几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图剖析

2008-2-2

几何画板构造圆锥曲线2008-10-01 15:43

分类：默认分类

字号：大中小

{

Copyright by Lhfcws

Copied from

Helped by Pest

Just for fun.

}

可以说算是拓展的新定义。如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自

己通过定义构造。

原始定义（必须了解）：

1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹

2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹

3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹

1、椭圆的画法。

根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。O1P+O2P=k（k为常数）。

如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。连结O1M，O2M。作O2M中垂线L，交O1M于点P。追踪交点P。当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。直线L刚好与椭圆相

切。

证明：其实很简单。作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。

连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k

回到了椭圆定义上去了。

2、双曲线

和椭圆一样。根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。O1P-O2P=k（k为常数）。

如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。连结O1M，O2M。作O2M中垂线L，交O1M于点P。追踪交点P。当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。直线L刚好与曲线相切。

证明：其实也很简单。根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。

回到双曲线定义，证毕。

可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。

3、抛物线

由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等

量关系可以通过中垂线实现。

为方便阐述，故将图像放至直角坐标系里。原点为O。y轴上取一点M，在X正半轴上找到F使FO=MO。过M作y轴垂线L。连结MF，作MP中垂线Z。L交Z于点P。在y轴上移动点M，P的运动

轨迹为抛物线。

证明：就是保证PL垂直于准线y轴，利用中垂线定理保证PL=PF，从而是定义成立。

用《几何画板》作圆锥曲线统一定义的代数作法用《几何画板》作圆锥曲线统一定义的代数作法

昆明**：阳光

圆锥曲线在直角坐标系中，不同的圆锥曲线对应着不同的方程。但在极坐标中，有统一的方程，我们能作出它的统一的图像吗？其方程为（极坐标中的方程式：））

在《几何画板》中，我取得了成功。

思路如下：

首先是构建出极坐标系，给定动态的e、θ和p，根据其方程：，在《几何画板》中用代数的方法作出图形。

作图步骤如下：

1、打开《几何画板》。在“显示”菜单中选择“参数设置”将选项“自动选择标签”下的“P点”勾选；将“A角度单位”下的“选择成弧度”勾选“确定”返回主界面。

2、在“图表”菜单中选择“网格形式”下的“极坐标(r，theta)”；然后在“图表”菜单中“建立坐标轴”。

3、用“文本编辑”工具双击标签A，将A改成O，将点B隐藏。

4、用“画线”工具“画出线段CD”，在CD上取点E，同时选中C、D两点。选择“作图”菜单下的“线段”。

5、用“选择”工具同时选中C、E点。在“度量”中选择“距离”；同理“度量E、D距离”。

6、用“选择”工具双击CE调出“计算器”点击“CE”、“/（除号）”、“ED”、“确定”退出。

7、用“文本编辑”工具双击“CE/ED”弹出“度量值格式”，勾选“文本格式”；将标签CE/ED改成e.（同时将CE、ED度量值（“显示”菜单下的）“隐藏”）。

8、用“画线”画出“线段FG”，在“度量”菜单下选择“长度”，类似步骤7，将标签FG改为p。

9、用“画线”工具“画出线段HI”，同时选中点O，点击“作图”菜单中的“以圆心和半径画圆”（同时将HI隐藏）；用“选择”工具选中圆O在“作图”菜单下选择“对象上的点J”，得到J点。

10、用“选择”工具选择右边的圆和极坐标轴的交点（单击得到点）K（注意左下角的提示：选择交点。），顺次选择“点K”，“点O”，“点J”，在“度量”菜单下选择“角度”得到“∠KOJ的弧度”。同理将∠KOJ改成θ。

11、以下的工作就是计算了。双击“e”调出“计算器”对话框。用“选择”工具顺次点击“e”，“*”，“p”，“/”，“(”，“1”，“－”，“e”，“＊”，“函数”栏中的“cos[”，“θ”，]“)”，“]”“确定”退出“计算器”，将产生的“ ”标签改为标签ρ。

12、用“选择”工具顺次(只)选中ρ，θ。在“图表”菜单中“按(r，theta)绘制”，得到点M，（如果看不到，用“选择”工具移动K点，直到看到M点）。同时选择K，M点，在“作图”菜单中选择“轨迹”（如果效果不好，用“对象信息”工具双击“轨迹（曲线）”，弹出“轨迹M信息”，将“轨迹上的点”改成适当的数如：100，最大为999）。

13、隐藏圆O，点K，点及线段HI。

14、用“选择”工具拖动“点E”，观察轨迹的变化。用“选择”工具拖动“G 点”，观察轨迹的变化。

我们可以明显的看到：

(1) 拖到E点，改变e的大小。E在不同范围内变化时分别得到椭圆，双曲线，抛物线。

当0＜e＜1，改变e的大小，得到不形状的椭圆。e越小，椭圆越接近于圆。e越大，椭圆越扁。

当e＞1时，改变e的大小，得到不形状的双曲线。e越大，双曲线开口越阔。当e＝1时，得到抛物线。

(2) 拖到G点，可以改变p的大小，可得到离心率相同的不同形状的同类曲线。

当然，我们可以追踪M点，拖到K点，看看点M在不同的大小e下，轨迹是什么样子。最后给出M点的轨迹。

用《几何画板》构造椭圆（五）

——用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义

解忠良

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆；e＞1时是双曲线；e＝1时是抛物线。而且这三种圆锥曲线有统一的极坐标方程。下面，我们就用《几何画板》演示圆锥曲线在极坐标系中的统一定义。

1．建立坐标轴。

2．根据坐标（－5，－5）、（5，－5）画点，得到点C、D。

3．构造线段CD，并在CD上构造点E。

4．测算CE、DE的距离。

5．计算的值，并用e（离心律）表示的值。

6．画点（－3，0），得到点发F。

7．过点F作x轴的垂线（准线）。

8．测算AF的距离，并用p表示。

9．在y轴上构造点G。

10．以A为圆心，AG为半径作圆。

11．在圆上构造点H。

12．修改坐标形式为极坐标。

13．设置参数，把角度单位修改为弧度。