数值分析--第一讲---误差
BIT数值分析第一章误差
PI=3.14=0.314101 则其绝对误差为：0.510-3101=0.5 10-2
1.2.3 有效数字(8) 有效数字与相对误差的关系 相对误差限 有效数字 如果 x*的相对误差限满足：
1 εr 10 n 1 2( a1 1)
则x*至少有 n 位有效数字。
1.2.3 有效数字(8)
1.2.1 误差的来源与分类 1.2.2 绝对误差、相对误差 1.2.3 有效数字
1.2.1 误差的来源与分类(1)
• 模型误差
反映实际问题有关量之间关系的计算公式，即数 学模型，通常只是近似的。由此产生的数学模型的解 与实际问题的解之间的误差称为模型误差。
• 观测误差
由观测得到的数据与实际的数据之间的误差，称 为观测误差。
1.2.3 有效数字(7)
有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限
m x 0 . 10 已知 有 n 位有效数字,则其相 1 n 对误差限为：
1 r 10n 1 21
1.2.3 有效数字(8)
证明：
1 1 n m x x 10 10 10mn 2 2 1 m n 10 1 1 n 2 r * 10 x 0.1 n 10m 21
例1-2：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x 和y经过四舍五入而得到的近似值，问: (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？ 解： (a) 0.005 (b) 0.00005mm
0.005 r (a) 0.23% a 2.18 0.00005 r (b) 0.0024% b 2.1200
1 0.333333 3
数值分析(01) 数值计算与误差分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析
sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
数值分析简明教程
ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
第 1 页 共 13 页
周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
������������
=
������∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶 矩 阵 B 在 复 数 范 围 内 的 各 特 征 值 为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ， 则 称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
数值分析重点
数值分析重点第一章 误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差/有效数字1、 有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论： （1）、设数 x 的近似值可以表示为 其中 m 是整数,αi ( i=1,2, …, n ) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为（不超过其末尾数的半个单位） 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
（2）、相对误差与有效数字的关系（误差：精确值与近似值的差值）得到相对误差限2.误差的分类：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）3.误差算法设计应注意的问题 ： （1）、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法 （2）、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。
（3）、绝对值太小的数不宜作除数 考虑能否改变一下算法 （4）、注意简化计算程序，减少计算次数 （5）、选用数值稳定性好的算法 4、误差的传播：Taylor 展开式：f( x 1 , x 2 ,…, x n )在(x 1*, x 2*,…, x n * )的展开：e(y) = f( x 1 , x 2 ,…, x n )-f(x 1*, x 2*,…, x n * )例如：ε（x 1+x 2）=ε(x 1)+ε(x 2)mn x 10.021*⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*m n x 10.0*21⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*132110.-⨯=m n ααααΛ1110-⨯>m α)1(111**1021101021)(----⨯=⨯⨯<-=n m n m r x x x x e αα112212()()()n n nf f f x x x x x x x x x ***∂∂∂≈-+-++-∂∂∂L )()()(2211n nx e x fx e x f x e x f ∂∂++∂∂+∂∂=Λ),,2,1(),,,(21n k x x x f x f n x k k ΛΛ='=∂∂***)()(1k nk kx e x fy e ∑=∂∂≈ε（x 1*x 2）=|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1) ε（x 1/x 2）={|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1)}/|x 2|2第二章 代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。
数值分析--误差分析
一.实验目的：
1、设计绘制图形；
2、误差分析；
