高中数学-概率的基本性质测试题

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高一数学必修3同步练习：3-1-3概率的基本性质

3-1-3概率的基本性质一、选择题1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析]对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3[答案] C[解析]设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件A＝{向上的点数是1}，事件B＝{向上的点数是2}，事件C＝{向上的点数是1或2}，则有() A．A∩B＝C B．A∪B＝CC．C⊆B D．C⊆A[答案] B[解析]A∪B＝Ø，A∪B＝C，B⊆C，A⊆C，则仅有B项正确．4．事件M⊆N，当N发生时，下列必发生的是()A．M B．M∩NC．M∪N D．M的对立事件[答案] C[解析]由于M⊆N，则当N发生时，M不一定发生，则MN和M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．5．对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是()A．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件C．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同D．对立事件和互斥事件没有任何联系[答案] B[解析]互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，则B项正确，A、C、D项不正确6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球[答案] D[解析]A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D 项符合题意．7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为()A．60% B．30%C．10% D．50%[答案] D[解析]甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.8．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为() A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案] C[解析]设抽到的不是一等品为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事件，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.9．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定[答案] D[解析]由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．10．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为()A．0.65 B．0.55C．0.35 D．0.75[答案] C[解析]设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35.二、填空题11．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件A＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”B＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”C＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”D＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”其中，(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(2)P(D)＝________，P(B)＝________，P(A)＋P(C)＝________.[答案](1)D B A，C(2)10 1P(D)＝1；P(B)＝0；A与C是对立事件，∴P(A)＋P(C)＝P(A＋C)＝1.12．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件．事件A＝“3件都是一级品”，则A的对立事件是________．[答案]三件中至少有一件是二级品13．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．[答案]0.2[解析]由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”，也是对立事件．∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.14．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：不低于150mm的概率是________．[答案]0.620.24[解析]0.30＋0.32＝0.62；1－(0.14＋0.30＋0.32)＝0.24.三、解答题15．某商场有甲乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[分析]利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．[解析](1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E⊆C，所以二者不是互斥事件．16．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解析] 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A 、B 、C 是互斥事件，且D ＝A ∪B ∪C ，所以P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.17．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为512，取出黑球的概率为13，取出白球的概率为16，取出绿球的概率为112.求： (1)取出的1个球是红球或黑球的概率；(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．[解析] 记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112. 根据题意，知事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥．由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112.18．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率．[分析]小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80～89分”与“90分以上”的并事件，小明考试及格可看作是“60～69分”“70～79分”“80～89分”与“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作是事件“不及格”的对立事件．[解析]分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法一：小明考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.。

高中数学10.1.4《概率的基本性质》基础过关练习题

第十章 10.1 10.1.4A 级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ．2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A ．3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )A ．1328B ．57C ．1528D ．37【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝1328.故选A ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A ．12B ．23C ．56D ．1【答案】B 【解析】(方法一)A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ∪B )＝46＝23.(方法二)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.故选B ．5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A ．710B ．35C ．45D ．110【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.(方法二)设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.故选B ．6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2.(1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________；(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________， P (AB )＝________.【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB )＝P (B )＝0.2.(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6，P (AB )＝0.7．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.【答案】25 【解析】因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25.8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：．【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a ＋b ＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a ＋b ＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a －b ＝0.68.9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B 为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率．解：(1)甲获得比赛胜利的概率P 1＝1－P (B )＝1－0.4＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P 2＝P (A )－P 1＝0.7－0.6＝0.1.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝610＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.B 级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.故选C ．12．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．【答案】0.2 【解析】设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．【答案】1928 【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.14．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________.【答案】0.9 【解析】因为P (B )＝0.6，所以P (B )＝1－P (B )＝0.4.又A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】310 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A )＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.7＝0.3.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.C 级——探索创新练19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n ≥17，则利润y ＝85；若当天需求量n <17，则利润y ＝10n －85.故y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.。

高二数学概率试题

高二数学概率试题1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45【答案】A【解析】由二项分布的均值和方差得,解的【考点】二项分布的均值和方差.2.某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】解题思路：(Ⅰ)利用对立事件的概率求解；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解（Ⅲ）利用二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解.规律总结：涉及概率的求法，要掌握好基本的概率模型，正确判断概率类型，合理选择概率公式. 试题解析：（1）(Ⅰ)设选手甲答对一个问题的正确率为，则故选手甲回答一个问题的正确率（Ⅱ）选手甲答了4道题进入决赛的概率为；（Ⅲ）选手甲答了5道题进入决赛的概率为；选手甲答了6道题进入决赛的概率为；故选手甲可进入决赛的概率.【考点】1.互斥事件与对立事件；2.二项分布.3.将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件概率计算公式：,,要求点数至少含有6且点数不同，含有6有11中，而其中相同的就一种，故，【考点】条件概率的计算.4.为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA 的学生的概率为2/3 ⑴请将上面列连表补充完整，并判断是否有的把握认为关注NBA 与性别有关？⑵现从女生中抽取2人进一步调查，设其中关注NBA 的女生人数为X ，求X 的分布列与数学期望. 附：，其中【答案】(1)关注NBA 与性别有关；（2）分布列（略），E （X ）=1.【解析】（1）本小题独立性检测的应用，本小题的关键是计算出的观测值,和对应的临界值，根据关注NBA 的学生的概率为，可知关注NBA 的学生为32（估计值）.根据条件填满表格，然后计算出，并判断其与的大小关系，得出结论.（2）对于分布列问题：首先应弄清随机变量是谁以及随机变量的取值范围，然后就是每个随机变量下概率的取值，最后列表计算期望. 试题解析：(1）将列联表补充完整有：由,计算可得4分因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为学生关注NBA 与性别有关，即有把握认为关注NBA 与性别有关 6分（2）由题意可知，X 的取值为0，1，2，,,9分所以X 的分布列为）=1. 12分【考点】（1）独立性检测应用；（2）随机变量的分布列与期望.5.实验北校举行运动会，组委会招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10 人和6人喜爱运动，其余不喜爱.（1）根据以上数据完成以下列联表：（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为性别与喜爱运动有关？(3)从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各选1人，求其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取的概率．参考公式：（其中）没有关联90%95%99%【答案】（1）见解析；（2）性别与喜爱运动没有关联；（3）.【解析】（1）独立性检验关键是计算出,并同概率表作对比，选择适合的临界值，得出是否具有相关性结论；（2）古典概型概率的计算，间接法：“1”减去既没有甲乙的概率.试题解析：（1）由已知得：喜爱运动不喜爱运动总计（2）由已知得：，则：（选择第一个）.则：性别与喜爱运动没有关联. 8分（3）记不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取为事件A，由已知得：从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各抽取1人共有种方法，其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙没有一人被选取的共有种方法，则：12分【考点】（1）独立性检测；（2）古典概型.6.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得分．若从这个口袋中随机地摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是．⑴求的值；⑵从口袋中随机摸出个球，设表示所摸球的得分之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1），（2）的分布列为：.【解析】（1）本小题为古典概型，基本事件的种数为：，事件：从口袋中随机地摸出个球，有一个是黄色球的方法数为：，即可构建关于的方程；（2）易知取值为，利用古典概型概率公式，易求的每个取值对应的概率，从而可列出分布列，并求出数学期望.试题解析：⑴由题意有，即，解得；⑵取值为.则，，，，的分布列为：故.【考点】古典概型概率公式，分布列，数学期望公式.7.设随机变量服从，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为随机变量服从，所以，故选A.【考点】二项分布.8.某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加上海世博会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≥1)＝________.【答案】【解析】P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝9.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.(Ⅱ)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（1）76.4 （2）0.7【解析】解：(Ⅰ).(Ⅱ)(i)这100天的平均利润为(ii) 销量为16枝时，利润为75元，故当天的利润不少于75元的概率为【考点】函数与概率点评：主要是考查了分段函数与均值以及概率的求解，属于中档题。

