矩阵论复习选讲2014 - 360文档中心

矩阵论学习复习资料共44页文档

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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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16、自己选择的路、跪着也要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。

矩阵论往年部分真题讲解题(含解答)

2011年《矩阵论》习题解答一、掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-=== 求（1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为 ()()()12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭所以由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵2056133611211013C ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或解非齐次线性方程组的解 11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1T k -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x x x x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯, (1) 证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。

矩阵论课件

矩阵论
第二章
第一节
矩阵与约当标准形
矩阵
第二节不变因子及初等因子
第三节约当标准形第四节凯莱—哈米尔顿定理最小多项式
4 December 2014 河北科技大学
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矩阵论
第一节
定义设 P
矩阵
为数域, 为数字，P[ ] [ ]为关于中的元素(数)为元素的矩
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定理设矩阵 A( ) aij
阵，且 rank( A( )) r ，则

矩阵论
m n
为非零的多项式矩
A( )
d1 ( ) d 2 ( ) r ( ) 0 J ( ) 0 0 d ( ) r 0 0 0 diag d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0 --称为 A( )的 Smith (史密斯)标准形.
矩阵论
Dn ( ) a ;
n
Dn1 ( )
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D1 ( ) 1.
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矩阵论
定义把矩阵 A( ) 的每个次数大于零的不变因子
在复数域 [ ]中分解成标准分解式，即分解成首项系数为1的互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂 ( 相同的必须按出现次数计算) ，称为 A( )的初等因子.
[ ]中分解成标准分解式，所有出现的一次因式的
标准形)
方幂就是 A( )的全部初等因子.

矩阵论复习大纲

第一章1 线性空间概念（封闭性）2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和，直和补空间6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）8 不变子空间，正交变换，酉交变化例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。

矩阵论简介及线性代数复习PPT课件

的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
-
16
2) 方阵列矩阵行矩阵
对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
n
cij aikbkj
k 1
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
-
22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
yy21 aa1211xx11 aa1222xx22 aa1233xx33
是成立的, 即
|AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
-
34
3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
A 1 00 0 ,B 0 01 0 ,C 0 00 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
A11 A21
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An2
,
Ann
叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
-
32
思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘运算吗?
答不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这时 AB 才存在.

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矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在，且 AA1 A1 A I ，故当然有

AA-1 A A A-1 AA-1 A ( AA-1 )* AA-1 ( A-1 A)* A-1 A
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示．
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矩阵论
第一节和相容方程组求解问题相应的广义逆矩阵 A
1.广义逆矩阵的定义及性质
设线性方程组 AX b 是相容的，其中
A C mn , X C n , b C m ，
则 AX b相容 b R( A) （矩阵 A 的象空间）．
0 ，Ar 为 r 阶满 0
0 1 1 Ar 1 Q P I 0 Q r 0 0 1 Ar 令 C P , D I r 0 Q 1 0
1 1 C L D* ( DD* )1(C *C )1C * . 则 A - DR
3. 反射 g 逆
定义设 A C mn ，若存在G C nm ，使得
（1） AGA A；
和
（2） GAG G ；
同时成立，则称G 为 A 的一个反射（或自反）广义逆矩阵，简称为反射 g 逆，记作： Ar ，其全体记作： A{1, 2}．
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（4）若G1G2 A{1}，则G1 AG2 A{1, 2}；
（5） A{1, 2} A{1}；

R
L
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矩阵论第一章4

矩阵论第一章4 §4.正交变换与酉变换一、正交变换与酉变换二、正交矩阵与酉矩阵的性质12一、正交变换与酉变换将R 2中的旋转变换推广到内积空间：正交变换与酉变换设V 为数域K 上的n 维内积空间,是V 上的一个线性变换, 若对则当K 为实数域时称为欧氏空间V 上的正交变换；当为复数域时称为酉空间V 上的酉变换.σ,||()||||||V ασαα?∈=有，σσ3一、正交变换与酉变换性质设是酉空间V 上的一个线性变换,则下面四个命题等价:σ将欧氏空间看作酉空间的“特例”，性质仅就酉空间讨论。

