2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.2 含解析
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.2换底公式学案北师大版必修1(含解析)
3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。
2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测 Word版含解析数学备课大师 ww
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=-的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=-有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M=∈,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于()A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1)答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=,y=2x+为偶函数,y=x+为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.答案:D5函数y=log2(1-x)的图像是()解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D.∵y=log2(1-x)在定义域上是减函数,∴B选项正确.答案:B6的值为()A. B. C.2 D.3解析:.答案:A7设函数f(x)=--则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12解析:∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)=-=6,∴f(-2)+f(log212)=9.答案:C8已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f()-f()等于()A.2B.1C. D.log a2解析:f()-f()=log a-log a=2log a x1-2log a x2=2[f(x1)-f(x2)]=2.答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为() A. B. C.2 D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=.答案:B12设偶函数f(x)=log a|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为()A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)<f(a+1)D.不能确定解析:∵函数f(x)是偶函数,∴b=0,此时f(x)=log a|x|.当a>1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是增加的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2);当0<a<1时,函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上是减少的,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2).综上可知,f(b-2)<f(a+1).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13lg+2lg 2--=.解析:根据对数的运算法则知,lg+2lg 2--=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.答案:-114若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.答案:115若a=log43,则2a+2-a=.解析:由a=log43,知2a+2-a=-.答案:16设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2 018)=8,则f()+f()+…+f()的值等于.答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)化简求值:(1)2()6+(-4-×80.25+(-2 016)0;(2)-.解(1)原式=2()6+(-4×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3,lg 600-lg 0.36=(lg 6+2)-lg=lg 6+2-lg=3,∴原式==1.18(12分)已知函数f(x)=--a.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值.解(1)∵4x-1≠0,∴4x≠1.∴x≠0.∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴---a=--+a.∴2a=----=-1.∴a=-.19(12分)(1)已知x+x-1=3(x>0),求-的值; (2)已知log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),求实数x的值.解(1)∵(-)2=x+x-1+2=5,∴-.∴-=(-)(x+x-1-1)=(3-1)=2.(2)∵log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(3+x),∴log4(3x-1)=log4[(x-1)(3+x)].∴3x-1=(x-1)(3+x),且x>1.∴x=2.-20(12分)已知函数f(x)=(1)画出函数f(x)的图像,并根据图像写出该函数的递减区间;(2)求不等式f(x)>的解集.解(1)作函数f(x)的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞).(2)令f(x)=,解得x=±或x=3,结合图像可知,f(x)>的解集为-或.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为f(x)=k1x(k1≠0,x≥0),投资股票等风险型产品的收益g(x)(万元)与投资额x(万元)的函数关系为g(x)=k2(k2≠0,x≥0),则f(1)=0.125=k1,g(1)=0.5=k2,则k1=0.125=,k2=0.5=,故f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品x万元,则投资股票类产品(20-x)万元,依题意得,获得的总收益y=f(x)+g(20-x)=-(0≤x≤20).令t=-(0≤t≤2),则y=-t=-(t-2)2+3,当t=2时,y max=3,故当x=16万元时,y max=3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f(x)=-(a>1).(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明:f(x)是R上的增函数.(1)解函数的定义域为R,-f(-x)+f(x)=---=--=0,∴函数f(x)为奇函数.(2)解∵f(x)=-=1-(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-的值域为(-1,1),∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=--=-.∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴<0,+1>0,+1>0.∴-<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数 3.4.1 对数及其运算素材1 北师大版必修1
