数列复习1导学案(教师版)
数列复习导学案
数列复习学案【知识梳理】请同学们根据所学知识填写下列内容：等差数列、等比数列常用性质对比：A:若m+n=p+q (m.n.p.q R +∈) ，n m n p q n m n p q a a a a a a +=+⎧⎪⎨=⎪⎩数列{a }为等差数列时有 a 数列{a }为等比数列时有 a 特例m=n 时分别变为：B: 等差中项： A, X, B 成等差数列⇔X=2A B+ 等比中项： A, X, B 成等比数列⇒X=AB ±C: 若{}n a 为等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等差数列。
若{}n a 为等比数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等比数列。
D : 若 {}n a 为等差数列①11(1)()n a a n d dn a d =+-=+- 一定是n 的一次是吗？增减取决于______.。
②211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+- 一定是 n 的二次是吗？此式有何特点？复习检测：等差数列通项公式： 等比数列通项公式： 1. 【定义】已知数列｛n a ｝中，112,1,n n a a a +=-= 则n a = 2. 【定义】已知数列｛n a ｝中，112,3,n na a a +== 则n a = 3．【累加】已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n =4. 【累乘】已知数列｛n a ｝中，112,1n n a n a a n -==+，其中(n ≥2)，则n a =5. 【知和求项】 已知｛n a ｝前n 项和n s =23n +，则n a =6. 【知和求项】已知｛n a ｝前n 项和n s =51n -，则n a =等差数列等比数列定义（用式子表示）通 项通项推广中 项主要性质求和公式n n a S 、关系（适用于任何数列）题型一：求通项公式（构造新数列）考点探究一：知递推关系例1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求通项公式a n 。
高中数学必修5《数列-复习课》学案
例1已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a2＋a1＝
2 ，a3＋a4＋a5＝64 .
N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
5．求数列的前n项和的基本方法
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
3．求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：
an＝
(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)当已知数列{an}中，满足 ＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1· · ·…· .
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝ 2，求{bn}的前n项和Tn.
跟踪演练1记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
题型二 转化与化归思想求数列通项
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
数列专题复习(1)导学案参考答案
数列专题复习（1）导学案参考答案第1讲 数列的基本概念1．C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.1 0 7.28 6408．4 解析一：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n ＝⎣⎡⎦⎤(n ＋1)(n ＋5)×23－n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n 2n 2＋12n ＋10－3n 2－12n 3＝⎝⎛⎭⎫23n 10－n 23. 当n <3时，a n ＋1－a n >0，数列单调递增；当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，数列单调递减．即a 1<a 2<a 3<a 4>a 5>a 6>……即第四项最大，k ＝4.解析二：设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2≥10，k 2－2k －9≤0⇒⎩⎨⎧k 2≥10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4. 9．解：由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.10．解：因为a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，而⎝⎛⎭⎫1011n >0，所以当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9.当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10，其值为10·⎝⎛⎭⎫10119. 第2讲 等差数列1．D 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝2，a 3＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2. ∴a 10＝a 1＋(10－1)×d ＝9d ＝18.故选D.2．B 解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝32，∴a 7＝16.又∵2a 3＋a 15＝a 3＋(a 3＋a 15)＝a 3＋a 11＋a 7＝3a 7＝48.3．A4．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一确定的常数，得3a 7是一确定的常数，②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7是常数，③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，⑤正确．5．A 解析：设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2.所以S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36.所以当n ＝6时，S n 取最小值． 6．D 解析：S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2＋(2k ＋1)×2＝24⇒k ＝5.故选D.7.9279 解析：∴a 7b 7＝a 7＋a 7b 7＋b 7＝S 13T 13＝7×13＋14×13＋27＝9279. 8．－1 解析：由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0.所以a 4＋(a 4＋d )＝0.即a 5＝－a 4＝－1.9．解：(1)设等差数列{a n }的公差d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由题知，a 3＝－3＝a 1＋2d ＝1＋2d ，所以d ＝－2.a n ＝1＋(n －1)(－2)＝3－2n .(2)因为S k ＝k (a 1＋a k )2＝k (1＋3－2k )2＝k (2－k )＝－35， 所以k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.因为k ∈N *，所以k ＝7.10．解：∵S n ＝12n －n 2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝11.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12n －n 2)－12(n －1)＋(n －1)2＝13－2n ，当n ＝1时，13－2×1＝11＝a 1，∴a n ＝13－2n .由a n ＝13－2n ≥0，得n ≤132， ∴当1≤n ≤6时，a n >0；当n ≥7时，a n <0.(1)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝12×3－32＝27.(2)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋a 9＋a 10)＝2S 6－S 10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52.(3)当1≤n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12n －n 2.当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n )＝2S 6－S n ＝2(12×6－62)－(12n －n 2)＝n 2－12n ＋72.第3讲 等比数列1．A 2.D 3.C 4.B 5.D6．D 解析：∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1.∴a 13a 3＝q 10＝3或13.故选D. 7．D 解析：因为等差数列的公差为－2，则a 3＝a 1－4，a 7＝a 1－12，a 9＝a 1－16.因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9.即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)．a 21－24a 1＋144＝a 21－20a 1＋64，所以4a 1＝80，a 1＝20.于是S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×20＋45×(－2)＝110.故选D. 8．－2 2n －1－12 解析：由{a n }是等比数列得a 4＝a 1q 3，又a 1＝12，a 4＝－4，所以－4＝12q 3⇒q ＝－2.{|a n |}是以12为首项，以2为公比的等比数列，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝2n －1－12. 9．解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .10．解：(1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。
高中数学 第一章 数列复习导学案 北师大版必修5
3.设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是（）.
