=∠OCA=15 , ∠ACB= 75 ,∴∠ OCH = 60 .（步骤 4）设圆半径为 r,则 r+33 ,a 得 r=2, 外接圆的面积为4 π.（步骤 5）r=2+223.（本小题满分 10分）选修4－ 4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos(π) =1，M,N分别为C与x 3轴， y 轴的交点 .（ 1）写出 C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ 2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 .【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（ 1）由cos(π13)1得 ( cos sin ) 1（步骤1）322从而 C 的直角坐标方程为 1 x3y 1即x3y 2 （步骤2）220 时，2,M (2,0)π=，N (,)3所以时， 2 3所以23π （步骤）2332（ 2） M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为(0,23) （步骤4）3所以 P 点的直角坐标为(1,323π) ,则 P 点的极坐标为(,)336所以直线OP 的极坐标方程为π,(,) （步骤5）624.（本小题满分 10 分）设函数f ( x)| x1| | x a | .(1)若a1, 解不等式 f ( x) ⋯3；(2)如果x R , f ( x)⋯2 ,求a的取值范围 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【测量目标】不等式 .【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当a 1 时， f ( x)x1x1.由 f ( x)⋯3得x 1 x 1 ⋯3 （步骤1）1 当x , 1 时，不等式化为 1 x1x ⋯3即2x ⋯ 3（步骤 2）○2 当x 1 时，联立不等式组x1解得其解集为3 ，，综上得 f ( x) ⋯3 的解集+○ f ( x) ⋯32为33,,.（步骤 3）22(2)若a1, f ( x) 2 x 1 ，不满足题设条件.2x a1, x ,a,1 若a 1 , f ( x)1a, a x1, f ( x)的最小值为 1 a （步骤4）○2x(a1), x ⋯12x a1, x , 1,2若a1, f (x)1a,1x a, f (x) 的最小值为 a1（步骤5）○2x(a1), x ⋯ a所以x R，f(x)⋯ 2的充要条件是 a 1⋯2，从而a的取值范围为（- ，13，）.（步骤6）。
2009年陕西省高考数学试卷(理科)及答案
2009年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1]D．（﹣1，0]2．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．（5分）函数的反函数为（）A．B．C．D．4．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．25．（5分）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣26．（5分）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），则的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣27．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．9．（5分）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．16210．（5分）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0]D．（﹣2，4）12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=S3=12，则=．14．（4分）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人．15．（4分）如图球O的半径为2，圆O 1是一小圆，，A、B是圆O1上两点，若A，B 两点间的球面距离为，则∠AO1B=．16．（4分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．（12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：ξ0123p0.10.32a a（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．20．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．21．（12分）已知双曲线C的方程为=1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求△AOB面积的取值范围．22．（14分）已知数列{x n}满足x1=，x n+1=，n∈N*；（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．2009年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1]D．（﹣1，0]【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故选A2．（5分）（2009•陕西）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D3．（5分）（2009•陕西）函数的反函数为（）A．B．C．D．【分析】从条件中函数式数反解出x，再将x，y互换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可．【解答】解：，逐一验证，知B正确．故选B．4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．2【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．5．（5分）（2009•陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【分析】首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．【解答】解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．6．（5分）（2009•陕西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），则的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】通过给x赋值，0得到两等式，两式相减即得．【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0两式相减得=﹣1故选项为C7．（5分）（2009•陕西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．8．（5分）（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故选A9．（5分）（2009•陕西）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162【分析】本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]=108∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180故选C．10．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=×1×=，故八面体体积V=2V1=．故选B．11．（5分）（2009•陕西）若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0]D．（﹣2，4）【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．【解答】解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选B．12．（5分）（2009•陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【分析】由“x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0”可等有“x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（﹣∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为减函数，由n+1＞n＞n﹣1＞0，可得结论．【解答】解：x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0∴x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（﹣∞，0]为增函数∵f（x）为偶函数∴f（x）在（0，+∞）为减函数而n+1＞n＞n﹣1＞0，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1）∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2009•陕西）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=S3=12，则=1．【分析】先用数列的通项公式表示出a6和S3，进而求得a1和d，根据等差数列求和公式求得S n，代入到答案可得．【解答】解：依题意可知，解得a1=2，d=2∴S n=n（n+1）∴=∴==1故答案为114．（4分）（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有8人．【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card （A∩C）﹣card（B∩C）知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）故card（A∩C）=8即同时参加数学和化学小组的有8人．故答案为：8．15．（4分）（2009•陕西）如图球O的半径为2，圆O 1是一小圆，，A、B是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为，则∠AO1B=．