高考数学易错题解析.ppt

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高考数学易错易误易忘题分类汇总及解析(61页)

f
1
x
1
1 x 1 2 1
2x 1 x
再求
y f 1 x 1 的反函数得 g x 2 x 。正确答案：B
1 x
【知识点分类点拔】函数 y f 1 x 1 与函数 y f x 1 并不互为反函数，他只是表示
f 1 x 中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 y f x 1 则
答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位
例 4、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线
1 x
y x 对称，则 y g x的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
4
4
28
8
28
+ 因此当 x=-1 时 x2+y2 有最小值 1, 当 x=- 时，x2+y2 有最大值。故 x2+y2 的取值范围是[1,
3
3
3
28
]
3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y 的限制，
4
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， 2 y 2 。此外本题还可通过三角换元
x 的取值范围为（）A、 ( a2 1, ) 2a
(a, )
B、 (, a2 1) 2a
a2 1
C、 (
, a)
D、
2a
答案：A （ a 1 时， f x单调增函数，所以 f 1 x 1 f f 1 x f 1 x f 1 a2 1 .） 2a
【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。

答案高中高考数学(函数部分)易错题汇总及解析

高中高考数学（函数部分）易错题汇总及解析一、选择题：1，答案：B解析：结合数轴解答。

本题易错点在于集合M 的判断，易认为集合M 为}2211|{><<<=x x x x P 或或，而误选C,2. 答案：C解析：可从集合B 中()()1,2f f ，的象的和等于()3f 入手分析显然有110,000,011,011-+=+=+-=-+=四种情况分别对应的映射有：2个、1个、2个、2个共有个。

3．解析：此题根据复合函数的单调性求解时，转化为求二次函数的单调减区间但易忽视定义域的限制。

4．答案：C 解析：根据同增异减的规律可知二交函数在区间]2,(a -∞上为减函数，则易知以a 为底的对数函数为增函数，易忽略当x 在区间]2,(a -∞上取值时，真数为零的限制。

5．答案：A解析：根据导数解答，分出变量但注意等号是否取得。

6．答案：A解析：数形结合，根据题意易知函数f （x ）在[]2,4上为增函数利用单调性即可比较大小。

7．答案：B解析：可将选项逐次判断。

8．答案：D解析：数形结合9．答案：B 解析：由条件1(2)()f x f x +=可推出函数为周期为4的函数，故根据周期性即得 10．答案：D 解析：由132log <a=log a a 根据单调性分类讨论即得。

11．答案：D解析：代入化简注意开方时由于01,0a x <<>故x x aa ->。

12答案：C解析：根据定义判断13．答案：A 解析：分a>1和a<1讨论解决14．答案：D解析：将问题可转化为二次函数220x x a ---=（2x ≠±）有一解时实数a 的取值范围，注意二次函数可有一解或有两解但一解为2或-2。

15．答案：A 解析：易知d cx bx ax x f +++=23)(=()(1ax x x --a,b,c,d 的关系，再利用当0<x<1时，f （x ）小于零得关于b 答案：一、选择题：BCCCAABBBDDCADA二、（17）)3,0()0,3(⋃-，（18）)23,(-∞，（19）)4,(--∞，（20）3，（21）-4，（22）)4,0[，（23）-4，（24）]3,1[-，三、解答题：25、211|||1|2||2|1|<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-m m m m m 。

