高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理 (2)

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超实用高考数学重难点专题复习：专题二复数运算与平面向量运算

所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象
限．故选C．
)
[典型例题]
3.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，
则(a＋bi)2＝ (
)
A．3＋4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．5－4i
[答案]：A
[解析]由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1，
故(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i．故选A.
模或判断向量的垂直关系
（三）核心知识整合
考点1：复数的概念及运算
1.复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位
i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项
即可.
2.复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂
写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[答案]：C
[解析] 设 AC 与 AB 的夹角为 ,由题意得
AC AB
3
1
AC (1,1,0), AB (0,3,3), cos

2 3 2 2
| AC || AB |
60 ,故选C.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通
计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题
中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
[典型例题]
1.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若
λ＋μ＝ (

高考数学第2讲复数、平面向量(二轮)

一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.
则 a＋bi 为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈R )．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d ∈R )．
(4)复数的模：
向量―O→ Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R )的模，记作|z|或
uuur
=2(OC
uuur
-OB
),即
uuur AB
=2
uuur BC
,所以|
uuur AB
uuur
|∶|BC
|
33
=2∶1,故选D.
考点二栏目索引
4.(2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ
=
.
答案 1
2
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解析由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ= 1.
二、向量
栏目索引
一.从知识结构上：
1.向量的加法、减法、数乘、平面向量基本定理（线性运算）
2.向量的数量积 3.向量的坐标
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4.坐标运算和非坐标运算
二、从解题策略上：
1. 基底几何意识 6.结论意识（中线定理、共线定理等）
1.坐问标题计4算：坐标法在图形向数量转化中的运用
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第2讲复数、平面向量
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考点一复数

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量

第二讲复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保分题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提分题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保分题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提分题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0，即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确；各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确；各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确．答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ，又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ，所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14，则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

2021高考数学(文)复习课件精讲2 平面向量与复数

复习有方法
板块一高考专项突破——选择题+填空题
命题区间精讲精讲2 平面向量与复数
数学文
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01 命题点1 02 命题点2 03 命题点3
01 命题点1 复数
解决复数问题应注意的4点 (1)明确概念：复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b. (2)解题要领：与复数的分类、复数的相等、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．
(3)注意周期：虚数单位i的in(n∈N)周期为4. (4)妙用结论：求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi| ＝ a2＋b2和性质| z |＝|z|，|z|2＝| z |2＝z·z ，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz21||进行计算．
[高考题型全通关]
1．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )
∴(x－1)2＋y2＝1.故选B.]
5．已知复数z＝i11＋－ii2，则下列结论正确的是(
)
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数 z ＝－1＋i
D．z2为纯虚数
D [∵z＝i11＋－ii2＝i12－i i＝1－21i＋1＋i i＝1＋i， ∴z的虚部为1；|z|＝ 2； z ＝1－i； z2＝(1＋i)2＝2i是纯虚数．故选D.]
A→B＝O→B－O→A＝(2,2－k)， B→C＝O→C－O→B＝(k＋1，－2)， ∵A，B，C三点共线，∴A→B∥B→C， ∴k＋2 1＝2－－2k，由k＞0，解得k＝3.故选D.]
2．在△ABC中，D→C＝2B→D，且E为AC的中点，则D→E＝( )
A．－23A→B＋16A→C
B．－23A→B－61A→C