A. 1 B.2 C. 4 D. 8
4.已知等差数列 的前 项和为 ，则使得 最大的序号 的值为.
5.在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有个；这些数的和是
三、总结提升
※学习小结
1.数列的有关概念和公式；
2.熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.
※知识拓展数列前n项和重要式：；※当堂检测1.集合 的元素个数是（）.
A. 59 B.31 C. 30 D. 29
2.若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.
高中数学北师大版必修五：第一章数列（复习）
学习目标
1.系统掌握数列的有关概念和公式；
2.了解数列的通项公式 与前n项和公式 的关系；
3.能通过前n项和公式 求出数列的通项公式 .
学习过程
一、课前准备
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
5.数列求和主要：
（1）逆序相加；
（2）错位相消；
（3）叠加、叠乘；
（4）分组求和；
（5）裂项相消，如 .
※典型例题
例1在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.
人教版高中数学全套教案导学案1.数列概念教案1
教师课时教案备课人授课时间课题 2.1数列的概念与简单表示法（1）课标要求理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用教学目标知识目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，技能目标会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
情感态度价值观体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点数列及其有关概念，通项公式及其应用难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为{}n a，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序可用一个公式：nan1=来表示学生阅读理解概念老师评价讲解1教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动⒋数列的通项公式：如果数列{}n a的第n项n a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=nna，也可以是|21cos|π+=nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n=，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
高中数学 第一章 数列复习导学案 北师大版必修5
(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；例1在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.三、总结提升※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展 2(n n n +=3332112[(1)]2n n n ++=+一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
《数列复习》优秀教案
数列题型整理考点一 已知数列的前n 项归纳通项公式例1 1已知数列{a n }为2,5,8,11，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．2已知数列{a n }为错误!，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．3 已知数列{a n }为5,55,555,5555，…；则数列{a n }的一个通项公式是______练习 2把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形如图所示．则第7个三角形数是A ．27B ．28C ．29D ．3032021·石家庄模拟数列{a n }：1，－错误!，错误!，－错误!，…的一个通项公式是A ．a n ＝－1n ＋1错误!n ∈N *B ．a n ＝－1n －1错误!n ∈N *C ．a n ＝－1n ＋1错误!n ∈N *D ．a n ＝－1n ＋1错误!n ∈N *42021·青岛模拟数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是A ．a n ＝n 2－n －1B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝错误!D ．a n ＝错误!考点二 由递推关系求通项公式例5已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋错误!n ≥2给出．1写出数列{a n }的前5项；2求数列{a n }的通项公式．6 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________变式7．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝1n n a n ”，如何求解？8．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a n ＋3”，如何求解？9．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝22+n n a a ，如何求解？ 变式： 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝010．若将本例条件换为“a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ”，如何求解？总结：由递推关系式求通项公式的常用方法1已知a 1且a n －a n －1＝fn ，可用“累加法”求a n2已知a 1且1-n n a a ＝fn ，可用“累乘法”求a n 3已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋＝qa n ＋其中可由待定系数法确定，可转化为等比数列{a n ＋}． 4形如a n ＋1＝CBa Aa n n + A ，B ，C 为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 5形如a n ＋1＋a n ＝fn 的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝fn ＋1，两式相减即得a n ＋2－a n ＝fn ＋1－fn ，然后按奇偶分类讨论即可．考点三 利用a n 与S n 的关系求通项公式例11 2021·全国设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋2n －1a n ＝2n1求{a n }的通项公式；2求数列{12+n a n }的前n 项和．12．在数列{a n }中，a 1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝2n －1n ∈N *，且a 1＝1，若存在n ∈N *使得a n ≤nn＋1λ成立，则实数λ的最小值为________．13已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式．①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b14 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3)14(1-n a ，若a 4＝32，则a 1＝________15已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n n ∈N *．1求数列{a n }的通项公式a n ；2若数列{b n }满足b n ＝og 2a n ＋2，而T n 为数列错误!的前n 项和，求T n总结： 已知S n ，求a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1；2当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；3对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．考点四 数列与函数的关系方向1 数列的周期性16 数列{a n }满足a n ＋1＝na -11，a 8＝2，则a 1＝____ 17若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝错误!n ≥3且n ∈N *，则a 2 018等于A ．