性质和定理小测20110719
等腰三角形的判定与性质证明题
等腰三角形的判定与性质证明题等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
判定一个三角形是否为等腰三角形可以通过观察其边长或角度来确定。
以下是等腰三角形的判定方法和性质证明。
判定方法1. 观察边长：如果一个三角形的两条边的长度相等，则它是一个等腰三角形。
2. 观察角度：如果一个三角形的两个角度相等，则它是一个等腰三角形。
性质证明对于一个等腰三角形 ABC：1. 边长性质证明：等腰三角形的两边长度相等，即 AB = AC。
证明步骤：- 假设 AB = AC。
- 通过使用三角形内角和公式可得到：∠B + ∠C + ∠A = 180°。
- 由于∠B = ∠C（等腰三角形的性质），可以将∠B + ∠B +∠A = 180°重写为：2∠B + ∠A = 180°。
- 由于∠B = ∠C，所以∠A = 180° - 2∠B。
- 将∠A 的度数代入等腰三角形 ABC 中的∠A + ∠B + ∠C = 180°可得到：180° - 2∠B + ∠B + ∠B = 180°，即∠B = ∠B。
- 因此，∠B = ∠C， AB = AC 成立。
所以 AB = AC。
2. 角度性质证明：等腰三角形的两个底角（底边两边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
证明步骤：- 假设∠B = ∠C。
- 通过使用三角形内角和公式可得到：∠B + ∠C + ∠A = 180°。
- 将∠B = ∠C 代入该等式中可得到：2∠B + ∠A = 180°。
- 由于∠B = ∠C，可以将上述等式重写为：2∠C + ∠A = 180°。
- 通过简单的计算得到：∠A = ∠B。
- 因此，∠B = ∠C 成立。
综上所述，等腰三角形的判定方法是观察边长或角度是否相等。
等腰三角形具有边长相等和底角相等的性质。
以上是对等腰三角形判定与性质的完整证明。
中考数学复习专题综合过关检测—三角形的概念和性质(含解析)
中考数学复习专题综合过关检测—三角形的概念和性质（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（）A．2B．3C．4D．11【答案】C【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，∴边AC的长可能是4，故选：C．2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性【答案】D【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：D．3．将一块含30°角的三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝69°，则∠2的度数是（）A．41°B．51°C．61°D．71°【答案】B【解答】解：如图，由题意得：∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠1＝69°，∴∠3＝∠1＝69°，∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠4＝51°，∴∠2＝∠4＝51°．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故选：A．5．将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）摆放成如图所示，图中∠1的度数是（）A．90°B．135°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：由图可知，∠2＝30°，∠3＝90°，∴∠1＝∠2+∠3＝90°+30°＝120°．故选：C．6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】B【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故选：B．7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE【答案】C【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．8．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故选：A．9．如图，将直角△ABC的边AB沿边AC的方向平移到DE的位置，连结BE，CE，若∠ABC＝90°，∠A ＝60°，，AD＝2，则△BEC的面积为（）A．B．C．6D．3【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，∴BC＝AB tan60°＝2×3＝6，由平移得AB∥DE且AB＝DE（依据：平移的性质），∴四边形ABED是平行四边形，∴∠BEF＝60°，∠EFB＝∠ABC＝90°，BE＝AD＝2，∴EF＝BE cos60°＝1，.S△CBE＝×BC×EF＝3，故选：D．10．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°【答案】D【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵B'D∥C'G，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