1是酉变换；σ()()2,,,,;V αβσασβαβ?∈<>=<> 3 若是V 的一组标准正交基, 则()()()12,,,n σεσεσε?12,,n εεε?，也是V 的一组标准正交基;(保持标准正交基不变)4 在V 的任一组标准正交基下的变换矩阵A 满足: 称为酉矩阵（正交矩阵）。

,H HA A AA E ==σ4证明:采用循环推证1→2→3→4→1()22()()σαβσασβ?=?一、正交变换与酉变换1→2 设是正交变换σ,,V αβ?∈()()222Re (),()σασασβσβ=?<>+()(),()()σασβσασβ=2222Re ,αβααββ=?<>+()22Re (),()Re ,σαβαβσασβαβ?=??<>=<>由()22Im (),()Im ,i i σαβαβσασβαβ?=??<>=<>同理，由(),(),σασβαβ<>=<>()()22(),()(),()σασασβσβσασβ=?<>?<>+证即5一、正交变换与酉变换(),,1,2,,i j ij i j n εεδ<>==?也是V 的一组标准正交基. ()()()12,,,n σεσεσε?()()(),,,1,2,,i j i j iji j n σεσεεεδ<>=<>==?即2→3 设保持内积不变，是V 的一组标准正交基, 12,,n εεε?，σ记3→4 设保持标准正交基不变，是V 的一组标准正交基,12,,n εεε?，σ()()()()()1212,,,,,,n n A σεσεσεεεε=??()11 121212221212,,,n n n n n nn a a a a a a A a a a ααα??==??6()1122112n j j j nj n kj k k a a a a j =,,,nσεεεεε==+++=∑??得，一、正交变换与酉变换()()()()()1112121222121212,,,,,,n n n n n n nn a a a a a a a a a σεσεσεεεε?? =??由()(),ij i j δσεσε=<>1122H i j i j ni nj jia a a a a a αα=+++=?()111121221221212,,,HH H H n H H H H H nn n H H H H n n n n n A A Eαααααααααααααααααααααα===7()()()()()1212,,,,,,n n Aσεσεσεεεε=??1122,,n n x V x x x x εεε?∈=++?一、正交变换与酉变换4→1 设在任一标准正交基下地表示矩阵为酉矩阵，为V的一组标准正交基,12,,,n εεε?σ()()()()()1212,,,,,,Tn n x x x σεσεσε=??()()1212,,,,,,Tn n A x x x εεε=??()()()1122()n n x x x x σσεσεσε=++()()()()21212,,,,,,HTTn n x A x x x A x x x σ=??()()2Hn n x x x A A x x x x==??8二、正交矩阵与酉矩阵的性质将正交矩阵看作酉矩阵的“特例”，仅就酉矩阵讨论。

《高等工程数学（矩阵论）》复习提纲与习题选讲（PDF）

《矩阵论》复习提纲与习题选讲chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 同一线性空间不同基之间的过度矩阵；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交；z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。

习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。

（1）求的维数；并写出的一组基；3]x [R 3]x [R （2）求在所取基下的坐标；221x x ++ （3）写出（1）所取基到的另一组基的过渡矩阵；3]x [R 2)1(),1(,1−−x x （4）在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （5）求与之间的距离。

221x x ++2x 2x 1+−二、设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

（1）求22R ×的维数，并写出其一组基；（2）在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3）设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4）在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

矩阵论复习资料

矩阵论复习纲要前两讲要求理解并掌握高等代数中的基本概念与理论，这些是矩阵论进一步研究必要的基础。

对应于教材第八章8.1—8.6的内容第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质1. 线性空间的定义与性质；2. 线性相关性：线性组合；线性表示；线性相关性；.线性空间的维数二、线性空间的基与坐标1. 基的定义；2. 坐标的定义；3. 基变换与坐标变换三、线性子空间的定义及其性质1. 线性子空间的定义；2. 线性子空间的性质；3. 生成子空间；4. 基扩定理四、子空间的交与和1. 子空间的交与和定义，两子空间的交与和仍为子空间；2 维数公式；3.子空间的直和及直和充要条件第二讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算1. 线性变换的定义；2. 线性变换的性质3. 线性变换的运算：恒等变换; 变换的相等; 线性变换的和,数乘,负变换,乘积,逆变换,线性变换的多项式。