(2)(教师版)考点专题二_平面向量与复数

考点专题二平面向量与复数(2)【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.8%, 难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识•复数在高考试卷中的考查形式比较单一【知识梳理】［重难点］1.复数的相等：两个复数乙a bi(a,b R), z2 c di(c,d R)，当且仅当a c且b d时，z i Z2.特别地，当且仅当a b 0时，a bi 0.2.复数的模：复数Z i a bi (a, b R)的模记作z或a bi，有z l a bi b2.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数Z的共轭复数记作乙Z、Z互为共轭复数.如果Z a bi,Z a bi(a,b R)，则有Z R的充要条件是Z Z; Z是纯虚数的充要条件是z z且z 0.4.复平面在平面直角坐标系中，可以用点Z(a,b)表示复数Z1 a bi(a,b R)，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称x、y轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C和复平面所有的点构成的集合建立-- 对应关系5.实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式b2 4ac 0时，实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a,b,c R且a 0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根b V4ac b2 .x i.2a 2a［易错点］【基础练习】1.若复数（1 bi ）（3 i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b ________2.设z （2 i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________ .【答案】5（2013）（B ）充分不必要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解：由实系数一元二次方程 x 2ax 1 0有虚根，可得 a 24 0,1.在进行复数计算时，要灵活利用i 和（1. 3i ）的性质，会适当变形，创造条件,从而转化为关于i 和的计算问题，并注意以下结论的灵活运用:①(1 i)22i :②1 i 1 i4n 4n 1 . .4n 2 4n i , i ；③ i 1,ii, i 1,ii 1 i3i(n Z)；2.在进行复数的运算时, 20.不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z C 时不总是成立的：①（z m）nmn m nz (m, n 为分数)：②z zn(z 1);③2 2z 1z 2 0 z 1 z 20，④ z 23.已知复数 z 的共轭复数z 1 2i （i 为虚数单位），则z 在复平面对应的点位于（A.第一象限 B .第二象限.第三象限D•第四象限【解析】z 的共轭复数z 1 2i ，则 2i ,对应点的坐标为 (1, 2),故答案为D. (2013理）4.已知集合M 1,2,zi ,i 为虚数单位, N 3,4 , M N，则复数zA 2iB.2iC. 4iD.4i解析：因为M1,2,zi , N 3,4，由N 4，得 4 M，所以zi 4，所以z 4i .答案：C【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算5.若向量，满足| || 【答案】90°（ 2001上春）.试题难度：较小.（2013理）所成角的大小为 ___________ .6.已知z C ，且z 2 2i (A ) 2. (B) 3.7.“2 a 2 ”是“实系数1, i 为虚数单位，则(C ) 4.兀二次方程 x 2ax 1 2 2i 的最小值是（(D ) 5. (2009 上春)0有虚根”的（（A ）必要不充分条件.即可得a （ 2,2） , ••• （ 2,2） [ 2,2] , •2 a 2 ”是“实系数一元二次方程2x ax 1 0有虚根”的必要不充分条件，故应选A.（2009上文）8.设Z i、Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）【答案】D （2013理）A若Z i Z2 0,则Z i Z2 B.若Z i Z2，则Z i Z22 2C.若Z i Z2，则Z i Z i Z2 Z2D.若Z i Z2，贝y Z i Z2【解析】设Z i a bi, Z2 c di,若| 乙Z21 0 ,则| 乙Z21 （a c）（b d）i , a c,b d，所以Z1Z2，故A项正确；若Z Z2，贝U a c,b d，所以Z, Z2，故B项正确；若| Z i | | Z21，则a2b2c2 d2，所以乙.乙Z2.Z2，故C项正确；2 2 2 2当| Z i | | Z2 | 时，可取Z i 1, Z2 i，显然Z i 1, Z2 1，即Z i Z2 ,假命题.【例题精讲】例1.已知复数Z i满足（Z i 2）（1 i） 1 i （i为虚数单位），复数Z2的虚部为2 , Z i Z2是实数，求Z2.（2011 上）解：（乙2)(1 i) 1 i Z i 2 i设Z2 a 2i,a R, 则Z i Z2 (2 i)(a 2i) (2a 2) (4 a)i ,•••Z1Z2 R ,•Z2 4 2i例2.已知Z是复数，Z 2i、- 均为实数（i为虚数单位），且复数（z ai）在复平面上2 i对应的点在第一象限，数a的取值围.（2005上春）设Z x yi(x、y R), Z 2i x (y 2）i，由题意得y 2.Z x 2i1(x 2i)(2 i)2 i 2 i1 1(2x5 2) 5(x 4)i由题意得x 4 . Z 4 2i. (Z 2ai)2(12 4a a2) 8(a 2)i ,根据条件, 可知12 4a a20解得 2 a 6,•实数a的取值围是（2,6）8(a 2) 0例3.已知复数Zbi ( a 、 bR ）（ i 是虚数单位）是方程x 2 4x 5 0的根.复数 w u 3i (u 满足w z2. 5，求U 的取值围.（2009上文）解：原方程的根为 X1,22 i, 例4. 则当 a,b R , 2 i,|w z| |(u 3i)(2 i)| 对于复数a,b,c, d ，若集合,(u 2)242 5, 2 u 6.{a,b,c,d}具有性质“对任意x ，y S ，必有xy S ”,a b 2 2c1,1时, b c d 等于）（2010 理） A.1 B.-1 C.0 D.i 解法1：由 b 21，得 b 1或 b 1.又 a 1, 由集合中元素的互异性知 b 1.由 c 2 b ，即 c 21，得c i 或c i . (1)当 i a 1,b 1,c i 时, S 1, 1,i,d ，因为集合 S 具有性质“ '对任意 x 、 y S ，必有 xy S ”，所以 ac i S,bc i S ，故d ib c d 1 .(2 )当 a 1,b 1,c i 时， S 1, 1, i,d ，因为集合S 具有性质 “对任意 x 、y S ，必有xy S” ，所以ac i S, bc i S ，故 d i b c d 1. a 1, a 1 a 1 a 1 a 1b 2解法2: 1， b 1 或b 1 或 b 1或 b 1 ，又因为集合中的兀素具有 c 2 b c 1 c 1 c i c ia 1 a 1互异性，且对任意x ， y S ，必有xy S ，所以 b 1或 b 1，所以b c d 1 b i i c c d i d i 点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型. （2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 c 、d 的不同取值，进而求出b c d ；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法 1优于解法2 （3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想. 考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识.（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高•“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题.所以“新定义问题” 将是高考创新题中一种命题趋势. 【能力强化】1.在复平面，复数（2 i ）2对应的点位于（）（2013理）【答案】D2【解析】方程ax 2x b 0有实数解，分析讨论①当a 0时，很显然为垂直于 x 轴的直线方程，有解.此时 b 可以取4个值.故有4种有序数对A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限2•若复数z 满足（3 4i ）z 4 3i 错误！未找到引用源。