高考数学-失误大盘点-1集合、函数与导数、不等式失误点课件-人教可修改文字

致本题失分的根本原因.在解决集合中的含参数问题
时，一定要考虑全面，注意用元素的互异性检验所求的
参
.
正解由 A∩B＝{9}，知 9∈A. ①当 2a－1＝9 时，a＝5，检验不符合要求，舍去； ②当 a2＝9 时，a＝3 或 a＝－3，检验 a＝3 不符合要求．故 a＝－3.
变式训练 2 设集合 A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否
变式 2∈训M练，3则实已数知a集的合取M值＝范{x围|a是2x－＋_a_x32_－≤a_－_1a_≤1_2_12<_或0_}_，_a_≥若__2．
解析若 2∈M，则2a2＋2a2－a－1 12<0，即(2a－1)(a2＋a－6)<0， ∴(2a－1)(a－2)(a＋3)<0， ∴a<－3 或12<a<2， ∴当 2∈M 时，a 的取值范围为：－3≤a≤12或 a≥2. 故填：－3≤a≤12或 a≥2.
正解设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y′|x x 0＝3x20－2. ∴切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即 y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得 x0＝1，或 x0＝－12.
找准失分点 B⊆A，B 可以为非空集合，B 也可以是空集．漏掉对 B＝∅的讨论，是本题的一个失分点．失分原因与防范措施造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现 A B ，A ∩B=A ，A ∪B=B 时，注意对 A 进行分类讨论，即分为 A= 和 A≠ 两种情况讨论.

高考数学失误大盘点 2三角函数、平面向量及解三角形失误点课件新人教

三角函数、平面向量及解三角形
失分点 11 图象变换方向或变换量把握不准致误
例 1 已知函数 f(x)＝2cos xsin(x＋π3)－ 3sin2x＋sin x·
cos x＋2(x∈R)，该函数的图象可由 y＝sin x(x∈R)的
图象经过怎样的变换得到？
错解
f(x)＝2cos
1 x(2sin
x＋
3 2 cos
③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标为原来的 2 倍，得 y＝2sin(2x＋π3)的图象； ④将所得图象向上平移 2 个单位得 y＝sin(2x＋π3)＋2 的图象．
找准失分点第②步中，平移方向和平移量均错．
失分原因与防范措施平移方向出错，由 f(x) →f(x±a) (a>0)是左加右减，即 x＋a 是 f(x)向左平移 a 个单位，x －a 是 f(x)向右平移 a 个单位．平移量出错，平移对象是 x，而不是 2x.我们所说的平移多少是对 x 说的，即“对 x 说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如 x 有系数 ω，则先写成 ω(x＋φ)的形式．
∴C＝3π，
由 C＝3π知 B＝2π，∴b＝ a2＋c2＝2.
找准失分点第(1)问产生了增解56π.第(2)问失了一个解 b＝1.
失分原因与防范措施在第（1）问中，没有注意到 a<c 这个条件，是出错的根本原因.由于 a<c，必有 A <C ，所以 A 一定是锐角.在第（2）问中，由于 C >A，所以 C 可以是锐角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角形内角和为π.②比较两边的大小关系.
找准失分点 2α－β 的范围错误．
失分原因与防范措施本题错误的原因是：忽略了

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》图文解析

数学《三角函数与解三角形》知识点练习一、选择题1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14CD【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-．由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错；由23x π-＝2k ππ+，得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ，所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错，D 对；故选：D ．【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．5．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数32cos 2y x x =-的图象（） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到【答案】D 【解析】【分析】合并3sin2cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

备战2024年高考数学考试易错题专题03 不等式(3大易错点分析)(原卷版)

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a 0 b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a b a ，b a 0 b a )0(1 b baba 0b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a ；传递性c a c b b a c a c b b a ，；，可加性cb c a b a 可乘性b ac c b a bc ac c b a 00，；，同向可加性db c a d c c a ，同向同正可乘性bdac d c b a 00，可乘方性nn b a N n b a *0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．A ．若a b ，则20242024a bB ．若a b ，则20242024a bC ．若20242024ax bx ，则a bD ．若a b ，则20242024ax bx ，b ，，若，则下列不等式成立的是（）A ．11a bB ．3311a bC ．2222a bc cD ．22ac bc 2．若0b a ，则下列结论不正确的是（）A ．11a bB ．2ab a C ．33a bD ．a b a b3．已知a b ，c d ，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bdB ．e e c da b C ．e e e e a c b d D ． ln ln a c d b c d 4．若110a b，则下列不等式中正确的是（）A ．a b B ．a b C ．a b ab D ．2b a a b5．若a 、b 、c R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b cB ． 2a b c C ．ac bcD ．2c a b6．下列命题中正确的是（）A ．若a b ，则22ac bc B ．若a b ，c d ，则a b c dC ．若a b ，c d ，则a c b dD ．若0ab ，a b ，则11a b7．设x R ，则“1x ”是“x x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 mn ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2 c x b x a 的解集为)1[]1( ，，m n 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1( ，，mn ．2、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 m n ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为11(n m ，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)11(nm，．3．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)1[1( ，，nm 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1(，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为，则一定满足00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为，则一定满足0a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ，其中24b ac ，12,x x 是方程20(0)ax bx c a 的两个根，且12x x （1）当0a 时，二次函数图象开口向上．（2）①若0 ，解集为21|x x x x x 或．②若0 ，解集为|2b x x R x a且．③若0 ，解集为R ．(2)当0a 时，二次函数图象开口向下．①若0 ，解集为 12|x x x x ②若0 ，解集为。