人教版七年级数学下册5.3.2命题、定理、证明同步测试(含答案)
绝密★启用前5.3.2 命题、定理、证明 班级： 姓名：一、单选题1．在下列命题中，为真命题的是（ ）A ．两个锐角的和是锐角B ．相等的角是对顶角C ．同旁内角互补D ．邻补角是互补的角2．下列命题是真命题的个数是（ ）①两点确定一条直线 ②两点之间，线段最短 ③对顶角相等 ④内错角相等A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列命题属于真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．同位角相等4．有四个命题：①相等的角是对顶角②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③同一种四边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的个数为（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 5．下列命题:①同旁内角互补；②若a b =，则a b =；③对顶角相等；④三角形的外角和360°；⑤如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补:其中真命题的个数有（ ）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形也是锐角三角形C ．若a =b,则a 2=b 2D ．同位角相等，两直线平行7．有下列命题：(1)无理数就是开方开不尽的数；(2)无理数包括正无理数、零、负无理数；(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；(4)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．要证明命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”是假命题，下列a ，b 的值能作为反例的是（ ）A ．a = 2 ，b = 1B ．a = -2 ，b = -1C ．a = -1 ，b = -2D ．a = 2 ，b = -1二、填空题 9．命题“如果0a b >>，那么a b >”是_____________命题(填“真”或“假”).10．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果________，那么____________． 11．若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2，它的逆命题是______（真或假）命题．12．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．三、解答题13．指出下列命题的题设和结论.(1)如果a+b=0,那么a=b=0;(2)如果a =b ，那么a=b;(3)同旁内角互补,两直线平行.一、单选题1．下列语句：①如果两个角是同位角，那么这两个角相等；②如果两条平行线被第三条直线所截，且同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；其中（ ）A ．①、②是真命题B ．②、③是真命题C ．①、③是假命题D ．以上结论都错2．下列说法：①同位角相等；②对顶角相等；③等角的补角相等；④两直线平行，同旁内角相等，正确的个数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个3．下列命题中，正确的是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；B ．相等的角是对顶角；C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；D ．和为180°的两个角叫做邻补角.4．下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若n ＜1，则n 2﹣1＜0．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．观察下列命题：（1）如果a ＜0，b ＞0，那么a+b ＜0；（2）直角都相等；（3）同角的补角相等；（4）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．下列说法正确的是（）A．互补的两个角是邻补角B．两直线平行，同旁内角相等C．“同旁内角互补”不是命题D．“相等的两个角是对顶角”是假命题7．下列命题是假命题的（）A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c8．下列命题中正确的是（）A．过一点有且只有一条直线平行于已知直线B．不相交的两条直线，叫做平行线C．如果两条直线被第三条直线所截，则同位角相等D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等二、填空题9．命题“同角的补角相等”的题设是______，结论是________．10．命题“若a、b互为倒数，则ab 1”的逆命题是_________；11．下列说法：①若a与b互为相反数，则a+b=0；②若ab=1，则a与b互为倒数；③两点之间，直线最短；④若∠α+∠β=90°，且β与γ互余，则∠α与∠γ互余；⑤若∠α为锐角，且∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ=90°.