静心研究 准确把握 科学备考(之三)

静心研究 准确把握 科学备考（之三）
——2010年高考新课程代数内容复习漫谈
浙江省杭州第十四中学 特级教师 马茂年
三、狠抓基础，切忌以“能力”冲淡“基础”
要成就一件大事业，必须从小事做起. —— 列宁
1．函数概念和性质复习策略
函数是高考数学中极为重要的内容，函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础.纵观近几年来的高考试题，函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，约含全卷的30%左右。

近几年对函数性质的考查主要体现在以下几个方面：
(1) 函数三要素的考查，特别是函数的定义域与函数表示方法； (2) 分段函数概念的理解与应用的考查；
(3) 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的考查； (4) 抽象函数讨论性质的考查；
(5) 二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、高次函数等具体函数的性质探求的考查。

函数的定义域、值域及分段概念的考查常以选择题、填空题出现，其能力要求比较低. 函数的性质——奇偶性、周期性及图象变换多以选择题形式出现，并且低难度和高难度的试题都有可能出现.函数的单调性的讨论与应用难度较高，具有综合性。

新课程高考命题坚持“三个有助于”的原则，以全面考查基础知识，积极支持课程改革为命题的指导思想。

预测2010年新课程高考函数知识的命题趋势为：重视考查“三基”，不刻意追求知识的覆盖率；函数图像、二次函数、指数函数、对数函数仍会以基本要求为主，函数的“两域与三性”问题、数形结合思想仍是考查的重点和热点；对函数性质的考查，知识的载体可能是幂函数、指数对数函数、三角函数，甚至是抽象函数，也可以在解方程、不等式、数列综合、解析几何等问题中体现；用导数解决单调性、恒成立求参数范围、应用题求最值等问题很有可能以中等难度题出现。

例1.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x
f x
g x e -=，则有（ ）
A ．(2)(3)(0)f f g <<
B ．(0)(3)(2)g f f <<
C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f <<
例 2. 设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［
5
4
］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1),(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=
--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
时，函数x C 8的值域是( )
A.16,283⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B.16,563⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤
⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
例3．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并求证.4112
1
<+x x
例4. 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S 。

(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值。

2．三角函数复习方法杂谈
三角函数在新课程人教社A 版教材中共有三章内容，分别是必修4中的《三角函数》、《三角恒等变形》和必修5中的《解三角形》. 三角函数的内容向上承继函数与基本初等函数内容，中间穿插平面向量的内容，后续与导数、不等式以及选修模块中的坐标系和参数方程相关联。

自07年开始，浙江省高考数学卷由原来的6道大题改为5道大题，传统的6道大题中，07年未考概率分布列的解答题，08年未有考三角函数的解答题.。

结合浙江省近几年命题趋势和新课程地区高考中三角函数部分试题，数学高考三角函数部分将以稳定为主，选择和填空题中应该有一到两道试题，存在变数的地方是解答题是否会出三角函数综合问题。

分值15分左右。

题目难度以中低档为主，复习时注重基础，强调公式的选择和合理应用。

涉及三角函数的题型总的可以分为三类，其一为三角函数图形性质，其二为三角函数求值问题，包括“给值求值”、“给角求值”、“给值求角”等，其三即为解三角形。

例1．函数21
sin 2sin ,2
y x x x R =+∈的值域是 ( ) （A ）13,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦（B ）31,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ （C
）11,2222⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（D
）11,2222⎡⎤---⎢⎥⎣
⎦ 例2．已知函数()f x ＝－3sin 2
x ＋sin x cos x 。

(1) 求25(
)6f π的值； (2) 设α∈(0，π)，()2f α＝41
，求sin α的值。

例3． 在ABC ∆中，2AC =，1BC =，3
cos 4
C =。

（1）求AB 的值； （2）求()sin 2A C +的值。

例4．
已知2(cos ,cos ),(cos )a x x b x x ωωωω== （其中01ω<<），函数()f x a b =⋅ ，若直线3
x π
=是
函数()f x 图象的一条对称轴。

（1）试求ω的值； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）先列表再作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象。

3．平面向量题型和高考走势
平面向量是高中数学的三大数学工具之一，同时具有代数可运算性和几何的直观性。

向量是数形结合的典范，是高考数学题命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的热点，准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，才能较好地解决这类问题。

常见的考点有：
（1）平面向量的基本概念，向量的加法与减法；
（2）共线向量的充要条件，向量的基本定理和坐标表示； （3）实数与向量的积；向量的数量积与运算律； （4）向量与平面几何；向量和其他问题的整合等。