高考数学易错梳理

高考数学易错梳理公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}求M ∩N 的区别。

3．集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法6．两集合之间的关系。

},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7．(C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:9、互否逆逆否否否否否否互逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗13、求函数的定义域的常见类型记住了吗函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是；复合函数的定义域弄清了吗函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

高中数学易错题分类汇总及解析

当 x=-
≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x +y =-3x -16x-12=
2
2
2
+
28 2 2 因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 3
8 28 28 2 2 2 2 时， x +y 有最大值。故 x +y 的取值范围是[1, ] 3 3 3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件
f ( x) =
lg (1 − x 2 ) x−2 −2
的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
f (− x) =
lg (1 − x 2 ) x+2 −2
≠ f ( x) 从
3
而得出函数
f ( x ) 为非奇非偶函数的错误结论。
2 1 − x > 0 解析：由函数的解析式知 x 满足即函数的定义域为 ( −1, 0 ) ∪ ( 0,1) 定义域关于原点对称， x − 2 ≠ ±2
2
+
y2 = 1 ,求 x 2 + y 2 的取值范围 4
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、
y 满足
( x + 2)
2
y2 + = 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 4
1
解析：由于
( x + 2) +
2
y2 y2 = 1 得(x+2)2=14 4
Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，
【知识点归类点拔】（1）在应用条件 A∪B＝Ｂ ⇔ A∩B＝Ａ ⇔ Ａ将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．

广东省高考数学文科复习专题突破易错易漏易混题集PPT文档共106页

生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
广东省高考数学文科复习专题突破易错易漏易混题集
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题22数列综合