二、线性变换的矩阵表示1、线性变换的矩阵的定义与性质；2. 相似矩阵及其性质三、线性变换及矩阵的值域和核及其性质：()R T 、()N T ；()R A ；()N A 。

四、线性变换的不变子空间 1. 不变子空间的定义；2. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 习题要求：习题八P215 1—24题（选做）第三讲矩阵的相似对角化与Jodan 标准形第三讲对应于教材第一章1.1-1.3的内容**一、矩阵的相似对角化1. 特征值与特征向量；特征多项式 **例1 已知122224242A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求其特征值和特征向量。

（P1）2. 矩阵的迹与行列式与特征根的关系11nnii ii i trA a λ====∑∑；1d e t nii A λ==∏.3. 性质(1)若A 与B 相似，则detA= detB ，rank(A)=rank(B), tr(A)=tr(B), det(λI-A)= det(λI-B); (2)设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则()()tr A B tr B A =;**4. 矩阵对角化的条件引理 n 阶方阵A 的互不相同的特征根对应的特征向量线性无关。

矩阵论复习

矩阵论复习一、矩阵代数1．矩阵及其运算 2．矩阵的行列式 2.1 行列式的定义 2.2 行列式的性质（1）行列互换，行列式的值不变；（2）交换两行（列），行列式的值改变符号；（3）一行（列）有公因子K ，则K 可提到行列式号外；（4）两行（列）元素成比例，行列式的值为零；（5）一行（列）可表示为两组数的和，则行列式等于两个行列式的和；（6）一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。

2.3 行列式的计算2.4 子式、余子式、代数余子式 2.5 主子式、顺序主子式 3．矩阵的逆3.1 定义：对n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA I ==，则称B 为A 的逆矩阵，记为1B A -=。

3.2 矩阵逆的存在与唯一性：如果n 阶矩阵A 可逆，则A 的逆是唯一的。

对n 阶矩阵A ，A 可逆||0A ⇔≠，并且如果A 可逆，则1*1||A A A -=。

3.3 逆矩阵的计算：用公式用初等变换4．矩阵的初等变换与初等矩阵 4.1 矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零的数乘矩阵的一行（列）；（3）将矩阵一行（列）的倍数加到另一行（列）。

4.2 初等矩阵的定义单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。

三种初等矩阵row jth row ith j i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( ， row ith k k i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111)(( ，11(,())11ith rowk P i j k jth row ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

4.3 初等矩阵的性质初等矩阵都是可逆的，并且),,(),(1j i P j i P =- ))(())((11--=k i P k i P ， 1(,())(,())P i j k P i j k -=-。

2014年矩阵论考试样卷(研究生)

同济大学课程考核试卷（样卷）2013—2014学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：2102001 课名：矩阵论考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题（4⨯6分）1.设矩阵134251122A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭的三角分解A LR =，则单位下三角形矩阵L =2.设5阶矩阵A 的特征矩阵E A λ-的初等因子是2,,2,2λλλλ--，则A 的最小多项式()m λ= 。

3.设T 是22R⨯上的线性变换：对任意22R ⨯∈A ，()2TT A A A =+，则T 的特征值是。

4.设A 为4阶实矩阵，线性方程组0Ax =的解空间是V ，4(){|R }R A Ax x =∈，则V 在4R 内的正交补是A. ()R AB. ()T R AC. ()()T R A R A ⋂D. ()()T R A R A +5. 设3R 中1{(,0,0)|R }TV x x =∈，2{(,,)|R }TV x x x x =∈，则12V V +=A.{(,,)|,R }T x x y x y ∈B.{(,,)|,R }T x y x x y ∈C.{(,,)|,R }T x y y x y ∈D. }R ∈x x x x T |),,{(6.设A 是m n ⨯矩阵，则[()]TR AA +=A.()R AB.()T R A )(+A R D.前三个选项都不对二、（14分）设1231231001002,1,0;0,1,1121111αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的两组基，T 为3R 上的线性变换，TT1231313((,,))(2,,2)T x x x x x x x =+，求（1）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过度矩阵；（2）T 在基123,,βββ的下的矩阵。