3.4.1 对数及其运算
学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。
常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。
因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.2换底公式课件北师大版必修1
【解析】 (1)lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. (2)∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴1x＝log1336＝log13636＝log363，
log363
1y＝log1436＝log13636＝log364，
方法归纳,
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练 2 (1)已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________；(用 p，q 表示)
类型二 用已知对数表示其他对数 [例 2] 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
【解析】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a. 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198
3.4.2 换底公式
【课标要求】 1.理解换底公式的证明过程，会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数，能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来，进行对数运 算．
|新知预习|
对数换底公式 logbN＝llooggaaNb (a，b>0，a，b≠1，N>0)， 特别 logba＝log1ab(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
A．18
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.4.1.1
§4对数4.1对数及其运算第1课时对数及其运算课时过关·能力提升1如果=b(a>0且a≠1),则()A.2log a b=1B.log a=bC.lo a=bD.lo b=a解析:由题意,=b(a>0且a≠1),则=b,由对数的定义得,=log a b,即2log a b=1.故选A.答案:A2若102x=25,则x等于()A.lgB.lg 5C.2lg 5D.2lg解析:∵102x=25,∴2x=lg 25=2lg 5,即x=lg 5.答案:B3已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为()A.1B.-1C.5D.答案:A4已知,则x=()A. B.C.2D.解析:因为,所以=3-1,即2log2x=-1,所以log2x=-,解得x=,故选B.答案:B5已知(x-2)2+(y-1)2=0,则log x(y x)的值是()A.1B.0C.xD.y解析:因为(x-2)2+(y-1)2=0,所以x-2=0,y-1=0,所以x=2,y=1.所以log x(y x)=log2(12)=log21=0.答案:B6有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e=ln x,则x=e2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是()A.①②B.①②③C.①②④D.②③④解析:可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=e e,故③错误;④中由于lg 1=0,而0没有对数,所以④式不成立.综上可知,正确的结论是①②.故选A.答案:A7已知函数f(3x)=log2,那么f(1)的值为()A.log2B.2C.1D.解析:∵f(3x)=log2=log2,∴f(1)=log2=log22=1,故选C.答案:C。
北师大版高中数学必修一学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．A．一次函数B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．A．0 B．1C．2 D． 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.1对数及其运算课件北师大版必修1
4．对数的运算性质 条件
性质
a>0，a≠1，且 M>0，N>0
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN (2)logaMn＝nlogaM(n∈R) (3)logaMN ＝logaM－logaN
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|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数 log39 和 log93 的意义一样．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( √ ) (4)logaMN＝llooggaaMN( × ) (5)log3(－2)2＝2log3(－2)( × )
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2．如果 a＝b(a>0 且 a≠1)，则( )
A．2logab＝1
B．loga12＝b
C．log 1 a＝b
D．log 1 b＝a
2
2
【解析】 将四个选项中的对数式转化为指数式，依次为 2logab ＝1⇒ a＝b；
loga 1 ＝b⇒ab＝12；log 1 a＝b⇒21b＝a；log 1 b＝a⇒21a＝b.选 A.
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【解析】 (1)因为 log2(log3x)＝0， 所以 log3x＝1， 所以 x＝3. (2)因为 log5(log2x)＝1， 所以 log2x＝5， 所以 x＝25＝32. (3) 32－1＝2 32＋1＝ 3＋1， 所以 log( 3＋1) 32－1＝log( 3＋1)( 3＋1)＝1， 所以 x＝1.
跟踪训练 1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32；(2)21－2＝4； (3)log381＝4；(4)log134＝m.