专题22 数列综合【标题01】混淆了数列n a 和数列212,nn a a 的“n ”【习题01】已知数列{}n a 满足11a =，212a =，且2[3(1)]22[(1)1]0n nn n a a ++--+--=, n N *∈.（1）求3456,,,a a a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=⋅(n N *∈)，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【经典错解】（1）由已知得3456113,,5,.48a a a a ==== 当n 为奇数时，22n n a a +=+，所以数列的奇数项组成一个等差数列，所以222111()1(22)22321222nnna a n n n a n当n 为偶数时，212n n a a +=，所以数列的偶数项组成一个等比数列，所以22222112211111()()()()22222nnn n nna aa 因此，数列{a n }的通项公式为n-12=21122nn n k k N a n k kN（）（2）下略.【详细正解】（1）由已知得3456113,,5,.48a a a a ==== 当n 为奇数时，22n n a a +=+，所以数列的奇数项21n a 组成一个等差数列21n a ，令211121(1)2222121nnn nna b b b n a n n a n a n所以222111()1(22)22321222nnna a n n n a n当n 为偶数时，212n n a a +=，所以数列的偶数项2n a 组成一个等比数列2n a ， 11122221211111112222222n n n nnnn n n nna b b b aa因此，数列{}n a 的通项公式为n2=21122nnn k k N a nk kN（）（2）因为212n n n b a a -=⋅，则2311111113()5()(23)()(21)()22222n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式错位相减得234111111112()2()2()2()(21)()2222222n n n S n +=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅11112[()]1142(21)()12212n n n -+-=+--⋅- 131(23)()22n n +=-+13(23)()2n n S n ∴=-+【习题01针对训练】定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．（1）若项数为20项的“对偶数列” n a ，前4项为11,1,3,2，求该数列的通项公式及20项的和；（2）设项数为2m （m N *∈）的“对偶数列” n a 前4项为11,1,3,2，试求该数列前n （12n m ≤≤，n N *∈）项的和n S ；（3）求证：等差数列n a (0)n a ≠ 为“对偶数列”当且仅当数列n a 为非零常数数列．【标题02】放缩不等式求和时没有分类讨论【习题02】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【经典错解】(1) 解：2121233n n S a n n n +=---，n N *∈. ∴ 当1n =时，112212221233a S a a ==---=- 又11a =，24a ∴=（2）解：2121233n n S a n n n +=---，n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ①∴当2n ≥时，()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②，得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=- ()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =，公差为1的等差数列. ()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ 当1n =时，上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈（3）证明：由（2）知，2*,n a n n N =∈()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴原不等式亦成立.综上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 【详细正解】（1）同上；（2）同上；（3）证明：由（2）知，2*,n a n n N =∈ ①当1n =时，11714a =<，∴原不等式成立.②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时,()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴当3n ≥时,，∴原不等式亦成立. 综上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.【习题02针对训练】已知数列满足，，令.（Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）记数列的前n 项和为，求；（Ⅲ）求证：12111111122316n n a a a -<+++<⨯. 【标题03】对等比数列的判断方法没有理解透彻【习题03】设数列{}n a 满足12n n a a n -=+(n 2n N )*≥∈且，{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足2n n b a n =++．（l ）若11a =，求4S ;（2）试判断数列{}n b 是否为等比数列？请说明理由；（3）若13a =-，,,m n p N *∈，且2m n p +=．试比较m n S S +与2p S 的大小，并证明你的结论．【经典错解】（1）∵12n n a a n -=+(n 2n N )*≥∈且，且11a =，∴22124a =⨯+=，324311a =⨯+=，4211426a =⨯+=． ∴442S =.（2）∵2n n b a n =++，11+n+1+2=2(1)(1)22(2)2n n n n n b a a n n a n b ++∴=+++++=++=（）．所以数列{}n b 是以13a +为首项，2为公比的等比数列.（3）2m n P S S S +≤．事实上，由（2）知，当13a =-时，10b =，则2n a n =--． ∴{}n a 是以3-为首项，1-为公差的等差数列， ∴1(5)2n S n n =-+． ∵,,m n p N *∈，且2m n p +=， ∴112(5)(5(522m n P S S S p p m m n n +-=+-+-+））22215[(2)22](2)42p m n p m n =--+-- 222211[(m n)22]()044m n m n =+--=--≤． ∴2m n P S S S +≤. 【详细正解】（1）同上；（2）∵2n n b a n =++，11+n+1+2=2(1)(1)22(2)2n n n n n b a a n n a n b ++∴=+++++=++=（）．又∵113b a =+，∴当13a =-时，10b =，此时{}n b 不是等比数列，当13a ≠-时，10b ≠，则12()n nb n N b *+=∈．故当13a ≠-时，数列{}n b 是以13a +为首项，2为公比的等比数列.（3）同上【深度剖析】（1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.（2）要判断一个数列n a 是等比数列，需要证明1(0,)n na q q nN a 和10a ，但是错解只证明了1(0,)n na q q n N a ，忽略了对首项是否为零的讨论，所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列，一般先求1n na a 的值，如果不是同一常数，数列{}n a 不是等比数列，如果1(0,)n na q q n N a ，然后求出它的首项，看它的首项是否为零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是.【习题03针对训练】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =-()n N *∈.（1）证明数列{}3n a +为等比数列;（2）求{}n S 的前n 项和n T .【标题04】逻辑不严谨忽略了等式的性质【习题04】求和12321++++-x x nx n . 【经典错解】令S x x nxn n =++++-12321，则xS x x x n xnx n n n =++++-+-231231()两式相减得21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-21(1)1n nn x nx S x x-∴=--- 【详细正解】若x =0，则S n =1；若x =1，则S n n n =+()12.