第6章(2)导纳阻抗的一般性质

6Ω 30Ω
j15Ω
j12Ω
(c)等效电路一：串联等效
(d)等效电路二：并联等效
如果知道激励信号频率，则可计算出电感的自感系数L。
第六章 正弦电路的稳态分析
4. 阻抗和导纳的等效互换 用复阻抗Z和复导纳Y表示的两种最简等效电路 可以相互等效变换。变换公式可根据电路等效的概 念求得。 在正弦稳态电路中，两个电路模型欲实现等效，则 需端口处有相同的VCR，即 U = ZI 和 I = YU 完全相同， 显然要求Z与Y互为倒数，
G= R 14.04 14.04 = = S 2 2 2 2 R +X 14.04 + 4.56 217.9
如愿用电阻R’来表示这一元件，则
1 217.9 = 15.52Ω R' = = G 14.04
另一元件导纳为
B=− X 4.56 =− S 2 2 R +X 217.9
B＜0，电纳为电感性。如愿用电抗X’来表示，则
(6.3-11)
|Y|=I/U称为导纳模，导纳模等于电流 I 与电压U 的有效值之比；φY称为导纳角(admittance angle)， 是电流与电压之间的位相差。
第六章 正弦电路的稳态分析
③ 导纳也可以表示为代数形式 Y = G + jB
(6.3-12)
Y的实部G称为电导(conductance)，虚部B称为电纳 (susceptance)。 ④ |Y|、G、B之间的关系为：
第六章 正弦电路的稳态分析
例6.3-2 RL串联电路如6.3-6(a)所示。若要求在
ω=106rad/s时，把它等效成R′L′并联电路(b)，试 求R′和L′的大小。
50Ω
R'
0.06mH
L'
（a） 图 6.3-6 例 6.3-2 用图
（b）
第六章 正弦电路的稳态分析
解： RL 串联电路的阻抗为
第六章 正弦电路的稳态分析
⑤ 单个元件R、L和C时，它们相应的导纳分别为
1 Y = =G R Y= 1 jωL =−j 1 = − jBL ωL
(6.3-15)
Y = jωC = jBC
1 式中G为电导，BL = ωL
和BC=ωC分别为电感的
电纳，简称感纳和电容的电纳，简称容纳， 单 位为西门子(S)。 说明Y可以是纯实数，也可以是纯虚数。
在这一频率时，电抗分量为负值，说明等效电路的两 串联元件是电阻与电容。电阻为4.35Ω，电容为 1/11.02=0.00907F,
4.35Ω
0.00907F
第六章 正弦电路的稳态分析
另一等效电路系由两个元件并联组成。本例直接引 用Y=1/Z来求解，
1 1 4.35 + j11.02 Y ( j10) = = = Z ( j10) 4.35 − j11.02 4.352 + 11.022 4.35 + j11.02 4.35 11.02 = = +j = G + jB 140.36 140.36 140.36
Y = G2 + B2 ⎫ ⎪ B ⎬ ϕY = arctg ⎪ G ⎭
(6.3-13)
或
G = Y cos ϕY ⎫ ⎪ ⎬ B = Y sin ϕY ⎪ ⎭
(6.3-14)
第六章 正弦电路的稳态分析
可以用导纳三角形(admittance triangle)表示。
|Y |
ϕY
G
B
图6.3-3 导纳三角形
(6.3-2)
式中
U ⎫ Z = ⎪ I ⎬ φZ = ϕ u − ϕ i ⎪ ⎭
(6.3-3)
|Z|=U/I称为阻抗模，单位为欧姆，等于端口电压与端 口电流有效值之比；φz称为阻抗角(impedance angle) ，它是端口电压与电流之间的位相差。
第六章 正弦电路的稳态分析
③阻抗也可以表示为代数形式
X '=− 1 217.9 = = 47.79Ω B 4.56
第六章 正弦电路的稳态分析
X’>0，电抗为电感性、等效电路中的另一并联元件 为电感，电感值为L=X’/ω=47.79/4=11.95H。 等效电路如图，
15.52Ω
11.95H
第六章 正弦电路的稳态分析
②当ω=10rad/s时，
Z ( j10) = (7 + j 20)(1 − j8) (167 − j 36)(8 − j12) = 7 + j 20 + 1 − j8 (8 + j12)(8 − j12) 904 − j 2292 = = 4.35 − j11.02 Ω 64 + 144
第六章 正弦电路的稳态分析
6.3-4 串联电路和其等效的并联电路 正弦电路中同一个无源(独立源)一端口电路，当从其端口看进去时， 可分别用电阻R和电抗jX串联的复阻抗模型或电导G和电纳jB并联的复导 纳模型等效。
第六章 正弦电路的稳态分析 例6.3-1 求如图6.3-5(a)电路的等效阻抗和导纳，并绘出等效电 路。