【解析】 (1)log232＝5； (2)log 1 4＝－2；
2018版北师大版必修一课后作业：第三章 指数函数、对
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．类型一指数、对数的运算例1 化简：(1)2932-⨯÷解 原式＝2239533222(2)(10)10-⨯÷＝2－1×103×1052-＝2－1×1012＝102. (2)2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.解 原式＝log 34－log 3329＋log 38－552log 3＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－55log 9 ＝log 39－9＝2－9＝－7.反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg2lg3×lg3lg2＝1， ∴原式＝314422⨯＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 类型二 数的大小比较 例2 比较下列各组数的大小． (1)27,82；解 ∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上递增知26<27，即82<27. (2)log 20.4，log 30.4，log 40.4；解 ∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.(3)13212112,log ,log .33-解 ∵0<132-<20＝1，log 213<log 21＝0，112211log log 1,32>= 1321211log 2log .33-∴<<反思与感悟 数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小． 跟踪训练2 比较下列各组数的大小． (1)log 0.22，log 0.049； (2)a 1.2，a 1.3； (3)30.4,0.43，log 0.43.解 (1)∵log 0.049＝lg9lg0.04＝lg32lg0.22＝2lg32lg0.2＝lg3lg0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(2)∵函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当底数a >1时在R 上是增函数；当底数0<a <1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.类型三 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 命题角度1 函数的性质及应用例3 已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是增函数，所以函数f (x )在R 上是增函数； 当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是减函数， 所以函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. ①当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 解得x >log 32⎝⎛⎭⎫－a2b ； ②当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ， 解得x <log 32⎝⎛⎭⎫－a2b . 反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝124-＝12. 命题角度2 函数的图像及应用例4 如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 借助函数的图像求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练4 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称．显然不符．故选B.1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )＝2lg (100·lg a )2＋lg (lg a )＝2[lg100＋lg (lg a )]2＋lg (lg a )＝2.2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )答案 D解析 显然a >0且a ≠1. 若0<a <1，则只有D 符合．若a >1，只有B 中y ＝x a 符合，但B 中g (x )不符合．3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数 答案 D解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 12|x |为偶函数，x ∈(0，＋∞)时g (x )＝log 12x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．4．已知322,P -=Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜R D ．R ＜Q ＜P答案 B解析 由函数y ＝x 3在R 上是增函数知，⎝⎛⎭⎫253＜⎝⎛⎭⎫123， 由函数y ＝2x在R 上是增函数知，322-＞2－3＝⎝⎛⎭⎫123，所以P ＞R ＞Q .5．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1与x 轴的交点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |，y ＝12x 的图像(图略)，易知有2个交点．1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．课时作业一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0]∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.即x ∈(－1,0)∪(0,2]．2．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x＋lg y＝2lg(xy )．故选D.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝22log 121－＝22log 12×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上递增，故选D.方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图像如图．由图像可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.5．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( )答案 C解析 因为f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，所以f (x )＝2x ，所以y ＝f (1－x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，其函数图像可由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像向右平移1个单位长度得到，故选C.6．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫log213，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log312，c ＝f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a答案 C解析 因为1＝log 22＜log23＜log 22＝2,0＜log32＜log33＝1，所以0<log32＜log23＜2.