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：某高校申请人数性别录取率法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数；（2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率；（2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可．【详解】由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=，即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ，较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=，由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==．故选：B ．【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案．【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=，这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-，则0.65.8ˆ1yx =-，故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，故所求概率是25p =，故选：A ．【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件，其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个，所以23P =，故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

(完整版)人教版高中数学概率测试题

高中数学必修3第三章《概率》单元检测试卷姓名：分数：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 1.下列说法正确的是（）A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定2.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（）A.61 B. 21 C. `31 D. 41 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（）A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ． 0.964. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）A.9991 B. 10001 C. 1000999 D. 21 5.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥 6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（） A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.687.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（） A. 1 B.21 C. 31 D. 328. 有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）9. 对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为1P ，乙通过测试的概率为2P ，则甲、乙至少1人通过测试的概率为（）A ．21P P +B ．21P PC ．21P P 1-D ．)P 1)(P 1(121---10.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（） A.21 B. 31 C. 41 D. 5211．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )．A ．0.65B ．0.55C ．0.35D ．0.7512.甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) (A)61 (B) 41 (C) 31 (D) 21二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________14. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm[ 100, 150 ) [ 150, 200 ) [ 200, 250 ) [ 250, 300 ] 概率0.210.160.130.1215.今有四张卡片上分别写有“好”、“ 好”、“ 学”、“ 习”四个字，现将其随机排成一行，则恰好排成 “好好学习”的概率是．16.以边长为2的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为1的四分之一圆周，如右图，现向正方体内任投一质点，则质点落入图中阴影部分的概率为．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？0.030.01频率组距18.（本小题满分12分）4本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率有多大？19.（本小题满分12分））甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各2个，乙盒子中有黄，黑，白，三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率.20.（本小题满分12分）某中学从参加高一年级上期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，求选到第一名学生的概率（第一名学生只一人）.（2）画出频率分布直方图和频率折线图；10.95,11.35范围内的可能性是百分之几？（3）据上述图表，估计数据落在[)（4）数据小于11.25的可能性是百分之几？(22) （本小题满分12分）甲乙两人各有相同的小球5个，在每人的5个小球中都有2个标有数字1，2个标有数字2，1个标有数字3。

【专题】必修3 专题3.1.3 概率的基本性质-高一数学人教版(必修3)(解析版)

第三章概率3.1.3 概率的基本性质一、选择题1．下列说法合理的是A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是16，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨．D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．【答案】B2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1–0.45–0.15=0.4．故选B．3．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.7【答案】C【解析】由题意，摸出黑球的概率是P=1–0.43–0.27=0.3．故选C．4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是A．至多有1次中靶B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶【答案】C【解析】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．5．“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．至少有1名男生和至少有1名女生【答案】A【解析】“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A．6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】A中的两个事件是包含关系，故不符合要求；B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求．故选C．7．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【答案】D【解析】选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A不互斥；选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；选项C，“恰有一个白球“，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥；选项D，“至少一个白球“发生时，“红，黑球各一个“不会发生，故D互斥，不对立．故选D．8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是3 10，那么概率是710的事件是A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡【答案】A9．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为A．15% B．20% C．45% D．65%【答案】D【解析】∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率50%+15%=65%，故选D．10．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是A．15B．310C．12D．35【答案】A【解析】由题意设这个班有100a 人，则数学不及格有15a 人，语文不及格有5a 人，都不及格的有3a 人，则数学不及格的人里含有3a 人语文不及格，所以已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：P =31155=．故选A ．二、填空题11．假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率____________．【答案】0.225【解析】∵向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，∴军火库发生爆炸的概率p =0.025+0.1+0.1=0.225．故答案为：0.225． 12．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是____________．【答案】0.25【解析】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，设红、黄、白球各有a ，b ，c 个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，∴0.650.6a ca b cb c a b c +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，∴10.60.4a a b c =-=++，10.650.35ba b c=-=++，∴摸出白球的概率是P =1–0.4–0.35=0.25．故答案为：0.25．13．甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．则乙不输棋的概率为____________．【答案】56【解析】∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．∴乙不输棋的概率p =1–1566=．故答案为：56． 14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为____________．【答案】0.65【解析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A 表示“甲击中”，B 表示“乙击中”，由已知得P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p =1–P （A ）P （B ）=1–（1–0.3）（1–0.5）=0.65．故答案为：0.65．15．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是____________．【答案】0.74【解析】由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74，故答案为：0.74．16．口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是____________．【答案】0.2【解析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为1–0.3–0.5=0.2，故答案为：0.2．三、解答题17．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率．【解析】（1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，则P（A）=45，P（B）=35，P（C）=710，三人中有且只有2人及格的概率为：P1=P（AB C）+P（A B C）+P（ABC）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=43715510⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭+43715510⎛⎫⨯-⨯⎪⎝⎭+（1–45）×37510⨯=113 250．（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，三人中至少有一人不及格的概率为：P2=1–P（ABC）=1–P（A）P（B）P（C）=1–43783 5510125⨯⨯=．18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解析】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，∴()()()()()()()()()()()135125121P AP B C P B P CP C D P D P CP A P B P C P D⎧=⎪⎪⎪+=+=⎪⎨⎪+=+=⎪⎪⎪+++=⎩，解得()()()()13116144P AP BP CP D⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为111 464，，．19．某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中7～10环的概率如下表所示命中环数7 8 9 10概率0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次，（1）命中9环或10环的概率；（2）命中不足7环的概率．。