3B ．218数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，求a 2 014方向2 数列的单调性19已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n ＋2021试问2是否是数列{a n }中的项？2若a n ≤0，求n3求数列中最大的项2021已知数列{a n }中，a n ＝1＋)1(21-+n a n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0．①若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；②若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．21 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋1·n )1110(，则数列的最大项为________． 22．2021·东北三校联考已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝n －1a n －1＋n ＋1a n ＋1n ≥2且n ∈N *，则错误!的最大值是________．等差数列考点一 等差数列的基本运算23在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 3＋a 7＝2021a 8＝A ．8B ．12C ．16D ．24242021·新课标等差数列{a n }的首项为1，2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为A ．－24B ．－3C ．3D ．8252021·合肥第二次质检等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，S 6＝3，则S 10＝B ．0C ．－10D ．－1526．2021·新课标全国卷Ⅰ记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为A ．1B ．2C ．4D ．827已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于A ．－1B ．1C ．2D ．－228设等差数列{a n }满足a 5＝11，a 12＝－3，其前n 项和S n 的最大值为M ，则g M ＝A ．1B ．－1C ．2D ．－2考点二 等差数列的判定与证明29．若等差数列{a n }的公差为d ，则数列{a 2n －1}是A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为nd 的等差数列D ．非等差数列30在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝21，21112+++=n n n a a a n ∈N *，则该数列的通项为 A ．a n ＝n 1 B ．a n ＝12+n C ．a n ＝22+n D ．a n ＝n3 31 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．32 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－错误!，其中n ∈N *1设b n ＝错误!，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．2设c n ＝错误!，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n 错误!11956=a a 911s s 21103126=s s 93s s 613141910，S 8－S 5S 9－S 5|a 8| B ．|a 7|0，公差d ≠0，前n 项和为S n n ∈N *，有下列命题：①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中的最大项；③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4等比数列考点一等比数列的基本运算45．2021·新课标全国卷Ⅲ设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________46设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于472021·江苏卷等比数列{a n}的各项均为实数，3＝错误!，S6＝错误!，则a8＝________ 482021·新课标全国卷Ⅱ我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏492021·北京卷若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则错误!＝________ 50．2021·广州综合测试一已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，错误!a5，a4成等差数列，则错误!的值是考点二等比数列的判定与证明51设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*已知a1＝1，a2＝错误!，a3＝错误!，且当n≥2时，4S n＋2＋5S n＝8S n＋1＋S n－11求a4的值；2证明：错误!为等比数列．52．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列B．{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列D．{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列53．对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列＝1，1，a n＝n，n＝错误!n－1－n－1，n－1＋n－1n≥2，n∈N*，则下列命题正确的是1A．{|a n|}是等比数列，且公比为错误!B．{|a n|}是等比数列，且公比为错误!C．{|a n|}是等差数列，且公差为错误!D．{|a n|}是等差数列，且公差为错误!考点三等比数列的性质及应用55已知数列{a n}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7a1＋2a3＋a3a9的值为A．10 B．2021 C．100 D．202156在等比数列{a n}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝错误!，a8a9＝－错误!，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________57．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n＝A．80 B．30C．26 D．1658．等比数列{a n}满足a n>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n n≥2，则当n≥1时，og2a1＋og2a2＋…＋og2a2n＝________－159设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于B．－错误!60．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若错误!＝错误!，则错误!＝________61等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若错误!＝错误!，则公比q＝________62 公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则og2a10等于A．4B．5C．6D．763已知等比数列{a n}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为A．4 B．6 C．8 D．10642021·沈阳模拟在等比数列{a n}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________错误!错误!错误!＝mSm，为大于1的正整数．考点一分组求和法求和66已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝24，S7＝631求数列{a n}的通项公式；2若b n＝2a n＋－1n·a n，求数列{b n}的前n项和T n67已知数列{a n}，{b n}满足a1＝5，a n＝2a n－1＋3n－1n≥2，n∈N*，b n＝a n－3n n∈N*．1求数列{b n}的通项公式；2求数列{a n}的前n项和S n考点二错位相减法求和682021·天津卷已知{a n}为等差数列，前n项和为S n n∈N*，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b41求{a n}和{b n}的通项公式；2求数列{a2n b2n－1}的前n项和n∈N*．