因为f (x )在[0，＋∞)上递增， 所以f (log32)＜f (log23)＜f (2)．因为f (x )是偶函数， 所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫log213＝f (－log 23)＝f (log23)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log312＝f (－log 32)＝f (log32)，c ＝f (－2)＝f (2)． 所以c ＞a ＞b . 二、填空题7．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.8．已知a 12＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________.答案 4解析 ∵a 12＝49(a ＞0)，∴log 23 (a 12)＝log 2349＝2，∴12log 23a ＝2，∴log 23a ＝4. 9．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－8，－6]解析 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.10．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________． 答案 1解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，∴a ＝1. ∴f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增．∴[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)． ∴m ≥1，即m 的最小值为1. 三、解答题11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值． 解 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根， ∴lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝4－2＝2，∴lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a ＋lg b )·(lg a －lg b )2 ＝2×2＝4.12．已知函数f (x )＝222x x a＋＋(－2≤x ≤2)．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解 (1)令t ＝x 2＋2x ＋a ，则其对称轴x ＝－1， ∴t ＝x 2＋2x ＋a 在[－2，－1]上递减， 在[－1,2]上递增，又y ＝2t 在(－∞，＋∞)上递增，∴f (x )的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]． (2)由(1)知f (x )max ＝f (2)＝22222a ⨯＋＋＝28＋a .∴28＋a ＝64＝26，∴8＋a ＝6，a ＝－2，∴f (x )min ＝f (－1)＝22(1)2(1)2⨯－＋－－＝2－3＝18.13．已知常数a (a >1)和变量x ，y 之间的关系式是log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若x ＝a t (t ≠0)，且当t ≥1时，y 的最小值是8，求相应的x 的值． 解 把x ＝a t 代入log a x ＋3log x a －log x y ＝3， 得t ＋3t －1t log a y ＝3.∴log a y ＝t 2－3t ＋3， ∴y ＝a 233t t －＋.又t ≥1，a >1，故可令u ＝t 2－3t ＋3， 则当t ＝32时，u ＝t 2－3t ＋3有最小值为34，此时y 也有最小值，即y min ＝a 34＝8， 此时x ＝a t＝a 32＝(a 34)2＝82＝64. 四、探究与拓展14．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，14解析 由图像可知，点A (x A,2)在函数y ＝x 的图像上，所以2＝x A ，x A ＝⎝⎛⎭⎫222＝12.点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图像上，所以2＝x 12B，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图像上， 所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.15．已知函数f (x )＝x n －4x ，且f (4)＝3.(1)判断f (x )的奇偶性并说明理由；(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意实数x 1，x 2∈[1,3]，有|f (x 1)－f (x 2)|≤t 成立，求t 的最小值． 解 (1)f (4)＝4n －1＝3，即4n ＝4，∴n ＝1. ∴f (x )＝x －4x.其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝－x ＋4x ＝－⎝⎛⎭⎫x －4x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )在(0，＋∞)上递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－4x 1－x 2＋4x 2＝x 1－x 2＋4(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋4x 1x 2. ∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0,1＋4x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)依题意，得t ≥|f (x 1)－f (x 2)|成立， 只要t ≥|f (x 1)－f (x 2)|的最大值即可． ∵f (x )在区间[1,3]上递增． ∴|f (x 1)－f (x 2)|的最大值为|f (3)－f (1)|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3－43－(1－4)＝143. ∴t ≥143.14故t的最小值为3.。
2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.2.1 Word版含解析
∴(ab)2-2 ab+1=0.
∴ab= ±1.
①当ab= +1时,ab-a-b= +1- +1-( -1)=2.
②当ab= -1时,ab-a-b= -1- -1-( +1)=-2.
答案:B
6若 =-4a-1,则实数a的取值范围是.
解析:由 =|4a+1|=-4a-1,
当n为奇数时, =x-π.
综上,
(2)因为a≤ ,所以2a-1≤0.
所以 =|2a-1|=1-2a.
解(1)设f(x)=xt,则9t= .
即32t=3-1,所以t=- .
所以f(x)= (x>0).
(2)f(25)=2 .
(3)由f(a)=b得 =b,所以a=b-2= .
★ 10化简下列各式:
(1) (x<π,n∈N+);
(2) .
解(1)因为x<π,所以x-π<0.
当n为偶数时, =|x-π|=π-x;
得4a+1≤0,即a≤- .
答案:
7给出函数f(x)= 则f(2)=.
解析:f(2)=f(2+1)=f(3)=23=8.
答案:8
8若 =0,则x2 016+y2 016=.
答案:2
9已知幂函数y=f(x)的图像过点 .
(1)求f(x)的解析:式.
(2)求f(25)的值.
(3)若f(a)=b(a,b>0),则a用b可表示成什么?
③ +y;④ .
A.0B.1
C.2D.3
解析:因为a2-a+1= >0,
所以②正确,①③④均不正确.