其中正确的有________.（填序号）12．将命题改写成“如果……，那么……”的形式：等角的余角相等．__________________________________________________________________．三、解答题13．把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．(1)等角的补角相等；(2)不相等的角不是对顶角；(3)相等的角是内错角．参考答案1-5．DCCBC6-8．DBC9．真10．两个角是对顶角，这两个角相等11．假12．两个角是对顶角，这两个角相等．13．略1-5．CBAAC6-8．DCD9．有两个角是同一个角的补角这两个角相等10．若ab=1,则a,b互为倒数11．①②⑤12．如果有几个角相等，那么它们的余角相等．13．略。
初三数学下册综合算式专项练习题三角函数的计算与性质
初三数学下册综合算式专项练习题三角函数的计算与性质三角函数是数学中重要的概念之一，也是初三数学下册的重点内容。
它在解决三角形相关问题和实际生活中的计算中非常有用。
本文将为你介绍综合算式专项练习题中与三角函数的计算与性质相关的内容。
1. 三角函数的定义三角函数的定义包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
在此我们以正弦函数为例进行介绍。
正弦函数的定义为：在直角三角形中，对于某一锐角的角度为x，选择一个非直角边的，使之组成的比值，称为正弦函数。
它的数学表示为sinx = 对边/斜边。
2. 三角函数的计算在数学中，我们经常需要计算三角函数的值。
下面是一些常见的计算方法：- 使用函数表：在计算机软件、教材和工具书上可以找到三角函数的函数表。
通过查表可以得到所需的数值。
- 使用计算器：几乎所有的科学计算器和手机计算器都内置了三角函数的计算功能。
- 使用计算公式：通过一些已知的三角函数值和三角恒等式，可以推导出其他的三角函数值。
3. 三角函数的性质除了计算三角函数的值，了解其性质对于解题也非常重要。
- 周期性：正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期均为2π；而正切函数和余切函数的周期为π。
- 奇偶性：正弦函数、正切函数和正割函数均为奇函数，而余弦函数、余切函数和余割函数均为偶函数。
- 符号规律：在单位圆上，正弦函数和正切函数的值总是介于-1和1之间；余弦函数、余切函数、正割函数和余割函数不存在上下界限。
- 正弦函数和余弦函数的关系：正弦函数与余弦函数是互余函数，它们的关系可以通过三角恒等式sin^2x + cos^2x = 1得到。
4. 三角函数的运算在解决实际问题中，有时需要对三角函数进行运算，包括加减乘除等操作。
- 加法公式：sin(x + y) = sinx*cosy + cosx*siny，cos(x + y) =cosx*cosy - sinx*siny- 减法公式：sin(x - y) = sinx*cosy - cosx*siny，cos(x - y) = cosx*cosy + sinx*siny- 乘法公式：sinx*siny = 1/2*(cos(x - y) - cos(x + y))，cosx*cosy =1/2*(cos(x - y) + cos(x + y))- 除法公式：tan(x + y) = (tanx + tany)/(1 - tanx*tany)综合算式专项练习题中的三角函数计算与性质是初三数学下册的重要内容。
初三数学上册综合算式专项练习题二次函数的象与性质
初三数学上册综合算式专项练习题二次函数的象与性质二次函数是数学中一种重要的函数类型，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
了解二次函数的象和性质对于我们理解和解决数学问题至关重要。
本文将针对初三数学上册中的综合算式专项练习题，讨论二次函数的象和性质。
一、一般式和标准式在开始讨论二次函数的象和性质之前，我们先来了解一下二次函数的一般式和标准式。
1. 一般式二次函数的一般式表示为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，即正负号决定顶点开口朝上还是朝下。
2. 标准式将二次函数的一般式通过配方等方法化简后，可以得到标准式。
标准式表示为：y=a(x-p)^2+q，其中a、p、q是常数，a≠0。
标准式中，点(p,q)表示二次函数的顶点，a决定了二次函数的开口程度，即a越大，开口越狭窄。
二、二次函数的图象理解二次函数的图象对于掌握其象和性质非常重要。
下面我们通过解决综合算式专项练习题来进一步了解二次函数的图象。
练习题一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2，-3)，且过点(1，-4)，求a、b、c的值。
解析：根据题意，我们知道顶点的横坐标为2，纵坐标为-3，即：2=a(2)^2+b(2)+c-3=a(2)^2+b(2)+c进一步化简可得：4a+2b+c=-3另外，过点(1，-4)代入二次函数的一般式，可得：-4=a(1)^2+b(1)+c化简可得：a+b+c=-4由上面两个方程组成的线性方程组，我们可以解得a、b、c的值。
练习题二：已知二次函数y=2x^2-4x+2，求：1. 二次函数的开口方向和顶点坐标；2. 函数的零点。
解析：1. 根据一般式，我们可以看出a=2，因此二次函数的开口朝上。
