动点问题(四边形动点专题)
三角形、四边形中动点问题
§1. 三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；2.化动为静 (由一般到特殊)，以静制动；3.数学建模：确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系 时常常建立方程模型；4.关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、线、图同时运动）.◆典例解析一、三角形中的动点问题例1. 已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设运动时间为t （s ），（1）如图1，当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？（2）如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D ，连接PC.如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和 △QCD 的面积是否相等？BCPA QDBCPAQDBCPA已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。
例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？如图（1）△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，若这两点分别从C 、B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连接AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP=BD 。
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。
它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。
本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。
基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。
它有四个顶点和四条边。
2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。
在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。
解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。
以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。
具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。
2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。
3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。
4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。
5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。
共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。
当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。
各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。
针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。
解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。
例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。
求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。
解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。
2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。
动点问题（四边形动点专题）
动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。
【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
四边形中的动点问题
四边形中的动点问题动点问题是初中数学中常见的问题之一。
这种问题涉及到一些物体或点在平面或空间中的运动轨迹，从而引发一系列有趣的问题。
本文将重点讨论四边形中的动点问题。
一、定义四边形是一个拥有四个端点并且每个端点有两条相邻的边相连的图形。
在四边形中，如果一些点在边界或内部移动，我们称这些点是动点。
二、基本问题四边形中的动点问题主要有三个基本问题：1. 四边形内任取一个动点，这个点的移动轨迹是什么？2. 四边形内任取两个动点，它们的运动是否有任何联系？3. 四边形内任取三个动点，它们是否存在特殊的位置关系？三、解决方法1. 关于第一个问题，我们可以采用向量法、坐标法、三角函数法等不同的方式来解决。
其中最常用的方法是向量法，即用向量表示动点在平面内的位置，并利用向量的加减法来求得动点的移动轨迹。
比如，对于任意一边AB，在边AB上取一点C，设动点P的向量表示为向量a，向量AC表示为向量b，则P点在AC向量上的投影可以表示为向量b’。
而向量a’可以表示为由向量b’平移而来的向量，其中平移的大小和方向取决于向量b和a之间的夹角。
2. 第二个问题比较复杂，需要利用向量叉乘、双曲线函数等高深的数学知识来解决。
一般来说，我们需要找到两个动点之间的代数关系式，再根据这个关系式来判断它们是否有联系。
比如，如果我们发现两个动点在一条直线上运动，则它们存在一定的约束条件，这个约束条件可以用向量叉乘来表达。
3. 第三个问题则是考验计算几何能力的问题。
一般来说，我们需要找到一种不变量来描述三个动点之间的特殊位置关系。
比如，如果我们发现这三个动点共线，则我们可以通过向量叉乘或线性方程组来计算它们的位置关系。
如果我们发现这三个点可以构成一个三角形，则我们可以通过三角形的几何性质来判断它们的位置关系。
如果我们发现这三个动点可以构成一个正方形或者矩形，则我们可以通过它们的对角线、边长、面积等几何参数来计算它们的位置关系。
四、典型例题1. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。
解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。
2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。
3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。
4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。
5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。
6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。
综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。
初中数学重点模型14 动点在四边形中的分类讨论(基础)
专题14 动点在四边形中的分类讨论【专题说明】动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。
动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。
四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。
一、解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。
而2t也就是这个点所运动的线段长。
进而能表示其他相关线段的长度。
所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。
3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。
4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。
这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。
5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。
