《2.4.1抛物线及其标准方程》新课程高中数学优质课比赛教学设计
教学设计2：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程教学内容抛物线及其标准方程三维目标【知识与技能】1．理解抛物线的定义。
明确焦点、准线的概念2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。
【过程与方法】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0>e）的动点的轨迹”。
其中当()1,0∈e时是椭圆，当()+∞∈,1e时是双曲线。
那么，当1=e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．实验观察、实现构建探究1 点F与直线l的位置关系（1）点F在直线l上（引导学生求出动点的轨迹）点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。
（2）点F不在直线l上用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。
2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？FlFHMl· oF y x lK (学生会猜想到轨迹是抛物线)3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。
）4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。
高中数学选修2-1241《抛物线及其标准方程》教学设计
课题：选修（2-1）2.4.1抛物线及其标准方程三维目标：1、知识与技能（1）掌握抛物线的定义及抛物线的四种标准方程和对应的图形；（2）掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件确定抛物线的标准方程；（3）理解抛物线标准方程的推导过程并了解求抛物线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法；（4）学会用待定系数法与定义法求抛物线的方程并要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．2、过程与方法（1）通过构设情景：回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？从而引领学生自主学习、合作探究出抛物线的图形和方程。
在这一过程中，培养学生观察、实验、探究、交流等数学活动能力，同时培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力；（2）通过合作交流，不断体会归纳、概括思想方法的重要性和实用性。
（3）通过解决问题从本质上认识用待定系数法与定义法求抛物线的方程的思想。
3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习抛物线和方程的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过对抛物线和方程知识的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过形象具体的轨迹问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，并对学生进行运动、变化、对立、统一以及理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育，从而体会事物之间普遍联系的辩证思想，。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：抛物线的定义和标准方程及用待定系数法求抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面我们学习了椭圆和双曲线及其性质，其中有一种轨迹问题能把这两种曲线统一起来：到定点的距离和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹问题。
《2.4.1抛物线及其标准方程》新课程高中数学优质课比赛教学设计
《2.4.1抛物线及其标准方程》新课程高中数学优质课比赛教学设计课题：2.4.1抛物线及其标准方程教案授课者：王昊学生活动【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。
由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且学生观察实物图学生观察画抛物线的过程，得出结论把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是x=-1/4答案：y2=-x；(2)焦点到准线的距离是2．答案：y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．学生思考讨论建系的各种形式。
教学设计1：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1抛物线及其标准方程教学目标：知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．过程与方法目标要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．教学难点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．一.复习引入回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？二.思考分析如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.三.抽象概括抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线标准方程的几种形式1．抛物线定义的实质可归结为线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y 的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离． 四.例题分析及练习[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[精解详析] (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .[感悟体会] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)． 训练题组11．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m 的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上，∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x ＝2.[例2] 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)．在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．