【分析】由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AOB中由余弦定理可得AB=2，由此知三角形AO1B的三边长，由此可以求出∠AO1B的值．【解答】解：由题设知，OA=OB=2在圆O 1中有，又A，B两点间的球面距离为，由余弦定理，得：AB=2在三角形AO1B中由勾股定理可得：∠AO1B=故答案为．16．（4分）（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为．【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=x n+1（n∈N*），求导后，不难得到曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为x n，分析其特点，易得x1•x2•…•x n的值．【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，x n=则x1•x2•…•x n=×××…××=．故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2009•陕西）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]18．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【分析】（1）欲证AB⊥A1C，而A1C⊂平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB 为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：ξ0123p0.102a a.3（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【分析】（1）对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，即P1+P2+…=1．借此，我们可以求出a值，再利用数学期望的定义求解．（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可．【解答】解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，∴ξ的概率分布为ξ0123P0.10.30.40.2∴Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”则由事件的独立性得P（A1）=C21P（ξ=2）P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08P（A2）=[P（ξ=1）]2=0.32=0.09∴P（A）=P（A1）+P（A2）=0.08+0.09=0.17故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.1720．（12分）（2009•陕西）已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即a+a﹣2=0，解得a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）21．（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为=1（a＞0，b＞0），离心率，顶点到渐近线的距离为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求△AOB面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（﹣n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax﹣by=0的距离为，∴，由，得∴双曲线C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．设A（m，2m），B（﹣n，2n），m＞0，n＞0．由得P点的坐标为，将P点坐标代入，化简得．设∠AOB=2θ，∵，∴．又∴．记，由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，，当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是．22．（14分）（2009•陕西）已知数列{x n}满足x1=，x n+1=，n∈N*；（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．【分析】（1）对于数列{x n}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明．（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成的形式，然后结合已知条件进行证明．【解答】证明：（1）由x1=，x n+1=，∴，，…由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2易知x2k＞0，那么=即x2＞x2（k+1）+2（k+1）也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当n≥2时，易知0＜x n＜1，﹣1∴∴∴=。
2009年高考数学预测卷一(理科)
2009年高考数学预测卷一(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的1、定义集合运算：A ⊙B=｛xy Z Z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0，1｝，B={sin ,cos }αα，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A 、1B 、0C 、1-D 、ααcos sin +2、如果复数i bi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b 等于 A 、2 B 、32 C 、32-D 、23、若数列｛an ｝满足a1=5,an+1=n n a a 212++2na (n ∈N+),则其｛an ｝的前10项和为A 、50B 、100C 、150D 、200 4、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为A 、周期函数，最小正周期为3πB 、周期函数，最小正周期为32πC 、周期函数，最小正周期为6πD 、非周期函数5.动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ22n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O 为准线l 对应的焦点），则λ的取值为A 、λ∈RB 、λ=1C 、λ＞1D 、0＜λ＜16.已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A 、]0,(-∞B 、]1,0[C 、)1,(-∞D 、),0[+∞7.四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 A 、30种 B 、33种 C 、36种 D 、39种8、如图，直三棱柱ABB1-DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC 上有一动点P ，则ΔAPC1周长的最小值为A 、5+21B 、5-21C 、4+21D 、4-219、已知函数f(x)=1+-x ，设n a =nn x x f 2)(-，若1-≤x1＜0＜x2＜x3，则A 、a2＜a3＜a4B 、a1＜a2＜a3C 、a1＜a3＜a2D 、a3＜a2＜a110、函数y=1-x x的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A 、42B 、22C 、4D 、8 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11、已知（x x31x -）n 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于 ，系数最大的项是第项。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
、 、 A ．B ．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁U （A ∩B ）中的元素共有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个2．（5 分）已知=2+i ，则复数 z=（ ） A ．﹣1+3i B ．1﹣3iC ．3+iD ．3﹣i 3．（5 分）不等式＜1 的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}4．（5 分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2+1 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种 6．（5 分）设 是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣7．（5 分）已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 1 所成的角的余弦值为（）C ．D ．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B 的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5 分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5 分）不等式＜1 的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．、 、 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理． 【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 31•C 62=225 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 C 52•C 61•C 21=120 种选法．