高中数学平面向量、复数(解析版)

热点04 平面向量、复数复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。

一般出现在填空题的第二或者是第三题。

平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。

本专题也是学生必会的知识点。

通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。

【满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。

牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。

平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。

平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。

平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。

此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。

【考查题型】选择题，填空，解答题【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O是正三角形ABC内部的一点，230OA OB OC++=，则OAC∆的面积与OAB∆的面积之比是A．32B．23C．2D．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 2．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立．故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 4．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（）A ．1 BC ．5D ．【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果【详解】|z |=5||2i -=5|2i|- 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题5．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 6．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题7.（2020•上海卷）已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______8．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.9.（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】-3 【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值．【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．10．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-，设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭，解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.11．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.12．（2020·上海高三一模）已知向量12AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________．【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．13．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. 【详解】()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2221AB AC AB AC=⋅-⋅=211133cos sin cos sin 222624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34. 【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________．【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==．【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．15．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，以10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 17．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可．【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.20．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时13x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，154b =± 所以11544z =-±综上满足条件的所以复数的和为1151153144442⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32- 【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.21．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可．【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ．所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个，故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．22．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.23．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=，故4p =-，5q =，故20pq =-，故答案为：20-. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.三、解答题24．（2018·上海市建平中学高三月考）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）50万元试题分析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将AD 表示为2133AD AB AC =+，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅ 34x y =⋅⋅ 32x y =⋅ 23282x y +⎫≤⎪⎝⎭=28125032m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC 的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==．由2133AD AB AC =+ 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000= 500AD ∴=，1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法二：在ABC ∆中，cos120BC =1500cos120== 在ABD ∆中，222cos 2AB BC AC BAB AC+-=⋅2227501500+-=7=在ABD ∆中，AD=500 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()750,0B()1500cos120,1500sin120C ,即(C -，设()00,D x y由2CD DB =，求得00250{x y == 所以(D所以，AD =500=1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．25．（2020·上海高三一模）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．（2020·上海市建平中学高三月考）已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,时，求12QP QP ⋅的值；（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析；【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点. 【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ，又1QP =|3223|3-32233-=，2QP =|3223|3--32233+=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩，得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--，得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.27．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）等腰三角形；（2【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状；（2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】（1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=，解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=，解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-，即()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯=，所以ABC ∆的面积是3.【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.28．（2020·上海高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b-=+，直线BC的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1），则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-，而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23；（3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0，由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++，则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.29．（2020·上海杨浦区·高三二模）已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412kk k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解．30．（2020·上海高三二模）已知直线l ：y kx m =+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y ，()22,B x y（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程（2）点)2,1C在Γ上，若0m =，求ABC 面积的最大值：（3）如果原点O 到直线l 23AOB 为直角三角形. 【答案】（1） 2y x =+ （2）22（3）证明见解析【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B 的坐标，可得弦长||AB ，求出点C 到直线AB 的距离。

高考数学一轮复习第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示讲义含解析0513143.doc

第二节平面向量基本定理及坐标表示突破点一平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选 D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45. 2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－62．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则AC―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)，所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．答案：(3,3)[全析考法]考法一平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 [解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a)，求实数k ；(2)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m)，b ＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0，则实数m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a|－|b|)(a ＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若ma －nb 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则m n＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得ma －nb ＝(m ＋2n ,2m －3n)，2a ＋b ＝(0,7)，由ma －nb 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n)＝0，则m n＝－2.答案：－2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高三数学专题复习之平面向量与复数