人教A版高中数学必修三试卷3.1.3概率的基本性质

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.3概率的基本性质A 组一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件B A 、中至少有一个发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率大D ．事件B A 、同时发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率小2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黒球与都是红球B.至少有一个黒球与都是黒球C.至少有一个黒球与至少有1个红球D.恰有1个黒球与恰有2个黒球3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为（）A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.084．把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（）A ．不可能事件B ．互斥但不对立事件C ．对立事件D ．以上答案都不对5．从集合{}543,21,，，中随机取出一个数，设事件A 为“取出的数是偶数”，事件B 为“取出的数是奇数”，则事件A 与B （）A ．是互斥且是对立事件B ．是互斥且不对立事件C ．不是互斥事件D ．不是对立事件6．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥7．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶8．掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有1，2，3，4，5，6），记录朝上一面的两个数，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个奇数”与“都是奇数”B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数”C．“至少有一个奇数”与“都是偶数”D．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数”9．出下列命题，其中正确命题的个数有（）①有一大批产品，已知次品率为010，从中任取100件，必有10件次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的；④若()()()1P A B P A P B=+=,则,A B是对立事件。

3.1.3概率的基本性质(两个课时)

(3)记 H 为事件H的对立事件，则 D ＝_______，
C＝_____， A· B ∪C＝_____， D + E ＝______.
2．某校组织一个夏令营，在高一(8)班抽一部分学生参加，记事件A为抽到高一(8)班的运动员，事件B为抽到高一(8)班数学竞赛小组成员，事件C为抽到高一(8)班英语竞赛小组成员．说明下列式子所表示的事件： (1)A∪B (2)A∩C (3)A∪(B∩C)
D1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D2 ={ 出现的点数大于 3 }； D3 ={ 出现的点数小于 5 }； E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 };…… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？ 2. 若事件C1发生，则还有哪些事件也一定会发生？反过来可以么？ 3.上述事件中，哪些事件发生会使得 K={出现1点或5点}也发生？ 4.上述事件中，哪些事件发生当且仅当事件D2且事件D3同时发生? 5. 若只掷一次骰子，则事件C1和事件C2有可能同时发生么？ 6. 在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个会发生？
1 10 1 解 (1)P(A)＝， P(B)＝＝， 1 000 1 000 100 50 1 P(C)＝＝ . 1 000 20 1 1 1 故事件 A， B， C 的概率分别为，， . 1 000 100 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“ 1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝ A∪ B∪ C. ∵ A、 B、 C 两两互斥， ∴ P(M)＝P(A∪ B∪ C)＝ P(A)＋ P(B)＋P(C) 1＋ 10＋ 50 61 ＝＝ . 1 000 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为 . 1 000

高中数学第十章概率必考考点训练(带答案)