69．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝n·2n，则S n＝____＝n＋n－1×2＋n－2×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2考点三裂项相消法求和71设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2错误!＝a n＋1n∈N*．1求数列{a n}的通项公式；2记b n＝错误!，若b1＋b2＋…＋b n>1，求正整数n的最小值．72．已知函数f＝a的图象过点4,2，令a n＝错误!，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 017＝________考点四数列与其他知识的综合732021·江西南昌一模已知2＋2＝4，在这两个实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________．74设S n为数列{a n}的前n项和，若错误!n∈N*是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n}是首项为2，公差为dd≠0的等差数列，且数列{c n}是“和等比数列”，则d＝________。
数列复习1导学案(教师版)
一、 学习目标 (1)进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式;(2 )提高分析、解决问题能力. 二、 知识点总结 (一) 数列的概念 1 •数列的概念与简单表示法 (1 )从定义角度看： (2) 从函数角度看：数列可以看成以正整数集N *它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数彳 _____ . 2. 数列的表示 (1 )列表法；(2) _________________________ 图象法：注意图象是 ，而不是 ; (3) 通项公式：(4) 递推公式：如果已知数列｛ aj 的第一项(或前几项)及相邻两项(或几 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公 式•3 •数列的分类1) ___________________________________ 按数列项数的多少可以分为 和 。
2) ___________________________________ 按数列中相邻两项的大小可分为 、 、 _________________________________________ 和_• 4 •数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系(二) 等差数列 1. 等差数列的定义：若数列｛亦 为等差数列，则有 a n -a n-1=d (其中n >2, n € N). 2. 等差中项：3. 等差数列的通项公式： a=a 1+(n- 1)d ，其中a 1为首项，d 为公差.执笔人：姚东盐 审核人: 2019年10 月 日必修5数列复习小结 第1课时第19课时对任一数列有a n =Sj,n 1 S nS n 1, n当d>0时，数列｛a n｝为递增数列：当d<0时，数列｛a n｝为递减数列：当d=0 时，数列｛a n｝为常数列.4. 等差数列的前n 项和公式:S n(a ia n )；Sna n(n 1 2 3 4 5 dS n；S nna 1 d_______ 2 ________________ 25. 等差数列的性质：(1) 等差数列｛ a n ｝中，a n - a^(n -n )d ；(2) 等差数列｛ a n ｝中，若 m+n=p+q 其中 m,n,p,q € N*)，贝U a n +a n =a p +a q ;若m+n =2p ,贝U a n +a n =2a p ，也称a p 为a m , a n 的等差中项.(3 )等差数列中依次 k 项和成等差数列，即kS K 、S 2K S K 、S 3K S 2K 成等差数列，其公差为 q 。
数列的综合复习导学案
五大类，24个知识点，至少69个考点数列的概念：1、数列的定义、表示（5）；2、数列的通项公式（1）；3、数列的分类（3）；4、前n项和（2）等差数列：1、判定方法（4）；2、通项公式（2）；3、前n项和（2）；4、性质（8）等比数列：1、判定方法（3）；2、通项公式（2）；3、前n项和（2）；4、性质（5）；5、解题方法（2）数列求和：1、等差等比数列求和（2）；2、错位相消；3、倒序相加；4、分组求和；5、裂项法；6、奇偶分析法；7、常见的拆项（7）；8、其它法数列的实际应用、方法：1、数列的常见模型（3）；2、常见方法（累乘、累加、构造、同除、取倒数、取对数、配式相减、数学归纳法等等）；3、其它法练习：1、已知311,2n n a a a ==+，求n a =？2、已知数列{}n a 中，21=a ，数列{}n a 前n 项和n n a n S 2=，求{}n a 的通项公式？3、已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==-.设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式？ 4、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+，设12n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列。
5、已知数列{}n a 中23,111+==+n nn a a a a ，求n a =？6、设数列ΛΛ,,,,21n a a a 中的每一项都不为零，证明{}n a 为等差数列的充要条件是：对任何*N n ∈，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a Λ。
7、在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++（I ）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式 ；（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ？8、已知数列1}{1=a a n 中，且,)1(122k k k a a -+=- ,3212k k k a a +=+其中k=1,2,3,…….（I ）求53,a a ？（II ）求}{n a 的通项公式？ 9、已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- .（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围？。
高中数学 第二章《数列》复习课导学案 大纲人教版
数列复习课一、学习目标：1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其几何意义．2．系统运用数列知识解决有关问题．二、预习指导：1．数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n ，数列的前n 项和： n n a a a a S ++++= 321． 2．等差数列⑴等差数列的判定方法:①定义法；②等差中项法．⑵等差数列的通项公式：=n a ．⑶等差数列的前n 项和： n S = = ． ⑷等差数列的性质： ①等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有=n a ． ②对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则 ． ③若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成 数列．3．等比数列⑴等比数列的判定方法：①定义法；②等比中项法．⑵等比数列的通项公式：=n a ．⑶等比数列的前n 项和：n S = = ；当1=q 时，n S = ．⑷等比数列的性质： ①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则=n a ． ②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则 ． ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成 数列4．数列求和常用方法：三、预习检查1．等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则2349a a a a =____________．2．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和7010=S ，其公差________d =．3．已知数列的前n 项和29n S n n =-，则其通项公式________n a =；若它的第k 项满足58k a <<，则=k ____________．