D8_3二重积分在几何上的应用
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一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V dxdydz
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例1. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
d
a
d A a2 sin d d
ad
A a2
2
d
sin d
0
0
o
x
y
4 a2
方法2 利用直角坐标方程. (见书 P202)
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作业
P203 1（1），2
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
Dx y
Fz
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2, 则
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
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例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
解: 方法1 利用球坐标方程.
设球面方程为 r a
球面面积元素为
z
a sin
a sind
dxdydz
2
d
sin d
2a cos r 2 d r
0
0
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
30
3
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二、曲面的面积
设光滑曲面
z
n
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
d cos d A
d y
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
(称为面积元素)
nz
dA
M d
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故有曲面面积公式
A D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
它与曲面
Байду номын сангаас
的交线在 xoy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
V
D
2x0
x
2
y0
y
1
x02
y02
x2
y2d
x
d
y
D1 (x x0 )2 ( y y0 )2 d x d y
令 x x0 r cos , y y0 r sin
第三节
第八章
二重积分在几何上的应用
一、体积 和平面图形的面积 二、曲面的面积
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1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从定积分定义出发 建立积分式
3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
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若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
D
r2
r
d
r
d
2
0
d
1r3 0
d
r
2
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例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
内接锥面所围成的立体的体积.
2a
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
0 r 2a cos
M r
: 0 0 2
则立体体积为
xo y
d v r 2 sind d dr
V
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V dxdydz
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例1. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
d
a
d A a2 sin d d
ad
A a2
2
d
sin d
0
0
o
x
y
4 a2
方法2 利用直角坐标方程. (见书 P202)
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作业
P203 1（1），2
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
Dx y
Fz
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面
出的面积 A .
解: 曲面在 xoy 面上投影为 D : x2 y2 R2, 则
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
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例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
解: 方法1 利用球坐标方程.
设球面方程为 r a
球面面积元素为
z
a sin
a sind
dxdydz
2
d
sin d
2a cos r 2 d r
0
0
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
30
3
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二、曲面的面积
设光滑曲面
z
n
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
d cos d A
d y
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
(称为面积元素)
nz
dA
M d
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故有曲面面积公式
A D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
它与曲面
Байду номын сангаас
的交线在 xoy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
V
D
2x0
x
2
y0
y
1
x02
y02
x2
y2d
x
d
y
D1 (x x0 )2 ( y y0 )2 d x d y
令 x x0 r cos , y y0 r sin
第三节
第八章
二重积分在几何上的应用
一、体积 和平面图形的面积 二、曲面的面积
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1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性
2. 用重积分解决问题的方法 • 用微元分析法 (元素法) • 从定积分定义出发 建立积分式
3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
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若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
D
r2
r
d
r
d
2
0
d
1r3 0
d
r
2
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例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
内接锥面所围成的立体的体积.
2a
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
0 r 2a cos
M r
: 0 0 2
则立体体积为
xo y
d v r 2 sind d dr
V