由标准式可得，顶点的坐标为：p=-(-4)/(2*2)=1q=2(1)^2-4(1)+2=0因此，顶点坐标为(1,0)。
2. 函数的零点表示二次函数与x轴相交的点，即y=0。
等腰三角形的性质与判定综合测试
等腰三角形的性质与判定综合测试一、选择题1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A． 5个 B．6个 C．7个 D．8个3、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为134、已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°二、填空题1、在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，（1）∵AD平分∠BAC ∴＝；⊥；（2）∵AD是中线∴∠＝∠；⊥；（3）∵AD⊥BC ∴＝；∠＝∠2、如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD= _________16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有______ 个等腰三角形．三、解答题1、如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ，求证：BF=CF ．2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD 上． 求证：BE=CE．3、如图，ABC ∆中，AC AB =，E 在AC 上，且AE AD =，DE 的延长线与BC 相交于F . 求证：BC DF ⊥.4、如图，AB ＝AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点， 求证：AF 垂直于CD ．5、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC.求证：CB=CD ，6、如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC •交AB 于E ， 求证：AE=BE ．7、已知：如图，OA 平分∠BAC ，∠1=∠2． 求证：△ABC 是等腰三角形．EDCABFEBAEDCABF。
北师大版七年级数学下册平行线性质与判定的综合运用测试题
北师大版七年级数学测试卷（考试题）1. 如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是()A．35°B．70°C．90°D．110°2. 如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为()A．40°B．20°C．60°D．70°3. 如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为()A．95°B．85°C．70 °D．55°4. 如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，下列四个选项中，错误的是( )A．∠DCA＝∠DAC B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠DAC ＝∠BCA5.如图，已知∠１＝∠２，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，则下列结论⑴ＡＢ∥ＣＤ，⑵ＡＤ∥ＢＣ，⑶∠Ｂ＝∠Ｄ，⑷∠Ｄ=∠ＡＣＢ，正确的有（）A. １个B. ２个C. ３个D. ４个6.如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为（）A. 80°B. 40°C. 60°D. 50°7.完成下面的证明过程：已知：如图，∠D=123°，∠EFD=57°，∠1=∠2求证：∠3=∠B证明：∵∠D=123°，∠EFD=57°（已知）∴∠D+∠EFD=180°∴AD∥________（________）又∵∠1=∠2（已知）∴________∥BC（内错角相等，两直线平行）∴EF∥________（________）∴∠3=∠B（两直线平行，同位角相等）8.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．9.如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C，求证：DE//BF10.如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．请你判断AD和BE的位置关系，并说明理由．11.如图，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°．（1）请你判断∠1与∠BDC的数量关系，并说明理由；（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，试求∠FAB的度数．12. 如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？试说明理由．答案：1.D2.B3.D4.A5.C6.D7.EF；同旁内角互补，两直线平行；AD；BC；平行于同一条直线的两直线平行8.解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC9.