第六章 正弦电路的稳态分析
3.一端口的等效电路：
在正弦稳态情况下，我们求得一个一端口网络的 输入阻抗Z及输入导纳Y，这就意味着存在两种最简 单的等效电路，通常是由两个元件组成，一种是由阻 抗ZR=R(ω)和ZX(ω)=jX(ω)串联组成，另一种则是由 导纳YG(ω)=G(ω)和YB(ω)=jB(ω)并联组成，如图6.3-4 所示。它们是最简单的等效电路。
所谓等效电路一般均系指最简单的等效电路。 由求得的阻抗可知，等效电路应包含两个串联的元 件：其一为电阻，其值为14.04Ω；另一为电感，其 值为4.56/4=1.14H。等效电路为
14.04Ω
1.14HBiblioteka 第六章 正弦电路的稳态分析
另一等效电路系由两个并联元件组成。在已求得一 端口网络阻抗的情况下，可利用(6.3-18)式求得这一等 效电路。其中一个元件的电导为
一、无源一端口的阻抗与导纳 等效电路
无源线性一端口网络
等效电路一
等效电路二
图6.3-1 一端口的等效阻抗及其等效电路
第六章 正弦电路的稳态分析
1.阻抗的定义： 不含独立源线性一端口网络，在正弦电源激 ① 励下处于稳定状态时，端口电压和电流将是同频 率的正弦量，且二者相量一定成正比。定义端口 的电压相量和电流相量的比值为该一端口的阻抗， 并用Z表示 U Z≡ (6.3-1) 单位：Ω
1 分别为电感的电 ωC
式中R为电阻，X L = ω L 和 姆(Ω)。
XC =
抗,简称感抗和电容的电抗，简称容抗， 单位为欧
上式说明Z可以是纯实数，也可以是纯虚数。
第六章 正弦电路的稳态分析
2.导纳的定义： 无源线性一端口网络，在角频率为ω的正弦电 ① 源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压 相量的比值定义为该一端口的导纳，并用Y表示 。 即 I Y= 单位：S (6.3-8) U 或 1 (6.3-9) Y=
7Ω 2H
1Ω
1 F 80
7Ω
1Ω
j 2ω Ω
−j
80
ω
Ω
(a)
图 6.3-7 例 6.3-3 用图
(b)
第六章 正弦电路的稳态分析
解：①当ω=4rad/s时，
(7 + j8)(1 − j 20) (167 − j132)(8 + j12) = Z ( j 4) = 7 + j8 + 1 − j 20 (8 − j12)(8 + j12) 2920 + j 948 = = 14.04 + j 4.56 Ω 66 + 144
1 1 Z= or Y = (6.3-16) Y Z （上式包含两部分意义：模和幅角）
由上述等效的概念所得基本关系进而可推导出Z、 Y等效互换时元件参数之间关系如下：
第六章 正弦电路的稳态分析
①已知元件参数G和B，求等效元件参数R和X 时，有
1 1 G B Z = R + jX = = = 2 −j 2 2 Y G + jB G + B G + B2
j120Ω j 900Ω j120Ω
− j100Ω
600Ω
+
IS
①
I 2 j 900Ω
600Ω
I1
− j100Ω
−
U
Z
(a)
图 6.3-5
(b)
解：设在一端口外加电流源，来求端口电压相量。 对独立节点1和独立回路列写KCL、KVL方程，有
第六章 正弦电路的稳态分析
I S = I1 + I 2 U = j120 I S + (− j100) I1 j 900 I 2 + 600 I 2 = (− j100) I1
I
由于Z为复数，称为复阻抗(complex impedance)， Z 也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。
复阻抗定义为相量之比，必然是复数，但不是相量，即并不代表正 弦量。它是描述无源一端口网络特性的参数，故Z字母上不加圆点。
第六章 正弦电路的稳态分析
② 阻抗Z可以表示为
U ∠ϕu U = ∠ϕu − ϕi = Z ∠ϕ z Z= I ∠ϕ i I
Z
Y 为复数，称为复导纳(complex admittance)，Y 也 称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。
第六章 正弦电路的稳态分析
② 导纳Y可以表示为
I ∠ϕ i I Y= = ∠ϕi − ϕu = Y ∠ϕY U ∠ϕ u U
(6.3-10)
式中
⎫ ⎪ ⎬ ϕY = ϕi − ϕu = −ϕ Z ⎪ ⎭ Y = I 1 = U Z
X L = ω L = 106 × 0.06 × 10−3 = 60Ω Z = R + jX L = 50 + j 60 = 78.1∠50.2°Ω