专题10 圆锥曲线(教学案)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析

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高三数学-2018年高考数学圆锥曲线方程考前辅导讲座精

圆锥曲线方程考前辅导讲座【考点审视】1．考点分析：圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中占总分的15%左右。

综观近年来的高考试题，一是圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，题型、题量、难度保持相对稳定，且选择题、填空题、解答题均涉及；二是难度所占比重大，解答题多次在“压轴题”中出现，集中体现对同学们综合知识和灵活应变能力的考查。

估计2018年高考中，对圆锥曲线的考查仍将保持稳定。

圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程或点的轨迹，直线与圆锥曲线的关系，两圆锥曲线的关系，定值、最值问题仍将是主要考查内容。

特别注意解析几何与向量、三角、代数结合的学科内综合性的问题。

2．考试要求：⑴掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； ⑵掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质； ⑶掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的简单几何性质；⑷了解圆锥曲线的一些实际应用，了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

【疑难点拔】 1．要点归纳：⑴圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质。

⑵直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

注意弦长公式。

⑶关于圆锥曲线的中点弦问题，常用点差法，或联立方程组解决。

⑷轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。

②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

③要注意轨迹的范围问题。

⑸圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。

2．错题分析例1．设F 1、F 2是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

高中数学圆锥曲线解读教案

高中数学圆锥曲线解读教案
教学目标：
1. 了解圆锥曲线的基本概念和性质；
2. 掌握圆锥曲线的方程及其图像的特点；
3. 能够通过方程求解圆锥曲线的各项参数。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入圆锥曲线的概念，介绍圆锥曲线在实际生活中的应用。

2. 提出学习目标，激发学生的学习兴趣。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线等四种圆锥曲线的定义和性质。

2. 介绍圆锥曲线的方程和各项参数的含义。

3. 分别展示各种圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

三、练习（20分钟）
1. 给学生提供几个圆锥曲线的方程，让他们分别绘制出对应的图像。

2. 让学生通过方程求解圆锥曲线的焦点、准线、长轴、短轴等参数。

四、展示（10分钟）
1. 学生展示他们绘制的圆锥曲线图像，并解读图像的特点。

2. 请学生通过求解方程，解读各种参数的意义。

五、总结（5分钟）
1. 总结圆锥曲线的性质和方程求解方法。

2. 强调重点，提醒学生注意常见的错误和解题技巧。

教学反思：
通过这节课的教学，学生能够对圆锥曲线的基本概念和性质有所了解，提高了他们的数学能力和解题技巧。

在未来的教学中，可以适当增加实例分析，激发学生的思维和创造力。

(高二数学教案)高中数学《圆锥曲线》网络教学设计及教学点评-教学教案

高中数学?圆锥曲线?网络教学设计及教学点评－教学教案高中数学?圆锥曲线?网络教学设计----张海峰一、学习目标与任务1、学习目标描述学问目标(A)理解和把握圆锥曲线的第肯定义和其次定义，并能应用第肯定义和其次定义来解题。

(B)了解圆锥曲线与现实生活中的联系，并能初步利用圆锥曲线的学问进行学问延长和学问创新。

力量目标(A)通过同学的操作和协作探讨，培育同学的实践力量和分析问题、解决问题的力量。

(B)通过学问的再现培育同学的创新力量和创新意识。

(C)专题网站中供应各层次的例题和习题，解决各层次同学的学习过程中的各种的需要，从而培育同学应用学问的力量。

德育目标让同学体会学问产生的全过程，培育同学运动变化的辩证唯物主义思想。

2、学习内容与学习任务说明本节课的内容是圆锥曲线的第肯定义和圆锥曲线的统肯定义，以及利用圆锥曲线的定义来解决轨迹问题和最值问题。

学习重点：圆锥曲线的第肯定义和统肯定义。

学习难点：圆锥曲线第肯定义和统肯定义的应用。

明确本课的重点和难点，以学习任务驱动为方式，以圆锥曲线定义和定义应用为中心，主动操作试验、大胆分析问题和解决问题。

抓住本节课的重点和难点，实行的基于学科专题网站下的三者结合的教学模式，突出重点、突破难点。

充分利用?圆锥曲线?专题网站内的内容，在着重学习内容的根底上，内延外拓，培育同学的创新精神和克服困难的信念。

二、学习者特征分析〔说明同学的学习特点、学习习惯、学习交往特点等〕l本课的学习对象为高二下学期同学，他们经过近两年的高中学习，已经有肯定的学习根底和分析问题、解决问题的力量，根本的计算机操作较为娴熟。

