多径多普勒效应

多径多普勒效应背景：无线信道模型概述当设计一个无线通信链路的时候，我们需要问以下三个重要的问题： 1. 衰落和功率损耗 2. 信号失真 3. 时变一个完整的信道模型应该提供SINR 的量数，信号散射和时变参数。

为了清楚这三个问题，把无线信道模型分为三个部分： 1. 传输损耗：信号频率，时变环境2. 频率相关信道冲击响应或者传输函数：多个频率，时变环境3. 时变信道冲击响应或传输函数第一部分：多径和多普勒效应目的：理解在时域和频域的多径信道响应，多普勒效应 。

一．多径信道效应：时变（无多普勒效应）在无线通信中，一个从发送端的信号经过多条路径到达接收端。

()()121,Li i L i y t a s t ττττ==-≤≤≤∑ （1）s(t)是发射信号，L 是多径的个数，i a 和i τ是第i 个射线的相角和到达时间。

A . s(t)是一个时谐信号，考虑()j ts t e ω=，则接收信号可以写为：()()()1n Lj t j tn n y t a eH eωτωω-===∑，其中()1nLj n n H a eωτω-==∑ (2)()H ω定义为多径环境的传输函数，接收信号()y t 保持为与s(t)有着相同角频率的时谐信号。

因此，当s(t)在时变多径环境下传输时，，波形没有失真，但信号幅度改变了，新幅度()H ω是ω的函数。

Matlab code(mulitath_fading_w.m): clear all;%amplitudes of 7 multipath arrivalsa=[0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057 0.9355]; %arrival times of 7 multipath arrivalst=[0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099]; i=0; %frequency indexfor w=0:0.05:100; %angular frequencies multipath_arrival=a.*exp(j*w*t); i=i+1;abs_H(i)=abs(sum(multipath_arrival)); %the i_th transfer function endw=0:0.05:100;plot(w,abs_H)ylabel('amplitude of transfer function') xlabel('angular frequency')title('frequency dependent multipath fading')画图得到：图1：频率为自变量的多径衰落既然 多径到达信号的幅度和到达时间依赖于发送端和接收端的位置，那么接收信号的强度也同样依赖发送端和接收端的位置。

例如，考虑一个只有直射路径（LOS ）和反射路径两个到达信号的双线模型。

发射天线高度为 ，接收天线为 ，接收机和发射机的水平距离为d,则LOS 路径的传输距离为： ()22LOS t r r d h h =+-反射路径的传输距离为：()22ref t r r d h h =++图2 双线模型10m LOSreflected2m传输函数 ()/2//2/ref ref LOS LOS j r c j r ref ref j r cj r LOS LOS LOS ref LOS refb b b b H d e R e e R er r r r ωπλωπλ=+=+ 这里R 为反射系数，系数LOS b 和ref b 事天线参数，传输能量，为了方便，选择LOS b =1，ref b =1，R=-1这是，()2/2/11ref LOS j r j r LOSrefH d e e r r πλπλ=-1 以下代码（two_ray_model.m ）画出()H d 的幅度虽d 的变化。

如果f=1GHz ，波长0.3cm fλ==，t h =10m ， r h =2m 。

clear all; ht=10;hr=2;c=3e8;f=1e9;l=c/f; R=-1;d=1:0.5:10000;d1=sqrt(d.^2+(ht-hr)^2); d2=sqrt(d.^2+(ht+hr)^2); a1=exp(j*2*pi*d1/l)./d1; a2=R*exp(j*2*pi*d2/l)./d2; a=abs(a1+a2);ld=log10(d);la=log10(a);figure(4) plot(ld,la);xlabel('log10(distance)') ylabel('log10(magnitude)') title('two ray model')图4：双线模型，多径效应作为发送端和接收端之间距离的函数H f与频率f的2 以下代码是当距离d=50m,300m,800m和2000m时画出传输函数()关系：（two_ray_model_hf.m）clear all;ht=10;hr=2;c=3e8;R=-1;f0=1e8;fi=[1:1:1000];fd=5000000;f=f0+fd*fi; %f from 1e8 to 1.05e8l=c./f;da=[50,300,800,2000];for i=1:length(da)d=da(i);d1=sqrt(d.^2+(ht-hr)^2);d2=sqrt(d.^2+(ht+hr)^2);Td=(d2-d1)/c; %time delaya1=exp(j*2*pi*d1./l)./d1;a2=R*exp(j*2*pi*d2./l)./d2;a(i,:)=abs(a1+a2);endfigure(5)subplot(2,2,1);plot(f,a(1,:));title('d=50m');ylabel('magnitude')subplot(2,2,2);plot(f,a(2,:));title('d=300m');ylabel('magnitude')subplot(2,2,3);plot(f,a(3,:));title('d=800m');xlabel('frequency');ylabel('magnitude')subplot(2,2,4);plot(f,a(4,:));title('d=2000m');xlabel('frequency');ylabel('magnitude')图4：多径衰落在四个点上的频率特性从图3和图4中，我们得出结论：多径衰落的频率特性是与位置相关。