[思路点拨] 把|PF |转化为点P 到准线的距离→画出草图→数形结合 →求出点P 的坐标 [精解详析] ∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．[感悟体会] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等． 训练题组23．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置由F 确定解析：如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．答案：B4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝0－122＋2－02＝172.答案：A[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[思路点拨] 分析题意→建立平面直角坐标系→设出抛物线标准方程→确定点的坐标求p →利用方程求值→回答实际问题[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．[感悟体会] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解． 训练题组35．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上，∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)． 答案：B6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a>3.解得a >12.21或a <－0.21(舍去)．∴使卡车通过的a 的最小整数值为13. 五.课堂小结与归纳1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题． 六.当堂训练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0，116)D ．(116，0)解析：由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴抛物线焦点在y 轴正半轴上且2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点为(0，116)．答案：C 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：由椭圆方程可知a ＝6，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B ．1 C.54 D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得|PF |＝|P A |，由直线AF 的斜率为－3， 可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8. 答案：B5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 解析：由抛物线方程y 2＝2px (p >0)，得其准线方程为x ＝－p2.又圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－p2)＝4，解得p ＝2.答案：26． 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：267．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计【教材分析】“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。
此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。
同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。
所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。
该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法。
【学情分析】本人所带班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。
建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。
对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。
【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学方法】：合作探究【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。
由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计07
《抛物线及其标准方程》教学设计一、教材分析本节内容是人教A版数学选修2-1第二章第四节的第一课时。
是在学生初中已经通过学习二次函数的图像对抛物线有所认识的基础上，在学生进入高中学习了平面解析几何初步及本章椭圆、双曲线的知识后进行的。
通过本节的学习学生要从曲线的几何特征及曲线的形成上对抛物线有一个新的认识，然后归纳形成抛物线的定义。
再用坐标法对曲线的几何性质进行研究。
让学生充分体会和加深理解解析几何是一门用数来研究形的学科，是数形结合数学思想的体现。
通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.二、学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点:1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.教学过程【环节一：复习与引入】教师活动：同学们，我们在前面学习了椭圆和双曲线，它们都有两个定义，我们一起来回顾一下它们的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<表示椭圆，当1e >的时候表示双曲线，那么当1e =的时候呢，它又表示什么曲线呢？我们先来看一个动画【环节二：亲身体验,感受新知】教师活动：在纸一侧固定一根直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺，取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在三角板点A 上，固定绳子另一端在直尺外的一点F 上，用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边，上下移动三角板,用笔画出轨迹。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教案
2.3.1 抛物线及其标准方程五河一中杨明朗一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。
二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学方法探究式、讲授式五、教学过程1．情景设置、课题导入前几节课我们研究了圆锥曲线中的椭圆和双曲线，大家想一想它们的研究过程？（先给出曲线的定义，再通过合理的建系求出其方程，最后再通过方程用代数方法研究其性质。