高二年下学期同学由于高考的压力，他们保持着传统教学的学习习惯，在l课堂上的主体作用的表达不是太充分，但是假如他们还是乐于尝试、勇于探究的。

高二年的同学在学习交往上“个别化学习〞和“协作争辩学习〞并存，也就是说同学是具有肯定的群体性小组沟通力量与协同争辩学习力量的，还是能完成上课时老师布置的协作学习任务的。

圆锥曲线高中数学讲解教案

圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。

二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。

三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。

四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。

3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。

4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。

五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。

希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。

下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。

18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质(一)教学案新人教B版选修1_1

2．3.2 抛物线的几何性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考3 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：类型一由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( ) A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2反思与感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.反思与感悟(1)抛物线的焦半径设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．类型三抛物线的实际应用例3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？反思与感悟在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O 的)1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 的值为________．4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．答案精析问题导学知识点一思考1 范围、对称性、顶点、离心率．思考2 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考3 参数p (p >0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大．梳理 (0,0) 1 题型探究例1 解由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)．直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12²|m2|²2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究B [因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12³4p ³2p ＝4p 2.]跟踪训练1 解设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)．因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10，所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0， ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究解由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得 ∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1，同理得∠OFB 1＝∠BFB 1， ∴∠A 1FO ＋ ∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°.跟踪训练2 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0例3 解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图) 设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)，由题意知A (4，－5)在抛物线上，故16＝－2p ³(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航．设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2. 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．跟踪训练3 解设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2. 设D (5，b )，则B (10，b －3)，把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝b ，100a ＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，b ＝－1，∴y ＝－125x 2.∵b ＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，10.2＝5.即再持续5小时水位到达拱桥顶．当堂训练1．C 2.B 3.10 4.②⑤5．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .。

圆锥曲线中的最值与范围问题-专题突破

以F→M·F→N＝|F→M||F→N|cos∠NFM＝|F→M||F→N|
→ |FN| →
＝|F→N|2＝
|FM|
|F→M|2－|M→N|2＝|F→M|2－1.由抛物线的定义，得|F→M|＝|MQ|，则由图可得|MQ|
的最小值即抛物线顶点 O 到准线 x＝2 的距离，即|MQ|min＝2，所以 (F→M·F→N)min＝(|F→M|2－1)min＝(|MQ|2－1)min＝3.故，y2)，F34，0，联立 xy＝2＝m3yx＋，t，得 y2－3my－3t＝0，所以由根与系数的关系得 y1y2＝－3t，从而 x1x2＝y321×y322＝y13y22＝－33t2＝ t2，又由 OA⊥OB，可知O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝t2－3t＝0，
目录狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析
10．(2024·江西红色十校高三联考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的焦距为 2 3，离心率为 23，过 C 上一点 P 分别作与 l1：y＝2x 和 l2：y
＝－2x 平行的直线，交直线 l2，l1 于 M，N 两点，则线段 MN 长度的最大值为( )
圆锥曲线中的最值与范围问题
高考概览
圆锥曲线中的最值与范围问题是解析几何中的重要题型，也是高考的重点，综合性强，题目难度较大，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分
1.会利用圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，结合平面几何
中的定理、性质及图形的直观性求解
考点 2．能利用圆锥曲线的几何性质或利用已知条件或隐含的不等关
答案解析
5．已如 P(3，3)，M 是抛物线 y2＝4x 上的动点(异于顶点)，过 M 作圆 C： (x－2)2＋y2＝4 的切线，切点为 A，则|MA|＋|MP|的最小值为____3____．