【精典例题】1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，x )，则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．若BQ=x cm(0（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【解析】（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，（舍去）．因为BQ +CM =，此时点Q 与点M 不重合．所以符合题意． ①当点Q 与点M 重合时，．此时，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为．（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧，①当点P 在点N 的左侧时，由，解得． 当x =2时四边形PQMN 是平行四边形．①当点P 在点N 的右侧时，由， 解得．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ．由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧． 若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ， 即．解得．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形2、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛212220211211x x x x +==-=--由，得，34(211)20x x +=-<211x =-320,5x x x +==由得22520DN x ==>211-220(3)20(2)x x x x -+=-+120()2x x ==舍去，220(3)(2)20x x x x -+=+-1210()4x x =-=舍去，24x x ==或223x x x x -=-120()4x x ==舍去，ABDCPQ MN物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ①AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ①AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，①ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1 思路点拨1．把①ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD ． 2．用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答（1）A (1, 4)．因为抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，代入点C (3, 0)，可得a ＝－1．所以抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3． （2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122PE AP t ==．所以点E 的横坐标为112t +． 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -．所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+．因此22111()(2)1244ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+． 所以当t ＝1时，①ACG 面积的最大值为1．（3）2013t =或20t =-考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ．如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2t t t -+-=．整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+． 如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2t t t -+-=．整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，240t =（舍去）．图2 图33、如图1，在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在①ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径． 满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．（2）如图3，作①ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ①AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt①ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 在Rt①APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =．当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ-=．解得329CQ =．所以点Q 的运动速度为3210169315÷=．（3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．图3图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．4、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若①ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图 思路点拨1．过点E 作x 轴的垂线交AD 于F ，那么①AEF 与①CEF 是共底的两个三角形．2．以AD 为分类标准讨论矩形，当AD 为边时，AD 与QP 平行且相等，对角线AP ＝QD ；当AD 为对角线时，AD 与PQ 互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝y E－y F＝ax2－3ax－4a．由S①ACE＝S①AEF－S①CEF＝11()() 22E A E C EF x x EF x x---＝1()2C AEF x x-＝21(34)2ax ax a--＝21325()228a x a--，得①ACE的面积的最大值为258a-．解方程25584a-=，得25a=-．（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由x D－x A＝x P－x Q，得x Q＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．由y D－y A＝y P－y Q，得y P＝26a．所以P(1, 26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以a=P(1，．①如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由x D＋x A＝x P＋x Q，得x Q＝2．所以Q(2,－3a)．由y D＋y A＝y P＋y Q，得y P＝8a．所以P(1, 8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．图1 图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，①QPD＝90°，所以AM DNMD NP=，即5553a na-=-．解得235ana+=．所以P235(1,)aa+．所以Q3(4,)a-．将Q3(4,)a-代入y＝a(x＋1)(x－3)，得321aa=．所以a=．①如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由①AQD＝90°，得AG QKGQ KD=，即32335aa a-=--．解得12a=-．5、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A (－3,0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 930,3.b c c --+=⎧⎨=⎩解得b ＝－2，c ＝3． 所以抛物线C 的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3．（2）由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得顶点M 的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN 保持平行，当M′N′＝MN ＝4时，以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN 边对应的高NN′＝4．那么以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C 直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）； 抛物线C 直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN ′M ′（如图2）；抛物线C 先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）； 抛物线C 先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM ′N ′（如图3）．图2 图3考点伸展本题的抛物线C 向右平移m 个单位，两条抛物线的交点为D ，那么①MM ′D 的面积S 关于m 有怎样的函数关系？如图4，①MM ′D 是等腰三角形，由M (－1,4)、M ′(－1＋m , 4)，可得点D 的横坐标为22m -． 将22m x -=代入y ＝－(x ＋1)2＋4，得244m y =-+．所以DH ＝244m -．所以S ＝2311(4)2248m m m m -=-．图4。
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。
数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。