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

高考数学(考点解读命题热点突破)专题02平面向量与复数文

专题02 平面向量与复数文【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、【解析】几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】(1)C (2)12 －16【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2、【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△A OB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．【答案】(1)22 (2)2【解析】(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－ 12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i 等要熟记．例4、【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2．【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( )A ．12 B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i ＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 2.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】783.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494 （C （D 【答案】B1.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( )（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+=故选B. 2.【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 3.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，【答案】A【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.4.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】－1【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：－15.【2016高考山东理数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B6.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2．7.【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 【答案】5【解析】(12)(3)55z i i i =+-=+，故z 的实部是51．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】 B【解析】因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.2．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i 【答案】 D【解析】因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.3．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i【答案】 C【解析】 i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.4．(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 【答案】 A【解析】 ∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 【答案】A6.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号． 7.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙= . 【答案】98.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.9.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a ba b ⋅=≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b-≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b ab +-=-，所以选项D 正确．故选B ．10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】11.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.12.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．。

2019年高考数学理科第二伦专题：平面向量与复数(命题猜想)

【考向解读】1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →答案 A解析作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A. 【方法技巧】(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.【变式探究】【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C.1 D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.又B ，N ，P 三点共线，∴m ＋23＝1，∴m ＝13.【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12【解析】(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ等于( )A.2B.83C.65D.85答案 D解析方法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，BN →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝⎛⎭⎫1，12＋μ⎝⎛⎭⎫－12，1＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.方法二以AB →，AD →作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A 选项.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i 等要熟记．例4、(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( ) A.0 B.12 C.1 D. 2 答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.【变式探究】【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A 【解析】由得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若，则ab的值为_______. 【答案】2 【解析】由，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( ) A ．12 B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii (i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii ＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1. （2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1 B.+1 C. 2 D. 2−【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.3. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.4. （2018年全国I 卷理数）在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.5. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 【答案】B 【解析】因为所以选B.6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．5.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【答案】311【解析】,则.6.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】3【解析】，，，∴，解得：λ=． 7．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I << 【答案】C【解析】因为， OA OC <， OB OD <，所以，故选C 。

高考数学深化复习命题热点提分专题02平面向量与复数理

专题02 平面向量与复数1．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12()AB →＋AC →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB→＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.答案：B2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m n等于( ) A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m－λ＝2，故mn＝－2.答案：C3.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案：A4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－1D ．0解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B.答案：B5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为( )A.12 B.22C.34D ．1答案：D 6．设复数z 满足z －i z ＋i＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( ) A ．21 008B ．21 008i C ．－21 008D ．－21 008i解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.答案：A7．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数12z z 的值是（）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A8．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.9．复数z满足1+)||i z i =（，则=z （） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.【解析】由题意得，211z i i ==-+，∴1z i =+，故选A ．10.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB →)·AB →＝()A.4B.6C.1D.2解析由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B11.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.答案 A12.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.13. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 314.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).15.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.。

(新课标)高考数学二轮复习专题一高考客观题常考知识第2讲平面向量、复数课件理

(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为 a 与 b 的夹角,则 cos θ
= a b = x1x2 y1y2 .
ab
x12 y12 x22 y22
5.复数 (1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔ a=c,b=d .
(2)共轭复数:当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时,这两个复数
核心整合
1.平面向量中的四个基本概念 (1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.
(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 ,与 a 同向的单位向
量为 a . a
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量) .
(4)向量的投影: |b|cos<a,b> 叫做向量b在向量a方向上的投影.
2.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使
b=λa
.
(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 ,其中 e1,e2是一组基底.
3.平面向量的两个充要条件
若(1两)a个∥非b⇔零a向=λ量ba⇔=(xx11,yy21-)x,2by=1=(0x2,y2).,则
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0
.
4.平面向量的三个性质
(1)若 a=(x,y),则|a|= a a = x2 y2 .
(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= x2 x12 y2 y12 .
| PA + PB + PC |= cos 62 sin2 = 37 12cos ≤ 37 12 =7,

2019高考数学考点解读命题热点突破专题02平面向量与复数文-精选资料

2019高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数文-精选资料【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、【解析】几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）(1,)(3,2)a m a =-，=()a b b ⊥+m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.a b (4,m 2)+=-(a b)b +⊥43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.【答案】(1) (2)－12(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.【答案】(1)C (2) －16【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.。

高考数学专题平面向量、复数(可编辑Word))

1 3 AB - AC B. 4 4 1 3 AB + AC D. 4 4
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答案
A
本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.

