第八章半群和群

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8.2 群的定义和性质
∗ 例8.2.2 考虑 〈G ,∗〉, 其中
a b G = 0 0 a, b ∈ Q − {0}
则 〈G ,∗〉 , 是半群，且 ∗ 是半群， (1)
1 1 0 0
是 〈G ,∗〉 的左单位元
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期中测验
4. 证明 ( A − B ) U ( B − A) = ( A U B ) − ( A I B ) 5. 求由 b, c, d四个字符构成的 位符号串中，a, b, 求由a, 四个字符构成的n位符号串中 四个字符构成的 位符号串中， c至少出现一次的符号串的数目。 至少出现一次的符号串的数目。 至少出现一次的符号串的数目 6. 给定集合S={1,2,3,4,5}, 找出S上的等价关系 使 给定集合 找出 上的等价关系R, 上的等价关系 等价关系R能产生划分 能产生划分{{1,2},{3},{4,5}}. 等价关系 能产生划分 7.设R是实数集， = R[ 0 ,1] . 若 f , g ∈ X , 定义 设 是实数集 X 是实数集，
〈 S2 ,•〉 是两个半群 是两个半群,
函数 h : S1 → S2 .
h( a ∗ b ) = h( a ) • h( b )
则称h为从 的半群同态。 则称h为从 〈 S1 ,∗〉 到 〈 S2 ,•〉 的半群同态。 定义8.1.8 设 〈 S1 ,∗, e1 〉和 〈 S2 ,•, e2 〉是独异点 , 函数 h : S1 → S2 定义 若 ∀a, b ∈ S1 , 有
a ∗ al = el ∗ ( a ∗ al ) = ( a′ ∗ al ) ∗ ( a ∗ al )= a′ ∗ ( al ∗ a ) ∗ al = a′ ∗ el ∗ al = a′ ∗ al = el
a ∗ el = a ∗ ( al ∗ a ) = ( a ∗ al ) ∗ a = el ∗ a = a
同理可证： 同理可证： 所以
= (( x + y ) + z ) mod m
x + m ( y + m z ) = ( x + ( y + z )) mod m
( x + m y) + m z = x + m ( y + m z )
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8.1 半群和独异点
(2) 〈 I , −〉 不是半群 (3) 〈 ρ ( A),U, ∅〉 和 〈 ρ ( A),I, A〉 是可交换独异点 (4) 〈 A A ,o,1 A 〉 是不可交换独异点。 是不可交换独异点。 定义8.1.4 设 〈 S ,∗〉 是一个半群，T为S的非空子集，若 是一个半群， 为 的非空子集 的非空子集， 定义 对任 a, b ∈ T , 有 a ∗ b ∈ T , 则称 〈T ,∗〉 为〈 S ,∗〉 的子半群 定义8.1.5 设 〈 S ,∗, e 〉 是一个独异点，T为S的非空子集 是一个独异点， 为 的非空子集 的非空子集, 定义 若对任 a, b ∈ T , 有 a ∗ b ∈ T , 且 e ∈ T , 则称 〈T ,∗, e 〉 为 的子独异点。 〈 S ,∗, e 〉 的子独异点。
〈 f , g〉 ∈ S ⇔ ∀x ∈ [0,1], f ( x ) − g( x ) ≥ 0.
证明S是一个偏序。 是全序吗 是全序吗？ 证明 是一个偏序。R是全序吗？ 是一个偏序
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8.1 半群和独异点
定义8.1.1 设 〈 S ,∗〉 为代数系统，其中 为二元运算， 为代数系统，其中*为二元运算 为二元运算， 定义 若运算*满足结合律 满足结合律， 若运算 满足结合律，即对 ∀a, b, c ∈ S , 都有
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8.2 群的定义和性质
定理8.2.2 设 〈G , ⋅〉 是半群，若 ∀a, b ∈ G , 方程 a ⋅ x = b 是半群， 定理 中都有解， 和 y ⋅ a = b 在G中都有解，则 〈G , ⋅〉 是群 中都有解 证 (1) 取 a ∈ G , 设 el 为 y ⋅ a = a 的一个解 为 ∀b ∈ G , c为 a ⋅ x 的解， = b 的解，即有 a ⋅ c = b, 则 el ⋅ b = el ⋅ ( a ⋅ c ) = ( el ⋅ a ) ⋅ c = a ⋅ c = b
= fa ( b ∗ c ) = a ∗ ( b ∗ c )
所以 h( a ∗ b ) = h( a ) o h( b )
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8.1 半群和独异点
∗ 例8.1.5 考虑半群 〈 S ,∗〉 , 其中 S = {a, b, c }
* a b c a a b c b b c a c c a b
〈 S ,∗〉 到 〈 S S ,o〉 的同态如下： 的同态如下： 从 h( a ) = fa h( b ) = fb h( c ) = fc
其中
fa ( a ) = a ,