2018版北师大版必修一课后作业：第三章 指数函数、对
学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一 正整数指数函数的概念思考 定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.答案 y ＝2x ＋梳理 正整数指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性 思考 比较12，(12)2，(12)3的大小，你有什么发现？答案 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12)x ，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．梳理 函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减． 知识点三 指数型函数思考 y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？ 答案 不是，正整数指数函数的系数为1.梳理 形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．类型一 正整数指数函数的概念命题角度1 判断是否为正整数指数函数 例1 下列表达式是否为正整数指数函数？ (1)y ＝1x ；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝3－x (x ∈R )；(4)y ＝e x (x ∈N ＋)．解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x ＝(13)x ，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．反思与感悟 判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝－2x ，x ∈N ＋ B ．y ＝2x ，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈N ＋ D ．y ＝(12)x ，x ∈N ＋答案 D解析 结合正整数指数函数的定义可知选D. 命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x ，则f (2)等于( ) A ．2B ．3C ．9D ．16 答案 C解析 ∵f (x )是正整数指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，a >0且a ≠1，∴a ＝3，f (x )＝3x . ∴f (2)＝32＝9.反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x 是正整数指数函数，则a 应满足________． 答案 a <13，且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－3a >0，1－3a ≠1，解得a <13，且a ≠0.类型二 正整数指数函数的图像与性质例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质． (1)y ＝2x (x ∈N ＋)；(2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)． 解 列表比较如下：集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成． 跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像． (1)y ＝3x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x. 解 (1)(2)类型三 正整数指数函数的应用例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和(本金加上利息)为y 元．(1)写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )，2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2， 3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3， x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋， 即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为 y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋.(2)将a ＝1000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式，得 y ＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68(元)， 即5期后本利和约为1117.68元．反思与感悟 建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ， x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL. 由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08，(12)x ≤415.采用估算法，当x ＝1时，(12)1＝12>415；当x ＝2时，(12)2＝14＝416<415.由于y ＝(12)x 是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶．1．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x (a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B2．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．a <1 C ．a >1 D ．a >2答案 D解析 在y ＝(a －1)x 中，当x ＝0时，y ＝1.而x ∈N ＋时，y >1，则必有a －1>1，∴a >2，故选D.3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84% B ．减少7.84% C ．减少9.5% D ．不增不减答案 B解析 设商品原价为a ，两年后价格为a (1＋20%)2， 四年后价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2 ＝0.9216a ，∴a －0.9216a a ×100%＝7.84%，故选B.4．函数y ＝(13)x (x ∈N ＋)的值域是( )A ．RB ．正实数C ．ND ．{13，132，133，…}答案 D5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x (x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”或“减少”) 答案 增加解析 ∵f (x )＝(a －2)(2a )x 是正整数指数函数， ∴a －2＝1，且2a >0,2a ≠1， ∴a ＝3，∴f (x )＝6x ，x ∈N ＋. ∵6>1，∴f (x )在N ＋上是增加的．1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集． 2．当a >1时是增函数． 3．当0<a <1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．课时作业一、选择题1．下列函数：①y ＝4x 2，②y ＝6x ，③y ＝32x ，④y ＝32x ，⑤y ＝2x ＋1.(以上各函数定义域为x ∈N ＋)其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 只有②③符合题意．2．函数f (x )＝(14)x ，x ∈N ＋，则f (2)等于( )A ．2B ．8C ．16 D.116答案 D解析 ∵f (x )＝(14)x ，x ∈N ＋，∴f (2)＝(14)2＝116.3．函数y ＝(38)x ，x ∈N ＋是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数答案 D解析 因为正整数指数函数y ＝(38)x ，x ∈N ＋的底数38小于1，所以此函数是减函数．4．