二.实验内容：
某车间生产工件如图1-1所示，生产过程中工人用一把普通卡尺在线测量得知弓高h，弦长l，生产完成后工厂的验收部门用高度准确的卡尺测量而得的弓高h’, 弦长l’.试求实际生产直径D的值。
三. 实验方案（程序设计说明）
车间工人用一把卡尺进行测量其弓高h，弦长l，以及弓高的系统误差h’’和弦长的系统误差l’。
测得：h=50mm， l=500mm， h’=-0.1mm, l’=-1mm
四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
车间工人经测量得： h’=50-50.1=-0.1mm l’=500-499=1mm
误差传播的系数为： F’’/H= (L2/4h2-1)=-（5002/4*502-1）=-24
F/T=l/2h=500/2*50=5
直径的系统误差： D1=F/T*l’+F/H*h’=7.4mm
其中 D=l2/4h+h、D0= l2/4h+h=1300
所以修正后的测量结果为：
D2= D0 –D1=1300-7.4=1292.6mm
若直接用h=50.1和l=499计算得：1292.62mm
五．实验总结
本实验主要是通过测量弓高h，弦长l并测量其系统误差得出相应的修正后的测量结果测量。
在本次实验中使用MATLAB中提供的大量函数以及开放式的结构进行对题目的设计，对MATLAB的使用有了一些了解和认识。
数值计算方法第01章误差
1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围
数值分析公式大全
（x））= （xi）
（xi） （xi）
（xi）
均方误差：
2 2
=
最大误差： ∞=max 丨
平方逼近误差：
2 2
=
- S*(x)丨
2 2
-S*(x)
9，最佳一致逼近（低次代高次）
利用切比雪夫多项式，f（x）与 T（x）在最高次项相同次数情况下相减得到的多项式 P*（x）
即为最佳一致逼近函数，注意变换区间，令 x= [（b-a）t+a+b],t∈[-1，1]。
数值分析，第一章 1， 相对误差和绝对误差
e*= x*-x;
er*=
估计值
2， 误差限和相对误差限 ε *≥
ε r*=ε
3， 有效数字 官方定义：若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零有效数字 共有 n 位，就说 x*有 n 位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an× 10-（n-1））=±a1. a2a3…an。其中 ai 为 0 至 9 中之一，a1 不为 0，m，n 都是整数。
1，伯恩斯多项式
Bn=
;pk=Cnkxk(1-x )n-k
2，函数范数 =
=
=
3，斯密特正交多项式：
= xi -
， ，
4，其他多项式：
(1) 勒让德多项式，要求区间[-1，1]，权函数为 1，有 P0=1，P1=x，P2=
，P3=
；
递推关系：（ n+1） Pn-1=（ 2n+1） xPn-nPn-1
(2) 切比雪夫多项式：要求区间[-1，1]权函数为
，有 T0=1，T1=x，T2=
数值分析高级课件_1误差剖析
x* O( r2 ) x
是 r 的高阶无穷小，可忽略不计。
e x x er * * x x
*
15
• 有效数字 1 n * 10 定义：如果近似值 x 的误差限是 (某一位 2
数的半个单位)， 则称 x 准确到小数点后n位，并从第一 个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。 例：π ＝3.1415926535, 3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。
计算结果有四位有效数字,如果 I7 有误差 e7 , 其传播 I 0 到所引起的误差仅为
1 1 e0 e7 e （练习） 7 7! 5040
故算法2是稳定的。
25
§4数值计算中应注意的几个原则
1、注意避免两个相近数的相减 两个相近的数相减，有效数字会大大损失。 因两数之差x-y的相对误差为
6
设计算法所要考虑的问题: 1.计算速度 例如,求解一个20阶线性方程组，用消 元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则 20 要进行 9.7 10 次运算，如用每秒1亿次 乘法运算的计算机要30万年。 2.存储量 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性 在大量计算中，误差不可避免，能否 控制误差与算法有关。
教材：现代数值计算 考试方式：课堂闭卷 作业： 20%，上机： 10% 卷面： 70%，自带计算器
1
其他参考书： 1. 李庆扬等，《数值分析》， 华中理工大学出版社， 1994 2. 丁丽娟等，《数值计算方法》， 北京理工大学， 1998 3. David Kincaid， Ward Cheney，王国荣等译 《数值分析》第三版 4. 施妙根等，《科学计算基础》， 清华大学出版社， 1999 5. 关治、陆金甫，《数值分析基础》， 高等教育出版社， 1998
数值分析_第一章_误差
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析01误差.ppt
10
m
在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三 大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常 被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。
阜师院数科院第一章 误差 1-5
例 题
例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积 为已知立方体的二倍 。 解 不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积 3 为2，则所求方立体高度应该为 ，用计算机计算 h 2 3 出 2 1 .2599210498 9487 ，（15位数）。尽管精确度相 当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位 数时，计算所得体积的误差。