证明：∵∠3=∠4.∴BD∥CF.∴∠C+∠CDB=180°.又∵∠5=∠C.∴∠CDB+∠5=180°.∴AB∥CD.∴∠2=∠BGD.又∵∠1=∠2.∴∠BGD=∠1.∴DE∥BF.10.证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BE．11.（1）猜想：∠1=∠BDC 证明：∵AD⊥EF，CE⊥EF，∴∠GAD=∠GEC=90°∴AD∥CE∴∠ADC+∠3=180°又∵∠2+∠3=180°，∴∠2=∠ADC∴AB∥CD∴∠1=∠BDC（2）解：解：∵AD⊥EF，∴∠FAD=90°．∵AB∥CD，∴∠BDC=∠1=70°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC= ∠BDC= ×70°=35°．∵AB∥CD，∴∠2=∠ADC=35°，∴∠FAB=∠FAD﹣∠2=90°﹣35°=55°12.解：平行．理由：因为∠ADE＝∠B，所以DE∥BC，所以∠1＝∠BCD，又因为∠1＝∠2，所以∠BCD＝∠2，所以CD∥FG(同位角相等，两直线平行)附赠材料：怎样提高答题效率直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
定理证明与应用综合练习题
定理证明与应用综合练习题一、定理证明练习题1. 定理1：勾股定理证明：对于直角三角形ABC，若$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$，则角C为直角。
证明思路：假设角C不是直角，即$$\angle C \neq 90^\circ$$。
根据余弦定理，有$$\cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$$。
根据已知条件$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$，将其代入上式，得$$\cosC = \frac{AC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = 0$$。
然而，余弦函数在0度到180度内都是正数，因此假设成立，角C为直角。
2. 定理2：平行线性质证明：若两个平行线被一条截线所交，那么同一侧的内角互补。
证明思路：设直线m和n为平行线，直线l为截线，交点为A。
要证明同一侧的内角互补，需证明$$\angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$$。
根据平行线性质，$$\angle BAC = \angle BCA$$；根据同位角性质，$$\angle CAD = \angle ACD$$。
由于$$\angle BAC$$和$$\angle BCA$$为邻补角，角度之和为180度，同理$$\angle CAD$$和$$\angle ACD$$的度数之和也为180度。
因此，$$\angle BAC + \angle CAD = 180^\circ$$，证明完成。
二、应用练习题1. 问题：一块长方形田地的长是15米，宽是10米。
现在要在田地的四周围上一道铁丝网，如图所示。
请问需要多长的铁丝网？解答：根据长方形的性质，田地的周长为2(长 + 宽)。
周长 = 2(15 + 10) = 2(25) = 50米。
因此，需要50米的铁丝网。
2. 问题：某商店原价出售一件衣服为800元，现在打折出售，折扣为20%。
数学下册综合算式专项练习题函数的性质与应用
数学下册综合算式专项练习题函数的性质与应用数学下册综合算式专项练习题：函数的性质与应用在数学下册的学习中，函数的性质与应用是一个重要的知识点。
函数是数学中的基本概念，它描述了两个集合之间的关系，常常用来表示一个变量如何依赖于另一个变量。
本文将通过综合算式专项练习题来深入探讨函数的性质与应用。
一、函数的定义与基本性质1. 定义：函数是一种特殊的关系，如果对于集合A中的每个元素，都有唯一确定的集合B中的元素与之对应，那么我们称这种关系为函数，通常用符号f表示。
2. 定义域与值域：对于函数f，集合A中的元素称为定义域，集合B中的元素称为值域。
3. 一一对应与映射：如果函数中的每个元素在值域中具有唯一对应的元素，那么称这个函数为一一对应。
对于函数f:A→B，如果集合A 的每个元素都在函数f中有对应的元素，则称函数为映射。
二、函数的分类与特性1. 常数函数：函数f(x)=c，其中c为常数，对于任意的x，f(x)始终等于c。
2. 线性函数：函数f(x)=kx+n，其中k和n为常数，x为自变量，f(x)表示因变量。
线性函数的图像是一条直线。
3. 幂函数：函数f(x)=x^m，其中m为常数，x为自变量。
幂函数是指数函数的一种特殊情况，当指数为整数时，幂函数的图像通常是一个曲线。
4. 指数函数：函数f(x)=a^x，其中a为常数，x为自变量。
指数函数的特点是底数固定，指数变化时函数值发生较大的变化。
5. 对数函数：函数f(x)=loga(x)，其中a为常数，x为自变量。
对数函数与指数函数是互逆关系，即f(x)=loga(a^x)=x。
三、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 经济学中的需求与供给函数：需求函数描述了消费者对某一商品的需求量与商品价格的关系，供给函数描述了生产者愿意提供的商品量与商品价格的关系。
通过研究需求和供给函数，可以帮助经济学家了解市场的运作规律。
