时滞Duffing方程的概周期解
一类时滞Duffing型方程周期解
１ 引言 及 引 理
Ｄ ｆｎ 方程 ｚ （ ） （ ）＝ Ｐ ｔ 周期解是由机械振动模型产生的， ｕｉ ｆｇ ｔ ＋ｇ ｘ （） 后来 ， 人们用它刻画了很多领域
中的实 际问题 ， ｆｎ 程有许 多种形 式 ． ： ［ ］ Ｄｕ ｉｇ方 如 文 １ 在单 侧有 界 条件 下 ， 用重合 度 理论 ， 究 了方程 利 研
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第 ３ Ｏ卷 ４期 ２ ０７ ７ ０ 年 月
安 徽师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｎｏｍａ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌ ｃｅｃ） ｏ ｒａ ｈ ｉ ｒ ｌ ｉｅｓｙ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｅ ｏＡ ｔ ｎ
＋ｇ（ ｔ— ｘ（
ｒ ）＝ 户（ ）（ ＞ １ ， ） ｔ ） 得到 周期 解存 在 的新 结果 ， 改进 和推 广 了已有文 献的 结果 ．
关 键词 ： ｆｎ Ｄｕｆ ｇ方程 ； ｉ 周期 解 ； 重合 度 ； 时滞 中图分类 号 ： ７ ． ０１５ ６ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：０ １ ４ ３２ ０ ）４ ４５—０ １０ —２ ４ ［０７０ ～０２ ４
…
≤ 忌＜ 一６ ；
［ ］ ｚ ＝『 『 ， Ｈ２ ” ｚ Ｖｚ∈ Ｒ．
则 当 ， ０时 ， 程 （ ） ｚ＞ 方 ３ 存在 周 期解 ． 证 明 考虑 方程
。
广Ｔ
广ｔ
Ｌ ： Ｌ （）［ （ 李。 ） ＋。 一） ｓ ＤＬ・ ｂＩ —ＤＬ Ｌ ￡ Ｊｚ ｄ Ｊ￡ ） ∈ （） ｍ ］） ｓｓ （ （ｄ
ｙ— ｙ分别为投影算子 ， ｘ是有界开集 ， 一 ｙ在 上是 Ｌ 紧的． ｎ Ｎ： ． 如果下列条件满足：
（ ）ｋ ≠ ａ １ Ｎｘ， ∈ ａ ｎ Ｄ（ ， ∈ （ ，） Ｖｚ ｎ Ｌ） ０１；
用最优化方法计算时滞微分方程的周期解-论文
Ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ Ｄｅ ｌ ａ ｙ ｅ ｄ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｖ ｉ ａ Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ Ｏｐｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
是得 到分岔 周期解 的分 岔点 、周期 及用 中心 流形 和规范性 理论 计 算分 岔 周期 解 的稳定 性．在 数值 计算
时滞微 分方 程周 期解 的方法 中 ，Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ － Ｐ ｉ ｅ ａ ｒ ｄ法 通过 降低 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 矩 阵 中非 零 元素 的个 数 提 高计 算 效
时滞 微分 方程 是一 类重 要 的数 学模 型 ，应用 广泛 ，目前 已有许 多研 究结 果 ．如 时滞 微 分方 程 的数 值 稳 定性 分析 、时滞微 分方 程 周期解 的存 在性 、唯一 性及 其数 值解 的分 析等
．
时滞微 分方 程是 复 杂
的无穷 维 系统 ， 系统 的 平衡点 经过 Ｈｏ ｐ ｆ 分 岔 可以产 生周期 解 ．时滞 系统 初值定 义 在一段 区 间上 ， 因
ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｔｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｓ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｅ ｄ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ １
摘 要 ：给 出一种用 最优 化 方法计 算 时滞微 分 方程周 期 解 的方 法．该 方 法先 将寻 找 时滞微 分 方
程周 期解 的 问题 转 化为 一个 有约 束 的最优 化 问题 ，再 用最 优 化 方法 计算 周 期解．在 数 值 计算
Duffing方程及其解
duffing方程Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究，Duffing 方程具有重要的意义。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
它的标准形式为：>0为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。
关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。
因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。
