2014初二春季下学期数学期末复习(几何部分)-解析

D O M A
C
N B
16、如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ， E 是 BD 延长线上的点，且 ACE 是等边三角 形． ⑴ 求证：四边形 ABCD 是菱形； ⑵ 若 AED 2EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形． 解： ⑴ ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO CO ． 又∵ ACE 是等边三角形，∴ EO AC ，即 DB AC ． ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形． ⑵ ∵ ACE 是等边三角形，∴ AEC 60 ． 1 ∵ EO AC ，∴ AEO AEC 30 ． 2 ∵ AED 2EAD ，∴ EAD 15 ．∴ ADO EAD AED 45 ． 四边形 ABCD 是菱形，∴ ADC 2ADO 90 ∴ 四边形 ABCD 是正方形．
Part3、矩形菱形正方型
11、如图，矩形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， AE 平分 BAD 交 BC 于 E ，若 CAE 15 ，求 BOE =
A
解：
∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ DAB ABC 90， OA OB
D O
1 ∵ AE 平分 BAD ，所以 BEA BAD 45 C B E 2 ∴ BA BE ∵ CAE 15， BAC 60 所以 ABO 为等边三角形 ABO 60，所以 OBE 30 ∴ OB AB BE ， 1 ∴ BOE 180 OBE 75 2 BAE 3 ∶ 1 ，则 EAC _______． 12、如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O ， AE BD 于 E ， DAE∶
AB 或 CD ． D A D A 证明：延长 DE 交 BC 于 F ， E E ∵ ED AD 且 AD ∥ BC ∴ DF BC 又∵ ECB 45 C C B B F ∴ CEF 为等腰直角三角形 ∴ EF CF 在 BEF 和 DCF 中 EBF CDF BFE DFC EF CF ∴ BEF ≌ DCF ∴ BE DC AB CF BD， E， F 为垂足，求证： 8、如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 BD ，过 A， C 两点分别作 AE BD， 四边形 AECF 是平行四边形
C E D A O 图1
D
B
C E
B
O 图2
A
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解：
解：
BM 与 CN 的关系是： BM CN 且 BM CN
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P' P
C
B
B D' C'
C
D
A
D E
B'
C
旋转中心是点 A ，旋转角度为顺时针方向 90 ； F ∵ABE 是 ADF 顺时针方向旋转 90 得到，∴ABE ≌ ADF ． A B ∴ AE AF 4 ， AD AB 7 ，∴ DE AD AE 7 4 3 ． 6、⑴如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连结 AC 和 BD ，相交于点 E ，连结 BC ．求 AEB 的大小． ⑵如图 2，OAB 固定不动， 保持 COD 的形状和大小不变， 将 COD 绕着点 O 逆时针旋转 15 ， 求 AEB 的大小．
A O D E C
E O D
B
A
矩形为中心对称图形， O 为对称中心， E 与 F ， D 与 B 是两组对应点， B C F ∴ EOD 与 FOB 关于点 O 对称，∴这两个三角形面积相等，阴影部分面积为 3． 3、 如图，P 是正三角形 ABC 内的一点， 且 PA 6 ，PB 8 ，PC 10 ． 若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后， 得到 P ' AB ， 则点 P 与点 P ' 之间的距离为______， APB ． A 由旋转的特征知 P ' A PA 6 ， P ' B PC 10, P ' AB PAC ， 由 ABC 是正三角形，则 BAC 60 ，从而 P ' AP 60 ， 所以 P ' AP 是正三角形，所以 P ' P 6, APP ' 60 ; 在 P ' B ' P 中， P ' P 6, P ' B 10 ， PB 8 ， 由勾股定理的逆定理知 P ' PB 是直角三角形， BPP ' 90 ， 从而 APB 150 ． 4、如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到矩形 AB ' C ' D ' ， 如果 CD 2 DA 2 ，那么 CC ' _________． 解： 解： 由旋转的概念知 AC AC ' ，由 CD 2 DA 2 知 AC 5 ， 所以勾股定理得 CC ' 5 5、如图，四边形 ABCD 是正方形， F 是 BA 延长线上的点， ADF 旋转一定角 度后得到 ABE ，如果 AF 4 ， AB 7 ． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求 DE 的长度． 解：