这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。
解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
特殊平行四边形动点问题
特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为A 、17172B 、17174C 、 17178D 、3 2.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝6,BC ＝16,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t ＝ 秒时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x.1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.4.在一个等腰梯形ABCD 中,AD1.t 为何值时,四边形ABQP 为平行四边形2.四边形ABQP 能为等腰梯形吗如果能,求出t 的值,如果不能,请说明理由;6.梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从点A 开始,沿AD 边,以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始,沿CB 边,以3厘米/秒的速度向B 点运动;已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动;假设运动时间为t 秒,问：1t 为何值时,四边形PQCD 是平行四边形2在某个时刻,四边形PQCD 可能是菱形吗为什么3t 为何值时,四边形PQCD 是直角梯形4t 为何值时,四边形PQCD 是等腰梯形5 t 为何值时, APQ 是等腰三角形7．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AD ‖BC,且AD=4cm,AB=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒4cm 的速度沿线段AD 、DC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒5cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PQCD 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=DC4是否存在t,使得P 点在线段DC 上,且PQ ⊥DC 如图2所示若存在,列出方程求出此时的t ；若不存在,请说明理由;8．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AB ‖CD,且AB=4cm,BC=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度沿线段AB 、BC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒1cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PBCQ 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=BC.10. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4,点P 从开始沿AB 边向点B 以每秒3cm 的速度移动,点Q 从开始沿CD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达终点时运动停止;设运动时间为t 秒; 1求证：当t 为何值时,四边形APQD 是平行四边形；2PQ 是否可能平分对角线BD 若能,求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能,请说明理由； 3若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形,求t 的值;11.如图,在直角梯形ABCD 中,AB1求CD 的长;2当四边形PBQD 为平行四边形时,求四边形PBQD 的周长；3在点P,点Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔBPQ 的面积为20cm 2若存在,请求出所有满足条件的t 的值；若不存在,请说明理由;13. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .1如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；2如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b 单位:cm ,0ab ≠,已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.14.已知：如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC,∠B=90°,BC=8cm,CD=24cm,AB=26Cm,点P 从C 出发,以1cm/s 的速度向D 运动,点Q 从A 出发,以3cm/s 的速度向B 运 动,其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．1经过多少时间,四边形AQPD 是平行四边形2经过多少时间,四边形AQPD 成为等腰梯形3在运动过程中,P 、Q 、B 、C 四点有可能构成正方形吗为什么A BC D EF 图10-1 O 图10-2 备用图如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动,点P,Q 分别从点B,A 同时出发,当点Q 运动到点D 时,点P 随之停止运动,设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时,四边形PQDC 是平行四边形；②当t 为何值时,以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2 ③是否存在点P,使△PQD 是等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由． 15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=6,DC=10,AB=65,∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．16.1求BC 的长．17.2当MN ∥AB 时,求t 的值．18.3△MNC 可能为等腰三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（4）△MNC 可能为直角三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（5）△MNC 为20时,请求出t 的值．如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠A=90°,AB=34,AD=4,DC=234 ,点P 从点A 出发沿折线段AD-DC-CB 以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动,同时,点Q 从点A 出发沿射线AB 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P 与点B 重合时停止运动,点Q 也随之停止,设点P,Q 的运动时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点B 时,求t 的值；2设△APQ 的面积为S,分别求出点P 运动到AD 、CD 上时,S 与t 的函数关系式；3当t 为何值时,能使PQ ∥DB ；4当t 为何值时,能使P 、Q 、D 、B 四点构成的四边形是平行四边形;16.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=60,AD=75,BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC,交折线段CD-DA-AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC ；3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的函数关系式；不必写出t 的取值范围4△PQE 能否成为直角三角形若能,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．17.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=33,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．1求NC,MC 的长用t 的代数式表示；2当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形3当t 为何值时,射线QN 恰好将△ABC 的面积平分并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．19.如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10．1求梯形ABCD 的面积S ；2动点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动；动点Q 从点C 出发,以2cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动．若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由．