2. 物理学中的运动函数：运动函数描述了物体的位置与时间的关系，比如直线运动的位置函数可以表示为s(t)=v0t+1/2at^2，其中v0为起始速度，a为加速度，t为时间。
数学下册综合算式专项练习题函数的像与性质
数学下册综合算式专项练习题函数的像与性质数学下册综合算式专项练习题：函数的像与性质函数是数学中非常重要的概念，它在数学的各个领域都有广泛的应用。
函数的像是函数的一个重要性质，它描述了定义域中元素在函数作用下所得到的值的集合。
本文将通过综合算式专项练习题，探讨函数的像与性质。
一、函数与像的概念在数学中，函数可以被定义为两个集合之间的对应关系。
一个集合称为函数的定义域，另一个集合称为函数的值域。
函数通过定义域中的元素与值域中的元素一一对应。
定义一个函数f(x)，其中x表示定义域中的元素，f(x)表示值域中的元素。
称f(x)为函数f在x处的像。
二、函数的像的性质1. 函数的像的集合对于一个函数f(x)，它的像的集合可以用大括号{}表示。
例如，如果f(x) = x^2，那么函数f(x)的像的集合可以表示为{y | y = x^2, x∈R}，代表实数集中所有平方数的集合。
2. 函数的全射性如果一个函数的像等于它的值域，那么称这个函数为全射函数。
换句话说，对于函数f(x)的任意y值，都存在定义域中的x值，使得f(x) = y。
3. 函数的单射性如果一个函数的不同定义域中的元素对应到不同的值域中的元素，那么称这个函数为单射函数。
换句话说，函数f(x)中的不同x值对应到不同的f(x)值。
4. 函数的满射性如果一个函数同时是全射函数和单射函数，那么称这个函数为满射函数。
满射函数在定义域中的任意x值对应到值域中的唯一f(x)值。
三、综合算式专项练习题1. 设函数f(x) = 3x + 2，求函数f(x)的像的集合。
解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数的像的集合：f(x) = 3x + 2f(x) = {y | y = 3x + 2, x∈R}2. 设函数g(x) = x^2，求函数g(x)的值域。
解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数g(x)的值域：g(x) = {y | y = x^2, x∈R}3. 判断函数h(x) = sin(x)是否为全射函数。
七年级下册数学定理与证明随堂练习题
七年级下册数学定理与证明随堂练习题一、单选题1. 下列说法错误的是( )A. 命题不一定是定理,定理一定是命题B. 定理不可能是假命题C. 真命题是定理D. 如果真命题的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题就是定理2. 如图，不能推出AD∥BC的是( ).A. ∠DAB+∠ABC=180∘B. ∠2=∠4C. ∠1=∠3D. ∠CBE=∠DAE3. 在下列语句中属于定理的是( )A. 在直线AB上任取一点EB. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角C. 等弦所对的圆心角相等D. 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4. 在△ABC中，∠A=∠B=40∘，△ABC是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上都不对5. 下列说法不正确的是( )A. 定理是命题,而且是真命题B. "对顶角相等"是命题,但不是定理C. "同角(或等角)的余角相等"是定理D. "同角(或等角)的补角相等"是定理6. 下列说法正确的是( ).A. 命题是定理,定理不一定是命题B. 命题不一定是定理,定理不一定是合理C. 真命题可以是定理,假命题不可能为定理D. 定理可能是真命题,也可能是假命题7. 某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是( )A. 901班B. 902班C. 903班D. 904班二、填空题8. 由____、____直接得出的真命题叫做推论.9. 下列四个命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③全等三角形对应边相等；④菱形的对角线相等．其中，真命题的有____（填序号）．10. 如图，直线l1∥l2，∠1=20∘，则∠2+∠3=____.七年级下册数学定理与证明随堂练习题答案和解析1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，∠A=∠B=40°，∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−40∘−40∘=100∘，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再判断出△ABC的形状即可．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180∘是解答此题的关键．5. 【答案】B【解析】对顶角相等是命题,且是真命题,也是定理,故B不正确.6. 【答案】C7. 【答案】B【解析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．解：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．故猜测是正确的．故选：B．8. 【答案】基本事实定理9. 【答案】①③【解析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．解：①对顶角相等是真命题；②两直线平行，同位角相等，是假命题；③全等三角形对应边相等是真命题；④菱形的对角线垂直，是假命题；故答案为：①③10. 【答案】200∘。