本研究首先考虑下列时间尺度上带有狄尼克莱边值条件的Duffing动力学方程{u△△(t)+Cu△(σ(t))-r(t)uσ(t)+f(σ(t),uσ(t))=h(t),t∈[0,σ(T)]KT2,u(0)=0=uσ(T)。
利用变分方法,我们得到了一些保证以上问题至少存在一个解的充分条件。
紧接着.利用Ricceri变分原理以及局部山路引理,我们研究了下列扰动型Duffing方程三个解的存在性:{u"(t)+Cu'(t)+f(t,u(t))+λg(t,u(t))=p(t),t∈[0,T]u(0)=0=u(T)以及无扰动项的Duffing方程三个解的存在性:J Zt”(t)+cu’(t)+t厂(z,u(f))=p(z),t ∈[0,丁],I乱(0)=0:札(丁)。
duffing方程
非线性电路理论报告——Duffing方程的混沌现象仿真与分析摘要：Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
本文对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析，对于Duffing方程的混沌现象有更深入系统的认识。
关键词：Duffing方程；Matlab仿真；混沌1 引言混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。
Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。
本文用MATLAB对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。
Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究Duffing方程具有重要的意义。
它的标准形式为:其中，为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程通常作如下分类：(1)假设g(x)满足超线性条件:则称Duffing方程是超线性的;(2)假设g(x)满足次线性条件:则称Duffing方程是次线性的;(3)假设g(x)满足半线性条件:则称Duffing方程式半线性的。
若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型：1)2)3)4)其中，类型1为硬特性Duffing方程；类型2和4成为软特性Duffing方程；类型3称为日本型，日本学者上田研究较多，并发现了日本吸引子，也称为Ueda 吸引子；美国科学家P.Holmes对类型4的Duffing方程进行了深入的研究，因此类型4也称为P.Holmes型Duffing方程。
时滞Duffing型方程周期解的存在唯一性
数
学
物
理
学
报
Ｖ １７ ０２ ｌ． Ａ
给 定记号 ： ｆｔ ｔ Ｆ． （ｄ ＝一 并作 如下 定义 ） 定 义 设 ｚ∈Ｃ ， ， Ｒ）任意 ｔ ∈Ｒ有 ｚ ＠＋Ｔ ＝ｚｔ， 且 ｚｔ 使方 程 （） 立，则称 ） （ 并 ） （ ） １成 ｚｔ 为方 程 （） （ ） １ 的 周 期解 ． 给定 Ｂａａｈ空 间 ， 及 中的 有界 开集 Ｑ． ： ｏ Ｌ ｃ Ｘ — ｙ 为 线性算 子 ，如果 ｎｃ ｙ Ｌ ｄｍ（） ｄｍｋｒＬ ＝ ｏ ｉ Ｉ Ｌ ） ｉ ｅ（） ｃｄｍ（ ｍ（） ＜＋。 ， Ｉ Ｌ 为 ｙ 中的闭子 集， 。 且 ｍ（） 则称 Ｌ是 指标 为 ０的 Ｆｅｈ ｌ ｒｄ ｏ ｍ
的． 其中 为 Ｑ的闭包， ｄｍ Ｌ 为 Ｌ的定义域， Ｉ （） Ｙ 有 ｚ Ｎ ｏ （） ｏ （） ｍ Ｌ ＝｛ ∈ ｌ ∈Ｘ ｄｍ Ｌ， 使
Ｌ ＝Ｙ 为 的象集，ｋｒ ） ｘ Ｘ］ ＝０ 为 的核． ｘ ） ｅＬ： ∈ Ｌ ） （ ｘ 在此引用Ｍ ｗｉ连续定理ｆ ａｈ ｎ ７ ］ ．
收稿 日期： ０ ５０ —８ 修订 日期： ０ ６０ － ３ ２ ０ — １２ ； ２ ０ —４ １
Ｅ— ａ ｌ ｉ ｎｇ ｉ ｍ ｉ：ｘ ｐｉ ｌｕ￣ １ ３． ｏ ６ ｃｍ
基金项 目：上海市教委 自然科学基金 （５ ５ ）资助 ０ ＥＺ ２
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．
本文 利用拓 扑度理 论在较 弱 的条件 下研 究了一类 时滞 依赖状 态 自身 的广义 Ｄ ｆｎ ｕ ｉｇ型泛 函微分 方程
（ ＋ｇｘｔ ＿ ， ￡）） （ ￡ ） （（ 一７ ￡ ）） ＝ｆ ｔ （ （ ） （） １
的 周期解 的 存在 性 ，得 到 了方 程存 在周 期解 的 充分 条件 和 必要 条件 ．这里 丁￡Ｘ （ ）＞ ０为 关 ， 于 时 间 ￡ 当前状 态 Ｘ的二 元 函数．即使 在 丁￡ ￡） 化为 常数 丁或 一元 函数 丁￡ 的情 况 和 （ （） 退 ， （ ）
Duffing方程介绍与仿真应用
非线性电路理论及应用报告• Duffing方程介绍与仿真应用姓名：马博学号：25班级：硕3022班完成时间：在非线性振动理论研究中，Duffing方程是一种具有代表性的微分方程式。
本文首先对Duffing方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing方程进行了不同参数下的Mat lab仿真；最后，本文介绍了Duffing方程的微弱信号频率检测，以Holmes型Duffing方程为例进行了分析说明。