20.在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm 如图1．动点Q 从点B 出发,沿BC 运动到点C 停止,运动的速度都是1cm/s ．同时,动点P 也从B 点出发,沿BA →AD 运动到点D 停止,且PQ 始终垂直BC ．设P,Q 同时从点B 出发,运动的时间为ts,点P 运动的路程为ycm ．分别以t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系如图2,已知如图中线段为y 与t 的函数的部分图象．经测量点M 与N 的坐标分别为4,5和2, 25．1求M,N 所在直线的解析式；2求梯形ABCD 中边AB 与AD 的长；3写出点P 在AD 边上运动时,y 与t 的函数关系式注明自变量的取值范围,并在图2中补全整运动中y 关于t 的函数关系的大致图象．22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=3 3,点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM 返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止．设点P,Q运动的时间是t秒t＞0．23.1设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式不必写t的取值范围；24.2当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；已知：如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系,点D为线段BC的中点,动点P从点A出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AOCD 向终点C运动,运动时间是t秒．1D点的坐标为；2当t为何值时,△APD是直角三角形；3如果另有一动点Q,从C点出发,沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动,当一点到达终点时,两点均停止运动,问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28如果可能,求出对应的t；如果不可能,请说明理由．在梯形ABCO中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标分别是A8,0,B8,10,C0,4．点D4,7为线段BC的中点,动点P从O点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OAB的路线运动,运动时间为t秒．1求直线BC的解析式；2设△OPD的面积为s,求出s与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围；33当t为何值时,△OPD的面积是梯形OABC的面积的8如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立直角坐标系,A、C的坐标分别为A10,0、C0,8,CB=4,D为OA中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动,速度为1个单位/秒,移动时间为t秒．1求AB的长,并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值,并指出此时点P在哪条边上；2动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,并指出t的取值范围；3几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分求出此时点P的坐标已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动．1求B点坐标；2设运动时间为t秒；①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积；③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动．在②的条件下,PM+PN 的长度也刚好最小,求动点P的速度．如图1,以梯形OABC的顶点O为原点,底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A14,0,B11,4,C3,4,点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA 向A点运动,同时点F以每秒3个单位的速度,从O点出发沿折线OCB向B运动,设运动时间为t．1当t=4秒时,判断四边形COEB是什么样的四边形2当t为何值时,四边形COEF是直角梯形3在运动过程中,四边形COEF能否成为一个菱形若能,请求出t的值；若不能,请简要说明理由,并改变E、F两点中任一个点的运动速度,使E、F运动到某时刻时,四边形COEF 是菱形,并写出改变后的速度及t的值如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BC=14,A16,0,C0,2．1如图①,若点P、Q分别从点C、A同时出发,点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时,点P也停止运动．设运动时间为t秒0≤t≤4．①求当t为多少时,四边形PQAB为平行四边形②求当t为多少时,直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2,并求出此时直线PQ 的解析式．2如图②,若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点不与线段BC、AO的端点重合,且四边形OQPC面积为10,试说明直线PQ一定经过一定点,并求出该定点的坐标．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上,且AB方形ODEF 的两边分别坐落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形ABCO面积,将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S;（1）求正方形ODEF的边长;（2）求OA所在直线的解析式（3）当正方形ODEF移动到顶点O与C重合时,求S的值（4）设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x,当正方形ODEF的边ED与y轴重合时,停止移动,求重叠部分面积S与x的函数关系式;如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,等腰RT△DEF中,∠D=90°,EF=在BC所在直线L上,开始时点F与点C重合,让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动,最后点E和点B重合;（1）请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中,等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm2①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内,求y与x之间的函数关系式②在RT△DEF整个运动过程中,求当x为何值时,y=1/2.题型二：1.如图,正方形ABCD的边长为4cm,两动点P、Q分别同时从D、A出发,以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动;试解答下列各题：1当P出发后多少秒时,三角形PDO为等腰三角形；2当P、Q出发后多少秒,四边形APOQ为正方形；3当P、Q出发后多少秒时,ABCD PQDSS正方形325=∆.2.如图所示,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发,沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动;1试判断四边形PQEF 是正方形并证明;2PE 是否总过某一定点,并说明理由;（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时,其面积最小,最大各是多少（4）3.已知：如图,边长为a 的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是异于A 、D 两点的动点,F 是CD 上的动点;请你判断：无论E 、F 怎样移动,当满足：AE+CF=a 时,△BEF 是什么三角形并说明你的结论;4.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD 不含B 点上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.题型三：1.如图,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠C ＝90°,BC ＝16,DC ＝12,AD ＝21;动点P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动;设运动的时间为t 秒;（1）设▲BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式;（2）当t 为何值时,四边形ABPQ 平行四边形3当t 为何值时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形4是否存在时刻t,使得PQ ⊥BD 若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由;E A DB C N M2.如图①,在等腰梯形ABCD中,AD边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N．