小马成群 2014 深圳初二期末复习几何部分 Part1、图形的平移和旋转
1、平行四边形 ABCD 中， AB 4 ， BC 6 ． O 是对角线交点，将 OAB 平移至 EDC 位置．
⑴说出平移的方向与距离． ⑵四边形 OCED 是什么四边形，为什么？ ⑶若平行四边形 ABCD 的面积是 20 ，求五边形 ABCED 面积． 解： ⑴沿 BC 方向平移了 6 个单位． ⑵由平移的基本概念可知， DE ∥ AC ， CE ∥ BD ， 根据平行四边形定义可知，其为平行四边形． 1 ⑶ S ABCED S ABCD SCED S ABCD S ABO S ABCD S ABCD 25 ． 4 2、矩形的对角线相交于点 O ，过点 O 的直线交 AD ， BC 于点 E ， F ， AB 2 ， BC 3 ，则图中阴影部分的面积为_____ 解：
小马成群
解：
如图 3 和 4 ，∵1 2 3 4 2 3 120 ，∴AEB 60 ．
C E D B 1 2 4 O 图3
Part2、平行四边形综合
C E
B 1 2 4 O 3 A
3
A
D
图4
7、 已知： 如图， 平行四边形 ABCD 内有一点 E 满足 ED AD 于点 D ，EBC EDC ，ECB 45 ， 请找出与 BE 相等的一条线段，并给予证明． 解：
1 1 AB AD BD AG △ ABD 2 2 在 中，根据面积公式有 ，
B A 3 O M G B C F 2 P 1 E O F C D E
则
AG
AB AD 5 12 60 60 PE PF BD 13 13 ， 13 ．
14、矩形 ABCD 中， AB 3， AD 4，将矩形沿 EF 对折，使点 C 与 A 重合，如图，求折痕 EF 的长
解：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵ DAB DAE BAE 90 ∴ DAE 67.5 ， BAE 22.5 ∵ AO BO ，∴ EAC 67.5 22.5 45 ．
A O E B
D
C
13、如图在矩形 ABCD 中，已知 AD 12 ， AB 5 ， P 是 AD 边上任意一点， PE BD ，PF AC ， E 、 F 分别是 垂足，求 PE PF 的值． P A D 解： 作 AG BD 于 G ， PM AG 于 M ，则 PE MG 又易证 1 2 3 ，从而 Rt△PAM ≌ Rt△ APF ， AM PF ，所以 PE PF MG AM AG BAD 90 ，则 BD 13 ． 而 AD 12 ，AB 5 ，
因为 ABCD 是平行四边形，所以 AB CD 且 AB ∥ CD F 所以 ABE CDF E CF BD ，所以 AEB CFD 90 因为 AE BD ， 所以 ABE ≌ CDF ，所以 AE CF B C 因为 AEO CFO 90 ，所以 AE ∥ CF 所以四边形 AECF 是平行四边形 9、 如图， 平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点 F ， 连接 AE 、CF ． 求证：SABE SEFC ． 解： 易证 BEF ≌ CED ， ∴ BF CD AB ∴ ABE 和 FBE 是以 AB 、 BF 为底的等底等高三角形． ∴ SABE SFBE ∵ FBE 和 FCE 是以 BE 、 CE 为底的等底等高三角形． ∴ SFBE SFCE ，∴ SABE SEFC ． 10、如图，是某区部分街道示意图，其中 CE 垂直平分 AF ， AB ∥ DC ， BC ∥ DF ，从 B 站乘车到 E 站只有两条 路线有直接到达的公交车，路线 1 是 B D A E ，路线 2 是 B C F E ，请比较两条路线路程的长短，并给出 证明． F 解： 解： 两条路线一样长 延长 FD 交 AB 于点 G ，∵ CE 垂直平分 AF ， AB ∥ DC ， ∴ DF DA ， FED EAB 90 ， DAF DFA ． ∴ DGA DFA DAG DAF 90
D C
A D
E
A G B -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------初二数学 page 2 of 4
A D 5 AG ， EF AC ， 设 EF 与 AC 交于点 G ，根据条件，易求得 AC 5， 2 G 且 G 是 EF 中点，由 5 GF AG 15 15 GF 2 C B AGF ∽ ADC ，得 ，求得 GF ，所以 EF ，即 E DC AD 8 4 3 4 15、如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于 O ， MN ∥ AB ，且分别与 AO、BO 交于 M 、N ．试探讨 BM 与 CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程． F
小马成群
∵ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴
ABCD 是正方形，∴ OA OB MN ∥ AB ，∴ OM ON ，∴ AM BN MAB NBC 45 ， AB BC ABM ≌ BCN ，∴ BM CN ， BCN ABM ABM CBM 90 ，∴ BCN CBM 90 BM CN
小马成群
解：
∴ DAG DGA ∴ AD DG 又∵ AB ∥ DC ，BC ∥ FG ∴ 四边形 DCBG 为平行四边形，∴ BC DG AD FD ∴ 四边形 BCFD 亦为平行四边形，∴ CF DB 路线 1 BD DA AE ，路线 2 BC CF FE ∴ 路线 1 与路线 2 相等． 路线 1 与路线 2 相等