高一数学解三角形知识点总结及习题练习.doc
高一解三角形综合复习(含详细答案)
(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.【例5】在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )．A.13B.45C ．1D ．3 解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1. 答案 C【例6】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=，=（cosA ，﹣2cosA ），=﹣1．（1）求∠A 的大小； （2）若，c=2，求△ABC 的面积．【例7】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若acosC=csinA ．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC 的面积为，求的值．三、 课堂练习【训练1】若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【训练2】(1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②， 整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.【训练8】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ． （1）求角A 的大小；（2）若•=，求△ABC 的面积．课后作业：1、已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13 解析 法一 ∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169， ∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29， ∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ， 得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|· cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.8、已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设=（a ﹣b ，c ），=（a ﹣c ，a+b ），且∥． （1）求∠B ； （2）若a=1，b=，求△ABC 的面积．备注:家长签字:____________年 月 日星期 i。
高中数学_解三角形知识点汇总与典型例题
WORD 格式整理版解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
(完整版)高中数学--解三角形知识点归纳和分类习题测试.doc
必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理abc2R1．正弦定理 : sin Asin B sinCsin A :sin B :sin C .或变形： a : b : ccos A b 2 c 2 a 22bca 2b 2c 22bccos AcosBa 2c 2 b 22acb 2 a 2c 2 2ac cosB2a 2c 2c 22a 22ba cosCcosC b2．余弦定理：b2ab.或3．（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .5．解题中利用ABC 中 AB C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B)sin C , cos( A B) cosC , tan( A B) tan C ,A B C,cos A B C A B Csin2cos 2 sin, tancot2222 . 、已知条件定 理 应 一般解法用一边和两角正 弦 定 由 A+B+C=180˙，求角 A ，由正弦定理求出 b 与 c ，在有解时（如 a 、 B 、 C ） 理有一解。
两边和夹角余 弦 定 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再( 如 a 、b 、 c) 理由 A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边余 弦 定 由余弦定理求出角 A 、 B ，再利用 A+B+C=180˙，求出角 C( 如 a 、b 、 c)理在有解时只有一解。
1. 若ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C5:11:13，则 ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2. 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a ，b，c，若a 2 ，b=2，sinB+cosB= 2 ，则角 A 的大小为（） A．B． C4 D．2 3 63. 在△ ABC 中，a 7,b 4 3, c 13 ，则最小角为A、 B 、 C 、 D 、3 64 124. 已知ABC 中，AB4, AC 3, BAC 60 ，则BC( )A. 13B. 13C.5D.105. 在锐角ABC 中，若 C 2B ，则c的范围（）bA．2, 3 B ．3, 2 C ． 0,2 D．2, 26. 在ABC中，A、B、C 所对的边分别是 a 、b、c，已知a2 b2 c2 2ab ，则 C ( )2 3A. 2B. 4C. 3D. 47. 在△ABC 中，A 60o, b 16, 面积 S 220 3 ，则 cA、10 6 B 、 75 C 、 55 D 、 498. 在△ABC 中，( a c)( a c) b(b c) ，则AA、30o B 、 60o C 、 120o D 、 150o9. 已知ABC 中，AB4, BAC45， AC 3 2 ，则ABC的面积为 _______cos B b10. 在ABC中 , a, b, c 分别是角A, B,C的对边 , 且cosC 2a c ,则角 B 的大小为_______11. 已知锐角三角形的边长分别是2,3, x ，则 x 的取值范围是A、1 x 5B、5x13C、0 x 5 D、 13 x 512 ．ABC 中，AB1, BC 2 则角C的取值范围是__________．知识点二：判断三角形的形状问题1. 在 ABC 中，若cos A cos B sin 2C，则ABC是（）2A．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D．直角三角形2. 在△ABC中，有一边是另一边的 2 倍，并且有一个角是30o，那么这个三角形A 、一定是直角三角形B 、一定是钝角三角形C、可能是锐角三角形 D 、一定不是锐角三角形tan A a23. 已知在△ABC中，tan Bb2 ，判断△ABC的形状。
高一数学必修5解三角形_正弦_余弦知识点和练习题(含答案)(最新整理)
（）
A．4
B．2
C．1
D．不定
7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β, α(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于
a sin sin A． sin( )
a sin sin B． cos( )
a sin cos
a cos sin
高中数学必修 5
复习要点
a
1．正弦定理:
b
c
2R 或变形： a : b : c sin A : sin B : sin C .
sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A
cos
A
b2
c2 2bc
a2
2．余弦定理：
b
2
a2c22ac来自cosB或
cos B a2 c2 b2 .
12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A－B)= ,则 cosC=_______.
32
三、解答题：
13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
sin A sin B
③sinC=
④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).
cos A cos B
c a2 b2 c2 c a2 c2 b2 a b
2bc
2ac
(a b)(c 2 a 2 b2 ) 0, c 2 a 2 b2 , ABC为Rt .