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

矩阵理论复习总结 PPT课件

1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A

max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )

1T

T 2

T n

111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

矩阵论复习

1. 线性空间的概念
2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换） 3. 线性子空间的概念与运算
(1)定义 (2) 运算（交与和，直和）
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性.
2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r ,
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
3.线性变换的矩阵 T (1,2,,n)=(1,2,,n)A
rankT=rankA, nullT=n-rankA
（1,2,,n 为线性空间V 的一个基）
4. 线性变换的运算加法，数乘，乘法，逆，多项式.
5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似
i 1 j 1
2
2
1 1 0 1 取 A1 , A2 ,W L( A1 , A2 ) 0 0 1 1
（1）求W的一个基；
（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.
2. 已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,
1 i j 证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足 ( , ) i j 0 i j
3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 (2,1,0,1) 2 (1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)

矩阵论01

k

k

（4） 1 x 是 x 的负元素
k k k l k l
x 1x x 1x 1
k
[x y O]
（5） k ( x y) ( xy) x y (k x) (k y) [数因子分配律] （6） (k l ) x x x x (k x) (l x ) [分配律] （7） k (l x) ( x ) x (kl) x [结合律] （8） 1 x x x [恒等律] 由此可证， R 是实数域 R 上的线性空间。 [证毕]
10
1°
x y (1 x1 2 x2 n xn ) ( 1 x1 2 x2 n xn ) (1 1 ) x1 ( 2 2 ) x2 ( n n ) xn
正对应
x ( 1 , 2 , n ) x y (1 1 , 2 2 , n n ) y ( , , ) 1 2 n
[零元律]
[结合律]
[零元律]
5
即 y 和 z 相同，故负元素唯一。
(2) ①：设 w 0 x ，则 x w 1x 0 x (1 0) x x ，故 w O 。
[恒等律]
②：设 w (1) x ，则 x w 1x (1) x 0 x O ，故 w x 。 [证毕]
11
, E12 ,, E1n ; E21 , E22, , E2n ;; Em1 , Em 2 ,, Emn 。另一方面，还需说明元
ij mn
素个数最大。对于任意的 A (a ) ，都可由以上元素组线性表示，
A aij Eij aij Eij A 0

武汉理工大2014矩阵论复习要点

的值域维数
已知两个基过渡矩阵是
设的Jordan标准型，则的最小多项式
在内积，向量，求V的一个含有的规
范正交基。

设，则，求
已知，则
设，则的分解
设矩阵序列，则
已知可逆，求A的函数的积分，与微分
矩阵各种范数的求法
线性空间V的一个基，是V上的一个线性
变换，已知在此基下的矩阵为A，将A标准
化（化为对角阵或者Jordan型），求V的另一个基，使T在这一个基下的矩阵为所求标准型。