1 1 AB =- AB ,又∵D为 AD ,∴ AD EA=- EA+ EB = ∵E是AD的中点,∴ + 高考导航 2 2 1 1 3 1 AB + AB + AB = AB - AD = EB =- AC ),因此 AC )+ BC的中点,∴ ( ( 2 4 4 4 AC ,故选A.
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3.设P是△ABC所在平面内的一点,且 =2 CP PA,则△PAB与△PBC
的面积的比值是 ( A.
1 3
) D.
3 4
高考导航
B.
1 2
C.
2 3
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答案
B
PA ,∴ CP 且A,P,C三点共线, = 1 | PA |
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考点二平面向量的线性运算
在用三角形加法法则时要保证“首尾相接” ,结果向量是第高考导航
一个向量的起点指向最后一个向量的终点;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是由减向量的终点指向被
减向量的终点.
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高考导航 =(-7, 1.已知在一平面直角坐标系中,点A(0,1),向量 =(-4,-3), AB BC
i =i,1 i =-i; (1)(1±i)2=±2i,1 1 i 1 i
(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*); (4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).

名师揭秘2020年高考数学冲刺(理)02 复数与平面向量解题策略和规律(解析版)

专题02复数与平面向量解题策略和规律[高考定位] 高考对复数的考查主要以复数的概念、代数运算和几何意义为主，以选择题的形式出现，难度较小．对向量的概念和运算，除直接考查外，常出现利用向量求解长度或夹角、证明垂直、判断多边形的形状等问题，此类题目一般以客观题形式出现，难度不大．在平面向量综合应用的考查中，平面向量常与平面几何、解析几何、三角函数等内容交叉渗透，此类题目的情境新颖别致，综合性比较强，难度也比较大．考点一复数 1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再进一步化简． 2．复数运算中的常见结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. (4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 考点二平面向量的概念与线性运算 [核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化． 2．在应用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，即结果向量的方向是第一个向量的起点指向最后一个向量终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，即结果向量的方向是指向被减向量．考点三平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)． (2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2．平面向量的3个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 【题型方法分析】（一）复数的运算例1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】D【解析】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 练习1. 已知22ii a bi i++=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b -=（） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】B 【解析】∵22()(2)221221(,)i i i i i i i a bi a b i i +-++=+=-+==+∈-R ， ∴1a =，0b =，故1a b -=. 故选：B. 练习2已知()2221i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】由()2221i i z-=+,则222i z i -=⋅, 即11iz i i-==--,故选:D.（二）复数的模和共轭复数例2．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A因为1zi i=-，所以，()11z i i i =-=+，所以，1z i =-故选A. 练习1．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（）A iB iC ．1D ．12i --【答案】A【解析】复数z 满足|1|z i i =-+，则z i =，所以复数z i =.故选：A.练习2. 复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________. 【答案】1i -【解析】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -练习3.已知20191i z =+，则2z i -=（）A B ．C ．2D【答案】A【解析】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-=故选：A（三）复数的几何意义例3. 若35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B练习1．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____．【答案】1a <-()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 练习2.若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（） A ．()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,2【答案】C【解析】：由24iz i =+，可得()2242442i i i z i i i++===-，∴z 对应的点的坐标为（4，－2），故选C ．（四）向量共线的应用例4. 在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =u u u r u u u u r，若(,)AN AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为( )A ．14B ．13C ．1D ．4【答案】A【解析】设(01)BM tBC t =u u u u r u u u r剟，13AN NM =u u u r u u u u r ，所以11()44AN AM AB BM ==+u u u r u u u u r u u u r u u u u r 1144AB tBC =+u u u r u u u r 11()44AB t AC AB =+-u u u r u u u r u u u r 111()444t AB t AC =-+u u ur u u u r ，又AN AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以1111()4444t t λμ+=-+=．故选：A ．练习1．已知点(3,5)P -，(2,1)Q ，向量(21,1)m λλ=-+u r ，若//PQ m u u u r u r，则实数λ等于( ) A ．113B ．913C ．113-D ．913-【答案】C【解析】由题意，(3,5)P -，(2,1)Q ，所以(5,4)PQ =-u u u r，又因为//PQ m u u u r u r ，5(1)4(21)0λλ++-=，解得113λ=-.故选：C练习2. 已知向量(1,2)a =v，(0,2)b =-v， (1,)c λ=-v，若()2//a b c -vv v，则实数λ=( ) A ．3- B ．13C ．1D ．3【答案】A 【解析】因为向量()1,2a =v ，()0,2b =-v ， ()1,c λ=-v ，所以22,6a b -=vv （），又因为()2//a b c -v v v ，所以260λ+=，解得3λ=-,故选A.（五）向量的数量积及应用例5. 向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v ，若a v ，b v 的夹角为钝角，则t 的范围是（）A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b ⋅<vv 且不反向共线，230a b t ⋅=-+<vv ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.练习1．已知平面向量(2,)a m =-r，b =r，且()a b b -⊥r r r，则实数m 的值为( )A ．-B ．C ．-D ．【答案】B【解析】由(2,)a m =-r ，b =r ，得(3,a b m -=--r r，()a b b -⊥r r rQ ，30m ∴-=，m ∴=.