④由条件变形为 sin( A B) a 2 b2 sin( A B) a 2 b2
sin( A B) sin( A B) a 2 , sin Acos B sin 2 A sin 2A sin 2B, A B或A B 90 . sin( A B) sin( A B) b2 cos Asin B sin 2 B
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高一数学解三角形知识点和练习题(含答案)
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°1、的值等于（ ）2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.ABD Cαβ参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）3314 （11）4π（12）81 三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(ba b a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题[整理]
![高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/1b4a8522f011f18583d049649b6648d7c0c70859.png)
）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍＋c．三角形的面积公式：∆∆第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
；2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析题型1：正、余弦定理例1．（1）在中，已知，，cm ，解三角形；∆ABC 032.0=A 081.8=B 42.9=a （2）在中，已知cm ，cm ，，解三角形（角度精确到，边长精确∆ABC 20=a 28=b 040=A 01到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，000180(32.081.8)=-+；0180()=-+C A B 066.2=根据正弦定理， ；0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为＜＜，所以，或00B 0180064≈B 0116.≈B ①当时， ，064≈B 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器AC,23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A ②∴-=sin cos A A 62①+②得。
高一数学解三角形正弦余弦知识点和练习题(含答案)
复习要点 1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===. 高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）A ．a (km)B ．3a(km) C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).1、在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c3、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
高一数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)
1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===.、 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ） 正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a 、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边 (如a 、b 、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).1、在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c 3、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，A BD Cαβ（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
高一数学必修5解三角形_知识点和练习题(含答案)(K12教育文档)
高一数学必修5解三角形_知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修5解三角形_知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修5解三角形_知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。
1、ΔABC 中,a=1，b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ )A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°1、的值等于（ ）2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）A ．a=1，b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1，b=2，∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中,有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB 〉sinA B ．cosA 〈sinB 且cosB 〈sinAC ．cosA 〉sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB 〉sinA4、若(a+b+c ）（b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程（sinB －sinA ）x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB ）=0有等根,那么角B（ ）A ．B 〉60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°，c=6 ，a=2的△ABC 的个数记为m,则a m的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C ，B 三点在地面同一直线上，DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α（α〈β）,则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角，且sinA+cosA=127， 则ΔABC 是______三角形.ABD Cαβ参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）一、BDBBD AAC 二、（9)钝角 （10）3314 （11）4π(12）81 三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°,∴△ABC 为等腰△或Rt △。
高中数学第一章解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R==2cR =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积． 题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4【解三角形在实际中的应用】实际问题中的有关概念：仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选1（06）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。
(完整版)高一数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题(含答案),推荐文档