高中数学第十章概率必考考点训练单选题1、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（） A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35 答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项. 依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12. 所以A 选项正确，BCD 选项错误. 故选：A2、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab =（）A ．320B ．110C ．115D ．15 答案：B分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a ，b 的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab ⋅(1−14)+14a(1−b)+14b(1−a)=15，整理得ab +a +b =45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1−a)(1−b)(1−14)=310，整理得a +b −ab =35，联立ab +a +b =45与a +b −ab =35，解得ab =110，所以ab =110. 故选：B3、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A =“向上的点数为3”，B =“向上的点数为6”，C =“向上的点数为3或6”，则有（）A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．A ∩B =CD ．A ∪B =C答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A ：事件A =“向上的点数为3”发生，事件B =“向上的点数为6”一定不发生，故选项A 不正确；对于B ：事件C =“向上的点数为3或6”发生，事件B =“向上的点数为6”不一定发生，但事件B =“向上的点数为6”发生，事件C =“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B ⊆C ，故选项B 不正确；对于C ：事件A 和事件B 不能同时发生，A ∩B =∅，故选项C 不正确；对于D ：事件A =“向上的点数为3”或事件B =“向上的点数为6”发生，则事件C =“向上的点数为3或6”发生，故选项D 正确；故选：D4、甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,14,则此密码能被译出的概率是 A ．160B ．25C ．35D ．5960答案：C解析：先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.用事件A ,B ,C 分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,且P(ABC)=P(A)P(B)⋅P(C)=45×23×34=25.∴此密码能被译出的概率为1−25=35.故选：C小提示：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.5、抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（） A ．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9” B ．事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数” C ．事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”D ．事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8” 答案：C分析：利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．对于A ，二者能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；对于B ，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B 错误；对于C ，二者不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C 正确；对于D ，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故D 错误．故选：C ．6、当P (A )>0时，若P (B |A )+P(B)=1，则事件A 与B 的关系是（） A ．互斥B ．对立C ．相互独立D ．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论. ∵P (B |A )+P(B)=P (B |A )+1−P (B )=1， ∴P (B |A )=P (B )，即P (AB )P (A )=P (B )，∴P (AB )=P (A )P (B )， ∴事件A 与B 相互独立. 故选：C.7、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立 C ．P(A)=78D ．P (A ∪C )=34答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P(A)=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误. 故选：C8、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )=2−a ，P (B )=4a −5，则实数a 的取值范围是（）A ．(54,2)B ．(54,32)C ．(54,43]D ．[54,32] 答案：C分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 因随机事件A ，B 互斥，则P(A +B)=P(A)+P(B)=3a −3，依题意及概率的性质得{0<P(A)<10<P(B)<10<P(A +B)≤1，即{0<2−a <10<4a −5<10<3a −3≤1，解得54<a ≤43，所以实数a 的取值范围是(54,43]. 故选：C 多选题9、假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件A =“家庭中没有女孩”，B =“家庭中最多有一个女孩”，C =“家庭中至少有两个女孩”， D =“家庭中既有男孩又有女孩”，则（） A ．A 与C 互斥B ．A ∪D =B C ．B 与C 对立D ．B 与D 相互独立答案：ACD分析：利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A ，C ；利用和事件的意义可判断选项B ；利用列举法求出P(B),P(D),P(BD)并探求它们的关系即可判断作答. 有三个小孩的家庭的样本空间可记为：Ω={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件A ={(男，男，男)}，事件B ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，事件C={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件D={男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)} 对于A，显然A与C无公共元素，即A与C互斥，A正确；对于B，(女，女，男)∈A∪D，而(女，女，男)∉B，即A∪D≠B，B不正确；对于C，显然B∪C=Ω，且B∩C=ϕ，即B与C对立，C正确；对于D，事件B有4个样本点，事件D有6个样本点，事件BD有3个样本点，于是有P(B)=48=12,P(D)=68=34,P(BD)=38，显然有P(B)⋅P(D)=P(BD)，即B与D相互独立，D正确.故选：ACD10、连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t=|m−n|，则下列结论正确的是（）A．事件“t=0”的概率与事件“t=3”的概率相等B．事件“t=1”的概率小于事件“t=2”的概率C．事件“t=0或t=4”与事件“t是质数”是对立事件D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件答案：AD分析：用列表法列举基本事件，对A、B选项，以此利用古典概型的概率计算公式计算概率，进行判断；对C、D选项，利用对立事件的定义进行判断.列表如下：由表可知事件“t=0”的概率是是636=16，事件“t=3”的概率是是636=16，则A正确．事件“t=1”的概率是1036=518，事件“t=2”的概率是836=29，则B错误．由题意可知t的所有可能取值为0，1，2，3，4，5．因为1不是质数，所以事件“t=0或t=4”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，则C错误．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，则D正确．11、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“第一次掷出的点数是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A．A与C互斥B．P(D)=34C．B与D对立D．A与B相互独立答案：ABD分析：根据互斥的意义判定A;利用对立事件和独立事件概率公式可求得P(D),从而判定B;根据对立事件的概念和结合题意判定C;利用独立事件的概率公式判断D.若两次掷出的点数之和是5，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于5，故A 与C互斥，故A正确；“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，所以P(D)=1−36×36=34，故B正确；由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与D不是对立的，故C错误；先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组(x,y)有6×6=36中等可能的不同情况，“两次郑出的点数之和是5”有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有(x,2),(x,4),(x,6)（x=1，2，3，4，5，6）共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有(3,2),(1,4)两种情况，所以P(A)=436,P(B)=36=12,P(AB)=236,所以P(A)P(B)=P(AB),所以A,B独立，故D正确.故选：ABD12、以下结论中正确的有（）A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种分析：A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”是互斥事件，所以该选项正确；B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；C中事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；D中三种事件不能构成基本事件，所以该选项错误.A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”不可能同时发生，所以是互斥事件，所以该选项正确；B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果正面向上"和“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；C中事件“甲中签”和“乙中签”是不可能同时发生，但也可能是“甲，乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；D中设两男为A，B，两女为a，b，则“AB”，“Aa”，“Ab”，“ab”，“Ba”，“Bb”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“Aa”，“Ab”，“Ba”，“Bb”四种情况，不能构成基本事件．所以该选项错误. 故选：AB13、(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（）A．A⊆C B．A∩B＝∅C．A∪B＝C D．B∩C＝∅答案：ABC分析：写出事件A,B,C，判断即可.A={出现点数为1,3,5}，B={出现2点}，C={出现点数为1,2,3,5}.所以A⊆C，A∩B=∅，A∪B=C，B∩C=B.所以选项A、B、C正确，选项D不正确．故选：ABC.填空题14、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.答案：1415分析：“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率. 由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)=1−P(B)=1−115=1415. 所以答案是：1415.15、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a 、b ，则实数a 是方程2x −b =0的解的概率为_______. 答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b ),其中，a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b )共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a 是方程2x −b =0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112. 所以答案是：11216、同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________. 答案：8，3分析：利用列举法计数可得．同时抛三枚均匀的硬币的可能的不同结果有：正正正，正正反，正反正，反正正，反反正，反正反，正反反，反反反，样本点的总个数为8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个. 故答案为8，3. 解答题17、某旅游公司组织了一个有名游客的旅游团到某省旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外3634游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．答案：(1)27(2)44105分析：（1）首先确定省外游客和省内游客数量，持金卡和银卡的游客数量；根据古典概型概率公式，结合组合数的运算可求得结果；（2）将持金卡与银卡人数相等的情况分为均为0人和1人两种情况，分别计算两种情况的概率，加和即可得到结果.（1）由题意得：省外游客有36×34=27人，省内游客有36×14=9人，则持金卡的游客有27×13=9人，持银卡的游客有9×23=6人；则随机采访2名游客，恰有1人持银卡的概率p =C 61C 301C 362=180630=27.（2）由（1）知：不持有金卡或银卡的游客有36−9−6=21人；若持金卡与持银卡的人数均为0人，则概率p 1=C 212C 362=210630=13；若持金卡与持银卡的人数均为1人，则概率p 2=C 91C 61C 362=54630=335；∴随机采访2名游客，其中持金卡与持银卡人数相等的概率p =p 1+p 2=13+335=44105.18、某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下（I）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；（II）现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率.答案：（I）750；（II）35解析：（I）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数，从而可以估计出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生频率，进而得到学生人数.（II）利用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.（I）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为14+3+13=30，所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：1000×3040=750.（II）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为a,b,A,B,C若随机抽取2人，则所有的基本事件为：(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)，故基本事件的总数为10.其中恰有1人体育成绩在[60,70)的基本事件的个数有6个，设A为：“恰有1人体育成绩在[60,70)”，则P(A)=610=35.小提示：思路点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.。

高二数学概率的基本性质

A，B是对立事件 A，B是互斥事件
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 o 数环”
A，B是互斥事件 A，B是对立事件
给定下列命题，判断对错。
想一想?
错对对
1）互斥事件一定对立；
2）对立事件一定互斥； 3）互斥事件不一定对立；
3、一名学生独立解答两道物理习题，考察这两道习题的解答情况。记 A = “该学生会解答第一题，不会解答第二题” B = “该学生会解答第一题，还会解答第二题” 试回答： 1. 事件A 与事件B 互斥吗？为什么？ 2. 事件A 与事件B 互为对立事件吗？为什么？
4、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察其中的次品数记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A A∩C= “有4件次品”
B∩C =
解法二：A∪B这一事件包括4种结果，即出现1， 2， 3和 5 所以P（A∪B）= 4/6=2/3
请判断哪种正确?
2.某射手射击一次射中，10环、9环、
8环、7环的概率分别是0.24、0.28、
0.19、0.16计算这名射手射击一次
1）射中10环或9环的概率；
2）至少射中7环的概率；
包含关系
小结
3.1.3
概率的基本性质
一、事件的关系和运算
3.并事件 (或和) 4.交事件 (或积) 5.互斥事件 6.互为对立事件
Ⅰ.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
A B
其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件. 对立事件：