故选：B练习2．在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC 3MC =，DC 4NC = ，若AB 4= ，AD 3=，则AN MN ⋅=u u u r u u u u r( )A ．7-B ．0C ．7D ．7【答案】B 【解析】如图：BC 3MC =，DC 4NC =，且AB 4= ，AD 3=，则()()AN MN AD DN MC CN ⋅=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r311AD AB AD AB 434⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u u ru u u r u u u r u u u r2213AD AB 316u u ur u u u r =-139160316=⨯-⨯=.故答案选B.练习3.已知ABC ∆为等边三角形，2AB =.设点P ，Q 满足AP AB λ=u u u v u u u v，(1)AQ AC λ=-u u u v u u u v，R λ∈.若6BQ CP ⋅=-u u u v u u u v，则λ等于（）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C【解析】ABC ∆为等边三角形，2AB AC BC ===，60BAC ︒∠=，故||||cos 2AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ，由,(1)AP AB AQ AC λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r得()()BQ CP BA AQ CA AP ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r [(1)]()AB AC AC AB λλ=-+-⋅-+u u u r u u u r u u u r u u u r 22||(1)(](1)AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22226λλ=-+-=-解得1λ=-或2λ= 答案选C（六）平面向量基本定理的应用例6. 如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =u u u v （）A ．1122AB AC -u u uv u u u vB ．1122AB AC +u u uv u u u vC ．1124AB AC -u u uv u u u vD ．1124AB AC +u u uv u u u v【答案】A【解析】为1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥ 所以E 是AC 的中点，可得()11112222DE DA DC DC CA DC =+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v111222DC AC AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v=-=-，故选A .练习1. 如图所示，ABC V 中，BD 2DC =u u u v u u u v，点E 是线段AD 的中点，则AC (=u u u v )A ．31AC AD BE 42=+u u u v u u u v u u u vB ．3AC AD BE 4=+u u u v u u u v u u u vC ．51AC AD BE 42=+u u u v u u u v u u u vD ．5AC AD BE 4=+u u u v u u u v u u u v【答案】C【解析】如图所示，AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，1DC BD 2=u u u r u u u r ，BD BE ED =+u u u r u u u r u u u r ，1ED AD 2=u u ur u u u u r ，51AC AD BE 42∴=+u u u r u u u r u u u r ．故选C ．练习2. 在ABC ∆中，O 为其内部一点，且满足40OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC ∆和AOC ∆的面积比是（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】在ABC ∆中,O 为其内部一点,且满足40OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r, 设D 是AB 中点,连接OD ,如图所示,则2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r,且2ABC ACD S S ∆∆＝, 240OD OC ∴+=u u u r u u u r r∴,,C O D 三点共线,且2OD OC ＝,3AOC ACD S S ∆∆∴＝ 62AOC ACD ABC S S S ∆∆∆∴＝＝ :6:1ABC AOC S S ∆∆∴＝,则ABC ∆和AOC ∆的面积比是6 故选:C（七）坐标法在向量中的应用例7. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==,D E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（）A．84[,]93B．48[,]33C．88[,]93D．4[,)3+∞【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则21,0133E x x⎛⎫⎛⎫+-≤≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭．据此有：(),1AD x=-u u u v，2,13AE x⎛⎫=+-⎪⎝⎭u u u v，则：222181339AD AE x x x⎛⎫⋅=++=++⎪⎝⎭u u u v u u u v.据此可知，当13x=-时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最小值89；当1x=-或13x=时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最大值43；AD AE⋅u u u v u u u v的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择A选项.练习1.在ABCV，90C∠=︒，24AB BC==，,M N是边AB上的两个动点，且1MN=，则CM CN⋅u u u u v u u u v 的取值范围为( )A．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．[]5,9C．15,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意，可以点C为原点，分别以,CB CA为,x y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点,A B的坐标分别为(()0,23,2,0，直线AB的方程为33y x=+，不妨设点,M N的坐标分别为()(),323,,323a ab b-+-+，[],0,2a b∈，不妨设a b>，由1MN=，所以()()22331a b b a-+-+=，整理得12a b=+，则()4612CM CN ab a b⋅=-++u u u u v u u u v，即2511444CM CN b⎛⎫⋅=-+⎪⎝⎭u u u u v u u u v，所以当54b=时，CM CN⋅u u u u v u u u v有最小值114，当0b=时，CM CN⋅u u u u v u u u v有最大值9.故选A.练习2.在ABC∆中，239,AB AC AC AB AC==⋅=u u u v u u u v u u u v，点P是ABC∆所在平面内一点，则当222PA PB PC++u u u v u u u v u u u v取得最小值时，PA BC⋅=u u u v u u u v( )A．24-B．62C．92D．24【答案】D【解析】2AC AB ACu u u v u u u v u u u v⋅=以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则(0,3),(62,0)A B，设(,),P x y222PA PB PC++u u u v u u u v u u u v22222222=(3)(62)3(22)3(1)54x y x y x y x y+-+-+++=-+-+当22,1x y==时222PA PB PC++u u u v u u u v u u u v取得最小值，PA BC⋅=u u u v u u u v(22,2)(62,0)24-⋅-=，选D.练习3.在矩形ABCD中，2AB=，2BC=，点E为BC的中点，点F在CD，若2AB AF⋅=u u u v u u u v，则AE BF⋅u u u v u u u v的值（）A2B．2 C．0 D．1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，()20B，，()2,1E，(),2F x ，()2,0AB ∴=u u u v，(),2AF x =u u u v，22AB AF x ∴⋅==u u u v u u u v解得1x =，()1,2F ∴()2,1AE ∴=u u u v ，()12,2BF =-u u u v，()212122AE BF ∴⋅=-+⨯=u u u v u u u v.