中心城区现有绿化面积为1000hm 2，计划每年增长4%，经过x (x ∈N ＋)年，绿化面积为y hm 2，则x ，y 间的函数关系为( ) A ．y ＝1000(1＋4%)x (x ∈N ＋) B ．y ＝(1000×4%)x (x ∈N ＋) C ．y ＝1000(1－4%)x (x ∈N ＋) D ．y ＝1000(4%)x (x ∈N ＋) 答案 A5．正整数指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是N ＋上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a <0 B ．－1<a <0 C ．0<a <1 D ．a <－1答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a ＋1)x 是正整数指数函数，且f (x )为减函数，∴0<a ＋1<1，∴－1<a <0. 6．函数y ＝3×2x －3，x ∈N ＋，且x ∈[0,4]，则y 的值域是( ) A ．{－3,3,9,21,45} B ．{3,9,21,45} C ．{0,3,9,21,45} D ．{－3,0,3,9,21,45}答案 B解析 ∵x ∈N ＋且x ∈[0,4]，∴x ＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋K )n (K 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，K 为预测期内的年增长率，若－1<K <0，则在这期间人口数( ) A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势C ．呈先上升再下降的趋势D ．呈先下降再上升的趋势 答案 B解析 P 0>0,0<1＋K <1， ∴P n ＝P 0(1＋K )n 是减少的． 二、填空题8．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空．(12)x ________1,2x ________1，(12)x ________2x ，(12)x ________(13)x,2x ________3x . 答案 < > < > < 解析 ∵x ∈N ＋，∴(12)x <1,2x >1.∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x ，(12)x >(13)x .也可以代入特殊值比较大小．9．已知不等式(a 2＋a ＋2)2x >(a 2＋a ＋2)x ＋8，其中x ∈N ＋，使此不等式成立的x 的最小整数值是________． 答案 9解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时递增的性质，得2x >x ＋8，即x >8， ∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9.10．有浓度为a %的酒精一满瓶共m 升，每次倒出n 升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________． 答案 (1－nm)10a %解析 第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－nm )·a %，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－n m )(1－n m )a %＝(1－n m )2a %，依次可得第x 次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－n m )x ·a %(x∈N ＋)． 三、解答题11．有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？ 解 由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)； 在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2； …故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×(32)6＝1458(辆)．答 该市在2023年应投入1458辆电力型公交车．12．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)解 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则M N ＝2(1＋10%)5， 因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以MN >1，即M >N .因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量． 四、探究与拓展13．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)的值；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因． 解 (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a >0，a ≠1， x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27， 即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上递增， 所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．。
2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.3.1 含解析
§3指数函数第1课时指数函数的图像和性质课时过关·能力提升1若函数y=(2a2-5a+4)a x是指数函数,则a的值为()A.1或B.1C. D.以上均不正确解析:由2a2-5a+4=1,解得a=(a=1舍去).答案:C2若函数y=a x-(b+1)(a>0,a≠1)的图像在第一、三、四象限,则有()A.a>1且b<0B.a>1且b>0C.0<a<1且b>0D.0<a<1且b<0答案:B3已知集合M={-1,1},N=∈,则M∩N=()A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}解析:N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又y=2x在R上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.答案:B4函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C.答案:C5设<1,那么()A.a a<b b<b aB.a a<b b<aC.a b<b a<a aD.a b<a a<b a解析:∵函数f(x)=为减函数,且<1,∴0<a<b<1.∴函数g(x)=a x为减函数,即a b<a a,函数h(x)=x a为增函数,即a a<b a,故a b<a a<b a,故选D.答案:D6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.答案:C7已知指数函数y=f(x)的图像过点(1,3),则f(f(1))=.答案:278已知函数f(x)=-则f(-3)的值为.解析:f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=2-3=.答案:9当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为.解析:∵x∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的,∴3-2+1-2≤y≤30+1-2,即-≤y≤1.答案:-10若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.分析:解答本题的关键是根据函数f(x)的定义域[0,2],确定f(x)的最大值与最小值,要注意底数a的取值(a>1还是0<a<1)对f(x)最值的影响,然后根据f(x)的最值列出关于a的方程求解.解当a>1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是增加的,由题意可知,--解得a=(a=-舍去).当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减少的,由题意可知,--此时a无解.综上所述,a=.