关镀词：Duffing方程；非线性；Mat la b仿真；混沌；弱信号检测1Duffing方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。
定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。
著名的Duffing方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。
其特点之一是在Duffing方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。
正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象⑴。
(Duffing方程的准形式为：d2x ^dx /、、+ / +g(x) = /(x,t)dt~ dt其中5>0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，/(x,t)为一周期函数。
Duffing方程通常作如下分类⑵：1.假设g(x)满足超线性条件lim型十L T—OO x则称Duffing方程是超线性的；2.假设g(x)满足次线性条件lim 型=0L T—oc 牙则称Duffing方程是次线性的；3.假设g(x)满足半线性条件0 < lim inf < lim sup ^―— < -+<olxlT8 牙Ldoc x则称Duffing方程是半线性的。
若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型⑶:d2x f dx八彳八”-—T + ^ —+ X(t) + X (t) = j cos(t) (1-1)d2x . dx八彳八彳八,+x(t)x(t)=/cos(t)+(1-2)dxd2x+ k — + x3(t) = f cos(t) (1-3)crx f dx、勺八 c眉 + 匚- x(t) + F (t) = f cos(t) (1一4)其中k大于零，是阻尼系数，/cos（t）是系统外力。
非线性n维Duffing方程的概周期解
Ａ —Ｖ Ｕ（ ） Ⅳ（ ， ｘ ｔ ＝ ｆ ， ）
一
（） １ （） ２
”
Ａ —Ｖ Ｕ（ ＝ ） ｘ ｔ ） Ｇ（ ， ，
其 中 ， … ，，∈ ， ａ） （ 正 定 对 称 矩 ＝ ， ） Ａ＝（ｏ ， 是
义 的结 果 ．
在 上述 文献 的 影 响 下 ，本 文考 虑 下 述 ｎ维
Ｄｕ ｆ ｇ 方 程 ｆｎ ｉ
”
一
从 存 ０ ，当 ∈ｘ 孚， 孚］， 而 在８０ 置 Ｉ一 时有ｌ ＞使 ＋
Ｖ （ ¨ 一 ｔ ｔ ）Ｖ （ Ｕ￣ Ｕ ）＞ ｊ ￣． ｌ｝，ｉ１对固 ＞
■瞄雹■
１引 言
■
界性 的研 究一 直是一 个 非 常活 跃 的研 究课题 ． 但
是 ，对 拟 周期 或 概 周 期 的 Ｄｕ ｎ ｉ ｒ ｇ方程 的研 究却 非
圆 研来，工 解 中 的背Ｄ解 的 究已期作次 于期ｕ早ｎ集 定 由 方调要 其 应景ｕ程 在 Ｄ．ｒ和 性 ｒ程ｇ 广 用对和 周 ｉ 的方 泛ｎｉ ｇ 久 主
２０ ０ ７年
非 线 性 ｎ维 Ｄｕ ｎ ｇ方 程 的 ｉ ｒ 概周期解．
口陈 凯 ， 张琼 芬 ， 李传华
（、 、 ． 西师 范大 学 数 学科 学 学 院 硕 士 研 究生 ， 西 桂 林 ５ １０） １２ ３广 广 ４０４
【 要 】 概周期函数的性质和不动点原理， 摘 基于 研究ｎ 维强迫Ｄ ｆ ｇ ｕ ｎ 系统ｘ－ ｘ ｕ ｔ ｉ ｆ ＂Ａ — （ ，
Ｘ＝ ｆ ） Ⅳ（ ）和 ｘ－ ｘ ｕ（Ｘ＝ ｆ ） ＂Ａ — ｔ ） Ｇ（Ｘ 的概周期 解 ， ， ， 分别得 到 了系统存在 唯 一概周 期解 的一 组 充
Duffing型p-Laplacian方程的周期解
Periodic solutions for Duffing type p -Laplacian equationsYuanhong Wei 1,Shaoyun Shi 1,2∗1College of Mathematics,Jilin University,Changchun 130012,P.R.China2Key Laboratory of Symbolic Computation andKnowledge Engineering of Ministry of Education,Changchun 130012,P.R.ChinaE-mail:yuanhongwei@,shisy@,AbstractIn this paper,we study periodic solutions for a class of Duffing type p -Laplacian equations.By using the Man´a sevich-Mawhin continuation theorem,some new results on the existence of periodic solutions are obtained.Keywords:Periodic solution;Duffing type p -Laplacian euqations;Man´a sevich-Mawhin con-tinuation theoremMathematics Subject Classification:34C25,54H251IntroductionIn