故共有 345 种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5 分）设 是单位向量，且，则• 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】16：压轴题． 【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， =．∴•=﹣（）•+ =0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos ≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC1 所成的角的余弦值为（）C．D．A．B．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB 与CC1 所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B 的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC 的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB 即为异面直线AB 与CC1 所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ 中将PQ 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β 于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A 与点P 重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4 的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B 作BM⊥x 轴于M，设右准线l 与x 轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B 作BM⊥x 轴于M，n n n nn r +1 n 10 10 10 10 10 10并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=， 故 AN=1， ∴．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（x ﹣y ）10 的展开式中，x 7y 3 的系数与 x 3y 7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a +b ）n =C 0a n b 0+C 1a n ﹣1b 1+C 2a n ﹣2b 2++C r a n ﹣ r b r ++C n a 0b n ，各项的通项公式为：T =C r a n ﹣r b r ．然后根据题目已知求解即可． 【解答】解：因为（x ﹣y ）10 的展开式中含 x 7y 3 的项为 C 3x 10﹣3y （3 含 x 3y 7 的项为 C 7x 10﹣7y 7（﹣1）7=﹣C 7x 3y 7． 由 C 3=C 7=120 知，x 7y 3 与 x 3y 7 的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．﹣1）3=﹣C 3x 7y 3， 【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n﹣1b1+C 2a n﹣2b2++C r a n﹣r b r++C n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．n n n14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】由s9 解得a5 即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n 项和公式和等差数列的性质．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx 的函数，将tanx 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4 或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC 由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M 是侧棱SC 的中点，作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE 即可得x 的值，进而得到M 为侧棱SC 的中点；法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S 点的坐标、C 点的坐标和M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D 为坐标原点，分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB 中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE 中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M 为侧棱SC 的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1 即M（0，1，1）所以M 是侧棱SC 的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M 是侧棱SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB 的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B 的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2 局中，甲、乙各胜1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，（i=3、4、5）B i 表示第j 局乙获胜，j=3、4（1）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2 局中，甲、乙各胜1 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．=b n+，由此能够推导出所求的通【分析】（1）由已知得=+，即b n+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣= ﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．【考点】IR ：两点间的距离公式；JF ：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去 y ，得到 x 的二次方程，根据抛物线E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围．（2）先设出四点 A ，B ，C ，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线 E ：y 2=x 代入圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）的方程，消去 y 2，整理得 x 2﹣7x +16﹣r 2=0（1）抛物线 E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根．（II ） 设四个交点的坐标分别为、 、 、 ．∴ 即 ．解这个方程组得，则直线AC、BD 的方程分别为y﹣= •（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P 的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c 表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0 有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c 满足的约束条件为（4 分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8 分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10 分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年山东省高考数学试卷(理科)
．
14．（ 4 分）若函数 f (x ) a x x a (a 0, a 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
．
15．（ 4 分）执行程序框图，输出的 T
．
第 3 页（共 21 页）
16．（ 4 分）定义在 R 上的偶函数 f ( x) ，满足 f ( x 2) f (x) 且在 [0 ， 2] 上是减函数，若 方 程 f ( x) m( m 0 )在 区 间 [ 2 ， 6] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 则
3 分的概
20．（ 12 分）等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，已知对任意的 n N ，点 (n,Sn ) 均在函数
y
x
b
r(b
0且 b
1 ， b ， r 均为常数的图象上．
（Ⅰ）求 r 的值．
（Ⅱ）当 b 2 时，记 bn 2(log 2 an
b1 1 b2 1
b1
b2
bn 1 bn
故选： C ．
D． 2 i
3．（ 5 分）将函数 y sin 2 x 的图象向左平移
函数解析式是 (
)
个单位，再向上平移 4
1 个单位，所得图象的
A ． y 2cos2 x
B． y 2sin 2 x
C． y 1 sin(2 x ) 4
D． y cos2 x
【解答】 解：将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位， 4
3x y 6, 0 x y 2…0 ，若目标函数 z ax by( a 0,b 0) 的值是 x厖0, y 0
最大值为 12，则 2
3 的最小值为 (
)
ab
A ． 25 6
数学C
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集为_________．
12．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝(a为实常数，k＝1，2ห้องสมุดไป่ตู้3，…)，则实数a的值
为____________.