2024年高考生物考纲解读与热点难点突破专题10人体的稳态和免疫教学案

人体的稳态和免疫【2024年高考考纲解读】1.稳态的生理意义(Ⅱ)。

2.神经、体液调整在维持稳态中的作用(Ⅱ)。

3.体温调整、水盐调整(Ⅱ)。

4.人体免疫系统在维持稳态中的作用(Ⅱ)。

5.艾滋病的流行和预防(Ⅰ)。

【网络构建】【重点、难点剖析】一、内环境及其稳态1．内环境成辨别析(1)内环境成分：存在于血浆、组织液或淋巴中的物质，主要包括四类：①基本成分：水、无机盐、血浆中的血浆蛋白；②养分成分：小肠汲取的须要在血浆和淋巴中运输的物质，如水、无机盐、葡萄糖、氨基酸、甘油、脂肪酸、维生素等；③调整成分：细胞合成的分泌物质，如抗体、淋巴因子、激素、递质等；④代谢废物：细胞的代谢产物，如CO2、水分、尿素等。

(2)非内环境成分①存在于细胞内(不分泌出细胞)的物质不属内环境成分，如血红蛋白、胞内酶、膜上的载体等。

②存在于与人体外界环境相通的腔中的物质不属于内环境成分，如呼吸道、消化道、尿道、生殖道中的物质以及泪液、汗液等。

2．内环境稳态的内容及变动缘由3．内环境稳态的实质及意义(1)实质：指内环境中的各种化学成分的含量及内环境的各种理化性质(如：温度、pH、渗透压等)保持相对稳定状态，是“动态平衡”过程。

(2)意义①血糖和氧水平正常——保证机体正常的能量供应。

②体温、pH相对恒定——酶活性正常，细胞正常代谢。

③渗透压相对稳定——细胞维持正常的形态和功能。

即内环境稳态是机体进行正常生命活动的必要条件。

【规律总结】内环境理化性质的变更引起的常见疾病分析病状名称内环境理化性质变更引起疾病的症状尿毒症尿素等代谢废物在体内积累自身中毒和综合病症多食、多饮、多尿、口渴、饥饿感糖尿病血液中葡萄糖含量过高剧烈，身体消瘦高原反应体内缺氧，血氧过低头痛、乏力、心跳加快感冒发烧体温过高，影响酶的活性食欲不振、四肢无力严峻腹泻丢失大量的水和无机盐疲乏、周身不适、恶心蛋白尿或长期养分不良、炎症、过组织水肿全身组织水肿、局部组织水肿敏、淋巴回流受阻二、血糖、体温与水盐调整1．血糖调整(填补下图)(1)血糖调整中既有体液调整，又存在神经调整。

《圆锥曲线》教学案

第二章《圆锥曲线》教学案教学目标：1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法；双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法，2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.教学过程：一、课前预习二、复习引入：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：1by a x 2222=+，12222=+b x a y (0>>b a )3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数(小于21F F )的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔(→两条平行线)两定点间距离较短(大于定差)，则所画出的双曲线的开口较狭窄(→两条射线)双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5.双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：);0b ,0a (1b y a x 2222>>=- 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：).0b ,0a (1bx a y 2222>>=- 6.a 、b 、c 有关系式222b a c +=成立，且a>0,b>0,c>0.其中a 与b 的大小关系：可以为a =b ，a<b, a>b.7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上8．双曲线的几何性质： (1)范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x =-a ，x =a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心(2)顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 (3)渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=(0=±b y a x )(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔9．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：x y ±=；(2)渐近线互相垂直；(3)离心率2=e10．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 11．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量a ，b ，c 中a ，b 不同(互换)c 相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-112.双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：|AB|=-2a-e （x1+x2）过右焦点与右支交于两点时：|AB|=-2a+e （x1+x2）当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：|AB|=-2a-e （y1+y2）过右焦点与右支交于两点时：|AB|=-2a+e （y1+y2） 13．双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 ab d 22=14 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线15．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y ，焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x ，焦点:)2,0(p ，准线l ：2py -= (3))0(22>-=p px y ，焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x ，焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y = 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时，焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴(或Y 轴)负向时，焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时，方程右端取负号16．抛物线的几何性质 (1)范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y =0时，x =0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．(4)离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e =1．17抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 18．直线与抛物线： (1)位置关系：相交(两个公共点或一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点) 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax (*) 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a (二次项系数为零)，唯一一个公共点(交点) 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点(交点)0=∆，一个公共点(切点) 0<∆，无公共点 (相离)(2)相交弦长：弦长公式：21k ad +∆=， (3)焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=(4)通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2= (5)若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒(6)常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxyp x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =四、【例题】1.动点A 到定点F 1(0，－2)和F 2(0， 2)的距离的和为4，则动点A 的轨迹为 ( B ) A . 椭圆 B . 线段 C . 无图形D . 两条射线；2.动点P 到定点F 1(1， 0)的距离比它到定点F 2(3， 0)的距离小2，则点P 的轨迹是 ( C )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线3.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.社地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，球卫星轨道的离心率.4．两定点的坐标分别为A （-1,0），B （2,0），动点M 满足,MAB 2MBA ∠=∠求动点M 的轨迹方程.。