证明向量范数，或矩阵范数
对下面矛盾方程组:
（1）求的满秩分解。

（2）由满秩分解计算。

（3）求该方程组得最小范数最小二乘解。

南航研究生矩阵论复习讲义

1.线性空间、维数、基与坐标第一章线性空间与内积空间(1)线性空间V 中存在加法和数乘运算，且加法和数乘运算满足8个条件；(2)线性空间V 中线性无关向量的最大个数n 称为V 的维数,记为dim (V ) = n ;V 中任意n 个线性无关向量称为V 的一组基；(3)如果是线性空间V 中的n 个线性无关向量,且V 中任一向量都可由其线性表示,则是V 的一组基且dim (V ) = n ；n ααα,,,21 n ααα,,,21(4)设是线性空间V 的一组基,是V 的n 个向量,则存在n 阶方阵T ,使得n εεε,,,21 n ',,','21εεε ,),,,()',,','(2121T n n εεεεεε =当且仅当T 可逆时,也是V 的一组基；n ',,','21εεε.2211n n x x x εεεα+++= (5)设是线性空间V 的基,则向量α在这组基下的坐标是如下线性组合的系数向量:n εεε,,,21 T n x x x ),,,(212.线性子空间(1)设V 是线性空间,W 是V 的非空子集，则W 是V 的子空间的充分必要条件是;,,,P W k W k ∈+⇒∈∀∈∀βααβα(3)设与是线性空间V 的两组向量,则的充分必要条件是与等价；s ααα,,,21 t βββ,,,21 ),,,(),,,(2121t s L L βββααα =s ααα,,,21 t βββ,,,21 (2)设是线性空间V 的一组向量，则W 是V 的子空间；s ααα,,,21 },P |{),,(221121∈+++==i s s s k k k k L W αααααα);,,,(rank )),,,dim(L(42121s s αααααα =）（(5)设V 1, V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1∩V 2和V 1 +V 2也是V 的子空间；(6)如果V 1和V 2是线性空间V 的有限维子空间,则).(dim )(dim )(dim )(dim 212121V V V V V V ∩++=+3.直和的判别法(1)V 1 + V 2中任意向量的分解式唯一；};0{21=V V ∩(3)).dim()dim()dim(2121V V V V +=+(4)(2)V 1+ V 2中零向量的表法唯一；4.内积空间(1)内积是一种代数运算,满足共轭对称性,左侧可加性和齐次性以及非负性;;),(:Cauchy )2(βαβα≤不等式;:)3(βαβα+≤+三角不等式(4)线性无关的充分必要条件是Gram 矩阵非奇异；m ααα,,,21 ()mm i j m G ×=),(),,,(21ααααα (5)线性无关向量组一定可以标准正交化.5.标准正交基的性质(1)有限维内积空间V 的标准正交基一定存在；(2)有限维内积空间V 的任意一组标准正交向量可扩充为V 的一组标准正交基；(3)设是内积空间V 的一组标准正交基,且则n εεε,,,21 ,,1111n n n n y y x x εεβεεα++=++= .),(1∑===ni i i Hy x x y βα6.常见内积空间;),(,)1(1∑====ni i i Hn y x x y y x C V 内积；内积dx x g x f g f b a C V ba )()(),(],,[)2(∫==).(tr ),(,)3(A B B A C V Hn m ==×内积第二章线性映射与线性变换1.线性变换的定义设V 是数域P 的线性空间，A是V 到自身的一个映射，如果则称A是V 的线性变换.P ,),()(,),()()(∈∈∀=∈∀+=+kVkk VαααβαβαβαAA AAA2.线性变换的性质. ,, ,,的线性变换也是则的线性变换，是如果VkP kVAABB ABA+∈(1)设是线性空间V 的一组基,A 是V 的线性变换，则n εεε,,,21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε 22112222112212211111)()()(A A A 3.线性变换的矩阵表示;),,,(),,,(2121A n n εεεεεε =A 即(2)n 维线性空间的线性变换与n 阶矩阵一一对应；(3)同一个线性变换在不同基下的矩阵一定相似.4.线性变换的值域与核设A 是n 维线性空间V 的线性变换，是V 的一组基，A 在这组基下的矩阵是A ，则n εεε,,,21 （1）A 的核为};0)(|{)Ker(=∈=ααA A V };|)({)(V R ∈=ααA A （2）A 的值域为));(,),(),(()(321n L R εεεA A A A =）（（4）dim(R (A )) = rank( A );（5）dim(R (A )) + dim(Ker(A )) = n .5.矩阵A 可对角化的充分必要条件（1）A 有n 个线性无关的特征向量；（2）设A 的全部互异特征值为，则r λλλ,,,21 ;)dim()dim()dim(21n V V V r =+++λλλ （3）A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数；（4）A 的初等因子都是一次式；（5）A 的最小多项式m (λ) 没有重零点.6.酉变换和酉矩阵设A 是n 维酉空间V 的线性变换，则下列命题等价：(1)A 是酉变换，即；),())(),((βαβα=A A ,)()2(αα=A ;V ∈∀α的一组标准正交基，则是如果V n εεε,,,)3(21 )(,),(),(21n εεεA A A 的一组标准正交基；也是V (4)A 在V 的标准正交基下的矩阵是酉矩阵．（1）存在数字矩阵P 与Q ，使得;)(Q B I P A I −=−λλ（2）它们的特征矩阵λI -A 和λI -B 相抵；（4）它们有相同的行列式因子；1.