A．{(1,1)，(－1,1)}B.{1}C．[0,1]D.[0,]
2．复数Z1＝1＋bi，Z2＝－2＋i，若的实部和虚部互为相反数，则实数b的值为()
A．7B．C．D．－7
3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如右图示频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有()辆。
(1)对于n∈N*恒有an＋1＞an成立；
(2)当n∈N*时，有an＋1＝anan－1…a2a1＋1成立；
(3)
2009年河南省高考数学参考答案：
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
B
D
A
B
A
B
二、填空题
11．{x|x≥1或x＝－1}12．413．80
14．15．(1)③⑤(2)②⑤
16．解(1)在△ABC中∵∴又b2＝ac∴由正弦定理可得
(2)是否存在区间[ a，0 ](a＜0)，使函数h( x )＝f3( x )－f2( x )在区间[a，0]上的值域为[ka，0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由.
21．(本小题满分14分)
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2009年高考数学预测卷一(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的1、定义集合运算：A ⊙B=｛xy Z Z =|，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛1-，0，1｝，B={sin ,cos }αα，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A 、1B 、0C 、1-D 、ααcos sin +2、如果复数i bi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b 等于 A 、2 B 、32 C 、32-D 、23、若数列｛an ｝满足a1=5,an+1=n n a a 212++2na (n ∈N+),则其｛an ｝的前10项和为A 、50B 、100C 、150D 、200 4、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为A 、周期函数，最小正周期为3πB 、周期函数，最小正周期为32πC 、周期函数，最小正周期为6πD 、非周期函数5.动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ22n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O 为准线l对应的焦点），则λ的取值为A 、λ∈RB 、λ=1C 、λ＞1D 、0＜λ＜16.已知函数f(x)= ⎩⎨⎧〉-≤--)0)(1()0(12x x f x x ,若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A 、]0,(-∞B 、]1,0[C 、)1,(-∞D 、),0[+∞7.四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有A 、30种B 、33种C 、36种D 、39种8、如图，直三棱柱ABB1-DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC 上有一动点P ，则ΔAPC1周长的最小值为A 、5+21B 、5-21C 、4+21D 、4-219、已知函数f(x)=1+-x ，设n a =nn x x f 2)(-，若1-≤x1＜0＜x2＜x3，则A 、a2＜a3＜a4B 、a1＜a2＜a3C 、a1＜a3＜a2D 、a3＜a2＜a110、函数y=1-x x的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A 、42B 、22C 、4D 、8 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11、已知（x x31x -）n 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于 ，系数最大的项是第 项。
12、若不等式1-loga)10(xa -＜0有解，则实数a 的范围是 . 13、∞→n lim｛n[(1+n 1)21-]｝= .14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .15、若Rt ΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高为h ，则222111b a h+=，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，记M=21PO ,N=222111PC PB PA++,那么M 、N 的大小关系是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分12分）已知函数f(x)= x xcos 3cos +2sin2x（1）求函数f(x)的最大值及此时x 的值； （2）求函数f(x)的单调递减区间。
17、（本题满分12分）0＜a ＜1）这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。
（1）求概率p(ξ)（2）求在概率p(ξ)，p （ξ=2）为最大时，a 的取值范围。
（3）求ξ的数学期望。
18、（本题满分12分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图②） （1）求证AP ∥平面EFG ；（2）求二面角G-EF-D 的大小；（3）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明。
19、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P （x,y ），M （92-x ，0），若实数λ使向量A 1，λOM ，A 2满足λ2²（OM ）2=A 1²A 2。
（1）求点P 的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（2）当λ=33时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x=-9上找一点C ，使ΔA1BC 为正三角形（请说明理由）。