数学下册综合算式专项练习题平行线与交线的性质
数学下册综合算式专项练习题平行线与交线的性质在数学下册的内容中，平行线与交线是一个重要的概念。
理解和运用平行线与交线的性质对于解决综合算式专项练习题至关重要。
本文将探讨平行线与交线的几个性质，并通过练习题加深对于这些性质的理解。
一、平行线的性质1. 对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所对应的角是相等的。
这是平行线的最基本性质之一。
2. 内错角性质：当两条平行线被一条交线切割时，同旁内错角的和为180度。
3. 同位角性质：当两条平行线被一条交线切割时，同位角是相等的。
二、垂直线与平行线的关系1. 垂直线的性质：垂直线之间的同位角都是相等的，垂直线与一条平行线之间的对应角互为补角。
2. 平行线与垂直线的关系：如果两条平行线中的一条与一条垂直线相交，那么与另一条平行线相交的也必定是垂直线。
三、角平分线与交线的关系1. 角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的小角。
2. 交线上的角平分线：当一条交线与两条平行线相交时，这条交线上的角平分线也恰好是两条平行线的角平分线。
四、综合算式专项练习题示例为了更好地理解平行线与交线的性质，我们将进行一些综合算式的专项练习。
以下是一些示例题目：题目一：已知AB//CD，∠ACB=80°，求∠BCD的度数。
解题思路：由平行线的对应角性质可知∠ACB=∠BCD，因此∠BCD=80°。
题目二：已知EF//GH，∠EFH=3x，∠GHF=2x，求∠GHF和∠EFH的度数。
解题思路：由内错角性质可知3x+2x=180°，解方程可得x=36°。
因此，∠GHF=2x=72°，∠EFH=3x=108°。
题目三：已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOB=130°，∠AOC=40°，求∠DOC的度数。
解题思路：由同旁内错角的和为180°可知∠AOC+∠DOC=180°。
因此，∠DOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°。
等腰三角形的性质与判定综合练习
等腰三角形的性质与判定综合练习1、假设等腰三角形的顶角为60°，那么它底角的度数为〔 〕A 、40°B 、50°C 、60°D 、70°2、如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，那么C 的度数为〔 〕A 、30°B 、40°C 、45°D 、60°3、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AD ⊥BC ，E 为AD 上一点，∠ABC ＝60°，∠ECD＝40°，那么∠ABE ＝〔 〕 A 、10° B 、15° C 、20° D 、25°4、等腰△ABC 中，AB ＝AC=6cm ，∠A ＝150°，那么△ABC 的面积为〔 〕A 、9cm ²B 、18cm ²C 、6cm ²D 、36cm ²5、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，DM 是AB 的垂直平分线，那么图中的等腰三角形有〔 〕A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 6、如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BE ⊥AC ，垂足为E ，CF ⊥AB ， 垂足为F ，BE 、CF 交于点M 。
如果CM ＝4，FM ＝5，那么BE 等于〔 〕 A 、9 B 、12 C 、13 D 、14 7、如图，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D ，交AB 于点M 。
以下结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③DC+BC=AB 。
正确的有〔 〕A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个8、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，△DEF 为等边三角形，那么γβα、、之间的关系为〔 〕A 、2γαβ+= B 、2γβα+= C 、2γαβ—= D 、2γβα—=二、填空题9、如图，AB//CD ，CD ＝BD ，∠ABD ＝68°，那么∠C 的度数为。
九年级数学上册综合算式专项练习题三角函数的性质
九年级数学上册综合算式专项练习题三角函数的性质三角函数的性质是九年级数学上册中的一个重要内容。
了解和掌握三角函数的性质对于学好数学课程具有重要意义。
本文将通过综合算式专项练习题的形式，系统地介绍三角函数的一些基本性质，帮助九年级学生对该知识点有更深刻的理解。
一、正弦函数的性质1. 基本定义：对于任意角θ，都有sinθ = y/r，其中 y 表示角θ对应的直角三角形短边的长度，r表示斜边的长度。
2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：sin(-θ) = -sinθ，即正弦函数是奇函数。