recent years,many works have focused on the investigation of existence and uniqueness of periodic solutions for Duffing equations,see,for instance,[3,4,5,7,8,9,10]and references therein.In [1],Zhang and Li considered the one-dimensional Duffing type p -Laplacian equation(ϕp (x (t ))) +Cx (t )+g (t,x (t ))=e (t ),(1)where t,x ∈R ,p >1,ϕp :R →R is given by ϕp (s )=|s |p −2s for s =0andϕp (0)=0,C is a constant,g (t,x )is continuous and g (t,·)=g (t +T,·),e (t )is acontinuous function,e (t )=e (t +T ), T0e (t )dt =0.They showed that if (A1)(g (t,u 1)−g (t,u 2))(u 1−u 2)<0for u 1=u 2,t ∈R ;(A2)xg (t,x )<0for |x |>0,t ∈R ;(A3)There exist constants K >0and M >0,such that22−p MT p <1,g (t,x ) −M |X |p −1−K,for x 0,t ∈R ,∗Supportedby Program for New Century Excellent Talents in University,NSFC grant (10771083),SRFDP grant(20040183030).1hold,then equation (1)has a unique periodic solution.Then Tang and Li[2]improved the above result.Under the assumptions (A1)and(A2∗)There exists a constant d 0such that xg (t,x )<0for |x |>d ,t ∈R ,they obtained the existence and uniqueness of periodic solution for equation (1).However,these previously known results are just about one-dimensional case,and they exclude the cases xg (t,x ) 0and T0e (t )dt =0.The main purpose of this paper is to present a existence result of periodic solutions for Duffing type p -Laplacian equations.We consider the following Duffing type p -Laplacian equations(ϕp (x (t ))) +ddt∇F (x (t ))+g (t,x (t ))=e (t ),(2)where p >1and ϕp :R n →R n is given by ϕp (s )=|s |p −2s for s =0and ϕp (0)=0,F :R n →R is a C 1function,g :R ×R n →R n is continuous with g (t,·)=g (t +T,·),and e :R →R n is continuous with e (t )=e (t +T ).Let C 1T:={x ∈C 1(R n ):x (0)=x (T ),x (0)=x (T )}.For x ∈C 1T ,define x =|x |∞+|x |∞,where|x |∞=max t ∈[0,T ]|x (t )|,|x |∞=max t ∈[0,T ]|x (t )|.Then C 1Tis a Banach space.Throughout this paper,we denote B r ={x ∈C 1T: x <r }and we make the following assumptions:(H1)There exist constants d 0,M 0with M (T/2)p <1,such that for |x |>d ,x,g (t,x (t )) M |x |p (3)andg (t,x (t ))−e (t )=0;(4)(H2)There exists a consequence {r i }∞i =1,r i ∈R +,r i →+∞,such that theBrouwer degreedeg (G,B r i ∩R n ,0)=0,where G :R n →R n is defined byG (a )=1TT(e (t )−g (t,a ))dt.We have the following result.2Theorem 1.1.Assume that (H1),(H2)hold.Then equation (2)has at least one T -periodic solution.Remark 1.1.Theorem 1can be regarded as the improvement of the results in[1]and [2].In fact,when n =1,∇F (x )=Cx , T0e (t )dt =0,equations (2)is reduced to equation (1).Furthermore,under our assumptions,it is possible that xg (t,x ) 0.More precisely,xg (t,x )can increase as |x |p increase.Remark 1.2.It should be pointed out that the existence of T -periodic solution of (2)can not be ensured without (H2),by observing the equation(ϕp (x (t ))) +1=0.This paper is organized as follows.In section 2,we prove Theorem 1.1by using Man´a sevich-Mawhin continuation theorem.Then in section 3,an example is given to illustrate our result.2Proof of the Theorem 1.1To prove the Theorem 1.1,we first introduce the following lemma.Lemma 2.1.(Man´a sevich-Mawhin [6]).Consider the equations(ϕp (x (t ))) =f (t,x,x ),(5)where f :R ×R n ×R n →R n is continuous and f (t,·,·)=f (t +T,·,·).Assume that (1)For each λ∈(0,1)the equations(ϕp (x (t ))) =λf (t,x,x )has no T -periodic solution on ∂B r .(2)G (a )=0has no solution on ∂B r ∩R n ,whereG (a ):=1T Tf (t,a,0)dt.(3)The Brouwer degreedeg (G,B r ∩R n ,0)=0.Then equation (5)has at least one T -periodic solution in B r .Proof of Theorem 1.1.Consider the following homotopy equation(ϕp (x (t ))) +λddt∇F (x (t ))+λg (t,x (t ))=λe (t ),λ∈[0,1].(6)3We first prove that the set of all possible T -periodic solutions of equation (6)isa bounded subset of C 1T.Let x (t )∈C 1Tbe an arbitrary T -periodic solution of the equation (6).Since x (0)=x (T ),x (0)=x (T ),integrating equation (6)from 0to T ,we getT(g (t,x (t ))−e (t ))dt =0.(7)So there exists ξ∈[0,T ]such thatg (ξ,x (ξ))−e (ξ)=0.By (4)we know that|x (ξ)| d.Therefore|x (t )|=|x (ξ)+tξx(s )ds | d +tξ|x (s )|ds,t ∈[ξ,ξ+T ],|x (t )|=|x (t −T )|=|x (ξ)−ξt −Tx(s )ds | d +ξt −T|x (s )|ds,t ∈[ξ,ξ+T ].Consequently,we have|x |∞=max t ∈[0,T ]|x (t )|=max t ∈[ξ,ξ+T ]|x (t )|max t ∈[ξ,ξ+T ]{d +12( t ξ|x(s )|ds +ξt −T|x (s )|ds )} d +12 T 0|x (s )|ds.