1如图25－1,当点M在AB边上时,连接BN．△≌△；①求证：ABN ADN②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值；2如图25－2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x6≤x≤12．试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形．4．在正方形ABCD中,M是边BC中点,E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,MF交射线CD于点F,AB=4,BE=x,CF=y1求y关于x的解析式及定义域2当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化请说明理由3当DF=1时,求点A到直线EF的距离;5.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E是AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F;AB=4,BC=6,∠B=60°1求点E到BC的距离;2点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN‖AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变若不变,求出△PMN的周长,若改变,说明理由.②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的x的值,若不存在,说明理由.6.在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD;一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A-B-C的路线做匀速运动,过点P做直线PM,使PM⊥AD;当点P运动2秒时,另一动点Q也从A 出发沿A-B-C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动;过Q做直线QN,使QN∥PM;设点Q的运动时间为t秒0≤t≤10,直线PM与QN截平cm行四边形所得图形的面积为S2①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值;7.菱形ABCD中∠A=60°,边长为4CM,动点P从A出发,以1CM/秒的速度沿A-B-C的路线运动,在点P出发1秒后,点Q以同样的速度,沿同样的路径运动,过点P、Q的直线L1、L2互相平行,且都与AB边所在的直线成60°角,设点P运动的时间是X1≤X≤8秒,直线L1、L2在菱形上截出的图形周长为Y厘米1求Y与X的函数关系;2当X取何值时,Y的值最大最大值是多少8．如图,在矩形ABCD中,AB＝12cm,BC＝8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G即点F与点G重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时,△EF G的面积为Scm2．1当t＝1秒时,S的值是多少2写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围．。
2023年中考数学高频考点提升练习--四边形的动点问题
2023年中考数学高频考点提升练习--四边形的动点问题一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点(不与点C、D重合)，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G。
若FD=5AF，则CE：ED的值为()A．6-2 √3B．√10−52C．√3-1D．√1042．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（）A．5B．3或5C．103D．103或53．如图，已知AB=8，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正方形APCD，以PB 为底作等腰△PBE，连接CE，则△PCE的面积的最大值是（）A．3√2B．4C．4.2D．4√24．如图，在矩形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，已知AB＝9，BC＝12，点P在矩形ABCD的边上，则满足PE+PF＝12的点P的个数是（）A．2B．4C．6D．85．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y，其中2<x⩽5．则下列结论中，正确的个数为（）△y与x的关系式为y=x−4x；（2）当AP=4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP=4时，tan∠EBP=35．A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发在边AB上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边BC上运动．分别连接AQ，DP，AQ与DP相交于点E，连接BE，则线段BE的最小值为（）A．√5B．2√2C．2√2−1D．2√5−27．如图，已知正方形ABCD的边长为4, P是AB边上的一个动点，连结PD，作PQ△PD交BC边于点Q．当点P从点A出发向终点B运动时，点Q所经过的路径长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E是AB上的点，且AE=2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C−D−A−E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为（）A．98或194B．194或98或274C．94或6D．6或94或274二、填空题9．如图在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E为对角线AC上的动点，EF△DE交BC边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.（1）当AE=2时，求EDEF=；（2）点H在AD上且HD=3，连接HG，则HG的取值范围是.10．如图，在直角梯形ABCD中，AD△BC，△C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.当t为时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s 的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为秒时，△MBN为等腰三角形．12．如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m。
有关平行四边形的动点问题
有关平行四边形的动点问题
平行四边形是由两组相邻的平行线和它们之间的四条线段组成的四边形。
在平行四边形中，我们可以考虑一个点在它沿着一个方向移动的同时，沿着另一个方向的轨迹。
这个点被称为“动点”。
如果动点沿着平行四边形的一条边上移动，那么它所相应的高度和底边也会相应地改变。
因此，如果我们将平行四边形分成许多小长方形，并在这些小长方形的顶点处放置动点，则可以形成一条光滑的曲线。
这个曲线被称为平行四边形的“径线”。
如果动点同时沿着两个方向移动，则可以得到一个新的曲线，称为“余弦曲线”。
这个曲线看起来像是一个上下波动的曲线，与平行四边形的一条对角线平行。
有趣的是，这两个曲线都是周期性的，其周期等于平行四边形的面积除以它沿着这个方向的速度。
因此，我们可以通过这些曲线来计算平行四边形的面积和周长。
通过研究这些平行四边形的动点问题，我们能够深入了解其内在的几何性质和性质之间的相互关系。
这不仅有助于帮助我们更好地理解平行四边形，还可以为其他更复杂的几何形状和问题提供有用的洞见和启示。
平行四边形的动点问题
平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。
2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。
我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。
3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。
因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。
5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。
这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。
6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。
动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。
但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。
7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。
如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。
然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。
9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。