数字矩阵A 与B 相似的条件第三章λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形（5）它们有相同的初等因子.（3）它们有相同的不变因子；2. 矩阵的最小多项式（1）矩阵A 的最小多项式m (λ) 能整除A 的任一化零多项式；（2）矩阵A 的最小多项式能整除特征多项式f (λ)；（3）是A 的特征值的充分必要条件是；0λ0)(0=λm （4）相似的矩阵具有相同的最小多项式；（5）矩阵A 的最小多项式为其最后一个不变因子.3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法（1）化λI -A 为Smith 标准形：)),(,),(),(diag(21λλλλn d d d A I ≅−则是A 的n 个不变因子；)(,),(),(21λλλn d d d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),()()()(),()()(),()(2121211λλλλλλλλλn n d d d D d d D d D （2）令则是A 的n 个行列式因子；)(,),(),(21λλλn D D D（3）将矩阵A 的不变因子进行标准分解，则全体一次因式的方幂)(,),(),(21λλλn d d d sn s n n )(,,)(,)(2121λλλλλλ−−− 即为A 的全部初等因子.4.Jordan 标准形的求法（1）求矩阵A 的初等因子;)(,,)(,)(2121sn s n n λλλλλλ−−− ).,,,(diag 21s J J J J =（3）A 的Jordan 标准形为（2）对A 的每个初等因子构造Jordan 块：in i )(λλ−;1001i i n n i i i i J ×⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ第四章矩阵的因子分解1.满秩分解设m ×n 矩阵A 的秩为r≥1，则存在m ×r 列满秩矩阵B和r ×n 行满秩矩阵C,使得A = BC.2.三角分解（1）LU分解：设A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U,使得A = LU.3.QR 分解（1）设A 是n 阶非奇异实矩阵，则存在酉矩阵Q 和非奇异上三角矩阵R ，使得A = QR ；（2）LDU 分解：设A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵L ，单位上三角矩阵U 和对角矩阵D = diag(d 1,d 2,…,d n )，使得A = LDU ,并且.,,2,)()(,1111n k A A d a d k k k =ΔΔ==−（2）设A 是m ×n 列满秩矩阵，则存在m ×n 列正交规范矩阵Q 和n 阶非奇异上三角矩阵R ，使得A = QR ；4.Schur 定理(正交分解)（1）设A 是n 阶复矩阵，则存在n 阶酉矩阵U 和n阶上三角矩阵R ,使得U H AU = R ；.,行满秩矩阵是列正交规范矩阵是其中n r R r m Q ××（3）设A 是矩阵且，则A 有分解式：n m ×,QR A =0)(rank >=r A （2）设A 是n 阶实矩阵，则存在n 阶正交矩阵Q 和n 阶块上三角矩阵R ,使得Q T AQ = R .5.奇异值分解.,,),,,(diag 11的正奇异值是且其中A r r σσσσ =Σ设A 是m ×n 实（复）矩阵，且rank (A ) = r ，则存在m 阶正交（酉）矩阵V 和n 阶正交（酉）矩阵U ，使得,000000⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Σ=AU V AU V H T6.正规矩阵的性质（1）n 阶矩阵A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为A 是正规矩阵；（2）设A, B 均为n 阶正规矩阵且AB =BA，则存在n 阶酉矩阵U，使得U H AU与U H BU同时为对角矩阵；（3）若A是正规矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量正交；（4）若A是正规矩阵，则A 的奇异值是A 的特征值的模.第五章Hermite矩阵与正定矩阵1.Hermite矩阵的性质(1) 如果A 是Hermite矩阵，则对正整数k，A k也是Hermite矩阵；(2) 如果A 是可逆Hermite矩阵，则A-1是Hermite矩阵；(3) 若A, B 是Hermite矩阵，则AB 是Hermite矩阵的充分必要条件是AB = BA；(4) 若A 是Hermite矩阵，则对任意方阵S，S H AS 也是Hermite矩阵；（5）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的所有特征值全是实数；（6）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量互相正交；（7）A 为n 阶Hermite 矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U 使得),,,,(diag 21n H AU U λλλ =Λ=.,,,21均为实数其中n λλλ2. Hermite 矩阵正定的判别方法(1) A 的n 个特征值均为正数；(2) 存在n 阶可逆矩阵P ,使得P HAP = I ；(3) 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得A = Q H Q ；(4) 存在n 阶可逆Hermite 矩阵S ,使得A = S 2；（5）A 的顺序主子式均为正数，即;,,1,0)(n k A k =>Δ（6）A 的所有主子式全大于零.3.