这也是解析几何的一般研究过程。
）这节课我们就来按照上两个曲线的研究方法来共同探究最后一个曲线-------抛物线。
（板书课题：2.3.1 抛物线及其标准方程）问题：我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、数学中我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。
（通过图片让学生直观感受抛物线其实就在我们身边）||2p x =+22(0)y px p =>复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的点的轨迹. (其中定点F 不在定直线l 上)(1)当0<e <1时,是椭圆; (2) 当e ＞1时，是双曲线; 问题：那么,当e =1时，它又是什么曲线 ？下面我们通过一个实验来具体看一下它到底是什么曲线？请同学归纳总结抛物线的定义 2.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
人教版高中数学选修2.4.1《抛物线及其标准方程》教案
《2.4.1 抛物线的标准方程》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
掌握抛物线的定义、几何图形，会推导抛物线的标准方程，能够利用给定条件求抛物线的标准方程，灵活运用定义解决具体问题.
（二）过程与方法
通过观察、思考、探究与合作交流等一系列数学活动，锻炼观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，进一步感受坐标法及数形结合的思想.
（三）情感态度与价值观
通过观看介绍我国研发的FAST射电望远镜、实验演示抛物线原理等视频，激发学习兴趣，体会抛物线极为广泛而重要的应用，同时也增强民族自豪感.
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程.
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导.
四、教学过程。
【(参赛)高二数学--抛物线及其标准方程_教学设计】
已知： F 是定点，l 是不经过点 F 的定直线， 是 l 上任意一点， 点 H 过点 H 作 MH ⊥ l ， m 交 MH 于点 M。拖动点 H，观察点 M 的轨迹，你能发现点 M 满 线段 FH 的垂直平分线 足的几何条件吗？
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现在大家有结论了吗？结合我们已有的知识， 判断一下满足条件的动点 M 的轨迹是什 么？动点 M 在运动过程中又满足什么几何条件呢？ 课堂中利用几何画板演示画图过程） （课堂中利用几何画板演示画图过程） 生：学生观察画图过程，并讨论 归纳总结： 归纳总结：通过观察发现，点 M 随着 H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点 M 与 定点 F 和定直线 l 的距离相等。 引导探究，获得新知】 【引导探究，获得新知】 师：在刚才的实验中，我们发现动点 M 满足到定点 F 和定直线 l 的距离相等，并且其轨迹 为抛物线。联想椭圆和双曲线的定义的产生过程， 请同学们尝试一下，给抛物线下个定义。 （让学生自行归纳，使他们对抛物线的定义有更准确的把握，印象更为深刻，同时也锻炼 了学生归纳总结的能力） 生：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （教师补充，完善定义，并强调易忽视的问题） 师： 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F）距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。其中点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 强调： 强调： （1） 轨迹是由点 M 在平面内运动形成的，不强调平面，形成的轨迹就不是抛物线； （2） 定点 F 不能在定直线 l 上； （3） 抛物线上任意点 M 均满足到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等。 那么到定点 思考： 为什么要强调定点 F 不能在定直线 l 上呢？若定点 F 恰好在定直线 l 上， 思考： F 的距离等于到定直线 l 的距离的点的轨迹会是什么图形呢？ 生：学生讨论，得出结果：当定点 F 在定直线 l 上时，满足条件的点的轨迹是过点 F 且垂 直于直线 l 的一条直线。 师：了解了抛物线的定义，接下来我们最想知道的就应该是抛物线的方程了，因为通过方 程我们可以探究抛物线的一些性质。那么如何求抛物线的方程呢？ 请同学们回想一下，之前我们曾讲过的求曲线方程的基本步骤是怎样的？ （让学生在学习新知的同时，不断巩固已有知识，在此处强化求曲线方程的基本步骤，可 以为后续求动点轨迹的综合问题打下坚实基础） （1）建系； （2）设点； （3）列式； （4）化简； （5）证明 生： 师：想得到抛物线的方程，我们首先要建立平面直角坐标系，那么我们该如何建系呢？ （让学生小组讨论，得出方案） （预设学生可能提出的方案如下） 生：
【精品】2019年高中数学教师优质课教学设计★★ 2.4.1 抛物线及其标准方程
【精品】2019年高中数学教师优质课教学设计★★2.4.1 抛物线及其标准方程教材：人教A版高中数学选修2-1一、教学内容解析本节课的教学内容是抛物线的定义及抛物线的标准方程，教学重点是抛物线的标准方程. 《普通高中数学课程标准》中指出，通过平面解析几何这一单元的学习，“帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感受平面解析几何中蕴含的数学思想. ”本节课内容在本章中的位置如下图：抛物线是学生在学习了椭圆、双曲线的定义及简单几何性质后学习的另一种圆锥曲线，是坐标法在解析几何中的应用的另一体现. 学习本节课的内容，是对前面已经学习的圆锥曲线内容的复习与延续，进一步了解曲线与方程的对应关系，也可以再次体验数形结合的数学思想在数学学习中的应用，同时，熟悉坐标法在解决几何问题时的应用，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题，提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.通过了解抛物线在生活中的应用，进一步了解数学与日常生活、工业生产和科学研究等方面的密切联系，增强学生的数学应用意识，培养学生在数学建模等方面的核心素养.二、教学目标设置1.学生能从动态作图的过程中抽象出抛物线的定义，并能从所学定义的角度重新认识初中的二次函数图象；2. 通过比较，学生会选择合适的坐标系建立抛物线的方程，进一步熟练坐标法的应用；3.结合抛物线及其方程，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想；4.在学习活动中，学生通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习与合作学习的能力.三、学生学情分析1.