高中数学人教A版必修三习题第三章-概率的基本性质含答案

第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.3 概率的基本性质A 级　基础巩固一、选择题1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分C ．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案：C2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( ) 310710A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：结合对立事件可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即至多有一张移动卡．答案：A3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.答案：D4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝(至少有一弹击中飞机)，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .答案：D5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A. B. C. D. 15253545解析：记“取到语文、数学、英语、物理、化学书”分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 彼此互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．所以P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝＋＋＝. 15151535答案：C二、填空题6．在掷骰子的游戏中，向上的点数为5或6的概率为______．解析：记事件A 为“向上的点数为5”，事件B 为“向上的点数为6”，则A 与B 互斥．所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝×2＝. 1613答案： 137．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________． 45解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝. 15答案： 158．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A 、B 、C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.答案：0.10三、解答题9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．医生人数0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x 的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y ，z 的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，所以x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，所以z ＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44，所以y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是，取到方块(事件B )的概率是，问： 1414(1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？解：(1)因为C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝.12(2)事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝. 12B 级　能力提升1．从1，2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 解析：从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．答案：C2．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P ()＝________． 25A －解析：P (A )＋P (B )＝1－＝， 2535又P (A )＝2P (B )，所以P (A )＝，P (B )＝. 2515所以P ()＝1－P (A )＝. A －35答案： 353．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率分别为P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，诸葛亮D 能答131415对题目的概率为P (D )＝，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目23多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝>P (D )＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上476023一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。

高一数学概率的基本性质限时练

概率的基本性质一、选择题(共 19 题，每题 2 分，共 38 分)1. 抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件 A 为“出现奇数点”，事件 B9. 某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为 1，响第二声时被接的10概率为 3 ，响第三声时被接的概率为2，响第四声时被接的概率为 1，则电话在响前10 5 10为“出现 2 点”，已知 P (A )＝ 1，P (B )＝ 1，出现奇数点或 2 点的概率之和为( )四声内被接的概率为( ) 2 61 9 34 A ．12B ．56C ．16D ．23A. B ．C ．D ．2 1010 510. 随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付2. 某射手在一次射击中，射中 10 环，9 环，8 环的概率分别是 0.20，0.30，0.10，则该射手在一次射击中不够 8 环的概率为（）A ．0.90B ．0.30C ．0.60D ．0.403. 某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25 ，出现次品的概率为 0.03.在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是()A ．0.28B ．0.72C ．0.75D ．0.971 和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.711. 经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：4. 甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为3，则乙队不输的概率为( ) 5 3 2 1 A.B ．C ．D ．64335. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A.B.C.D ．6. 已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P(A ∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，则 P( A )＝()A ．0.5B ．0.2C ．0.7D ．0.87. 已知随机事件 A ，B ，C 中，A 与 B 互斥，B 与 C 对立，且 P (A )＝0.3，P (C )＝0.6，则 P (A ＋B )＝( )A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.98. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为1，7从中取出 2 粒都是白子的概率是12，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是则至少 3 人排队等候的概率是A ．0.44B ．0.56C ．0.86D ．0.1412. 已知 a ∈{﹣1，0，1，2}，b ∈{﹣1，0，1}，则对任意实数 x ∈R ，不等式 ax 2﹣ax +b ≥0 恒成立的概率为（）A ．B ．C ．D ．13. 某城市 2020 年的空气质量状况如下表所示：污染指数T30 60 100 110 130 140概率 P1 101 61 37 302 151 30其中污染指数T ≤ 50 时，空气质量为优；50 < T ≤ 100 时，空气质量为良；100 < T ≤ 150 时，空气质量为轻微污染，该城市 2020 年空气质量达到良或优的概率为（）353115 1 B ．12 7 35C.1735 D ．1A.B ．C ．D ．5180196A ．排队人数0 12345 人及以上概率0.10.160.30.30.10.0414. 已知随机事件 A ，B 发生的概率满足条件 P (A ∪B )＝3，某人猜测事件4A ∩B 发生，则此人猜测正确的概率为()A ．1B ．12C.1 4D ．0记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件 A ，投中三分球为事件 B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）15. （回顾）设α，β表示两个不同的平面， l 表示一条直线，且l ⊂α，则l //β是α//β的（）A ． P ( A ) = 0.55B ．P (B ) = 0.18 C ． P (C ) = 0.27 D ． P (B + C ) = 0.55A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二．多选题（共 2 小题）16. （课本题改编）判断下列说法不正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；C. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；D. 事件A 与事件 B 同时发生的概率一定比A 与 B 中恰有一个发生的概率小.17. （多选）黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给 AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（）A ．任找一个人，其血可以输给B 型血的人的概率是 0.64 B ．任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是 0.29C ．任找一个人，其血可以输给 O 型血的人的概率为 1D ．任找一个人，其血可以输给 AB 型血的人的概率为 118. 中国篮球职业联赛（ CBA ）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：19. 2020 年 4 月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业 1644 名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（）A ． x = 0.384B ．从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178C ．不到80 名职工倾向于继续申请休假D ．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986 名三．填空题（每空 2 分，共 30 分）20. （课本原题）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件 A 和 B ，其中n (Ω) = 24, n ( A ) = 12, n (B ) = 8, n ( A ⋃ B ) = 16 ，那么:（1）n ( AB ) = ， P ( A B ) = ，（2） P ( A B ) = ， P ( AB ) = .21. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为 0.42，摸出黄球的概率是 0.28．若红球有 21 个，则蓝球有个．投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数100 55 186 10 22. 有 5 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，5 从这 5 张卡片中随机抽取 2班级姓名组号分数卷面张，那么取出的 2 张卡片上的数字全是奇数的概率为；取出的 2 张卡片上的数字之积为偶数的概率为.20（1）、（2）、四、解答题（32 分）21.23. （课本原题）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中 10 环的概率为；（2）命中的环数大于 8 环的概率为；（3）命中的环数小于 9 环的概率为；（4）命中的环数不超过 5 环的概率为.24. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35，0.30,0.25，则不命中靶的概率是．25. 甲射击一次，中靶概率是 p 1，乙射击一次，中靶概率是 p 2，已知1 ， 1是27. 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共 200 公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(1) 求表中字母 a 的值；(2)求至少遇到 4 个红灯的概率；(3)求至多遇到 5 个红灯的概率.28. 某班选派 5 人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率0.10.16xy0.2z(1) 若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值；(2) 若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y ，z 的值.1p 1 p 2方程 x 2－5x ＋6＝0 的根，且 p 1满足方程 x 2－x ＋ 4 ＝0，则甲射击一次，不中靶概率为；乙射击一次，不中靶概率为．26. （回顾）已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB = ， AC = ， AB ⊥ AC ，AA 1 = 2 ，则球O 的表面积为 29. （课本原题）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 3 次，求下列事件的概率：（1）没有出现 6 点；（2）至少出现一次 6 点；（3）三个点数之和为 9.5 红灯个数 0 1 2 3 4 56 个及 6 个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03230. （课本原题）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用 x 表示红色骰子的点数，用 y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y ）表示一次试验的结果，设 A =“两个点数之和等于 8”，B =“至少有一颗骰子的点数为 5”，C =“红色骰子上的点数大于 4”（1）求事件 A ，B ，C 的概率；（2）求 A ⋃ B , A ⋂ B 的概率.31. （课本原题）假设有 5 个条件类似的女孩（把她们分别记为 A ，B ，C ，D ， E ）应聘秘书工作，但只有 2 个秘书职位，因此 5 个人中只有 2 人能被录用.如果 5 个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩 A 得到一个职位；（2）女孩 A 和 B 各得到一个职位；（3）女孩 A 或 B 得到一个职位.32. （课本原题）从 1-20 这 20 个整数中随机选择一个数，设事件 A 表示选到的数能被 2 整除，事件 B 表示选到的数能被 3 整除，求下列事件的概率；（1）这个数既能被 2 整除也能被 3 整除；（2）这个数能被 2 整除或能被 3 整除；（3）这个数既不能被 2 整除也不能被 3 整除.33. （课本原题）柜子里有 3 双不同的鞋，分别用 a 1, a 2 , b 1, b 2 , c 1, c 2 表示 6 只鞋,如果从中随机地取出 2 只，那么（1）写出试验的样本空间;（2）求下列事件的概率，并说明它们的关系;①A=“取出的鞋不成双”②B=“取出的鞋都是左脚的”；③C=“取出的鞋都是一只脚的”；④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.34. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， BA ∥CD ， CD = 2BA ， CD ⊥ AD ，平面PAD ⊥ 平面 ABCD ，△APD 为等腰直角三角形， PA = PD =．（1）证明： △BPD 为直角三角形．（ 2 ）若四棱锥 P - ABCD 的体积为1，求△BPD 的面积．。