2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案苏教版选修2-1

2.1 圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A 内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ，所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三抛物线定义的应用例3 已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．解方程可变形为x －12＋y －12|x ＋y ＋6|2＝1， ∵x －12＋y －12表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离，又由x －12＋y －12|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。

圆锥曲线教案

圆锥曲线教案圆锥曲线教案圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在数学和物理学中有广泛的应用，因此对于学生来说，掌握圆锥曲线的性质和特点是非常重要的。

本教案将介绍如何有效地教授圆锥曲线，并提供一些教学方法和资源。

一、引入在开始教授圆锥曲线之前，可以通过引入一些实际应用的例子来激发学生的兴趣。

例如，可以讲述一个火箭发射的故事，说明椭圆轨道的特点和应用。

或者可以讨论双曲线在天文学中的应用，如描述彗星的轨迹等。

通过这些引入，可以帮助学生理解圆锥曲线的重要性和实际应用。

二、椭圆的性质和特点1. 定义和方程：首先，介绍椭圆的定义和一般方程。

椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

通过这个定义，可以引出椭圆的一般方程，并解释方程中各个参数的含义。

2. 焦点和准线：接下来，讲解椭圆的焦点和准线的概念。

焦点是椭圆的两个定点，而准线是过焦点的直线。

解释焦点和准线在椭圆中的作用和性质，例如焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。

3. 长轴和短轴：介绍椭圆的长轴和短轴的概念，并解释它们与焦点和准线的关系。

通过绘制图形和实际例子，帮助学生理解长轴和短轴的含义和作用。

4. 离心率和扁率：讲解椭圆的离心率和扁率的概念，并解释它们与椭圆形状的关系。

通过计算实例和图形展示，帮助学生理解离心率和扁率的意义和计算方三、双曲线的性质和特点1. 定义和方程：介绍双曲线的定义和一般方程。

双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。

通过这个定义，可以引出双曲线的一般方程，并解释方程中各个参数的含义。

2. 焦点和准线：讲解双曲线的焦点和准线的概念。

与椭圆不同，双曲线有两个焦点和两条准线。

解释焦点和准线在双曲线中的作用和性质，例如焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于常数。

3. 渐近线：介绍双曲线的渐近线的概念，并解释它与双曲线形状的关系。

通过绘制图形和实际例子，帮助学生理解渐近线的含义和作用。

高三文科数学--圆锥曲线教案

学生姓名年级＿_______授课时间＿＿＿_＿_____教师姓名__＿_＿__＿＿课时___＿__教学内容与教学过程点,直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点Ｆ且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K，以线段ＫF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF｜=p，则焦点F坐标为)0,2(p,准线方程为2px-=,标准方程为y2＝２px(p＞0),离心率ｅ＝1.１1.补充知识点抛物线常用结论：若P(ｘ0, y０)为抛物线上任一点,1)焦半径|PF|=2px+；2）过点P的切线方程为ｙ0y=p(ｘ+ｘ0）;3)过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos12-p。