若x ≠0，且x ≠1时令S x x nx n n =++++-12321则xS x x x n x nx n n n =++++-+-231231()两式相减得21(1)1n nn x S x x xnx --=++++- 21(1)1n nn x nx S x x-∴=---【习题04针对训练】设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-,（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+.【标题05】弄错了数列的首项【习题05】已知数列{}n a 满足121,2a a ==，12,*2n n n a a a n N +++=∈. （1）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式. 【经典错解】（1）1211b a a =-=.当2n ≥时，11111222n n n n n n n n n a a a ab a a a b --+-+-=-=-==-， ∴{}n b 是首项为11a ，公比为12的等比数列. （2）由（1）可得11111()()22n n n b --=-=-，∴111()2n n n a a -+-=-，下面的略. 【详细正解】（1）1211b a a =-= 当2n ≥时，11111222n n n n n n n n n a a a ab a a a b --+-+-=-=-==-， ∴{}n b 是首项为1211b a a ，公比为12的等比数列. （2）由（1）可得11()2n n b -=-，∴111()2n n n a a -+-=-， ∴0211()2a a -=-，1321()2a a -=- ，211()(2)2n n n a a n ---=-≥，∴00211111521()()()()(2)222332n n n a a n --=+-+-+⋅⋅⋅+-=--≥，当1n =时，也符合，∴1521()332n n a -=--【习题05针对训练】在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．（1）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【标题06】等比数列求和弄错了数列的项数【习题06】已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，数列{}n b 满足11b =，3718b b +=，且112n n n b b b -++=（2n ≥）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【经典错解】（1）由题意知2n n S a =-①，当2n ≥时，112n n S a --=-②，①-②得11n n n n n a S S a a --=-=-，即121-=n n a a ，又1112a S a ==-，∴11a =，故数列{}n a 是以1为首项，21为公比的等比数列，所以121-=n n a ，由112n n n b b b -++=（2n ≥）知，数列{}n b 是等差数列，设其公差为d ，则9)(21735=+=b b b ，故12)1(24115-=-+==-=n d n b b b b d n ，，综上，数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为12211-==-n b a n n n ，.（2）∵12)12(-⋅-==n nnn n a b c ， ∴12n n T c c c =+++12102)12(252321-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n ③n n n n n T 2)12(2)32(23212121⨯-+⨯-++⨯+⨯=- ④③-④得nn n n T 2)12()222(21121⋅--++++=-- ，2(12)12(21)212n n nT n . 下面略.【详细正解】（1）同上（2）∵12)12(-⋅-==n nnn n a b c ， ∴12n n T c c c =+++12102)12(252321-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n ③n n n n n T 2)12(2)32(23212121⨯-+⨯-++⨯+⨯=- ④③-④得nn n n T 2)12()222(21121⋅--++++=-- ，12(12)12(21)212n n nT n ,即32)32(2)12()22(21---=---+=-n n n n n n T ， ∴32)32(+⋅-=nn n T【深度剖析】（1）经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数.（2）经典错解没有认真观察，凭经验得到数列121222n 有n 项，实际上这个数列有1n -项，所以在观察数列有多少项时，一定既要观察首项，也要观察末项，要瞻前顾后，这才是科学的严谨的.（3）数列的首项、项数、末项等是很容易错的基本量，所以在解答数列题时，在这些地方要谨慎细心.【习题06针对训练】已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31212111()log ,()()...(),...n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2014T ；（3）若()n n n c a f a =⋅，求{}n c 的前n 项和n U .【标题07】40060S 不一定能说明4006是使得0n S >成立的最大自然数【习题07】若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>，200320040a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（） A ． 4005B ． 4006C ． 4007D ． 4008【经典错解】∵10a >，200320040a a +>，200320040a a <， ∴首项大于零的递减的等差数列， ∴400614006200320044006()2003()02S a a a a ,故选B . 【详细正解】∵10a >，200320040a a +>，200320040a a <， ∴首项大于零的递减的等差数列，200320040,0a a ,∴400614006200320044006()2003()02S a a a a 4007140072004200440074007()24007022S a a a a ，故选B .【习题07针对训练】设{}n a 是等差数列，10a >，200720080a a +>，200720080a a ⋅<，则使0n S >成立的最大自然数n 是（） A ． 4013B ．4014C ． 4015D ． 4016【标题08】代换时忽略了n 的范围导致结果出现错误【习题08】已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12323n n b b b nb a ++++=（n N *∈），求{}n b 的通项公式n b ．【经典错解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2a 是1a 和31a -的等差中项得：21321a a a =+-，∴211121a q a a q =+-，∴22q q =，∵0q ≠，∴2q =， ∴12n n a -=（2）由12323n n b b b nb a ++++= ①1231123(1)n n b b b n b a --++++-= ②①﹣②得：1221222n n n n n n nb a a ----=-=-=．22n n bn -=，所以22n n b n-=．【详细正解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2a 是1a 和31a -的等差中项得：21321a a a =+-，∴211121a q a a q =+-，∴22q q =，∵0q ≠，∴2q =， ∴12n n a -=（2）1n =时，由12323n n b b b nb a ++++=，得111b a ==．2n ≥时，由12323n n b b b nb a ++++= ①1231123(1)n n b b b n b a --++++-= ②①﹣②得：1221222n n n n n n nb a a ----=-=-=． 22n n b n -=，所以22n n b n -=． ∴21122n n n b n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩．【习题08针对训练】已知数列{}n a 满足：)(1111*2321N n n a a a a n∈=++++ ，令1+=n n n a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求n a 和n S ；（2）对任意的正整数n ，不等式21->λn S 恒成立，求实数λ的取值范围．【标题09】累加法求数列通项时弄错了数列的项数【习题09】在数列{}n a 中，已知11a =，121n n a a n --=+，求数列{}n a 的通项公式.【经典错解】由题得21324315,7,9,,21n n a a a a a a a a n --=-=-=⋅⋅⋅-=+ 所以2157921(521)32n na a n n n n -=+++⋅⋅⋅++=++=+，所以231n a n n =++. 