知识上，学生是在高一学习过直线与圆等解析几何初步的内容之后再次学习解析几何的相关内容，同时刚刚学习了椭圆、双曲线的定义和标准方程，对于曲线与方程的对应关系有了一定的认识，但由于抛物线涉及的是到一个点与一条直线的距离相等的点的轨迹，和刚刚学过的两种曲线稍有区别，处理起来可能会有点困难；2.方法上，学生已经初步尝试过坐标法在解析几何中的应用，对于简单的问题可以用坐标法求解，但对于坐标系的选取、式子的变形与化简等方面经验不足，需要进一步的指导和强化练习；3.态度上，学生对解析几何中数形结合的思想存在一定的畏难情绪，不愿在画图、运算等方面进行尝试，需要一定的成功经验激励学生.4.教学难点及突破策略难点：（1）运用定义推导抛物线的标准方程（2）坐标法在求抛物线标准方程中的应用突破策略：（1）提供同心圆与竖直平行线构成的特殊坐标纸，帮助学生理解抛物线的定义；（2）学生之间讨论交流，合作共研，分析选取不同坐标系的利与弊；（3）教师引导学生分析解决问题的方式与方法，学生进行模仿练习.四、教学策略分析根据学生已有的学习基础和认知结构，本节课采用启发探究的教学方式，采用问题串引导学生的探究活动，以此提高学生的学习效率与学习能力.1. 为了充分调动学生学习的积极性，在上课一开始通过故事的方式引入本节课的主要研究对象——抛物线，同时，设下伏笔，引出抛物线聚集光线的光学性质；2.在研究抛物线标准方程时，请学生充分分析坐标系选择的合理性，通过自主尝试、小组交流等形式，锻炼分析问题和解决问题的能力；3. 学习新知识后，通过思考和对比的形式，将初中所学知识——二次函数的图象有机结合到本节内容中来，加深对本节课内容的理解.五、教学过程1.创设情境激发兴趣视频讲述有关阿基米德的故事，引出抛物线的模型.（传说公元前215年，古罗马帝国派强大的海军，乘战舰攻打古希腊名城叙拉古. 小小的叙拉古难敌来势汹汹的古罗马大军，人们就把希望寄托于居住在这里的阿基米德身上，当时年过古稀的阿基米德，虽然没有绝世的武功，却有聪明的头脑. 他挺身而出，发动全城的妇女拿着自己的铜镜来到海岸边. 在阿基米德的指挥下，大家站成一条完美的曲线，让手中的铜镜反射的太阳光恰好集中照射到敌舰的船帆上. 顿时，敌舰起火，不可一世的罗马海军大败而归. 究竟是怎样的曲线才能有如此强大的威力呢？）『设计意图』通过视频故事激发学生学习兴趣，同时引出本节课的主要研究对象，同时设置伏笔，为抛物线的应用做好铺垫，培养学生直观想象能力.2.师生探究抽象定义结合信息技术，动态作图.（作图步骤：点F是定点；l是不经过点F的定直线；H是l上任意一点；过点H作直线l的垂线n；作线段FH的垂直平分线m交n于点M；拖动点H，观察点M的轨迹.）问题1：过点H的直线n与直线l垂直，说明了什么？教学预设：点M到直线l的距离恰好为线段MH的长.问题2：点M在线段FH的垂直平分线上，有什么特点？教学预设：线段MF的长等于线段MH的长，进而点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等.『设计意图』通过这些问题设计，让学生体会随着点H的移动，点M到定点F的距离与到定直线l的距离始终相等，进而引导学生抽象出抛物线的定义，提升学生数学抽象素养.定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.问题3：为什么要强调定直线l不经过定点F呢？（动态演示当直线l经过点F时点M的轨迹形状）完善定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 『设计意图』通过问题的方式，引起学生的注意，强化对这个限制条件的认识.3.利用定义，绘制曲线问题4：通过抛物线的定义，能不能在右图所给的图形中描出一条抛物线呢？『设计意图』圆上的点到圆心的距离都相等，平行线上的点到定直线的距离都相等，所以可以借助此图形找到一些到定点和到定直线距离都相等的点，进而描出一条抛物线. 通过这个练习，让学生进一步熟悉抛物线的定义，掌握定义的本质.4.建坐标系，求其方程问题5：对于确定的抛物线，如何选择坐标系能使所求的方程更简单呢？引导学生试着建立坐标系，同学之间互相借鉴对照，最后形成三个比较常见的方案：『设计意图』引导学生自主提出问题，并从数学的角度分析问题，避免直接将结论强加给学生，注重知识的发生和发展过程，充分暴露结论的形成过程，引导学生学会处理类似数学问题的思路和方法，提升学生数学运算素养.在学生充分尝试的基础上，老师和学生一起研究其中一个方案. 在板演的过程中，。
抛物线及其标准方程教学设计-高二上学期数学人教A版选修1-1
课题：2.4.1抛物线及其标准方程授课者： 授课时间：学生活动一、教学习目标：1.掌握抛物线的定义，并能根据定义推导标准方程；2.掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.3.能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标.二、教学重点：抛物线的定义和标准方程.三、教学难点：抛物线标准方程的推导.四、教学过程：（一）新课引入：问题1：二次函数的图象是一条抛物线，反过来，抛物线是二次函数的图象吗？设计意图：通过函数定义判断抛物线不一定是二次函数的图象引入课题.问题2:如图，直线l 表示一水渠，定点F 表示一水井，点F 到直线l 的距离为定值(0)P P > .假设水渠和水井内都有足够的水，本着就近取水的原则，请在菜地中作一边界，使得位于边界一侧时到水渠l 取水，位于另一侧时到水井F 处取水.设计意图：通过实际问题，引发学生对抛物线图象的生成过程的好奇，调动学生的求知欲.接着，教师演示抛物线的形成过程.教师总结归纳抛物线的定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．（二）、抛物线的标准方程问题3：设焦点 F 到准线l 的距离为(0)P P >, 根据抛学生利用函数定义来判断学生观察画抛物线物线的定义, 你能求出抛物线的方程吗? 你认为怎样建立坐标系恰当?小组讨论，建立坐标系，求出抛物线的方程.设计意图：让学生通过不同的建系得到不同的方程，对比，选最简洁的方程为标准方程，目的是让学生理解“标准”的意义.问题4：抛物线的标准方程中,P的几何意义是什么? 抛物线的顶点在什么位置? 焦点的坐标是多少?准线的方程是怎样的?设计意图：通过提问的方式，让学生加深对P值、焦点坐标、准线方程的理解.问题5：如果抛物线的开口向左,方程又是怎样的呢? 如果开口向上、下, 焦点放在y轴上, 方程又会是怎样?设计意图：引出抛物线的四种不同的标准方程，老师通过四种图象直接的联系，直接由学生所求得的标准方程得出其他三种形式的标准方程.抛物线四种形式图形标准方程焦点坐标准线方程的过程，归纳抛物线的定义小组讨论，建系，并求出方程，并展示学生观察建系的图象，理解P 的几何意义及焦点、准线问题6：观察四种不同的标准方程的特征，找找标准方程与图象、标准方程与焦点坐标，准线方程之间有什么联系？设计意图：归纳出“一次项定轴，系数正负定方向”和“焦点的非零坐标是标准方程一次项系数的41”（三）、知识巩固例1.已知抛物线的标准方程是x y 62=求它的焦点坐标和准线方程.教师引导讲解例1，并总结：先定位（焦点位置），后定量（P 值） 设计意图：让学生学会运用知识.游戏环节：（求抛物线方程的焦点坐标和准线） 设计意图：活跃课堂气氛，同时检测学生对知识的掌握情况.已知抛物线的焦点是)2,0(-F ,求它的标准方程.教师引导讲解例1，并总结：先定位（焦点位置），后定量（P 值）设计意图：让学生学会运用知识.试一试：根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:(1)准线方程为23y = ;(2)焦点在y 轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1);设计意图：让学生巩固新知识. 教师总结：求抛物线的标准方程的关键与方法关键:确定焦点在哪个坐标轴上,进而求方程的有关参数.方法:①直接法:建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;学生跟着老师一起②直接根据定义求p,最后写标准方程; ③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.（设、列、解、得）注意：焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论四、小结反思通过提问学生，这节课你收获了什么？五、布置作业课本73页A组第1题、活页练103页完成例1.两小组派一人参加PK游戏学生独立完成，并展示解题过程.。
