热学竞赛题(附解题过程)

例：将一勺温水倒入盛有冷水的量热器中，这时量热器中的水的温度升高了5摄氏度，再加一勺同样的温水，温度又上升了3摄氏度。问：（1）继续再加7勺同样的温水，则此量热器中的水温度又将升高多少摄氏度（2）如果不断向量热器中加同样的温水，量热器中的水温最终比开始时高多少（假设量热器容积比勺的容积大的多）

解：因为量热器容积比勺的容积大的多，所以不计液体重心的升高

列式：两次加水过程中勺中的水放热与量热器中的水吸热相等，Q Q =吸放

设量热器中水的质量为M ，初温为T ；每勺水的质量为m ，温度为t ，水的比热C

由比热公式可得：

第一次：5[(5)]CM Cm t T ⨯=-+

第二次：()3[(8)]C M m Cm t T +⨯=-+

令冷水初温与热水的温度差为't ，并消去两边的比热C ，得：

5('5)M m t ⨯=- →'55

t M m -= ()3('8)M m m t +⨯=- →'83

t M m m -+= 将M 代入第二个式子，约去m 后化简得到：'20t =

即冷水初温与热水的温度差为20C ︒，即：量热器中的水温最终比开始时高20C ︒。 如果只继续再加7勺同样的温水，则相当于在第二勺基础上再加7勺

设每加一勺水，升高温度为n t ，127t t t t ∆=+++……

则第一勺：11(2)[(8)]C M m t C m t T t +⨯=⋅-++ 代入'83

t M m m -+=，约去C 和m ：1'8'8113t t t --+=-；计算得12t C =︒ 第二勺：212(3)[(8)]C M m t C m t T t t +⨯=⋅-+++ 同第一勺化简：2'8'10213t t t --+=-；2107

t C =︒ 第三勺：380''87313t t t --+=-；310(2.5)7

t C =-︒ 第四勺：4'8'12.5413t t t --+=-；456

t C =︒

第五勺：5

5'12.5'86513t t t ---+=-；523t C =︒ 第六勺：6

9'12.5'86613t t t --

-+=-；6611t C =︒ 第七勺：745'12.5'822713

t t t --

-+=- ；7511t C =︒ 计算得：7

11015526527714631111

n n t t C =∆=

=++++++=︒∑

数列方法： 令12n n S t t t =+++…… 由公式推导得到：1'8'813n n

t S t n t ----+=- 代入'20t =：1125n n

S n t --+= 由数列知识可求得，在1n >时，有：

135

n

n t n t n -+=+，且已求得12t = 依次求出剩余6个值再求和即可。