【详细正解】由题得21324315,7,9,,21n n a a a a a a a a n --=-=-=⋅⋅⋅-=+ 所以21157921(521)232n n a a n n n n --=+++⋅⋅⋅++=++=+-，222n a n n ∴=+-.【习题09针对训练】在数列{}n a 中，已知11a =，12nn n a a --=，求数列{}n a 的通项公式.【标题10】对数列的极限理解不够透彻【习题10】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S =- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n nb a =⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ；（3）是否存在实数m 使得244n m mT -<<对一切n N *∈恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【经典错解】（1）由22n n a S =-，令n=1，则a 1=2﹣2S 1，又S 1=a 1，所以a 1= 当n ≥2时，由22n n a S =-，可得a n ﹣a n ﹣1=﹣2（S n ﹣S n ﹣1）=﹣2a n ，即113n n a a -= 所以{}n a 是以a 1=23为首项，13为公比的等比数列，于是123n n a =⋅；（2）23n n n n n b a =⋅=，212333n n n T ∴=+++，2311123333n n nT +=+++两式相减可得231111(1())21111331333333313n n n n n n n T ++-=++++-=--，3231443n n n T +∴=-⋅ （3）111103n n n n n T T b ++++-==>，∴{}n T 单调递增，∴T n ≥T 1=c 1=13∵3231443n n n T +∴=-⋅＜34，∴13≤T n ＜34使得244nm mT-<<对一切n N*∈恒成立，则3442143mm⎧<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩∴3＜m＜103.【详细正解】（1）（2）同上.（3）（3）11113n n n nnT T b++++-==>，∴{}nT单调递增，∴T n≥T1=c1=13∵3231443n nnT+∴=-⋅＜34，∴13≤T n＜34使得244nm mT-<<对一切n N*∈恒成立，则3442143mm⎧≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩∴3≤m＜103.【习题10针对训练】在数列{}n a中，n S是数列{}n a前n项和，11a=，当212,()2n n nn S a S≥=-（1）证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS1为等差数列；（2）设21nnSbn=+求数列{}n b的前n项和n T；（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n N*∈，都有1(8)4nT m<-成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第22讲：数列综合参考答案【习题01针对训练答案】（1）,20)122n nn na n N nn*⎧⎪=∈≤⎨⎪⎩是正奇数（（）是正偶数，91102()2-；（2）见解析；（3）证明略.【习题02针对训练答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）;（Ⅲ）详见解析. 【习题02针对训练解析】（Ⅰ），两式相减，得经检验，当时上式也成立，即.有即，且又当1n =时，左边=111216< 当2n ≥时，有故12111111122316n n a a a -<+++<⨯. 【习题03针对训练答案】（1）见解析；（2）231512(21)22n n T n n =---.【习题04针对训练答案】（1）22(2)(0,2)2n nn nb a nb b b bb ；（2）证明见下面解析.【习题04针对训练解析】(1)由1122n n n nba a a n --=+-可得1211,n n n n a b a b --=⋅+ 当2b =时,111,2n n n n a a --=+则数列{}n n a 是以1112a =为首项12为公差的等差数列,,2n n n a ∴=从而 2.n a =当2b ≠时11211(),22n n n n a b b a b--+=+--,则数列1{}2n n a b +-是以11122(2)a b b b +=--为首项.2b为公比的等比数列. 112212(2)()(),,2(2)22n n n n n n n n nb b a a b b b b b b b--∴+=⋅=⋅∴=---- 综上2,(2).(2)(0,2)2nn n n b a nb b b b b=⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩（2）当b=2时，11112,2,22n n n n n n b b a a ++++==∴=+1+1,从而原不等式成立.当≠b 2时，要证112n n n b a ++≤+1,111(2)(2),,2222n n n n n n n n nnb b b n b b b b b+++--≤≤--1+1即证+即证1232211,22222n n n n n n n nb b b b b b-----+≤+++++1+ 即证1232112223122221,2222n n n n nn n n n n b b b b b b b b b ------+≤++++++++++n 而上式左边1212112322221)()()()2222n n n n n n n n b b b bb b b b ---+-++++++++=( 121211232222122222222n n n n n n n n b b b bn b b b b ---+-≥⋅+⋅++⋅+⋅=所以当≠b 2时，原不等式也成立，从而原不等式成立.②-①得1222222121210+-⋅=-⋅⋅⋅---⨯-⨯=-nn n n n n n S .【习题06针对训练答案】（1）1()3n n a =；（2）201440282015T =-；（3）133131()()44323n n n U n +=-++. 【习题06针对训练解析】（1）在1122n n S a =-中，令1n =，可得1111111223a S a a ==-⇒=当2n ≥时，11111111()22223n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---⇒=， ∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列， ∴1()3n n a =（2）由（1）及3()log f x x =，∴331()log log ()3n n f a x n ===-，∴12(1)()()...()1232n n n n b f a f a f a n +=+++=----⋅⋅⋅-=-，故1112()1n b n n =--+，又∵121111111112...2[(1)()()]2(1)223111n nn T b b b nn n n -=+++=--+-+⋅⋅⋅+-=--=+++，∴201440282015T =-（3）由（2）及()n n n c a f a =⋅，∴1()()3n n c n =-， ∴1212111[1()2()()]333n n n U c c c n =++⋅⋅⋅+=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①，①13⋅可得：2311111[1()2()()]3333n n U n +=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②， ①-②：1211211111111[()()()()]()()333332233n n n n n U n n ++=-++⋅⋅⋅+-=-++，∴133131()()44323n n n U n +=-++，【习题07针对训练答案】B121-=n a n ，即121-=n a n ，综上，121-=n a n ，*N n ∈； )121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ，则)1211(21+-=n S n ．（2）由21->λn S 得21+<n S λ，所以min )21(+<n S λ，因为}{n S 是单调递增数列，所以当1=n 时n S 取得最小值为31，因此65<λ．【习题09针对训练答案】123n n a +=-【习题09针对训练解析】由题得23421324312,2,2,,2nn n a a a a a a a a --=-=-=⋅⋅⋅-=所以12341114(12)222224,2312n nn n n n a a a -++--=+++⋅⋅⋅+==-∴=--.【习题10针对训练答案】（1）利用等差数列定义证明即可；（2 ）21n nT n =+；(3)10m =。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》图文解析