正定矩阵的性质则其特征值为阶正定矩阵是设,,,,,21n n A λλλ 是正定矩阵；1)1(−A ;0,)2(>×AQ Q m n Q H 则列满秩矩阵是任一如果;,,2,1,)tr(;0)3(n i A A i =>>λ(4) 设A ,B 均为n 阶Hermite 矩阵，且B > 0，则存在可逆矩阵P ,使得.),,,,(diag 21I BP P AP P Hn H ==λλλ4. Hermite 矩阵半正定的判别方法(1)A 的n 个特征值均为非负数；;0002⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=r H I AP P P n 使得阶可逆矩阵）存在（;)3(Q Q A Q r H=使得的矩阵存在秩为;,Hermite 42S A S n r =使得矩阵阶的）存在秩为（(5)A 的所有主子式均非负.5.矩阵不等式;0)1(≥−⇔≥B A B A ;,)2(Bx x Ax x C x B A H H n ≥∈∀⇔≥有都有阶可逆矩阵对任意P n B A B A ⇔>≥)()4();(BP P AP P BP P AP P H H H H >≥则设),,,(diag ),,,(diag )3(11n n b b B a a A ==);,,2,1)(()(n i b a b a B A B A i i i i =>≥⇔>≥(5)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵且A ≥0, B >0，则;1)(1≤⇔≥−AB A B ρ;1)(1<⇔>−AB A B ρ(6)设A 是n 阶Hermite 矩阵,则;)()(max min I A A I A λλ≤≤(8)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵,且AB = BA ,则;022B A B A ≥⇒≥≥;022B A B A >⇒>>.0,0,0)10(≥=≥≥AC CA AC C A 则且设;0,0,0)9(>=>>AC CA AC C A 则且设(7)设A 是Hermite 非负定矩阵，则A ≤tr(A ) I ；第六章范数与极限1.向量范数;2)2(21122⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑=ni ix x 范数;1)1(11∑==−ni i x x 范数;max )3(1i ni x x ≤≤∞=−∞范数.1,)4(11>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑=p x xp pni pi p范数2.矩阵范数;||max 1)1(111∑=≤≤=−mi ij nj a A 范数;)]([2)2(21max 2A A A Hλ=−范数;||max )3(111Hnj ij mi Aa A ==−∞∑=≤≤∞范数().)(||)4(2121112A A tr a A F H m i nj ij F=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∑∑==范数3.矩阵范数与向量范数的联系，则且设∞=∈×,2,1p CA nm .max 1p x p Ax A p==;)1(p ppB AAB≤;)2(22B A AB F ≤.)3(2F FB A AB≤4.矩阵范数的相容性则且设,,,2,1,,F p CB CA kn nm ∞=∈∈××;)3(p pppA UAVAVUA===;)1(p pTpHA AA==;)2(222A A A H=5.矩阵范数的性质.)4(122∞≤A A A 则是酉矩阵和设,,2,,F p V U CA nm =∈×6.矩阵的谱半径;)(,,)1(A A CC A nn nn ≤⋅∈××ρ有上的任一相容矩阵范数则对设;)(,,0,)2(ερε+≤⋅>∀∈××A A CCA nn nn 使得上存在相容矩阵范数在则设.,)(,)3(R A CR A CA nn nn <⋅<∈××使得存在相容矩阵范数上的充分必要条件是在则设ρ7.矩阵序列与矩阵级数;0lim lim lim )1()()()(=−⇔=⇔=∞→∞→∞→A Aa a A Ak k ij k ijk k k ;,;,发散则如果绝对收敛则如果的收敛半径为设级数∑∑∑∞=∞=∞=><0)(,)()2(k kk k kkk kk A c R A A cR A R z c ρρ;0lim 1)()3(0=⇔<⇔∞→∞=∑kk k kA A Aρ收敛矩阵幂级数.,1,)4(1可逆则的相容矩阵范数且上是，是非奇异矩阵设E A E A CCE CA nn nn nn +<⋅∈∈−×××1.加号逆的定义;1A AGA =）（;2G GAG =）（;)(3AG AG T=）（.)(4GA GA T=）（设A ∈R m ×n ,则G =A +的充分必要条件是:第八章广义逆矩阵2.加号逆在方程组中的应用;)1(b b AA b Ax ==+相容的充要条件是方程组则其通解是相容若,)2(b Ax =是则其最小二乘解的通式不相容若,)4(b Ax =;,)3(是其极小范数解则相容若b A x b Ax +==;,)(nR y y A A I b A x ∈∀−+=++;,)(nR y y A A I b A x ∈∀−+=++.,)5(b A x b Ax +==则其极小最小二乘解是不相容若3.加号逆在矩阵方程中的应用;C B CB AA =++(1)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是.,Y AYBB A Y CB A X ∀−+=++++(2)如果AXB = C 有解，则其通解是4.加号逆的计算;)(,)1(1TT A A A A A −+=则列满秩若;)(,)2(1−+=T T AA A A A 则行满秩若(3)设A 的满秩分解为A = BC ,则.)()(11TTT TB B B CC C B C A −−+++==。