本章的重点是：向量的几何意义，共线向量，向量基本定理，向量的数量积，坐标运算，向量的平行和垂直、夹角、模长。

纵观近年的考题，强调了试题的几何背景，特别是浙江省的近年高考试题，无不凸现了试题的几何背景，当然命题者也兼顾了向量的代数性质，所以解题的主要手段以从传统的计算为主转变为以挖掘问题的几何背景为主。

例1 已知a ，b
的夹角为120︒，1a = ，3b = ，求5a b - 的值。

例2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=
，则c 的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C
（D
例3 如图，平面内有三条向量OA 、OB 、OC 其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且||||1O A O B ==
，
||OC = OC OA OB λμ=+
（λ，μ∈R ）
，求λ+μ的值。

例4 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的
直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点
M ，N ，若AB mAM = ，AC nAN =
，求m n +的值。

4．数列高考题型透视
纵观最近几年浙江高考自主命题数学卷的基本规律，我对以后几年高考命题趋势的基本判断是： （1）从题型分布来看，数列部分的试题保持一小（选择题或填空题）一大（解答题）的基本结构。

（2）从考点分布来看，选择题或填空题考查等差等比数列的定义,通项与前n 项和等知识点可能性较大。

从函数与数列的联系上看，高考试题还有可能以单调性（导数）与周期性作为命题的方向，这部分试题的难度不大。

而数列的解答题，浙江省在04、05、06，08均为压轴题、07年为次压轴题，都在数列、函数、不等式的交汇处出题，以能力立意，难度很大，主要体现高考试题的选拔功能。

例1．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2=（ ） (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10
例2．已知{}n a 是等比数列，4
1
252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） （A ）16（n
--41） （B ）16（n
--2
1）
（C ）
332（n --41） （D ）3
32（n
--21） 例3．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12
12
1∙++∈=-+N n a a a n n n ．记
n n a a a S +++= 21，)
1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++
+++++=
A
B
C
O
M
N
（例题4）
例题3
求证：当∙
∈N n 时，1+<n n a a .
例4．已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图）。

求证：当*
n N ∈时，
(Ⅰ) 22
1132n n n n x x x x +++=+；
（Ⅱ）21
)2
1
()
2
1
(--≤≤n n n x 。

5．不等式和恒成立问题解读
随着高考命题立意的转变，对数学思想和方法的考查更加注重。

从2005年起，陆续在各省市的高考试题中出现以数列、函数、不等式、二项定理等为背景的“恒成立问题”的试题，且有逐年上升的趋势。

近三年的理科数学高考试题中，有10多个省市出了恒成立问题的试题。

从题型变化看，2006年，各省市的高考卷中选择、填空题与解答题的比例基本相当；07、08两年，除个别省市以外，绝大多数都以解答题的形式出现，分值一般在12～15分，其中有不少省市为最后的压轴题。

从内容变化看，以数列为背景的题在减少，以函数为背景的题在增加，其原因函数是中学数学的重要内容，而以函数、不等式、方程等为背景的恒成立问题的题型，知识点覆盖更宽、工具性更强、数学思想方法更加凸显，能巧妙地与不等式、方程、数列等知识融合一体，体现了在知识网络交叉处命题的基本原则，这类题型往往是一题就能整合“函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转换（化归）思想”等多种经典数学思想方法。

文科数学高考试题中，此类题目相对出的要少一些，即使出了，难度也不是整卷中最高的，不过发展趋势也在逐年增加。

恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，一直以来都是高中数学中的热点，又是难点。

它往往以函数、数列、不等式、三角函数、解析几何为载体体现一定的综合性，此类题目有利于考查数学综合能力，有助于培养思维的灵活性和创造性。

但又没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。

如何更加简单、准确、快速解决这类问题？并更好地认识把握，本专题通过典例剖析来说明这类问题的一些常规处理策略。

例1．设函数)(13)(3
R x x ax x f ∈+-=，若对任意的]11
[，x -∈，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值。

例2．若不等式1
(1)
n a
e n
++≤，对任意的*n N ∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值。

例3．函数(),3)(3
R x x x x f ∈+=若()
()012
>-+mx f mx f 恒成立,求实数m 的取值范围。

例4．已知二次函数),,(,)(2
R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有
2)2(8
1
)(+≤x x f 成立。

(1)求证：2)2(=f ;
(2)若)(,0)2(x f f =-的表达式;
(3)设x m x f x g 2)()(-=,),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线4
1
=y 的上方，
求实数m 的取值范围。