高中数学人教B版选修2-1《2.4.1抛物线的标准方程》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版选修2－1第二章《2.4.1抛物线的标准方程》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教
案
【省级名师教案】
1教学目标
1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程;
2.掌握抛物线的几何图形,定义和标准方程;
3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法,体会类比法,直接法,待定系数法和数形结合思想在数学中的应用;
4.感受抛物线的广泛应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美
2学情分析
抛物线是圆锥曲线中的一种,也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线,知道斜抛物体的轨迹是抛物线,一些拱桥的桥拱形状是抛物线,一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生,他们的数学基础知识比较扎实,具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能,有较好的学习习惯和方法.在本节课之前,学生已经学习了椭圆,对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识,这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用. 3重点难点
教学重点:
1.掌握抛物线的定义与相关概念;
2.掌握抛物线的标准方程;
教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动。
高中数学 专题2.4.1 抛物线及其标准方程教案 新人教A版选修21
抛物线及其标准方程【教学目标】1．知识与技能目标：①理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。
②明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题。
2．过程与方法目标：①通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。
②熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。
3．情感态度与价值观目标：引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。
【重点难点】1.教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导。
通过学生自主建系和对方程的讨论选择突出重点。
2.教学难点：抛物线概念的形成。
通过条件e=1的画法设计，标准方程与二次函数的比较突破难点。
【教学过程】☆情境引入☆如图，把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.☆探索新知☆预学1:在上述情境中，点M到点F与点M到直线l的距离相等.理由是由|AC|＝|MC|＋|AM|，|AC|＝|MF|＋|AM|，得|MC|＝|MF|.议一议:抛物线定义中有哪几个定值?议一议:(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p＞0)中p的几何意义是什么?(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?【解析】(1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.预学3:抛物线的标准方程的四种形式议一议:四种位置的抛物线标准方程的相同点与不同点是什么?预学4:已知抛物线的标准方程，如何得到焦点坐标?先观察方程的结构，一次项变量为x(或y)，则焦点在x(或y)轴上;若系数为正，则焦点在正半轴上;系数为负，则焦点在负半轴上;若一次项变量为x，则焦点的横坐标是一次项系数的，纵坐标为0;若一次项变量为y，则焦点的纵坐标是一次项系数的，横坐标为0.练一练:已知动点P(x，y)满足，则P点的轨迹是( ).A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【解析】由题意知，动点P到定点(1，2)和定直线3x＋4y－10＝0的距离相等，又点(1，2)不在直线3x＋4y－10＝0上，所以点P的轨迹是抛物线.【答案】D例题讲解考向一：求抛物线的标准方程例1(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2，3)的抛物线方程是( ).A.y2＝xB.x2＝yC.y2＝－x或x2＝－yD.y2＝－x或x2＝y(2)分别根据下列条件求抛物线(顶点为坐标原点)的标准方程.①已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2).②准线方程为y＝.③焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.【解析】(2)①因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，则p＝4，故所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.②因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，因为，所以p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.③由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，故所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.例2(1)若抛物线的焦点在直线3x－4y－12＝0上，则抛物线的标准方程是;【方法指导】标准方程←求p的值←确定开口方向和对称轴.【解析】(1)∵焦点在直线3x－4y－12＝0上，且直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点为(4，0)、(0，－3)，∴若焦点为(4，0)，则＝4，开口向右，故抛物线的标准方程为y2＝16x;若焦点为(0，－3)，则＝3，开口向下，故抛物线的标准方程为x2＝－12y.故抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－12y.(2)若抛物线过点A(2，－4)，则抛物线的标准方程是;(3)若抛物线的标准方程是y2＝－x，则抛物线的焦点到准线的距离为;【解析】(3)∵抛物线的标准方程为y2＝－x，∴p＝，这就是焦点到准线的距离.(4)若抛物线y2＝2px上一点M(4，m)到准线的距离为6，则p＝.【解析】(4)∵点M(4，m)到准线的距离为4－(－)＝6，∴p＝4.考向二：抛物线的定义的应用例3已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( ).A.5B.4C.D.【方法指导】抛物线上的点满足抛物线的定义，由抛物线的定义把点P到准线的距离转为点P到焦点的距离，结合图形可看出点P的位置.【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，如图，过点F作直线x＋2y－12＝0的垂线，垂足为D，则FD与抛物线交于一点P，则|PF|等于点P到此抛物线准线的距离d1，则d1＋d2的最小值是|DF|＝，故选C.【答案】C【变式训练】训练1、已知抛物线方程为y＝ax2(a≠0)，试分析该抛物线的焦点坐标和准线方程.训练2、设抛物线的准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是( ).A.y2＝－8xB.y2＝8xC.y2＝－4xD.y2＝4x【解析】由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，又∵其准线方程为x＝－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.【答案】B训练3若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到原点的距离，则点P的坐标为( ).A.(，±)B.(，±)C.()D.()【解析】由抛物线方程知p＝，抛物线的焦点为F(，0).由抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到原点的距离，知点P到焦点的距离等于它到顶点的距离，所以△POF为等腰三角形，应选B.【答案】B【名师点睛】1.求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程.(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值.2.求抛物线方程的基本方法是待定系数法，需要注意的有:(1)根据条件确定方程是四种形式中的哪一种;(2)把握顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系;(3)注意p与的几何意义.3.利用抛物线的定义可以把点P到准线的距离转为点P到焦点的距离，利用数形结合的思想找出取最小值时P点的位置，注意在画图时要做到准确.☆课堂小结☆☆课后作业☆练习 A组 1-3题。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程
选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）（第2课时）【知识要点】1. 抛物线在解决实际问题中的应用；2. 运用抛物线的定义处理最值问题.【学习要求】1.感受抛物线在解决实际问题中的作用;2.能熟练运用抛物线的定义解决问题,通过作图,进一步体会数形结合的数学思想在解题中的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用法来求出曲线方程.2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成 的距离.5. 平面内两点之间 线段最短.【基础练习】1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2p a a >,则点M 到准线的距离是 , 点M 的横坐标是 .2. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是 .【典型例题】例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由. 3 626例 3 已知M为抛物线(3,1)P,则的最小值为（）.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6变式练习3：在抛物线22y x=上求一点P，使P到焦点F与到定点(2,3)A的距离之和最小.1. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）.(A)（1, 0）(B)（2, 0）(C)（3, 0）(D)（－1, 0）2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）(A) 6m (B)26m (C) 4.5m (D) 9m3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）.(A) 22y x=-(B)24y x=-(C)22y x=(D)22436y x y x=-=-或4. 抛物线21(0)4y x aa=≠的焦点坐标是 ( ).(A) 0(0,),0(0)a a a a><-时是时是(B) 0(0,),0(0)22a aa a><-时是时是(C) (0,)a (D)1(,0)a5. 抛物线22y px=上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是MP MF+24y x=( ). (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 6. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ). (A) 172(B) 3 (C) 5 (D)92 7. 已知抛物线232y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有 （ ）.(A) 123M F M F M F +=(B) 222123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F +=(D) 2122M F M F M F •=8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ ）.（A ）24y x =± (B) 28y x =±(C) 24y x = (D) 28y x = 9. 已知点M 在抛物线24y x =上，那么点M 到点(2,1)N 的距离与点M 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M 的坐标为 .10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计为多少米 （精确到整数位）？选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）（第二课时）【教学目标】:1. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.2. 