2014线性代数讲义

a11 b1 a b ， x2 = 21 2 a11 a12 a21 a22
；这里将上述 D2 中 a, b, c, d 排成的两行
a b c d
两列定义为 ad − bc 的符号
称为二阶行列式。三元方程组
的情形类似，也可通过定义所谓的“三阶行列式” ，来描述方程组的解；这里，不再累述！从上述二、三阶行列式对于求解二、三元方程组的作用的得到启发，能否“引进” “ n 阶行列式”来讨论 n 元方程组的求解；我们先来分析二、三阶行列式 D2 , D3 的特点： ① D2 , D3 均是一个数，它们分别是 2!,3! 项的代数和，而每一项又是来自不同行、不同列的 2 个因子和 3 个因子的乘积；②带正号的项与带负号的项各占一半。若规定：每一项的各因子 aij 按这样的顺序写出—第一个下标排成自然序；则易见：对于 D2 ，带正号的项第二个下标排列为 12 ，带负号的第二个下标的排列为 21 ，与自然序 12 颠倒；对于 D3 ，带正号的项第二个下标的排列分别是 123 、231 和 312 ，带负号的项则为 321 、 213 和 132 ；它们颠倒的个数分别为偶数和奇数；从而，颠倒个数的奇偶性决定该项的正负性！【排列（Arrangement）】由 1, 2,L , n 这 n 个数（码）组成的任
第一章
行列式（determinant）
行列式源于求解线性方程组，其基础内容于 19 世纪由 Cauchy 所奠定；行列式的应用主要体现在：①求解线性方程组；②求矩阵的秩；③判断向量的相关性；④求矩阵的特
1
征值等等。目前，其理论也早已超出求解线性方程组的范围，而广泛应用于经济学、力学、工程数学等其他领域。
；2）求下列 f ( x ) 中 x 4 , x3 的