3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(二)(学案58)

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程（学案58）

一、知识梳理

用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设两条直线所成的角为θ，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补

二、例题分析 例1、如图所示，已知正方体''''ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱

'BB 与对角线

'A C 的中点，求证

','MN A C MN BB ⊥⊥.

【变式训练】已知正方体''''ABCD A B C D -中，点E F ，分别是棱'BB 与面对角线''B D 的中点。求证：直线EF ⊥直线'A D .

例2、已知三棱锥O ABC -，453OA OB OC ===，，，

60=90o o AOB BOC COA ∠=∠=∠，，M N ，分别是棱OA BC ，的中点。 求：直线MN 与AC

所成的角余弦值.

三、随堂练习

1、在正方体1AC 中，M 是棱1DD 的中点，O 是平面ABCD 的中心，P 是11A B 上的任意一点，则直线AM 与OP 所成的角是------------------------------------------( )

A.

6

π

B.

4

π C.

3π

D. 2

π 2、直三棱柱111ABC A B C -中，90o

BCA ∠=，点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，

1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成的角的余弦值是------------------------------------( )

A.

10

B.

12

C. 15

D. 10

3、若两条直线的方向向量分别为(2,1,1)--和(1,2,1)，则这两直线所成的角为_________.

10、如图所示，已知在直三棱柱111ABC

A B C -中，,AC BC D ⊥为AB 的中点，

1AC BC BB ==.（1）求证11BC AB ⊥；（2）求证1//BC 平面1CA D

A 1

B 1

C 1 B

C A

M

N ，

和的方向向量分别为和设直线2121v v l l 1

212120v v v v ⊥⇔⊥⇔⋅= 12cos |cos ,|

v v θ=<>

.

)3(cos )2( )1.(,2,

90,1,,,411111111111M C B A CB BA A A B A N M AA BCA CB CA ABC C B A ABC ⊥>⋅<=︒=∠==∆-求证的值；求的长；求的中点、分别是、棱中底面直三棱柱、如图