动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。
10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。
无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。
11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。
它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。
平行四边形动点问题方法总结
平行四边形动点问题方法总结1. 引言：为什么我们要关注平行四边形动点问题？嘿，朋友们！今天我们来聊聊一个看似枯燥却又很有趣的数学话题——平行四边形动点问题。
别急着打哈欠，咱们慢慢来，这可是个让你从头到脚都充满成就感的数学冒险哦。
平行四边形动点问题，听名字就知道，讲的是在平行四边形里，某个点在移动时，会发生什么奇妙的事情。
这不仅仅是数学题，更像是一场迷人的舞蹈。
你知道吗？这些问题其实很接地气，因为它们涉及到很多我们生活中常见的现象，比如房子四角是直角的，家具摆放的角度等等。
2. 方法一：坐标法——从数学角度看平行四边形的奇妙。
2.1 说到解决这类问题，坐标法可是个不可或缺的好帮手。
咱们首先给平行四边形的四个顶点分配坐标，比如A、B、C、D分别是(0, 0)、(a, 0)、(b, c)、(d, e)。
坐标法就是把平行四边形里的每个点都用坐标表示出来，这样一来，不管点怎么动，我们都能通过数学公式来搞定。
2.2 你可以把平行四边形当成一个平面上的大布景，点A、B、C、D就是布景上的关键位置。
然后，动点就是在这个布景上游走的小演员。
比如，如果你要找出某个点P 的轨迹，只需要把P的坐标带入公式，就能知道P跑到哪儿去了。
坐标法简直是数学里的瑞士军刀，万能又省事。
3. 方法二：向量法——用矢量的眼光看世界。
3.1 向量法是另一个很酷的方法。
想象一下，向量就像是一把利刃，把复杂的数学问题一刀切成简单易懂的形状。
比如，平行四边形的对角线是彼此平行的，那么它们之间的向量关系就能告诉我们很多有用的秘密。
如果我们把动点P的运动看作一个向量变化，我们就能用向量运算来分析它的行为。
3.2 向量法的好处在于，它能帮我们迅速搞清楚平行四边形中各个点的相对位置和移动规律。
用这个方法，你可以非常方便地计算出点P在平行四边形内的各种可能位置，也能找到一些隐含的规律，比如点P可能会在平行四边形的对角线附近来回移动。
数学就像个魔术师，向量法让我们能透过表面看到更多的奥秘。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)动点问题专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形动点问题训练1.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对着得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P在BC何处时，点N是MQ的中点．（3）若AB=3，P是BC的三等分点，求QM的长；2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的动点，连接AE，以AE为边在AE的右上侧作Rt△AEF，使得∠AEF=90°，AE=EF，再过点F作FG⊥BC，交BC的延长于点G．（1）求证：∠BAE=∠GEF；（2）求证：CG=FG；（3）填空：若正方形ABCD的边长是2，当点E从点B运动到点C的过程中，点F也随之运动，则点F运动的痕迹的长是______．3.如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC 中点．（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的关系，并说明理由；（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．4.如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1所示，当∠DPA'=10°时，∠A'PB=______度；（2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．6.如图，边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形BEF，连接CF．（1）求证：∠DEF+∠CBF=90°；，求△BEF的面积；（2）若AB=3，△BCF的面积为32（3）求证：DE=2CF．8.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：△NDE≌△MAE；（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．9.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≅△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.11.如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2＋13．菱形EFGH的顶点H在边AD上，且AH＝2，顶点G、E分别是边DC、AB上的动点，连结CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，直接写出DG的长；（2）若△FCG的面积等于3，求DG的长；（3）试探究点G运动至什么位置时，△FCG的面积取得最小值.12.如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．13.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB=90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE=CD，点P是DE的中点.(1)如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；(2)如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,O是△ABC内一动点,F、G分别是OB、OC的中点.判断四边形DEGF的形状,并说明理由.15.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1）求证：△ABF≌△BCE.（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长.16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE．设每秒运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）当t为多少秒时，△BPE是直角三角形．参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CBP=CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；（2）解：由折叠的性质得：NQ=CQ，∠BNQ=∠C=90°，∠NBQ=∠CBQ，∴∠BNM=90°，∵点N是MQ的中点，∴NQ=MN，由（1）得：MQ=MB，∴MN=12MB，∴∠MBN=30°，∴∠CBN=60°，∴∠NBQ=∠CBQ=30°，∴CQ=33BC，∴BP=CQ=33BC，即BP=33BC时，点N是MQ的中点．（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，P是BC的三等分点，∴BP=2CP，或CP=2BP，①当BP=2CP时，BP=2，由折叠的性质得：NQ=CQ=BP=2，BN=BC=3，∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB，设MQ=MB=x，则MN=x-2，在Rt△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x 2=32+（x -2）2，解得：x =134，即MQ =134；②当CP =2BP 时，BP =1，由折叠的性质得：NQ =CQ =BP =1，BN =BC =3，∵∠NQB =∠CQB =∠ABQ ，∴MQ =MB ，设MQ =MB =x ，则MN =x -1，在Rt △MBN 中，MB 2=BN 2+MN 2，即x 2=32+（x -1）2，解得：x =5，即MQ =5；综上所述，若AB =3，P 是BC 的三等分点，QM 的长为134或5．2.解：（1）∵∠AEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠GEF ，（2）在△ABE 和△EGF 中，∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ），∴BE =GF ，AB =EG ，∴BE =CG ，∴CG =FG ；（3）223.解:（1）当点P在线段AO上时PE=PD且PE⊥PD.