故选A 项．（八）三角形的心例8. 平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】C【解析】平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO ACAB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得()0||||AB ACAO AB AC -=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r g ，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得：()0||||CA CBCO CA CB -=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，所以O 在ACB ∠的平分线上，则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．练习1．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，()CO mCB nCA m n R =+∈，u u u r u u u r u u u r，6CA =u u u r ，8CB =u u u r ，tan 7ACB ∠=，则m n -=（）A ．3B ．2 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设线段AC 的中点为D ，线段BC 的中点为E ，连接OD 、OE ，如下图所示，由垂径定理知,OD AC OE BC ⊥⊥，则0,0DO CA EO CB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r所以()CA CO CA CD DO ⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1182CA CA CA DO ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,1()322CB CO CB CE EO CB CB CB EO ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因为tan 70ACB ∠=>，所以0,2ACB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又22sin cos 1ACB ACB ∠+∠=，所以2cos ACB ∠=2||||cos 681224CA CB CA CB ACB ⋅=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r2()||CO CA mCB nCA CA mCB CA n CA ⋅=+⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12236m n =+2()||CO CB mCB nCA CB m CB nCA CB ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r64122m n =+因为1832CA COCB CO⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ru u u r u u u r163212236182864122321242mm nm nn⎧-=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨+=-⎪⎪⎩=⎪⎩所以163212422282112m n---=-=故选：B练习2. 已知O是平面上一个定点，,,A B C是平面上不共线的三个点，动点P满足(),(0)sin sinAB ACOP OAAB B AC Cλλ=++>u u u v u u u vu u u v u u u vu u u v u u u v，则点P的轨迹一定通过ABC∆的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】C【解析】因为(),(0)sin sinAB ACOP OAAB B AC Cλλ=++>u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r，故()sin sinAB ACAPAB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r，如图：设ABC∆边上的高为h，则sin sinh AB B AC C==u u u r u u u r，所以()AP AB AChλ=+u u u r u u u r u u u r.取BC的中点为D，则2AB AC AD+=u u u r u u u r u u u r，所以2AP ADhλ=u u u r u u u r，故P的轨迹为射线AD（除点A），故P的轨迹一定通过ABC∆的重心，故选：C.练习3. 已知在ABC∆中，向量ABu u u r与ACu u u r满足0||||AB ACBCAB AC⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r，且12||||AB ACAB AC⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABC∆为（）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】分别在,AB AC 上取点,D E ，使得,AB ACAD AE ABAC==u u ur u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ，则1AD AD ==u u u r u u u r . 以,AD AE 为一组邻边作平行四边形ADFE .如图.则平行四边形ADFE 为菱形,即对角线AF 为角DAE ∠的角平分线.由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u ur u u ur u u u r ，即()0AD AE BC +⋅=u u u r u u u r u u u r ,也即0AF BC ⋅=u u u r u u u r 所以AF BC ⊥,即角DAE ∠的角平分线AF 满足AF BC ⊥. 所以在ABC V 中有AB AC =.又12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u ur u u u r ，即12⋅=u u u r u u u r AD AE ，所以111cos 2AD AE BAC ⋅=⨯⨯∠=u u u r u u u r 所以60BAC ∠=︒.所以 ABC ∆为等边三角形，故选：D .练习4.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=u u u v u u u v u u u v，则2n m -=（）A ．199B ．4122-C ．111-D ．1711【答案】D【解析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-u u u v u u u v u u u v，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，同理122n OE AE AO AC mAB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v-=-=-，因为212·||?02m OD AB AB nAB AC -=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以124502mn -⨯-=，又212·||?02n OE AC AC mAB AC -=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D（九）向量与其它知识点的综合例9. 已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==u u u u r u u u u r ,(0m >),212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．12y x =±B．2y x =±C ．y x =±D．y =【答案】D【解析】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==u u u u r u u u u r 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r 可得 21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =．故选：D ．练习1. 设P 是椭圆221255x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 12F PF ∆则面积是（）A ．5B ．10C ．8D ．9 【答案】A【解析】由椭圆方程可知5,a c ===，即12210PF PF a +==，122F F c ==120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，所以222121280PF PF F F +==，因为222121212()2PF PF PF PF PF PF +=++，解得1210PF PF =。