二、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：１.考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。

2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤:设线、设点,联立、消元，韦达、代入、化简。

第一步:讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y＝kｘ＋ｂ(或斜率不为零时，设x=m ｙ+a）；第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)Ｂ(x2,y2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=)y,x(fbkxy，消去ｙ得关于x的一元二次方程;第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121xxxx第五步:把所要解决的问题转化为x1+ｘ2 、x１ｘ２，然后代入、化简。

3．弦中点问题的特殊解法--－－-点差法：即若已知弦ＡＢ的中点为M（x o,ｙo）,先设两个交点为A(x1,ｙ1)，B（x２,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y,x(f,0)y,x(f2211==,两式相减、分解因式，再将o21o212yyy,2xxx=+=+代入其中,即可求出直线的斜率。

４.弦长公式:]x4x)xx)[(k1(|xx|k1|AB|212212212-++=-+=( k为弦AB所在直线的斜率)三、高考真题1.【20１2高考新课标文４】设12F F是椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点,P为直线32ax=上一点,12PFF∆是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为( ) ()A12()B23()C34()D45【答案】CＡ. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆Ｄ. 圆6．【2０1２高考四川文９】已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。

2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破专题07平面向量及其应用(教学案)-Word版含解析.doc

【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．【题型示例】考点1、平面向量的线性运算【例1】【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】-3【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16【变式探究】(1)(2014·四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)(2014·湖北)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力．【答案】(1)D (2)±3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用 AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．考点2、平面向量的数量积【例2】【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．【答案】6 【解析】所以最大值是6.【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝ 3a 2×32＝32a 2. 答案 D【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20 B. 15C ．9D ．6题型三、平面向量基本定理及其应用例3．【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π6x =时， ()f x 取到最小值-. 【解析】（1）因为()cos ,sin a x x =， (3,b =，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[]0,πx ∈，所以5π6x =.（2）()()(πcos ,sin 3,3cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭. 因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而π1cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当ππ66x +=，即0x =时， ()f x 取到最大值3；当π6x π+=，即5π6x =时， ()f x 取到最小值-【变式探究】【2016年高考四川文数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494（C ）374+ （D ）374+【答案】B【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. 答案 B【变式探究】(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R解析由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案 A【举一反三】(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案－3。