4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为____________． 5．求数列1111,4,7,248前10项的和． 三、例题：例1 在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += .分析：以等比数列的首项1a 和公比q 为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.变式 已知等比数列{}n a 中前8项的和308=S ，前16项的和15016=S ，求20S . 例2 已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，且11=a ，（1）证明数列{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.变式 已知数列{}n a 的前n 项和满足n a S n n +-=，且211=a ， （1）证明数列{}1-n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .练习：1．数列{}n a 是等比数列，15,a a 是方程2540x x -+=的根，则3a = ． 2．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则数列{}n a 的通项公式为 ．3．数列{}n a 的通项公式是n a =，则它的前10项的和10S = ． 4．数列{}n a 的前n 项的和278n S n n =-，则5a = ．5．在等比数列{}n a 中, 12166,128n n a a a a -+==,且前n 项的和为126n S =,求n q 及公比四、课外作业：做P60页的复习题。
高三数学数列第一轮复习学案 人教版 学案
东北育才学校高三数学数列第一轮复习学案3．1数列的概念 高考要求：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。
2、了解递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
3、理解n a 与n S 的关系。
4、掌握数列的表示方法，培养观察能力和化归能力 考点回顾：1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。
（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1) 列举法:如1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,a n )点构成;(3) 解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1(4) 递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列{a n }的前n 项和的性质 Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n nn n a a a a 考虑数列的单调性考点解析：考点1、由数列的前几项写出通项EG1、仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，……，请你写出堆放层数与盒数的关系__________.(写出一个即可)B1-1．n 个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2003到2005，箭头的方向依次为（ ）A ．↓→B ．↑→C ．→↑D ．→↓B1-2. 数列6511,549,437,325⋅-⋅⋅-⋅，…的通项是________________.B1-3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖______块.B1-4.（2004年春季某某，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________________个点.(1) (2) (3) (4)(5)B1-5．（2006年某某卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放0 3 4 7 8 11…一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .考点2、由递推关系式求通项EG2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式：（1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+；（2）==+11,1n a a 1+n n)(*N n a n ∈； （3）==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．B2-1.已知数列{}n a 满足)2(11≥-=-+n a a a n n n ，且b a a a ==21，，那么其前100项和100S 等于[ ]A ．a b -2B ．a b -C ．a b -100D ．b a 100-B2-2．已知{a n }是首项为1的正项数列，且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项a n =.B2-3．已知数列}{n a 中，114a =，54a =，且满足212nn n a a a ++=（1,2,3,n =），则8a =( )A ．16B ．16±C ．32D ．32±B2-4.（某某卷）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（）A ．0B ．3-C ．3D ．23考点3、由前n 项和Sn 求通项 EG3．若数列}{n a 的前n 项的和323-=n n a S ，那么这个数列的通项公 A ．132-⨯=n n a B 、n n a 23⨯= C 、33+=n a n D ．nn a 32⨯=B3-1.数列｛n a ｝的前ｎ项和为n S ，若n S ＝２n a －３n ．（ｎ∈Ｎ+）（１） 求数列｛n a ｝的通项公式n a ；（２） 设数列)12(-=n b n （n a ＋3），求数列｛n b ｝的前n 项和T n方法归纳：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥，求通项时一定要验证1a 是否适合． 实战训练1、已知f(x)=bx+1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且 g(n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n , 设a n = g(n)- g(n-1) (n ∈N ※), 则数列｛a n ｝是 ( )A 等差数列B 等比数列C 递增数列D 递减数列2、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
高中数学 数列复习(1)导学案 苏教版必修5
【学习目标】掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题
【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
2．等差、等比数列的定义．
3．等差、等比数列的通项公式．
4．等差中项、等比中项．
5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．
【课堂研讨】
例1、（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．
（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．
（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，
这三个数是 ．
（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，
则=++503317S S S ．
（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，2
2n n a =，
则这个数列前m 2项的和为 ．
（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a )(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．
（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，
已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=5
5b a ．。