通过解决实际问题,对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.【重点】 ：对抛物线定义的进一步理解.【难点】 ：转化思想的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用待定系数法 来求出曲线方程.2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?建立的坐标系对我们处理问题越简单越好，即坐标要简，未知量要少.3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?2教材在处理例时把坐标原点健在了抛物线的顶点，得到的是抛物线标准方程也可以以焦点为坐标原点建系，求得的抛物线方程要复杂，但本题的最后结果一样4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线 的距离.5. 平面内两点之间直线段最短.【基础练习】1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2p a a >,则点M 到准线的距离是a , 点M 的横坐标是2p a -. 2. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是(6,62),(6,62)-.3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是1(0,)8a . 【典型例题】例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.【审题要津】点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1 ,说明点M 与点(4,0)F 的距离与它到:40l x +=的距离相等.解: 设点M 的坐标为（x ，y ），由已知条件可知：点M 与点F 的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4,0）为焦点的抛物线. 4,82p p ∴=∴=. 所以点的轨迹方程为: 216y x = .【方法总结】转化思想是解决此类问题的有效方法.变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.解: 因为焦点在x 轴上且过(3,)M m -点,所以设标准方程为22(0)y px p =->.由抛物线的定义知(3)52p --=,即4p =.所以所求抛物线标准方程为28y x =-,又点(3,)M m -在抛物线上，于是224m =, 得: 2 6.m =±例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m ，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.【审题要津】根据题目意思,正确的建立平面直角坐标系,利用待定系数法设出曲线方程,然后根据条件解决.解: 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.设抛物线的标准方程是：22(0)y px p =>.由已知条件可得,点A 的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得22.420.5, 5.76p p =⨯=即.所以,所求抛物线的标准方程是211.52y x =,焦点坐标是(2.88,0) .【方法总结】 数形结合，利用所学抛物线知识，把实际问题转化成数学问题.变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由.解: 如图,建立坐标系,则(3,3),(3,3)A B --, y设抛物线方程为22(0)x py p =->,将B 点 O x坐标代入,得()3923,.2p p =-∴=所以抛物线 A A B 方程为23(30)x y y =--<<.因为车与箱共高4.5m,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m ，设抛物线上点D 的坐标为0(,0.5)x -，则2'000336,.26322x x DD x =∴=±=±∴==<. 故此车不能通过隧道.例 3 已知M 为抛物线 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ,则 的最小值为（ ）.(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【审题要津】根据抛物线的定义,把M 到焦点的距离转化成M 到准线的距离,然后过(3,1)P 作准线的垂线交抛物线于M ,则M 点位所求的点.距离为(3,1)P 到准线的距离.解：过P 作准线l 的垂线交抛物线于M ，垂足为N ，则 =MN ,所以最小值为4，故选（B ）.【方法总结】 抛物线中的最小值问题,一般是借助于定义,把动点到两定点的距离和,转化为定点到抛物线准线的距离.变式3：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到焦点F 与到定点(2,3)A 的距离之和小. 解: 因为点(2,3)A 在抛物线外部,连结AF 交抛物线于P ,则P 点为要求的点.1. 如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ A ）.(A)（1, 0） (B)（2, 0） (C)（3, 0） (D)（－1, 0）2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ B ）(A) 6m (B)26m (C) 4.5m (D) 9m3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛MP MF +24y x =MP MF +物线的方程是（ B ）. (A) 22y x =- (B) 24y x =-(C) 22y x = (D) 22436y x y x =-=-或4. 抛物线21(0)4y x a a=≠的焦点坐标是 ( C ). (A) 0(0,),0(0)a a a a ><-时是时是(B) 0(0,),0(0)22a a a a ><-时是时是(C) (0,)a (D) 1(,0)a5. 抛物线22y px =上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 ( B ).(A) 4 (B) 8(C) 16 (D) 326. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A ).(A) 172(B) 3 5 (D)92 7. 已知抛物线232y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有 （ C ）.(A) 123M F M F M F +=(B) 222123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F +=(D) 2122M F M F M F •=8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ B ）.（A ）24y x =± (B) 28y x =±(C) 24y x= (D) 28y x=9. 