新《平面向量》专题一、选择题1．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（）A ．3B C ．2D ．98【答案】A 【解析】【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-==因为225+=8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v 求出,u λ.2．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r，||1b ≤r且|3|2b a -≤rr，则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是（）A ．1116B ．78C D 【答案】B 【解析】【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|3|2b a -≤r r，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉rr 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（） A ．0 B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.6．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（）A ．252-B ．8-C ．172-D ．1758-【答案】A 【解析】【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值.【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r，则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.9．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】【分析】设(),a x y =r 36x y +=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴362a b x b⋅+==-r rr 即312x y +=-. 又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即1330x y λλ++=， ∴()34x y λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.10．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A 323-+ B 323+ C 31 D 31+【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭． )3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,12AD ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭u u u r． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u ru u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴331λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，231λμ∴+=+．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．12．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v的值是A ．－8B ．－1C ．1D ．8【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D13．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（）A B C ．2-D 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又()222b c x y -=-+r r ，所以原问题等价于，圆2212302x y x y +--+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆2212302x y x y +--+=的圆心坐标为31⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为5，所以点()20，与圆2212302x y x y +--+=上一动点距离的最小值为()223575212⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．14．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r（）A ．2136a b -r rB ．1133a b +r rC ．1124a b +r rD ．1133a b -r r【答案】A 【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 2136a b =-r r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4) 【答案】A【解析】【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r ，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r 求解. 【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为()()()222222EF a b b a a b =-++=+=u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u u r u u r ，因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r .故选：A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r【答案】D【解析】【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，17．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（）A ．若//a b r r ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α= C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r1 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确. C选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r1，此时5a =-r r ，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.18．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13 B．3- C．3- D ．13- 【答案】D【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.19．已知向量a v ，b v 满足a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（）A B ．3 C D 【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r rcos ,a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.20．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（）A B C D 【答案】A【分析】根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r .再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OB AOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠= 即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r 则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=-代入上式可得==所以当95λ=时, min 5OP ==u u u r 故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。