20、（本题满分13分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a ≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+421）（1+431）…（1+41n ）＜e （n ∈N*，n ≥2,其中无理数e=2.71828…）21、（本题满分14分）已知函数()x f 与函数()()01>-=a x a y 的图像关于直线x y =对称．（1）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域； （2）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n >．数列{}n b 中，21=b ，n n b b b S ++=21．点(),3,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；（3）在（2）的条件下，过点n P 作倾斜角为4π的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为()131+n b () ,3,2,1=n ，求数列{}n a 的通项公式．参考答案：一、选择题1、当χ=-1，1，y ∈B ，所得元素之和为0，放A ⊙B 所有元素之和为0 选B2、i bi 212+-5)4()22(i b b +--由题意知2-2b=4+b ∴b=-32选C3、由an+1=n n a a 221++2n a 得a 21+n -2anan+1+a 2n =0 ∴an+1= an即｛an ｝为常数列 S10=10a1=50 ∴选A4、作出f(x)的图象，当0≤x ＜6π时，f(x)=2tan3x,当6π＜x ≤3π时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为3π，故选A 。
5、D 由双曲线定义及点P （m,n ）到原点的距离为22n m +可得：e=2222n m n m ++λ=λ1＞1, ∴0＜λ＜1，故选D 。
（也可直接用解析法推导） 6、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a ＜1，故选C 。
7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。
点A 所在的每个面中含A 的4点组合有C 35个，点A 在三个面内，共有3C 35；点A 在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C 35+3=33个，选B 。
8、在直三棱柱ABB1=DCC1中，AC1=2112422=++ 将△DCC1展开与矩形ABCD 在同一平面内，AP+PC1最小，此时AP+PC1为53422=+，∴周长最小值为5+21，故选A 。
9、画出函数f(x)=-1+x 的图象，则an=nn x x f 2)(-表示曲线上动点（xn 、f(xn)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a2＜a3＜0＜a1 故选A10、D 由于y=1-x x =11-x +1，所以，双曲线y=1-x x 与双曲线y=x 1的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=x 1的一条对称轴y=x 和它的交点为（2，2），（-2，-2），于是实半轴长为22，由对称性知虚半轴长为22，从而焦距为8。
二、填空题11、Tr+1=rnC (x x )n-r(-31x )r,由题意知：-1n C +2n C =27⇒n=9∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。
12、当a ＞1时，不等式化为10-ax ＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-ax ＜a ⇒10-a ＜ax ＜10不等式恒有解 故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10）13、∞→n lim [n(21n +n 1)]=∞→n lim (n 1+2)=214、P=1-101010310⨯⨯A =25715、如图，连CO 交AB 于D 点，∵PC ⊥面APB ，PO ⊥底ABC∴AB ⊥面PDC ，即AB ⊥PD ，∵ΔCPD 为Rt Δ故由已知得： 21PO =21PD +21PC21PD =21PA +21PB ，故M=N三、解答题16、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx ，则x xcos 3cos =4cos2x-3=2cos2x-1∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x=22sin(2x+4π)-1 ……………………4分 在2x+4π=2k π+2π时，f(x)取得最大值22-1即在x=k π+8π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值22-1 ……………………6分 （2）∵f(x)=22sin(2x+4π)-1要使f(x)递减，x 满足2k π+2π≤2x+4π≤2k π+23π 即k π+8π≤x ≤k π+85π(k ∈Z)又∵cosx ≠0，即x ≠k π+2π(k ∈Z) ……………………10分于是[k π+8π，k π+2π ，（k π+2π，k π+85π 均为减区间 …………12分17、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。
∴p(ξ=0)= 02C (1-21)202C (1-a)2=41(1-a)2B） ]p(ξ=1)= 12C 21(1-21)02C (1-a)2+02C (1-21)2·12C a(1-a)= 21(1-a)p(ξ=2)= 22C (21)202C (1-a)2+12C 21(1-21)12C a(1-a)+ 02C (1-21)2·22C a2=41(1+2a-2 a2) p(ξ=3)= 22C (21)212C a(1-a)+ 12C 21(1-21)22C a2=2ap(ξ=4)= 22C (21)222C a2=41a2 ……………………………………5分(2) ∵0＜a ＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)则p(ξ=2)- p(ξ=1)= 41(1+2a-2 a2)- 21a -=－41422+-a a ≥0由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-2222222222012014222a a a a a22222≤≤-a ，即a ∈[22,222-] ……………………9分（3）由（1）知ξ的数学期望为E ξ=0³41（1-a ）2+1×21(1-a)+2×41(1+2a-2a2)+3×2a +4×42a =2a+1………………12分18、解：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°， …………………8分 故二面角G-EF-D 的大小为45°。