已知点M在抛物线24y x=上，那么点M到点(2,1)N的距离与点M到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M的坐标为1(,1)4.10.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.解：以拱桥的拱顶为原点,以过拱点且平行于水面的直线为x轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为22(0)x py p=->,由题意可知,点(45)B-在抛物线上,故85p=,得2165x y=-.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为'AA则(2,)AA y,54=-2A A16由2=-y得y5,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以0.752+=Ah=y米.所以水面上涨到与抛物线拱顶相距2米时,小船开始不能通航.1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米（精确到整数位）？解: 如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为22(0)x py p=->.依题意,有(1,1)p--所以21,2p x y==-故抛物线的方程为.设'(,2),2,12B x x O B-=∴=+则.所以水池直径为()2125()m+≈,即水池的直径至少应设计为5m.。
《抛物线及其标准方程》优质课说课教案
抛物线及其标准方程说课说案一、教材分析1、教材的地位和作用本节内容在初中以二次函数图象的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆，双曲线的基础上的又一种圆锥曲线，是对研究和学习椭圆、双曲线的方法和思想的深化，同时它在生产和科学技术中有着广泛的应用。
本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起足够重视。
2、教学目标分析①知识技能目标：掌握抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。
②过程性目标：掌握抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线的方法——坐标法。
通过本节课的学习，学生在解决问题时应具有观察、类比、分析、计算的能力。
③情感价值观目标：通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。
3、教学重、难点分析重点：抛物线的定义，抛物线的四类标准方程及其图象，能根据具体条件求出抛物线的标准方程及根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
难点：用坐标法求出抛物线的标准方程。
二、教法分析教学方法：针对学生的具体情况和课堂教学的教师主导学生主体思想，贯彻启发性教学原则，以多媒体课件为依托，采用引导发现、对比探索、图表法等教学手段。
1、引导发现法：①符合教学原则；②能充分调动学生的主动性和积极性。
2、对比探索法：①有利于学生对知识进行主动建构；②有利于突出重点，突破难点。
3、图表法：将抛物线的定义、图像、标准方程、焦点坐标及准线方程列表，让学生填表格，将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。
三、学法分析(一)学情分析：在经过高一、高二学年的学习和训练后，大多同学有较扎实的数学基本功和较好的理解力，只要鼓励学生就能较好地掌握本节知识。
(二)学习方法：采用观察、对比、分析、探索，发现结论为主的学习方法。
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学生根据定义求抛物线的标准方程
根据以前所学知识将表格补充完整。
学生回忆椭圆和双曲线的确定焦点的方法。
学生练习，请四位同学口答练习1
学生练习，请两位同学板演。
学生思考
2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．
3.难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．
【教学过程】：
一．新课引入：
学生观察实物图得出图片的共同性。由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？
例2.已知抛物线的焦点坐标是F(0， 2)，求它的标准方程．
小结：求抛物线的标准方程的步骤。
根据下列所给条件，写出抛物线Fra bibliotek标准方程：(1)准线方程是x=-1/4
答案：y = x；
(2)焦点到准线的距离是2．
答案：y =4x，y = 4x，x =4y，x = 4y．
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解题感悟：
求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式
（2）求p值
（3）写抛物线方程
注意：焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
巩固提高：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
师总结：经过第一象限的点，有焦点在x正半轴和在y正半轴两条抛物线，经过第二象限的点，有焦点在x负半轴和在y正半轴两条抛物线，
二、探究精讲
探究一：
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．
定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
探究二：
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
课题：2.4.1抛物线及其标准方程
授课者：时间：
学生活动
【学习目标及要求】：
1.学习目标：
（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
让学生议论一下，教师启发辅导，
小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y =2px(p＞0)．
讨论得出抛物线四种形式，完成下表
师：如何看焦点的确定焦点位置？
椭圆：看分母。
双曲线：看符合。
抛物线：看一次项，再看一次项系数定开口。
探究三：
二次函数y=ax （a>0）的图像为以上四种形式的那一种？并求其焦点和准线。
三．巩固练习
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y =6x，求它的焦点坐标和准线方程；
练习1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y =20x (2)y=2x ；(3)2y +5x=0；(4) x +8y=0；．
经过第三象限的点，有焦点在x负半轴和在y负半轴两条抛物线，
经过第四象限的点，有焦点在x正半轴和在y负半轴两条抛物线。
四．小结反思
小结：1、理解抛物线的定义,四种标准方程类型.
2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程
3、会求抛物线标准方程
五．布置作业
讲义:抛物线及其标准方程
学生观察实物图
学生观察画抛物线的过程，得出结论