高考数学二轮复习专题十易错警示与规范解题数列配套课件

(n＝1) (n≥2) .
正解 (1)当 n≥2 时，2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，两端同除以 Sn·Sn－1，得S1n－Sn1－1＝－21，根据等差数列的定义，知{S1n} 是等差数列，且公差为－21. (2)由第(1)问的结果可得S1n＝31＋(n－1)(－12)，即 Sn＝5－63n. 当 n＝1 时，a1＝3；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－51)8(3n－8).
3
(n＝1)，
所以 an＝
18
(3n－5)(3n－8)
(n≥2).
变式训练 1 已知等比数列{an}中，a2、a3、a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 a1＝12，公比 q≠1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－
失分原因与防范措施 an＝Sn－Sn－1 只有在 n≥2 时才能
成立．解题时往往忽视 n≥2 的条件致误．解关于由 Sn
求 an 的题目时，按两步讨论，可避免出错．①当 n＝1
时，a1＝S1；②当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.检验 a1 是否适
合由②求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用
分段函数表达：an＝SS1n－Sn－1
()
A．150
B．－200
C．150 或－200
D．400 或－50
错解 C
找准失分点数列 S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30 的公比 q10>0.忽略了此隐含条件，就增加了增解－200.
失分原因与防范措施构造的新数列 S10、S20-S10，S30 -S20、S40-S30 的公比 r=q10>0.由 S10+（S20-S10）+（S30-S20） =S30=70 得 10+10·r+10·r2=70，即 r2+ r-6=0，∴r=2 或 r=-3. 由于 r=-3 没有舍去，从而出现错误. 在解决类似问题时，注意挖掘隐含条件，或先判断数列的特征，可避免类似错误.