在图4中，我们可以注意到两个相邻的深度衰落的频率间隔是1/TD ，TD 是两条路径的传输时间差。

ref LOSr r TD c-=B s(t)包括多个频率分量（A s(t)是时谐信号）由方程2可知，有多径到达信号的无线通信信道的传输函数可以写为： ()1nLj n n H a eωτω-==∑这里n a 和n τ分别是第n 条路径的幅度和时延。

如方程1所示，对一有着多个频率的输入信号s(t),信道的输出可以写为()()1,Ln n n y t a s t τ==-∑当 s(t) 包含多个频率时， ()()12j ts t S ed ωωωπ∞-∞=⎰ （3）()S ω是()s t 的频谱，而y(t)的频谱可以写为：()()()()1nLj n n Y H S a S eωτωωωω-===∑ （4）以下面6射线模型为例考虑，幅度可以定义为： n a ：[1,0.3,-0.8, 0.5,-0.4,0.2]我们仅考虑两种到达时间分布：τ：[0，1sμ，2sμ，3sμ，4sμ，5sμ]第一种：nτ：[0，0.1sμ，0.2sμ，0.3sμ，0.4sμ，0.5sμ]第二种：n在第一种情况下，第一次到达和最后一次到达的时延间隔是5sμ，而在第二种下只有0.5sμ。

我们暂时把延时间隔叫做延时扩展，以后还会有其他的定义。

考虑传输信号是一个每隔5sμ有一次冲击的方波。

1、时域图用以下的matlab代码产生两种情况下传输信号和接收信号的时域图，从图6中，我们观察到多径到达信号产生了失真，时延扩展越大，失真越严重。

（multi_freq_time.m）clear all;an=[1,0.3,-0.8,0.5,-0.4,0.2];tn=[0,1,2,3,4,5;0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5];signal=[0,zeros(1,0),ones(1,501),zeros(1,1000)]; %transmitted signalfor k=1:2; %for two casefor i=1:6;ray(i,:)=an(i)*[0,zeros(1,(100*tn(k,i))),ones(1,501),zeros(1,(1000-100*tn(k,i)))];endy(k,:)=sum(ray(:,1:end));endt=((1:1:length(y(1,:)))-1)*10^(-2);subplot(2,2,1);plot(t,signal);ylabel('transmitted signal s(t)');title('case 1 & case 2')axis([0 20 -0.5 1.5])subplot(2,2,2);plot(t,y(1,:));ylabel('received signal y(t)');title('case 1:large delay spread')subplot(2,2,4);plot(t,y(2,:));xlabel('Time(us)')ylabel('transmitted signal y(t)');title('case 2:small delay spread')图6 两种情况下的传输和接收信号2、频域图用以下代码（multi_freq_freq.m）来产生两种情况下的传输和接收信号的频域视图，首先，FFT用到应用（3）中来找到输入频谱，第二，(2)是用来计算信道传输函数，最后，（3）被用来计算输出频谱。

clear all;s=[ones(1,10),zeros(1,90)]; %transmitted signals_f=fft(s);x=s_f([1:50]);y=s_f([51:100]);signal_f=[y,x]; %input spectrumdt=5/10; %each time interval is 0.01msdf=1/(100*dt);f_s=df*([0:99]-50); %frequency vectoran=[1,0.3,-0.8,0.5,-0.4,0.2]; %qmplitudesf=f_s;w=2*pi*f;tn_1=[0,1,2,3,4,5]; %arrival times for case 1for i=1:6;h1(i,:)=an(i)*exp(-j*w*tn_1(i));endh_1=sum(h1(:,1:end)); %transfer functiony_1=h_1.*signal_f; %output spectrumtn_2=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]; %arrival times for case 2for i=1:6;h2(i,:)=an(i)*exp(-j*w*tn_2(i));endh_2=sum(h2(:,1:end)); %transfer function y_2=h_2.*signal_f; %output spectrumfigure(1)subplot(2,3,1);plot(f_s,abs(signal_f));ylabel('magnitude');title('I/P spectrum') subplot(2,3,4);plot(f_s,angle(signal_f));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(MHz)');subplot(2,3,2);plot(f,abs(h_1));title('channel 1')subplot(2,3,5);plot(f,angle(h_1));xlabel('Frequency(MHz)');subplot(2,3,3);plot(f,abs(h_2));title('channel 2')subplot(2,3,6);plot(f,angle(h_2));xlabel('Frequency(MHz)');figure(2)subplot(2,3,1);plot(f_s,abs(signal_f));ylabel('magnitude');title('I/P spectrum') subplot(2,3,4);plot(f_s,angle(signal_f));ylabel('Phase');xlabel('Frequency(MHz)');subplot(2,3,2);plot(f,abs(y_1));title('O/P spectrum 1')subplot(2,3,5);plot(f,angle(y_1));xlabel('Frequency(MHz)');subplot(2,3,3);plot(f,abs(y_2));title('O/P spectrum 2')subplot(2,3,6);plot(f,angle(y_2));xlabel('Frequency(MHz)');图7显示了两种情况下的输入频谱和信道函数，幅度函数在上面一行，而相位函数在下面一行。