高一数学概率试题

高一数学概率试题1.已知随机变量X的分布列如图：（1）求；（2）求和【答案】（1）；（2），【解析】（1）离散型随机变量的分布列具有如下性质：一是，二是；（2）欲写出的分布列，要先求出的所有取值，以及取每一个值时的概率，在写出的分布列之后，要及时检查所有的概率之和是否为1，用来判断所求概率是否正确；（3）掌握两点分布和超几何分布的分布列试题解析：解：（1）由概率和为1求得；（2），【考点】离散型随机变量及其分布列的应用2.半径为8 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为．【答案】【解析】硬币落下后与小圆无公共点即硬币的圆心与小圆圆心之间的距离要大于两半径和2,从而所求概率为,答案为.【考点】几何概型的概率计算3.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One”“World”，“One”，“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】将四个单词看作一排，则有种排法，而考虑到两个“One”一样，则有排法.正确的只有其中的一种，故，故选A.【考点】排列和古典概型.4.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是______.【答案】.【解析】根据题意，只需看甲总成绩超过乙总成绩的概率，甲目前总成绩为，而乙缺一个数据，但目前总成绩为，由乙污损处可填的数为90～99共10个数据，当填90～97这8个数据时甲总成绩超过乙总成绩，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.【考点】茎叶图的理解与其数据的识别，古典概型.5.对实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.【答案】（1）M=40，p=0.1，a=0.12；（2）两人来自同一小组的概率为.【解析】（1）由频率和为1求出p，再根据比例可求表中M及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人共15种可能，两人来自同一小组有7种可能，所以概率为.（1)由分组知内的频数为10，频率为0.25，所以，M=40.........1分P=1-0.25-0.6-0.05=0.1...........2分...........3分2）m=40-10-24-2=4，社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6............4分，设为，小组有2人，设为,则任选2人，共有15种：.................6分来自于同一组的有7种：............8分在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.P= ..................9分【考点】频率与概率.6.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )A．至少有一个白球;都是白球B．至少有一个白球;至少有一个红球C．恰好有一个白球;恰好有2个白球D．至少有1个白球;都是红球【答案】D【解析】解：对于B，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，,比如恰好一个白球和一个红球，故B不对立,对于D，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互拆事件，它们虽然不能同时发生但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；对于A，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互拆，更谈不上对立了,故选D【考点】随机事件当中“互斥”与“对立点评：本题考查了随机事件当中“互拆”与“对立”的区别与联系，属于基础题．互拆是对立的前提，对立是两个互拆事件当中，必定有一个要发生．7.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为.（Ⅰ）求直线与圆相切的概率；（Ⅱ）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．【答案】（1）（2）【解析】本试题主要考查了古典概型概率的运用。

高中数学必修二 10 1 4 概率的基本性质(无答案)

第十章概率10.1.4 概率的基本性质一、基础巩固1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.24842．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（）A ．0.4B ．0.3C ．0.7D ．0.63．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是（） A ．至多有一件次品 B ．两件全是正品 C ．两件全是次品 D ．至多有一件正品4．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（） A ．至少有1个白球；都是红球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰好有1个白球；恰好有2个白球D ．至少有1个白球；都是白球5．袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（） A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个6．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A B +的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.77．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A ．B 与C 互斥B ．任何两个均互斥C ．A 与C 互斥D ．任何两个均不互斥 8．下列叙述错误的是（）A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤B ．随机抽样都是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C ．线性回归直线ˆˆˆy bx a =+必过点(,)x yD ．对于任意两个事件A 和B ，都有()()()⋃=+P A B P A P B9．从1、2、3、4这4个数中一次随机地取2个数，记所取的这2个数的和为m ，则下列说法错误的是（）A ．事件“5m =”的概率为13 B ．事件“5m ≥”的概率为12C ．事件“4m =”与事件“6m =”为互斥事件D ．事件“7m =”与事件“7m <”互为对立事件10．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（）A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7511．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A ．725B ．25C ．1225D ．142512．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235．则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 A ．17 B ．1735 C ．1235 D ．1二、拓展提升13．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23. （1）求乙至多击中目标2次的概率；（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.14．根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.。