理由：当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中AB=AD∠BAP=∠DAP=45∘AP=AP∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,如图，过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,∵AC平分∠BCD，∴PM=PN，在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE,PM=PN∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EP N,易得∠MPN=90∘,∴∠DPE=90∘,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为:PE=PD,PE⊥PD;（2）当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；如图2,当点P在线段OC上时，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，又PA=PA，∴△BAP≌△DAP(SAS)，∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD，①当点E与点C重合时，PE⊥PD；②当点E在BC的延长线上时，如图2所示，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∠CDP=∠CBP，∵PB=PE，∴∠CBP=∠PEC，故∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PE⊥PD，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想成立；4.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠BAD=60°∴△ADB是等边三角形∴AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD∴△ADE≌△DBF（SAS）∴∠ADE=∠DBF又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB∴∠BGE=∠ADB=60°（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由（1）得∠ADE=∠DBF∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB又∠DEB=∠MDC∴∠CBF=∠CDM∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED∴点C在∠BGD的平分线上即GC平分∠BGD5.856.（1）证明：∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO=90°，∠MFO=90°，∵正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴∠EOF=90°，∴四边形OEMF为矩形；（2）解：∵边长为8的正方形ABCD的対角线AC，BD交于点O，∴利用勾股定理可以得到OA=OB=42，当M在AB的中点时，EF有最小值，最小值=OE2+OF2=(22)2+(22)2=4.7.证明：（1）过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵∠EFB=90°，∴∠BFN +∠EFM =90°，∴∠MEF =∠BFN ，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ．∴MN ⊥BC ，∴∠FBN +∠BFN =90°，∴∠FBN +∠MEF =90°，即∠DEF +∠CBF =90°；证法二：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEB +∠CBE =180°，即∠DEF +∠BEF +∠EBF +∠CBF =180°，∵∠EFB =90°，∴∠BEF +∠EBF =90°，∴∠DEF +∠CBF =90°；（2）由（1）得MN ⊥AD ，∴正方形ABCD 的性质得四边形MNCD 是矩形，∴MN =CD =AB =3，在△BFN 与△FEM 中，由（1）得∠MEF =∠BFN ，∠EMF =∠FNB =90°，∵△BEF 为等腰直角三角形，∴BF =EF ，在△BFN 与△FEM 中，∠EMF =∠FNB ∠MEF =∠BFN BF =EF，∴△BFN ≌△FEM （AAS ），∵BC =AB =3，∴S △BCF =12BC ⋅FN =32FN =32，∴FN =1．∴BN =FM =MN -FN =2，在Rt △BFN 中，EF =BN 2+FN 2=12+22=5，∴S △BEF =12BF 2=12×(5)2=52；（3）在△BFN与△FEM中由（2）△BFN≌△FEM，MD=NC，∴BN=FM，EM=FN，∵MN=AB=BC，∴FM+FN=BN+NC，∴FN=NC=MD=EM，∴∠FCN=45°，DE=2MD=2CN，CF，在Rt△FNC中，CN=22∴DE=2×2CF=2CF．28.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAEDE=AE，∠DEN=∠AEM∴△NDE≌△MAE（ASA）；（2）∵△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（3）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1．9.解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，∴CE+CG=8是定值．10. (1)∵点F,H分别是BC,CE的中点,∴FH //BE ,FH =12BE ,∴∠CFH =∠CBG .又∵点G 是BE 的中点,∴FH =BG .又∵BF =FC ,∴△BGF ≅△FHC .(2)连接EF ,GH .当四边形EGFH 是正方形时,可知EF ⊥GH且EF =GH .∵在△BEC 中,点G ,H 分别是BE ,EC 的中点,∴GH =12BC =12AD =12a ,且GH //BC ,∴EF ⊥BC .又∵AD //BC ,AB ⊥BC ,∴AB =EF =GH =12a ,∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =12a ⋅a =12a 211.解：（1）∵四边形EFGH 为正方形，∴HG =HE ，∠ADG =∠HAE =90°，∵∠DHG +∠AHE =90°，∠DHG +∠DGH =90°，∴∠DGH =∠AHE ，∴△DGH ≌△AHE （AAS ），∴DG =AH =2；（2）如图，作FM⊥DC，M为垂足，连结GE．∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEG-∠HEG＝∠MGE-∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，又∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离恒等于2，∴S▵FCG=1×2⋅GC=3，2解得GC＝3，∴DG＝2；（3）设DG＝x，则CG＝5-x，由（2）可知，S△FCG＝5-x．要使△FCG的面积最小，须使x最大，∵在Rt△DHG中，DH=13，∴当GH取得最大时，x最大当点E与点B重合时，HE最大，此时，HE=22+52=29，则GH=HE=29，在Rt△DHG中，x=(29)2−(13)2=4，∴当DG＝4时，△FCG的面积取得最小值．12.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS），∠AEB=∠BFC∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．13.解：（1）AP=1DE，理由如下：2连接AE.∵CE⊥CD，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，CE=CD∠ACE=∠BCD，AC=BC∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∵P为DE中点，DE.∴AP=12（2）①当Q在边AB上时，连接AE，EQ.∵P 为DE 中点，CE =CD ，∴PC 垂直平分DE ，∴DQ =QD ，∵AB =5，AQ =2，∴BD =3，设BD =AE =x ，则QD =EQ =3-x ，在Rt △AEQ 中，AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(3-x )2解得x =56;当Q 在BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，如图，设BD =AE =x ，同理可得AE 2+AQ 2=QE 2，即x 2+22=(7-x )2解得x =4514.综上可得BD =56或4514.14.解析 四边形DEGF 是平行四边形.理由:∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点,∴DE =12BC ,DE //BC ,∵F、G分别是OB、OC的中点,BC,FG//BC,∴FG=12∴DE=FG,DE//FG,∴四边形DEGF是平行四边形15.（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC=90°，∴∠GCB=∠FBA，又∵BC=AB，∠FAB=∠EBC=90°，在△ABF与△BCE中，∠GCB=∠FBABC=AB，∠EBC=∠FAB∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB=1，∵AB=2，∴BC=2，∴CE=BC2+EB2=22+12=5，在Rt △CEB 中，由CE •BG =EB •BC 得BG =EB ⋅BC CE =1×25=255，∴CG =455，∵∠DCE +∠BCE =∠BCE +∠CBF =90°，∴∠DCE =∠CBF ，又∵DC =BC =2，∠CHD =∠CGB =90°，在△CHD 与△BGC 中，∠CHD =∠CGB =90°∠DCE =∠CBF DC =BC，∴△CHD ≌△BGC （AAS ）∴CH =BG =255，∴GH =CG -CH =255=CH ，∵DH =DH ，∠CHD =∠GHD =90°，在△DGH 与△DCH 中，GH =CH ∠GHD =∠CHD DH =DH，∴△DGH ≌△DCH （SAS ），∴DG =DC =2．16.解：（1）在矩形ABCD 中，∠C =∠B =90°，CD =AB =10，在Rt △BCE 中，CE =CD -ED =10-7=3，根据勾股定理得，BE =BC 2+CE 2=42+32=5，（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，则∠C =∠B =∠BPE =90°，∴四边形CBPE 是矩形，∴BP =CE =3，即10-t =3，∴t =7，②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得，BE 2+PE 2=BP 2，过点P 作PF ⊥CD 于F ，则PF=AD=4，DF=AP，设AP=t，则EF=7-t，BP=10-t，PE2=42+（7-t）2，∴52+42+（7-t）2=（10-t）2，，解得，t=53∴当t=7或5秒时，△BPE是直角三角形．3。