★11已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试判断f(b x)与f(c x)的大小关系.解由f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=2.所以函数f(x)在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.又f(0)=3,所以c=3.若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).综上所述,f(3x)≥f(2x),即f(c x)≥f(b x).★12已知函数f(x)=-(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.解(1)由a x-1≠0,解得x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)f(-x)=---=--=--=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)∵f(x)为奇函数,∴xf(x)为偶函数.∴xf(x)>0在定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即->0恒成立,即->0.∴a x-1>0即a x>1在(0,+∞)上恒成立, ∴a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).。
(北师大版)2018-2019年度高中数学必修1-同步习题-第三章指数函数和对数函数 3.4.2
4.2换底公式课时过关·能力提升1的值为()A.2B.C.1D.解析:原式=,故选D.答案:D2=()A.lg 3B.-lg 3C.D.-解析:原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=,故选C. 答案:C3若log5·log36·log6x=2,则x=()A.9B.C.25D.解析:∵由换底公式,得=2,∴-=2.∴lg x=-2lg 5=lg .∴x=.故选D.答案:D4如果lg 2=m,lg 3=n,那么等于() A. B.C.-D.-解析:∵lg 2=m,lg 3=n,∴-=-,故选C.答案:C5已知f(3x)=2x log23,则f(21 008)的值等于. 解析:设3x=t,则x=log3t,∴f(t)=2log3t·log23=2log2t.∴f(21 008)=2log221 008=2 016.答案:2 0166设log89=a,log35=b,则lg 2=.解析:由log89=a得log23=a,所以 a.又因为log35==b,所以ab.所以-ab,所以lg 2=.答案:7已知2m=5n=10,则=.答案:18分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料,列出声压级y与声压P的函数关系式;(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?解(1)由已知得y=20lg(其中P0=2×10-5帕).(2)当P=0.002帕时,y=20lg-=20lg 102=40(dB).由已知条件知40 dB小于60 dB,所以此地为无害区,声音环境优良.9若lg 2=a,lg 3=b.(1)用a,b表示lg与log245;(2)求102a-b的值.解(1)lg=lg 3-lg 2=b-a,log245=---.(2)102a-b=102lg 2-lg 3=10lg 4-lg 3=1.★10设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3,用log a x表示log a y,并求当x取何值时,log a y取得最小值.解由换底公式,得log a x+=3,整理,得(log a x)2+3-log a y=3log a x,∴log a y=(log a x)2-3log a x+3=-.∴当log a x=,即x=时,log a y取得最小值.★11甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两实数解分别为;乙写错了常数c,得到两实数解分别为,64.求这个方程的真正实数解.解原方程可化为log2x+b+c=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b,得两实数解分别为,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得两实数解分别为,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,解得log2x=2或log2x=3,所以原方程的真正实数解为x=4或x=8.。
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第2课时对数性质的应用
课时过关·能力提升12log510+log50.25=()
A.0
B.1
C.2
D.4
解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
答案:C
2若log32=a,则log38-2log36用a表示为()
A.a-2
B.3a-(1+a)2
C.5a-2
D.3a-2-a2
解析:log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.
答案:A
3设a=log310,b=log37,则3a-b=()
A. B. C. D.
解析:3a-b=.
答案:A
4方程log3(x-1)=log9(x+5)的解为()
A.x=-1
B.x=4
C.x=-1或x=4
D.x=-1且x=4
解析:由题意可知,
-
-解得x=4,故选B.
答案:B
5若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则的值为() A.2 B. C.4 D.
解析:=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a lg b=22-4×=2.
答案:A
6已知2x=9,log2=y,则x+2y的值为.
解析:由2x=9,得log29=x,
所以x+2y=log29+2log2
=log29+log2=log264=6.
答案:6
7(lg 5)2+lg 2·lg 50=.
解析:(lg 5)2+lg 2·lg 50=(lg 5)2+lg 2(lg 5+lg 10)
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1.
答案:1
8已知log54=a,log53=b,用a,b表示log56=.
解析:∵log54=a,log53=b,
∴log56=log52+log53=log54+log53=a+b.
答案:a+b
9计算:log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0.
解原式=log3+lg(25×4)+2+1=+lg 102+3=+2+3=.
10已知f(x)=x2+(lg a+2)x+lg b,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一个实根,求实数a,b的值.
解由f(-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg =-1=lg ,所以,即a=10b.
又因为方程f(x)=2x至多有一个实根,即方程x2+(lg a)x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a)2-4lg b≤0,即(lg 10b)2-4lg b≤0,所以(1-lg b)2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100.
故实数a,b的值分别为100,10.
★11设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程log a x+log a y=3,求a的取值范围.
解∵log a x+log a y=3,∴log a xy=3.
∴xy=a3.∴y=.
∵函数y=(a>1)在(0,+∞)上是减少的,
又当x=a时,y=a2,当x=2a时,y=,
∴ ⊆[a,a2].
∴≥a.又a>1,∴a≥2.∴a的取值范围为[2,+∞).
★12已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值是3,求a的值.解∵二次函数f(x)有最大值,∴lg a<0.
又f(x)max=--=3,
∴4lg2a-3lg a-1=0.
∴lg a=1或lg a=-.
∵lg a<0,∴lg a=-.∴a=1-.。