4. 周期性：sin(θ + 2πn) = sinθ，其中 n 是任意整数。
正弦函数的最小正周期是2π。
综合算式专项练习题：1. 若角A的终边经过点P(-3,4)，则sinA的值是多少？解答：根据定义，sinA = y/r = 4/5 = 0.82. 若sinB = -0.6，且B的终边位于第四象限，求角B的值。
解答：由于sinB = y/r = -0.6，且终边位于第四象限，可知y = -3，r = 5。
则sinB = -3/5。
通过查表或计算，可得B的度数在第四象限中满足sinB = -3/5的角为B = -36.87°。
二、余弦函数的性质1. 基本定义：对于任意角θ，都有cosθ = x/r，其中 x 表示角θ对应的直角三角形长边的长度。
2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：cos(-θ) = cosθ，即余弦函数是偶函数。
4. 周期性：cos(θ + 2πn) = cosθ，其中 n 是任意整数。
余弦函数的最小正周期是2π。
综合算式专项练习题：1. 若角C的终边经过点Q(5,-4)，则cosC的值是多少？解答：根据定义，cosC = x/r = 5/（√(5^2 + (-4)^2)）= 5/√412. 若cosD = -0.8，且D的终边位于第三象限，求角D的值。
八年级数学第11章等腰三角形的性质与判定的综合应用测试试题
等腰三角形的性质与断定的综合应用自我测试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔5题图〕〔6题图〕〔7题图〕〔8题图〕6. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，那么△PBC的面积为〔〕A．0.4 cm2 B．0.5 cm2 C．0.6 cm2 D．0.7 cm27.如图，D为等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，那么四边形AFDE的周长是〔〕 A．2AB B．2AB+BC C．2BC D．AB+BC8.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M ，N 分别为BE ，CD 的中点，以下结论：〔1〕BE=CD ；〔2〕△AMN 为等腰三角形；〔3〕∠AMN=90°- 2MAN ，其中正确的有〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题9. 如图，在△ABC 中，BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB ，PE ∥AC ，那么△PDE 的周长是 cm ．10. 一条船5点从C 南偏东42°的A 处出发，以16海里/时的速度向正北航行，8点到达B 处，此时C 在船的北偏西84°方向，那么船间隔 C 海里．11. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，作出AB 边的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，以下结论正确的选项是①BD 平分∠ABC ；②AD=BD=BC ；③△BDC 的周长等于AB+BC ；④D 点是AC 的中点； ．12.如图，在 Rt △ABC 中，∠B=90°．ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，∠BAE=30°，那么∠C 的度数为 °．13.如图：∠BAD=∠DAC=9°，AD ⊥AE ，且AB+AC=BE ．那么∠B= ．14. 如图，AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，假设BF=2，ED=3，GC=4，那么△ABC 的周长为 ．三、解答题15. 如图，等腰三角形ABC 的顶角∠A=36°，CD 是底角∠ACB 的平分线，DE ∥BC ．〔1〕求证：△CDE 是等腰三角形；〔10题图〕 〔14题图〕 〔13题图〕 〔12题图〕〔2〕图中除了△ABC和△CDE外还有等腰三角形吗？假设还有等腰三角形，那么还有几个等腰三角形〔直接写出个数就可以了〕16.如图△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．〔1〕假设∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；〔2〕假设∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC= 时，仍有BQ+AQ=AB+BP．考虑题：如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，假设动点P从点C开场，按C→A→B→C的途径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间是为t秒．〔1〕问t为何值时，△BCP为等腰三角形？〔2〕另有一点Q，从点C开场，按C→B→A→C的途径运动，且速度为每秒2cm，假设P、Q 两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停顿运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部？本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。