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执笔人：姚东盐 审核人： 2019 年 10 月 日必修5 数列复习小结 第1课时 第 19 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一） 数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N *它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是 ，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a n ｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为 和 。
2）按数列中相邻两项的大小可分为 、 、 和 .4．数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系 对任一数列有a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛a n ｝为等差数列，则有a n -a n-1=d (其中n ≥2，n ∈N *).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，其中a 1为首项，d 为公差.当d >0时，数列｛a n ｝为递增数列；当d <0时，数列｛a n ｝为递减数列；当d =0时，数列｛a n ｝为常数列.4.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=；d n n na S n 2)1(1-+=. 5.等差数列的性质：（1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m =(n -m )d ；（2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N *)，则a m +a n =a p +a q ；若m+n=2p ，则a m +a n =2a p ，也称a p 为a m ，a n 的等差中项.（3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即K K K K K S S S S S 232--、、成等差数列，其公差为k q 。
6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________.7.等差数列的判定方法：1）定义法：d a a n n =-+1⇔{}n a 是等差数列。
2）中项公式法：212+++=n n n a a a （n *N ∈）⇔{}n a 是等差数列3) 通项公式法：q pn a n +=⇔{}n a 是等差数列4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2（A,B,为常数）⇔{}n a 是等差数列（三）等比数列1.等比数列的定义：若数列｛a n ｝为等比数列，则有q a a n n =-1(n ≥2, n ∈N *,q ≠0).2.等比中项：3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.等比数列的前n 项和公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n . 5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则有：（1）a n =a m q n-m；（2）m+n=s+t(其中m,n,s,t ∈N *)，则a m a n =a s a t ；若m+n=2k ，则a k 2=a n a m .（3）等比数列中依次k 项和成等比数列，即 K K K K K S S S S S 232--、、成等比数列，其公比为kq 。
（四）求和方法1.公式法:①2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+(等差数列);②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na S n n (等比数列) 2.倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n 项公式的推导所用方法).3.错位相减法:若｛a n ｝是等差数列,｛b n ｝是等比数列,求数列｛a n b n ｝的前n 项时,可在等式两边同乘以数列｛b n ｝的公比,再与原式相减,从而求和的方法(等比数列前n 项和公式的推导方法).4.裂项相消法:若｛a n ｝是等差数列,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1λ的前n 项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其它裂项后易于求和的数列.5.分组求和:对于既非等差又非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可用这种方法.三、课前练习1.(2019安徽卷文）已知{}n a 为等差数列，，则=______1∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。
2.(200年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ______22【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =故212a a q ===, 3.（2019湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S =_______ 49 【解析】172677()7()7(311)49.222a a a a S +++==== 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 4.（2019江苏卷）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。
等比数列的通项。
{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 5.(2019宁夏海南卷文)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =______10【解析】因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m m a a a -++-=，得：2m a －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38， 四、例题探究例1 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项为Sn ，且对于所有正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项。
⑴求{}n a 的通项公式； ⑵求13221111++++n n a a a a a a ΛΛ的值。
例2（2019全国卷Ⅱ理）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。
解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找1n nb b -与的关系即可．第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说，09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。
具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。
也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
五、课后作业1.（2019广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L 2n 【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=，+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-。
2.（2019辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =______73 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 3.（2019宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则4s =( ) 15【解析】Q 41a ，22a ，3a 成等差数列，22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S , 4.（2019福建）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于____56五、反思总结。