高中数学第10章概率 10.1 随机事件与概率课时作业47 概率的基本性质新人教A版必修第二

课时作业47 概率的基本性质知识点一概率的性质1.下列结论正确的是( )A．事件A发生的概率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．如果A⊆B，那么P(A)<P(B)答案 B解析因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A错误；不可能事件的概率规定为0，必然事件的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；由概率的单调性可知，如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，所以D错误.知识点二互斥事件的概率2.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝12，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．答案4 5解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45.3．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：等候人数01234大于等于5 概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人数不超过2的概率；(2)等候人数大于等于3的概率．解设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A∪B∪C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D∪E∪F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.知识点三对立事件的概率4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3答案 C解析由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.5．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：已知他命中7(1)求a和b的值；(2)求命中10环或9环的概率；(3)求命中环数不足9环的概率．解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.易错点不能区分事件是否互斥而错用加法公式6.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．易错分析由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A ∪B )＝P (A )＋P (B )求解，而致误．正解记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ∪B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4.故P (A ∪B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.一、选择题1．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 答案 D解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43，解得54<a ≤43.2．下列说法正确的是( )A ．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件B ．A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小C ．若P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 是对立事件D ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大答案 A解析根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B 错误．若P (A )＋P (B )＝1，且AB ＝∅时，事件A 与B 是对立事件，故C 错误．事件A ，B 中至少有一个发生包括事件A 发生B 不发生，A 不发生B 发生，A ，B 都发生；A ，B 中恰有一个发生包括A 发生B 不发生，A 不发生B 发生；当事件A ，B 互斥时，事件A ，B 至少有一个发生的概率等于事件A ，B 恰有一个发生的概率，故D 错误．3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出红球}，C ＝{摸出白球}，则事件A ∪B 及B ∪C 的概率分别为( )A.56，12B.16，12C.12，56D.13，12 答案 A解析 P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝16.因为事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝56.P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝12. 4．在一次随机试验中，三个事件A 1，A 2，A 3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )①A 1∪A 2与A 3是互斥事件，也是对立事件； ②A 1∪A 2＋A 3是必然事件； ③P (A 2∪A 3)＝0.8； ④P (A 1∪A 2)≤0.5. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析由题意知，A 1，A 2，A 3不一定是互斥事件，所以P (A 1∪A 2)≤0.5，P (A 2∪A 3)≤0.8，P (A 1∪A 3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.故选B.5．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )A ．都是一级品B ．都是二级品C ．一级品和二级品各1件D ．至少有1件二级品答案 D解析设A 1，A 2，A 3分别表示3件一级品，B 1，B 2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2}，共10个样本点，每个样本点出现的可能性相等．事件A 表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则P (A )＝310，事件B 表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则P (B )＝110，事件C 表示“2件中一件一级品、一件二级品”，包含6个样本点，则P (C )＝610＝35.事件A ，B ，C 互斥，P (B )＋P (C )＝710，B ∪C 表示“至少有1件二级品”，故选D.二、填空题6．从一副扑克牌(52X ，无大小王)中随机抽取1X ，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，则P (A ∪B )＝________.答案726解析事件A ，B 为互斥事件，由题意可知P (A )＝152，P (B )＝1352＝14，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋14＝726.7．在掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A ∪B －发生的概率为________．(B －表示B 的对立事件)答案 23解析随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果，且每种结果发生的可能性是相等的．其中事件A “出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P (A )＝26＝13.事件B “出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，P (B )＝46＝23，P (B －)＝13.且事件A 和事件B －是互斥事件，所以P (A ∪B －)＝13＋13＝23.8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________，________，________.答案141614解析设事件A ，B ，C ，D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，且事件A ，B ，C ，D 两两互斥，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝13，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝512，P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.三、解答题9．某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ∪B ∪C ， ∵事件A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝11000＋1100＋120＝611000.故1X 奖券的中奖概率为611000. (3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，由对立事件概率公式得P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.10．甲、乙两人玩一种游戏，每次甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若事件A 表示“和为6”，求P (A )；(2)现连玩三次，若事件B 表示“甲至少赢一次”，事件C 表示“乙至少赢两次”，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解 (1)易知样本点总数n ＝25，且每个样本点出现的可能性相等．事件A 包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次． (3)这种游戏规则不公平．和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．共13个，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1－1325＝1225，所以这种游戏规则不公平．。

高一数学概率试题

高一数学概率试题1.已知随机变量X的分布列如图：（1）求；（2）求和【答案】（1）；（2），【解析】（1）离散型随机变量的分布列具有如下性质：一是，二是；（2）欲写出的分布列，要先求出的所有取值，以及取每一个值时的概率，在写出的分布列之后，要及时检查所有的概率之和是否为1，用来判断所求概率是否正确；（3）掌握两点分布和超几何分布的分布列试题解析：解：（1）由概率和为1求得；（2），【考点】离散型随机变量及其分布列的应用2.甲乙两人各有个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有五个数字，乙的小球上面标有五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.(1)写出基本事件空间；(2)你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.【答案】（1）基本事件空间：（2）规定是不公平的（理由见解析）.【解析】（1）由题意易求得基本事件空间.（2）分别求出甲、乙各自获胜的概率，若概率相等，则“规定”对甲乙二人公平；若概率不相等，则“规定”对甲乙二人不公平.试题解析：（1）用表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为，乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间：（2）由（1）可知，基本事件总数个，设甲获胜的事件为，它包括的基本事件有，共含基本事件个数个.所以.因此乙获胜的概率为，即乙获胜的概率大，这个规定是不公平的.【考点】随机事件的概率及其应用.3.某射手一次射击中，击中环、环、环的概率分别是，则这位射手在一次射击中不够环的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知某射手一次射击中，击中环、环、环的事件是互斥的，而事件：“这位射手在一次射击中不够环”的对立事件为：“这位射手在一次射击中环或10环”，故所求概率P=1-(0.28+0.24)=0.48.故选A.【考点】互斥事件的概率和公式与对立事件.4.袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为．【答案】【解析】第一次摸出黄球的概率等于，第二次也摸出黄球的概率等于，故两次都是黄球的概率为×=，故答案为．【考点】等可能事件的概率.5.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．【答案】(1) P＝＝.(2)满足条件n<m＋2的事件的概率为.【解析】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝＝.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．＝.所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P＝1－＝.1【考点】古典概型概率的计算点评：中档题，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解。