C . a=1,b=2, / A=100C . b=c=1, / B=451 .正弦定理abc2R 或变a ・ A ・ c ain △・ain R ・ain C■ K/ ■ vzn u i L M / ・ w iii sin A sin B sinC222bc acco AUUo / v2a 2 2b c 2bccosA 92bc 92.余弦定理：b 22 2 a c 2accosB 或c a QCO l-< c b 22ac2cb 2 a2bacosC.2 22ba ccos C2ab3.（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式〔、△ ABC 中,a=1,b= 3 , / A=30 °，则/ B 等于A . 60°B . 60° 或 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是A . a=1,b=2 ,c=3 ( )C . 30° 或 150°D . 120°( )B . a=1,b= .2，/A=30 °3、在锐角三角形 ABC 中，有( )A . cosA>sinB 且 cosB>sinAC . cosA>sinB 且 cosB<sinAB . cosA<sinB 且 cosB<sinA D . cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若(a+b+c)(b+c — a)=3abc ，且 sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是A .直角三角形D .等腰直角三角形1、在厶ABC 中，已知内角 A —,边BC 2.3.设内角B(1)求函数y f (x)的解析式和定义域；(2)求y 的最大值.2、在VABC 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，若si nAsi nBB .等边三角形C .等腰三角形 5、C 为三角形的三内角，且方程(sinB—si nA)x 2+(si nA — sinC)x+(si nC — sin B)=0有等根，那么角 B6、 满足A=45 B>60 ° C . B<60 D . B w 60°,c= , 6 ,a=2的厶ABC 的个数记为 m,则a m 的值为B .D .不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是B ,点离地面的高度AB等于asin sin A .sin( )B .asin sin cos( )asin cos C .sin( )a cos sin D .cos( )9、A 为 ABC 的一个内角,且 sinA+cosA = 172,肌 ABC 是三角形•11、在4 ABC 1 中，若 S ABC = (a 2+b 2 — c 2),那么角/ C=412、在4 ABC 13、在4 ABC① B=60 亠31 中，a =5,b = 4,cos(A — B)= 一，则 cosC= _____ .32中，求分别满足下列条件的三角形形状：,b 2=ac ; ② b 2ta nA=a 2ta nB ;sin A sin B ③ sin C=cos A cos Bx ，周长为—求 a:b:c2 ，3、在锐角三角形ABC中，有( )23、在 VABC 中 a, b, c 分别为 A, B, C 的对边，若 2sinA(cosB cosC) 3(sinB sinC), (1)求A 的大小；(2)若a .61,b c 9，求b 和c 的值。
高中数学解三角形知识总结点总结汇总情况及典型例题1
适用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其余未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还能够包含三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要种类：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和随意一边，求其余的两边及一角.第 2、已知两角和此中一边的对角，求其余边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其余两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自己的特色。
（ 1）角的变换由于在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
(完整版)高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1,推荐文档
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）a b asin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝。
c c b2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a sin A = bsin B= csin C= 2R （R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C。
3.三角形的面积公式：1 1 1（1）S∆＝2ah a＝2bh b＝2ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；1 1 1（2）S∆＝2 ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B；4.解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.2 2 1+3 1- 33 2 4c = a sin C = 20sin760 ≈30(cm ).sin A sin400②当 B ≈1160 时，a sin C 20sin240 C =180 -(A + B )≈180 -(40 +116 )=24，c = sin A= sin400 ≈13(cm ). 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型 2：三角形面积例 2．在∆ABC 中， sin A + cos A =， AC = 2 ， AB = 3 ，求 tan A 的值和∆ABC 的面积。
高一数学知识点总结归纳-必修五第一部分解三角形解三角形(2)Word版含答案
解三角形（2）
一、知识点
1、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:
如果sinA ≥sinB ，则B 有唯一解；如果
sinA<sinB <1，则B 有两解；如果sinB=1，则B 有唯一解；如果
sinB>1，则B 无解. 2、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。
3、常用的三角形面积公式
（1）高底2
1
ABC S ；（2）B ca A bc C
ab S ABC sin 21
sin 21sin 21
（两边夹一角）；4、三角形中常用结论
(1)
,,(a b c b c a a c b 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin (ABC A B a b A B 在中，即大边对大角，大角对大边）
(3)在△ABC 中，A+B+C=π，所以
sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2
sin 2cos ,2cos 2sin C
B A
C
B A
二、练习
1、
ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，,7,1,3A a b 则c 等于（）
A ．22 B.3 C.31 D.232、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（）
A ．5
18 B.34 C.32 D.78
3、在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且2a ＜22b c ，则A 的取值范围是（）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.解三角形一、基础知识梳理a= b=c=2R （ R 为△ABC 外接圆半径），了解正弦定理1 正弦定理：sin Csin A sin B以下变形：a 2Rsin A,b2R sin B, c 2Rsin Csin Aa, sin B b, sin C c2R 2R 2R a : b : c sin A : sin B : sin Ca bca b csin Asin B sin C sin A sin B sin C最常用三角形面积公式：S ABC1 1 1 acsin B 1 bcsin Aah a ab sin C22222 正弦定理可解决两类问题： 1 ．两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解） 2 ．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 （解可能不唯一）了解：已知 a, b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况 :b 2c 2a23 ． 