fa ( b ) = b ,
fa ( c ) = c
fb ( a ) = b ,
fc ( a ) = c ,
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⇒ fa ( e ) = fb ( e ) ⇒ a ∗ e = b ∗ e ⇒ a = b 于是h是单射 是单射。 于是 是单射。因此 〈 S ,∗, e 〉 同构于 〈 h( S ),o,1S 〉
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8.2 群的定义和性质
定义8.1.8 设 〈G ,∗〉 是独异点 其单位元为 若对任 a ∈ G , 是独异点, 其单位元为e. 定义 存在 a′ ∈ A, 使得 a′ ∗ a = a ∗ a′ = e , 即G中每个元素关 中每个元素关 都是可逆的， 为群。 于* 都是可逆的，则称 〈G ,∗〉 为群。 定义8.1.9 若群 〈G ,∗〉 中的二元运算 是可交换的，则 中的二元运算*是可交换的 是可交换的， 定义 称 〈G ,∗〉 为可交换群，也称为阿贝尔群。 为可交换群，也称为阿贝尔群。 例8.2.1 (1) 〈 I , +〉 是阿贝尔群 (2) 〈 N m , + m 〉 是阿贝尔群 (3) 〈Q − {0},•〉 是阿贝尔群 (4) 〈 N ,+〉 和 〈 I ,•〉 都不是群
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8.1 半群和独异点
可结合性： 证 可结合性：设 ( x + y) mod m = r , 即 x + y = km + r
( x + m y ) + m z = (( x + y ) mod m ) + m z = ( r + z ) mod m
= (( x + y − km ) + z ) mod m
h( a ∗ b) = h( a) • h( b)
则称h为从 且 h( e1 ) = e2 , 则称 为从 〈 S1 ,∗, e1 〉 到 〈 S2 ,•, e2 〉 的独异点同态
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8.1 半群和独异点
S 〈 S ,∗〉 与 〈 S ,o〉 同态。 定理8.1.2 半群 同态。 定理
离散数学 第八章 半群和群来自中测验1.用推理规则论证下列问题: 用推理规则论证下列问题: 用推理规则论证下列问题 我或者去北京,或者去广州.如果去北京,就去长城. 我或者去北京,或者去广州.如果去北京,就去长城. 去了长城,就不能参加运动会.所以, 去了长城,就不能参加运动会.所以,如果我参加了运 动会,那么我去了广州. 动会,那么我去了广州. 2. 符号化下列命题 并推证其结论 符号化下列命题,并推证其结论 并推证其结论: 任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车 他就不喜欢乘汽车. 任何人如果他喜欢步行 他就不喜欢乘汽车 每一个 人或者喜欢乘汽车,或者喜欢骑自行车 或者喜欢骑自行车. 人或者喜欢乘汽车 或者喜欢骑自行车 有的人不爱 骑自行车. 因而有的人不爱步行. 骑自行车 因而有的人不爱步行 3. 求的 P ∨ Q ∧ R ∨ S 主析取范式和主合取范式
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8.1 半群和独异点
的子独异点, 例8.1.3 〈 Od ,∗〉 是 〈 I ,∗〉 的子独异点 但 〈 Ev ,∗〉 不是 定理8.1. 1 设 〈 S ,∗, e 〉 为可交换独异点，T为S中所有 为可交换独异点， 为 中所有 定理 幂等元的集合， 的子独异点。 幂等元的集合，则 〈T ,∗〉 为 〈 S ,∗, e 〉 的子独异点。 证 ∀a , b ∈ T , 由 a 2 = a , b 2 = a 得
1 a b ∗ a 0 0 0 1 = 1 1 a 0 0 0
(2) a b ∀ 0 0 ∈ G,
无单位元, 但 〈G ,∗〉 无单位元 故不是群
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作业
习题8.1 习题 4 9 习题8.2 习题 1 (1) (3) 3
证 定义 h : S → S S , h( a ) = fa , 其中 fa : S → S , fa ( b ) = a ∗ b
h( a ∗ b )( c ) = fa∗b (c ) = ( a ∗ b ) ∗ c ∗
( h( a ) o h( b ))( c ) = ( fa o fb )( c ) = fa ( fb ( c ))
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8.2 群的定义和性质
是半群， 定理 8.2.1 设 〈G ,∗〉 是半群，若 (1) ∃el ∈ G , 使得 ∀a ∈ G , 有 el ∗ a = a (2) 对 ∀a ∈ G , ∃al ∈ G , 使得 al ∗ a = el 则 〈G ,∗〉 是群 证 先证 ∀a ∈ G , a ∗ al = el 因为 al ∈ G , 故存在 a′ ∈ G , 使得 a′ ∗ al = el