[推荐学习]高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理

平面向量与复数【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12【解析】(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】(1)C (2)12 －16【解析】(1)因为A ，B ，D 三点共线，所以 AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2、【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．【答案】(1)22 (2)2【解析】(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－ 12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．【解析】(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i 等要熟记．例4、【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( )A ．12 B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i ＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 2.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494 （C （D【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴=⎪ ⎝⎭⎝⎭()(222+14x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，()22max149144BM ⎫∴==⎪⎭，故选B.1.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+=故选B. 2.【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 3.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.4.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】－1【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：－15.【2016高考山东理数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+（D ）12i --【答案】B【解析】设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B. 6.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．7.【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 【答案】5【解析】(12)(3)55z i i i =+-=+，故z 的实部是51．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.答案 B2．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i 解析因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D. 答案 D3．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析 i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.答案 C4．(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析 ∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.答案 A5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.答案 A6.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)tt =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号． 7.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙= . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙.8.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.9.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.11.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.。

高考数学(理)：专题02-平面向量与复数(命题猜想,含答案)

专题02-平面向量与复数【考向解读】:1.命题角度:复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度:复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度. 【命题热点突破一】:平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案 A解析作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A. 【方法技巧】:(1)向量加法的平行四边形法则:共起点；三角形法则:首尾相连；向量减法的三角形法则:共起点连终点，指向被减.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC→＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R . (3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.【变式探究】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |= . 【答案】:23【解析】:利用如下图形，可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】:如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C.1 D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →. 又B ，N ，P 三点共线，∴m ＋23＝1，∴m ＝13.【变式探究】:(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】:(1)12 (2)－12【解析】:(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE → ＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.【感悟提升】:(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】:如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ等于( )A.2B.83C.65D.85答案 D解析方法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.方法二以AB →，AD →作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →， ∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.【命题热点突破二】:平面向量的数量积 (1)数量积的定义:a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，.若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】:A【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则:，即，据此可得:，且:，，由数量积的坐标运算法则可得:，整理可得:，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A 选项.【命题热点突破四】:复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记．例4、设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( ) A.0 B.12 C.1 D. 2 答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ， ∴|z |＝1.故选C.【变式探究】已知a R ∈，i 是虚数单位，若，则a=（A ）1或-1（B ）7-7或（C ）-3（D ）3 【答案】:A 【解析】:由得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】:已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若，则ab的值为_______.【答案】:2 【解析】:由，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【变式探究】:(1)若复数z ＝21＋3i ，则|z|＝( )A ．12B ．32C ．1D ．2 (2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】:(1)C (2)B【解析】:(1)z ＝21＋3i＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－i i＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】:1.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1B.+1C.2D.2− 【答案】:A 【解析】:设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A. 2.如图，在平面四边形ABCD 中，，，，.若点E为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】:A【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则:，即，据此可得:，且:，，由数量积的坐标运算法则可得:，整理可得:，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.3.（2018年全国I卷理数）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A.5B.6C.7D.8【答案】:D【解析】:根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得:，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.4.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】:A【解析】:根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.5.已知向量，满足，，则A.4B.3C.2D.0【答案】:B【解析】:因为所以选B.6.在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．5.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【答案】:311【解析】:，则.6.已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】:33【解析】:，，，∴，解得:33λ=． 7．已知向量a ，b 满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】:4，25【解析】:设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有:，，则:，令，则，据此可得:，即的最小值是4，最大值是25．8.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】:C 【解析】:因为，OA OC <，OB OD <，所以，故选C 。