出递推计 算公式:
1 I 5 I n n 1 n
( 1 2 )
n n n 1 1 1x x x 由于 x ( 0 , 1 ), 所以有 6 x 5 5 6x 55
1
n n n n 1 1x 1 x x 1 x 1 而 I dx dx , I dx dx n n 0 0 x 5 05 5 ( n 1 ) x 5 06 6 ( n 1 ) 1 1 所以有 I 于是可设计如下两种算法： n 6 ( n 1 ) 5 ( n 1 ) 1-14 阜师院数科院第一章 误差
1-10
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
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第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
数值分析--1误差
e * ( x) | er* ( x ) | x*
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | ε r * | x* | 0 .a1a 2 10m 2( a1 1)
10 n 1 ( a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2( a1 1)
可见 x* 至少有 n 位有效igits
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n 1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
有效数字与相对误差的关系(page 10)
§2 Error and Significant Digits
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
证明： π* 0 .31415 101 ,
and |π * π| 0 .5 10 3 0 .5 101 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
数值分析1-误差及有效数字
Q2
q 2
(q)2 ( p)3 23
w 1 3 i 2
（有可能出现复数根）
对四次方程，可找相关文献。
对高次方程，使用数值方法求解，即在满 足一定精度的前提下，求根的近似值。
具体步骤：
①找到根的隔离区间 当 f (x)在 a,b内连续，且f (a) f (b) 0,则 a,b 内有解；
当 f (x) 在 a,b 内严格单调，则 a,b 内有唯一解。
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？
因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
定义：x* 为准确值，x 为近似值，则
er
x* x x*
e x*
分析：
(1). er 可正可负
x1
x1 x2
er x1
x2 x1 x2
er x2
（避免两相近数相减运算)
er x1 x2 er x1 er x2
er
x1 x2
er
x1数系.
(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
方法1：直接相减： x1-x2=44.7325-44.7102
=0.0223 （事实上只有2位有效数字）
方法2:分子有理化：=
2
2
0.0223607...
2001 1999 44.7325 44.7102
（可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位）
数值分析第一章误差.ppt
由于 x 未知，实际使用时总是将 x* 的相对误差取为
e x x * e r x * x *
e e|x * | 称为近似值x*的相对误差限. r
|e e r| r.
15
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解
11 e * 此时 | I I 0 . 0316 . 9 9| 2 10
并将计算公式改写为
1
1 I ( 1 I ) , n 9 , 8 , , 2 , 1 n 1 n n
由此计算 I8, I7, …, I0.
31
In I0 I1
算法1 0.6321 0.3679
x 1 e |e ( x ) | |e ( x ) |. r r 1 r 2 x 2
乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和.
27
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
的关系. 解
n n 1 e ( y ) e ( x ) nx e ( x )
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值.
12
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [ 764 . 5 mm , 765 . 5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 e 之间满足：
x * x x *
1 0
x 1 1 I e dx 1 e 0 . 632120 0 . 63 0
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数值计算（分析）是做什么的？
数值分析
1、天体力学中的Kepler方程
x sin x t 0,0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
非线性方程的数值解法!