高三圆锥曲线教案1.07

圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质.有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明. 1.求最值例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A.2 B. 2 C. 5 D.5解析由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 C 2.求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________.解析设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|，解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3，0). 答案 (±3，0)点评由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标. 3.求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积.解由已知，得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝65.所以12PF F S △＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.点评在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2 如何求椭圆的离心率1.由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________.解析如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ，|AF 1|＝2c ·sin 60°＝3c .∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案3－1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决.2.解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)、B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________.解析如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c ，0)到直线AB 的距离为b7，∴b7＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝c a知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去).答案 123.利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析如图所示，切线PA 、PB 互相垂直，PA ＝PB .又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ，则四边形OAPB 是正方形，故OP ＝2OA ，即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224.综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率. 解由正弦定理得2c sin 90°＝|MF 1|sin 15°＝|MF 2|sin 75°＝|MF 1|＋|MF 2|sin 15°＋sin 75°＝2asin 15°＋sin 75°，∴e ＝c a ＝1sin 15°＋cos 15°＝12sin 60°＝63.点评此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用.下面举例说明. 1.求动点轨迹例1 一动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.解设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，因为动圆C 与两定圆相外切，所以⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋1，|CC 2|＝r ＋4，即|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0，5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1(y ≥32).点评依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支. 2.求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A 、B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________.解析由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝16，从而有|AF 2|＋|BF 2|＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝22＋6＝28. 答案 28点评与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧. 3.最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4，2)，求|PM |＋|PF |的最小值.解设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－2，0)，由双曲线的定义知：|PF ′|－|PF |＝2a ＝23，所以|PF |＝|PF ′|－23，所以|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF ′|－23，要使|PM |＋|PF |取得最小值，只需|PM |＋|PF ′|取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，|PM |＋|PF ′|最小，此时|MF ′|＝210，故|PM |＋|PF |的最小值为210－2 3.点评本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值.另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1，1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4.求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，试求该双曲线离心率的取值范围. 解因为|PF 1|＝4|PF 2|，点P 在双曲线的右支上，所以设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝4m ，由双曲线的定义，则|PF 1|－|PF 2|＝4m －m ＝2a ，所以m ＝23a .又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为1<e ≤53.点评本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解.4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A 、O 、B 1三点共线； (7)1|FA |＋1|FB |＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明：证明当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时，|FA |＝|FB |＝p ， ∴1|FA |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ，∴⎝⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵|FA |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p2， ∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ，|FA |·|FB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p 2(x A ＋x B ＋p ).∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·2p，即1|FA |＋1|FB |＝2p. 点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况.例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则 |FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0).由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点.求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究. 1.定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法. 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1，0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围.解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆.当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1，0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1，0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1. ∵离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号. 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]. 2.直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法.例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M 的轨迹方程.解如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可. 3.待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解.例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA ＝23，求椭圆的方程.解椭圆的长轴长为6，cos∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4.相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹.例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.分析设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可.解设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0).又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2).又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.点评本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解.5.参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法.例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1，0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程. 解如图，设OP 的斜率为k ，则P (2，2k ).当k ≠0时，直线l 的方程：y ＝－1kx ；① 直线m 的方程：y ＝2k (x －1).②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1).当k ＝0时，点Q 的坐标(0，0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1).6 解析几何中的定值与最值问题1.定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线.设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值.证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0，又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∵x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0， ②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 2.最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.解析设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9. 答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法.例4 已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值.解设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0).如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱.圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题.本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习. 1.常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由.分析先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论.解设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)， ①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2， ②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a2，④把④代入③，得(2－a )·2a3－a2＝2，解得a ＝32，经检验符合题意，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2.点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.分析假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在. 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0，0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4，0).假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.3.直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.分析假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解.解设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m1＋3k2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk .∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1.求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程.错解如图所示，设A (0，y )，B (x ，0).由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，连接OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝12|AB |＝12a .故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.错因分析求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x ，y ).上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误. 正解设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n ，0)，则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2.忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0，4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段错解根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.错因分析在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.121212答案 D3.忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程. 错解抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先正解由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4.涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误例4 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长.错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0，|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b ). ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0，|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b ). ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6. ∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.5.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例5 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程.错解一因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0). 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0). 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去).所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝p2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1.方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.本章中，方程思想的应用最为广泛.例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若|AB |＝25，求椭圆的方程. 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2.∵|AB |＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2.函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值.解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b . 综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24， 0<b ≤4，2b ， b >4.3.转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想.转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题.这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法. 例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程.解设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α. ∵|OR |2＝|OQ |·|OP |，∴⎝⎛⎭⎪⎫|OR |cos α2＝|OQ |cos α·|OP |cos α.由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.①又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y Rx R. ② 由①②得y 2R ＝12y2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R16＝1.④由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)， ∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0). 4.分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论.例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程. 分析由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论.解由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0). 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1.当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5， ∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.5.数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题.例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sinB |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程.解以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0. 设点A 坐标(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |.根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝m2.可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上. 2a ＝m 2，∴a ＝m4.又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2.故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y23m2＝1(y ≠0).。

专题15 圆锥曲线的综合应用(教学案)-2018年高考文数二轮复习精品资料(教师版)