高中数学 313 概率的基本性质学案 A必修3 试题

卜人入州八九几市潮王学校3.1.3 概率的根本性质【明目的、知重点】1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；2．理解并熟记概率的几个根本性质；3．会用概率的加法公式求某些事件的概率．【填要点、记疑点】1．事件的关系与运算概率的取值范围为[0,1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式：假设事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：假设A与B为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.【探要点、究所然】[情境导学]全运会中某派两名女乒乓球运发动参加单打比赛，她们夺取冠HY的概率分别是0.4和0.3，那么该夺取该项冠HY的概率是0.4＋0.3吗？为什么？为解决这个问题，我们来学习概率的根本性质．探究点一事件的关系与运算问题在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，等等．考虑1上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？答E是必然事件；F是不可能事件；其余是随机事件．考虑2假设事件C1发生，那么一定有哪些事件发生？反之，成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描绘？答假设事件C1发生，那么一定发生的事件有D1，D3，E，H，反之，假设事件D1，D3，E，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看，事件C1是事件D3，E，H的子集，集合C1与集合D1相等．小结一般地，对于事件A与事件B，假设事件A发生，那么事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或者称事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或者A⊆B)．不可能事件记为∅，任何事件都包含不可能事件．假设事件A发生，那么事件B一定发生，反之也成立，(假设B⊇A同时A⊆B)，我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1.考虑3假设事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？答假设事件D2与事件H同时发生，就意味着事件C5发生．反思与感悟假设某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，那么称此事件为事件A与B的交事件(或者积事件)，记为A∩B或者AB.考虑4事件D3与事件F能同时发生吗？答事件D3与事件F不能同时发生．小结假设A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．考虑5事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？答事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．反思与感悟假设A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．例1判断以下各对事件是否是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生〞和“恰有2名男生〞；(2)“至少有1名男生〞和“至少有1名女生〞；(3)“至少有1名男生〞和“全是男生〞；(4)“至少有1名男生〞和“全是女生〞．解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生〞本质是选出的是“1名男生和1名女生〞，它与“恰有2名男生〞不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生〞包括“1名男生、1名女生〞和“2名都是男生〞两种结果．“至少有1名女生〞包括“1名女生、1名男生〞和“2名都是女生〞两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生〞包括“1名男生、1名女生〞和“2名都是男生〞，这与“全是男生〞可同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生〞包括“1名男生、1名女生〞和“2名都是男生〞两种结果，它和“全是女生〞不可能同时发生．反思与感悟假设A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1一个射手进展一次射击，试判断以下事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．解A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．探究点二概率的几个根本性质考虑1概率的取值范围是什么？为什么？答概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或者等于试验的次数，所以，频率在0～1之间，因此概率的取值范围也在0～1之间．考虑2必然事件、不可能事件的概率分别是多少？为什么？答必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0；必然事件是在试验中一定要发生的事件，所以频率为1，因此概率是1，不可能事件是在试验中一定不发生的事件，所以频率为0，因此概率是0.考虑3假设事件A与事件B互斥，那么事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？f n(A∪B)与f n(A)、f n(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？答假设事件A与事件B互斥，那么A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，从而有f n(A∪B)＝f n(A)＋f n(B)，由此得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.小结假设事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．考虑4假设事件A与事件B互为对立事件，P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得出什么结论？答由对立事件的定义可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即1＝P(A)＋P(B)，从而得出P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．例2假设从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解(1)因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.(2)事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝.反思与感悟事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C)．跟踪训练2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或者黄球的概率是，得到黄球或者绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？解设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得解得：x＝，y＝，1－－－＝.所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.例3某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或者乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)假设他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解(1)记“他乘火车〞为事件A，“他乘轮船〞为事件B，“他乘汽车〞为事件C，“他乘飞机〞为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或者乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，那么P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或者乘轮船去，也有可能乘汽车或者乘飞机去．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多〞、“至少〞、“最少〞等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解(1)“甲获胜〞和“和棋或者乙获胜〞是对立事件，所以“甲获胜〞的概率P＝1－－＝.即甲获胜的概率是.(2)方法一：设事件A为“甲不输〞，可看成是“甲获胜〞“和棋〞这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.方法二：设事件A为“甲不输〞，可看成是“乙获胜〞的对立事件，所以P(A)＝1－＝.即甲不输的概率是.【当堂测、查疑缺】1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，那么有P(A)＝1－P(B)．()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或者2”为事件A，“向上的点数是2或者3”为事件B，那么()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或者2或者3D．AB表示向上的点数是1或者2或者3答案C解析设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或者2或者3.3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析A项中，假设取出的3个球是3个红球，那么这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，那么它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，假设取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，那么它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，假设取出的3个球都是红球，那么它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．4．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，那么不中奖的概率为________．解析中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.5．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或者2的概率是________．答案解析事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或者2”的概率是＋＝.【呈重点、现规律】1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联络．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很根本的计算公式，解题时要在详细的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．。

2021年新教材高中数学必修第二册：概率的基本性质

第 1 页共 6 页 2021年新教材高中数学必修第二册：概率的基本性质1．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为13和14，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为( ) A.712B.112C.512D.13解析：选A 甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为13＋14＝712.故选A. 2．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )A ．0.09B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D 抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件，而抽得次品的概率为0.03＋0.01＝0.04，故抽得正品的概率为1－0.04＝0.96.故选D.3．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型52%，A 型15%，AB 型5%，B 型28%.现有一血型为A 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为( )A ．67%B ．85%C ．48%D ．15%解析：选A O 型血与A 型血的人能为A 型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：选D 设A ＝{甲获胜}，B ＝{甲不输}，C ＝{甲、乙和棋}，则A ，C 互斥，且B ＝A ∪C ，故P (B )＝P (A ∪C )＝P (A )＋P (C )，即P (C )＝P (B )－P (A )＝50%.故选D.5．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B ．12 C.23D.56。

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