数值分析
2、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数学 模型
数值 计算 方法
数值分析
•
➢研究(构造）使用计算机求解各种科学 与工程计算问题的数值方法
➢对求得的数值解的精度进行评估（误 差，稳定性）
➢如何在计算机上实现求解
数值分析
本课程数值分析讲课范围
– 误差（第1章) – 线形方程组的解法（第2章) – 矩阵特征值和特征向量的计算（第3章) – 函数求根，非线性方程和方程组求解（第4章) – 函数插值，逼近，正交多项式（第5章) – 数值积分（第6章) – 数值微分和常微分方程数值解差分法（第7章) – 偏微分方程数值解简介（第8章－选讲内容)
5. 综合类（数值分析与科学计算、习题、实验等）参考书
① 蔡大用，数值分析与实验学习指导，北京：清华大学出版社，2001 ② Numerical Recipes(数值方法库） in C/Matlab/Fortran/C++,
6. 其他
① /wiki/Numerical_analysis ② Software：IMSL，NAG，MATLAB
记为 F(x) 0 其中 F : D Rn Rn, x (x1, x2 ,L , xn )T
非线性方程组的数值方法!
数值分析
3、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，
• 对每一类问题，不但要掌握求解方法的基本原理， 还要掌握一套自己的程序代码
• 课前一定要做好预习和准备（按专题讲解） • 课后要认真完成作业和上机练习 • 有问题要及时问，（答疑时间和地点?)
数值分析
本门课程的特点
• 既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性的技术特征
• 各部分内容相对独立
数值分析
学习要求
• 掌握各种方法的基本原理与构造方法 • 重视各种方法的误差分析 • 掌握经典方法的程序代码
数值分析
其它要注意的几点
• 结合自己的研究方向，有重点地学习，最好能带 着研究课题中的问题来学习
信号
数值分析
8
S5 S6
(x, y, 表z,示t)地球上一
6
个接收点R的当前位
Height
S3 4
2
S4
S1
置，卫星Si的位置为
(xi , yi , z，i ,则ti )得到下
列非线性方程组
0
R
10
S2
8
5
4
6
(x x1)2 ( y y1)2 (z z1)2 (t1-t) c 0
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通 方法来计算.
数值积分!
数值分析
数值分析是做什么用的？
求解复杂问题或运算 如
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
(x x5 )2 ( y y5 )2 (z z5 )2 (t5 -t) c 0
(x x6 )2 ( y y6 )2 (z z6 )2 (t6 -t) c 0
数值分析
f1(x1, x2 ,L xn ) 0 Mf2 (x1, x2 ,L xn ) 0 fn (x1, x2 ,L xn ) 0
2 N-S positions 0 0
(x x2 )2 ( y y2 )2 (z z2 )2 (t2 -t) c 0
图 7.8
(x x3 )2 ( y y3 )2 (z z3 )2 (t3-t) c 0
(x x4 )2 ( y y4 )2 (z z4 )2 (t4 -t) c 0
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
朱立永
数值分析
“诸位在校，有两个问题应该自己问问， 第一，到浙大来做什么？ 第二，将来毕业后做什么样的人？”
------- 竺可桢
老校长的两句话刻在浙大紫金港校区的一块大石上
数值分析
这一讲的主要内容
• 数值分析是做什么的？ • 数值分析这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及学习方法 • 数值分析中的基本概念: 误差
3. 数值代数参考书
① 曹志浩，数值线性代数，上海：复旦大学出版社，1996. ② 徐树方，矩阵计算的理论与方法，北京大学出版社，1995.
4. 微分方程数值解参考书
① 李立康、於崇华、朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，1999 ② 陆金甫、关 治，微分方程数值解法（第二版），北京：清华大学出版社，2004
数Hale Waihona Puke 分析参考资料1. 主要教材
① 颜庆津，数值分析。北航出版社，2006。
2. 数值逼近参考书
① 李庆扬，王能超，易大义：数值分析。清华大学出版社，2001。 ② 李岳生，黄友谦：数值逼进。北京人民教育出版社，1979。 ③ 王德人、杨忠华，数值逼近引论，高等教育出版社，1990 ④ 王仁宏，数值逼近，北京：高等教育出版社，1999 ⑤ 徐萃薇：计算方法引论。北京高等教育出版社，1985。
600米，1000米…）处的水温
插值法!
数值分析
4、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器 将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为 一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L.
数值分析
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.