浙教版八年级数学下册第5章专题十二 特殊四边形中的动点问题
专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发 ，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止， 点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的 速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， 当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形， 则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度 为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时，t 的值为43.
八年级下册四边形动点问题和答案
八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG等于 。
2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为6、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．CA BP FE EDCBAPADEPB C7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。
9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。
四边形中的动点问题
【例1】已知如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_________。
【例2】在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动⑴四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由。
⑵若BD＝12cm，AC＝16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形。
【例3】如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，OA∥BC，BC＝14cm，A点的坐标为(16，0)、C 点的坐标为(0，2)，点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s 的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t s(0≤t≤4)⑴求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形、等腰梯形？⑵求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1∶2求出此时直线PQ的函数关系式。
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B—C—D做匀速运动，那么△ABP 的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是( )四边形中的动点问题【例5】已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＜DC，AD＝4cm，BC＝12cm，BD＝CD＝10cm，点E以2cm/s 的速度在线段CB上由点C向点B运动，运动的时间为t(s)。
⑴若四边形ABED的面积为y(cm2)，求y关于t的函数解析式及自变量t的取值范围；⑵t为何值时四边形ABED与△DEC的面积相等？判断此时四边形ABED的形状并说明理由。
【例6】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝8。
⑴如图①在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；求点E的坐标及折痕DB的长。
动点问题专题
动点问题专题1.如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4 cm ，∠A=60°，BD ⊥AD. 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM. 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .① 求S 关于t 的函数关系式；② (附加题) 求S 的最大值。
ED CBAM P2.（2005年杭州）在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠=== . 现有动点P 从点A 出发, 沿射线AB 向点B 方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线CB 也向点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点Q的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后, PBQ ∆的面积是ABC ∆的面积的一半?（2）这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？3、（2005年河北）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
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动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）
【动态几何问题的特点】
动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】
解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
【动态几何问题的分类】
动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：
（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；
（2）动直线类；
（3）动图形问题。
【典型例题】
例1.如图，在梯形ABCD
中，3545 AD BC AD DC AB B
====︒∥，，，．动
点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当MN AB
∥时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，MNC
△
C
例2. 已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
例3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
设运动时间为t 秒。
（1）求证：当t =2
3时，四边形APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不
能，请说明理由；
（3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。
B
P
例4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P从点D 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当t=2时，求△APQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【训练题】
1.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出
发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若BQ=xcm （x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm。
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由。
2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，
点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形
COAB 面积的27
（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围.
3.如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，
交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形P ABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．。