第5讲 数列的综合应用

第5讲数列的综合应用

【2013年高考会这样考】

1．以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．2．考查数列与函数、不等式等交汇的问题．

【复习指导】

1．本节复习时，需要有扎实的基本功，通过一定量的题型训练，掌握解题的通性、通法，但不要一味地做难度较大的题目．

2．认真研究数列与其他知识点的交汇题，以增加解题经验，选准突破口．3．对数列应用题，要培养从中筛选信息的能力以及建立数列模型的能力．

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

不同点相同点

等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项

的差；

(2)a1和d可以为零；

(3)等差中项唯一

(1)强调从第二项

起每一项与前项

的比；

(2)a1与q均不为

零；

(3)等比中项有两

个值

等比数列(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；

(2)结果都必须是同一个常数；

(3)数列都可由a1，d或a1，q确定

2.解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．

3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化

而变化时，应考虑是a n与a n

＋1的递推关系，还是S n与S n

＋1

之间的递推关系．

一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．

两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

三种思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．

(2)数列与不等式结合时需注意放缩．

(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()．

A．－4 B．－6

C ．－8

D ．－10

解析 由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6.

答案 B

2．(2011·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )．

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，

∴q ＝2.∴S 4＝1－24

1－2

＝15. 答案 C

3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )．

A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10

B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10

C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定

解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝

2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6

)＝a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 6

q 3＝b 7⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10.

答案 B

4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )．

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)

或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.

答案 D

5．(2012·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．

解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0，

S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0，

∴n ＝10时，S n 最大．

答案 10

考向一 等差数列与等比数列的综合应用

【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.

(1)求数列{a n }的通项a n ；

(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．

[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明．

(1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，

a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，

解得⎩

⎨⎧

a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. (2)证明 由(1)，得

b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，

∴b n ＋1b n

＝4n ＋1

4n ＝4. ∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．

【训练1】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)．

(1)求{a n }的通项公式；