专题15 圆锥曲线的综合应用（教学案）圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．考点一圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.考点二定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0， m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.综上可知，|AN |·|BM |为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2. 故k AP ＋k AQ 为定值2.例3、已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，则DG ⊥AN ，所以GD →·AN →＝0恒成立．因为GD →＝(2－t ，4k )， AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，所以GD →·AN →＝(2－t )·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0恒成立，即8k 2t 1＋2k 2＝0恒成立，所以t ＝0，所以点G 是定点(0，0)．【方法规律】1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)．2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．－1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.则Δ＞0恒成立．所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.所以GH 中点 E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1，同理，MN 中点E 2坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2＋2，kk 2＋2，所以kE 1E 2＝－3k2（k 2－1），所以lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝⎛⎭⎫x －23，所以过点⎝⎛⎭⎫23，0，当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝⎛⎭⎫23，0，综上所述，lE 1E 2过定点 ⎝⎛⎭⎫23，0. 考点三圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3.由PM →＝NQ →得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y4＝2t －159.【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c .设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)＞0，1.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠， 2114x y =， 2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x kx x -+===-.（2）由24x y =，得'2xy =.设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）.设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2,2+m ），|MN |=|m +1|.将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=.当()1610m ∆=+>，即1m >-时， 1,22x =±.从而2|AB x -=.由题设知2AB MN =，即()21m =+，解得7m =.所以直线AB 的方程为7y x =+.2.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】C 的左焦点F.3.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1,0A x （）, 2,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --=-，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.值.4.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0),椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ） 22142x y +=.(II) 3π. 【解析】又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 整理得()()22422241321m k k ND k ++=+ ，所以22134NDNF ≤+=，由（*）得m <<且0m ≠. 故12NFND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NFND θ=≥ ，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线L 的斜率是0.综上所述：当0k =， ()(0m ∈⋃时， EDF ∠取到最小值π3.5.【2017北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214x y += ；（Ⅱ）详见解析.由点M 在椭圆C 上，得. 所以. 又，，所以与的面积之比为4:5.6.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）【解析】（2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F .设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.(第17题)。

2017_18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案

第二单元圆锥曲线与方程学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于定长(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (大于0且小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y＝±ba x 或y ＝±a bx无限延展，没有渐近线变量范围|x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 e ＝ca ，且0<e <1 e ＝ca ，且e >1 e ＝1决定形状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小知识点二椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b2＝0(a >0，b >0)，即y ＝________.2．如果双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，它的双曲线方程可设为________________．知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．知识点五三法求解离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点六直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一圆锥曲线的定义及应用例1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列类型二圆锥曲线的方程及几何性质命题角度1 求圆锥曲线的方程例2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( )A ．1 B.32C ．2D ．3反思与感悟一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．跟踪训练2 设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x命题角度2 求圆锥曲线的离心率例3 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．反思与感悟求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练3 已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．类型三直线与圆锥曲线的位置关系例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练4 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2B. 3C. 2D.323．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( ) A ．23p B ．43p C ．63pD ．83p5．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．答案精析知识梳理知识点三 1．±b a x ±a bx2.x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0) 题型探究例1 B [设P 为双曲线右支上的一点．对于椭圆x 2m＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对于双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2＝(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2＝|F 1F 2|2，∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B.]跟踪训练1 A [如图，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义可知|AF |＝|AA ′|， |BF |＝|BB ′|， |CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p2，|CC ′|＝x 3＋p2， ∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，故选A.]例2 C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2.∵双曲线的离心率为2， ∴e ＝1＋b a2＝2，即b a＝±3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x ＝－p 2，得y ＝－32p ， ∴|AB |＝3p ，S △OAB ＝12×p2×3p ＝3，解得p ＝2.]跟踪训练2 C [由抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，知焦点F (p2，0)．设M (x ，y )，由抛物线性质|MF |＝x ＋p2＝5，可得x ＝5－p2.因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为5－p 2＋p22＝52.由已知，得圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，则M (5－p2，4)，代入抛物线方程得p 2－10p ＋16＝0，所以p ＝2或p ＝8.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .] 例362解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 跟踪训练36解析抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1 ＝65. 故e ＝c a＝ 6.例4 解 (1)由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k 2)．①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k 2)，因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上，将点M 的坐标代入直线方程得， 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2，即23k 2－7k ＋3＝0，解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意．所以斜率k 的取值为0，3或36.跟踪训练4 解 (1)因为2c ＝2，所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1. Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP →·OQ →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0，得m 2<23k 2＋23. 依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)．当堂训练 1．D 2.C 3.B 4.B 5.2 2。