余弦定理 ： a 2b 2c 22bccos AcosA2bcc 2a 2b2b 2c 2a 22ac cosBcosB2cacab2ab cosCa 2b 2c2222cosC2ab4 ． 余弦定理可以解决的问题：（1 ）已知三边，求三个角； （解唯一）（2 ）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （解唯一）：（3 ）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）2[ 课前热身 ]1 ． ( 教材习题改编 )已知△中， a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， B＝ 60 °，那么角 等于()ABCAA ． 135 °B ．90°C ．45°D ．30°2 ．在△ABC 中， a 2 b 2 c 2 bc ，则 A 等于 ()A ．60 °B ．45°C ．120 °D ．30 °3 ．在△ABC 中，若 A ＝ 120 °，AB ＝ 5 ， BC ＝ 7，则△ABC 的面积是 ()3 315 315 3 15 3 A.4B.2C.D. 844． (2010 年高考广东卷 ) 已知 a ，b ， c 分别是△ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边，若 a＝ 1 ， b ＝ 3 ， A ＋ C ＝ 2 B ，则 sin A ＝ ________. 5．5 ．在△ABC 中，如果 A ＝ 60 °，c ＝ 2 ，a ＝6 ，则△ABC 的形状是 ________．3[ 考点突破 ]考点一 正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边， 求其他边角； 二是已知两边和一边的对角，求其他边角．例 1 、 (1)(2010 年高考山东卷 )在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.若 a ＝2， b ＝ 2 ， sin B ＋cos B ＝ 2 ，则角 A 的大小为 ________．(2) 满足 A ＝ 45 °，a ＝ 2 ， c ＝ 6的△ABC 的个数为 ________．考点二 余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．例 2 、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是πa， b ， c，已知 c＝2， C＝.3(1) 若△ABC的面积等于 3 ，求a，b的值；(2)若 sin B＝ 2sin A，求△ABC的面积．考点三三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．例 3 、 (2010 年高考辽宁卷 )在△ABC 中， a ，b ， c 分别为内角 A ， B， C 的对边，且2asin A ＝ (2b ＋ c)sin B ＋ (2c ＋ b)sin C.(1)求 A 的大小；(2)若 sinB ＋sinC ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．互动探究1 若本例条件变为：sinC ＝ 2sin(B ＋ C)cosB ，试判断三角形的形状．．.方法感悟 :方法技巧解三角形常见题型及求解方法a b cC，再求(1) 已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝ 180 °及＝＝，可求出角sin A sin B sin C出 b，c.(2)已知两边 b， c 与其夹角 A，由 a2＝ b 2＋ c2－2 bc cos A, 求出 a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边 a、 b 、 c，由余弦定理可求出角 A、 B、C.(4) 已知两边a、b及其中一边的对角a bA，由正弦定理＝求出另一边 b 的对角 B，由sin A sin Ba c a bC＝π－( A＋ B)，求出 C，再由＝，求出 c，而通过＝求 B 时，可能出现sin A sin C sin A sin B一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：失误防范1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．2 ．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60 °；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin AA B＋ C＝ sin( B＋C) ， cos A＝－ cos( B＋C)， sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝2 2cos2( B＋C)等．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．.(本题满分12 分 )(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ) 在△中，D 为边BC上的一点，BDABC5， cos ∠ADC＝3＝33 ， sin B＝，求 AD 的长．13 5由 cos 3知∠B<π【解】∠ADC＝>0 ，5 2由已知得 cos B＝12 4， sin ADC∠＝，4分13 5从而 sin ∠BAD ＝sin( ADC∠－∠B)＝sin ADC∠cos B－ cos ∠ADC sin B4 12 35 33＝×－×＝.9 分5 13 5 13 65AD BD由正弦定理得＝，sin B sin∠BAD533×BD ·sin B 13所以 AD＝＝＝ 25.12 分sin ∠BAD 3365【名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．名师预测1 ．在△ABC中，a＝15 ，b＝10 ，A＝ 60 °，则cos B＝ ()2 2 2 2A ．－ B.336D. 6C．－33a2＋ b2－c22 ．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，且 S△ABC＝，那么角 C4＝________.3 ．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b 、 c，且满足(2 b －c)·cos A－a cos C＝0..(1) 求角A的大小；3 3(2) 若a＝ 3 ，S△ABC＝，试判断△ ABC的形状，并说明理由．4解： (1) 法一：∵b(2－ c)cos A－ a cos C＝0，由正弦定理得，(2sin B－ sin C)cos A－ sin A cos C＝ 0 ，∴2sin B cos A－ sin( A＋C)＝ 0 ，即 sin B(2cos A－ 1) ＝ 0.∵0<B< π，1∴sin B≠ 0 ，∴ cos A＝ .2π∵0<A< π，∴A＝ .3法二：∵b(2－c)cos A－a cos C＝0，由余弦定理得，b 2＋ c2－ a2a2＋ b 2－ c2(2 b－c) ·－a·＝0，2 bc 2 ab整理得 b 2＋ c2－ a2＝bc ，b 2＋ c2－ a21∴ cos A＝＝.2bc 2π∵0<A< π，∴A＝ .3(2) ∵1bc sin A3 3＝＝，△ 2 4 π 3 3即 bc sin＝，3 2∴bc ＝3，①∵a2＝b 2＋ c2－2bc cos A，∴b 2＋ c2＝6，②由①②得 b ＝c＝ 3 ，∴△ABC 为等边三角形．课后作业1 在△ ABC 中，角 A, B 均为锐角，且 cos A sin B, 则△ ABC 的形状是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.等腰三角形2 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 900B. 1200C. 1350D.15003 在 Rt △ ABC 中， C 90 0，则 sin Asin B 的最大值是 _______________.4 在△ ABC 中，若 a2b 2 bc c 2 ,则 A _________.5 已知△ABC 的三个内角分别为 A ， B ， C ，向量 m (sin B,1 cos B)与向量 n ( 2,0) 夹角的余弦角为1.2（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）求 sin Asin C 的取值范围 .6 △ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a ， b ， c .（Ⅰ）若 b 2 c 2a 21 bc ，求 cosA 的值；2（Ⅱ）若 A ∈[2 ， 2 ]，求 sin 2B Ccos2A 的取值范围 .327 在△ ABC中，求证：ab c( cosB cos A) b a b a8 在锐角△ABC中，求证：sin A sin B sin C cos A cosB cosC .。