(8)LetE 1={t :t ∈[0,T ],|x (t )|>d },E 2={t :t ∈[0,T ],|x (t )| d }.Multiplying equation (6)by x (t )and integrating from 0to T ,by (3),we getT|x (t )|p dt =− T(ϕp (x (t ))) ,x (t ) dt=λ Tddt ∇F (x (t )),x (t ) dt +λT 0 g (t,x (t )),x (t ) dt −λ T 0 e (t ),x (t ) dt =λ T 0g (t,x (t )),x (t ) dt −λ Te (t ),x (t ) dt4=λE1 g(t,x(t)),x(t) dt+λE2g(t,x(t)),x(t) dt−λTe(t),x(t) dtTM|x|p dt+Tmaxt∈[0,T],|x| d|g(t,x(t))||x(t)|dt+T|e(t)||x(t)|dtMT|x|p∞+DT|x|∞,(9) where D=max{|g(t,x(t))|,t∈[0,T],|x| d}+|e|∞.We claim that there exists a constant M1>0,such that|x|∞ M1.In fact,by (9),there exists a constant M∗>M with M∗(T/2)p<1such that for large|x|∞,T0|x (t)|p dt M∗T|x|p∞.(10)H¨o lder inequality followsT0|x (t)|dt (T|x (t)|p dt)1p(T1dt)p−1p=T p−1p(T|x (t)|p dt)1p.(11)Therefore,by(8),(10),(11),we obtain|x|∞ d+12T p−1p(T|x (t)|p dt)1p d+12T M1p∗|x|∞.(12)Since M∗(T/2)p<1,(12)implies that|x|∞ d(1−T2M1p∗)−1.Hence,there exists a constant M1,such that|x|∞ M1.(13)Now we show there exists a constant M2>0such that|x |∞ M2.Since x(0)=x(T),there exists t0∈[0,T]such that x (t0)=0.Byϕp(0)=0we have|x |p−1∞=maxt∈[0,T]|ϕp(x (t))|=maxt∈[t0,t0+T]|tt0(ϕp(x (s))) ds||tt0dds∇F(x(s))ds|+tt0|g(s,x(s))|ds+tt0|e(s)|ds|∇F(x(t))−∇F(x(t0))|+T|g(t,x(t))|dt+T|e(t)|dt2max|x| M1|∇F(x)|+T maxt∈[0,T],|x| M1|g(t,x)|+T|e|∞.Thus,there exists M2,such that|x |∞ M2.(14)5Combining(13)and(14),we getx =|x|∞+|x |∞ M1+M2.(15)This means that the set of all possible T-periodic solutions of equation(6)is a bounded subset of C1T.DefineG(a)=1TT(e(t)−g(t,a))dt.Then from assumption(H2),there exists a constant r>M1+M2+d+1,such that the Brouwer degreedeg(G,B r∩R n,0)=0.By(15),the homotopy equation(6)has no T-periodic solution on∂B r.Furthermore, by(4),we know that G(a)=0has no solution on∂B r∩R n.Hence,by the Man´a sevich-Mawhin theorem,equation(2)has at least one solution in B r.This completes the proof.23An ExampleExample3.1.To illustrate our result,we consider the one-dimensional Duffing type p-Laplacian equation(ϕ4(x (t))) +2x(t)x (t)+C0(2+cos t)x3=sin2(t),(16)where constant C0satisfies|C0|<1 3π4.Note that2πsin2(t)=0,and when C0 0we have C0(2+cos t)x4 0.Furthermore,the second term of the left side is2x(t)x (t)but not Cx (t).Therefore the results in[1]or[2]are not applicable to(16).Let d=1.Then we can easily check that(H1)holds.Furthermore,for any r i>|C0|−13,we have G(r i)<0,G(−r i)>0,so there exists a consequence{r i}∞i=1, r i∈R+,r i→+∞,such that the Brouwer degreedeg(G,B ri∩R n,0)=0.Thus(H2)holds.By Theorem1.1,the equation has at least one2π-periodic solution. AcknowledgementsThe authors are grateful to Professor Yong Li for useful discussions and sugges-tions.6References[1]Zhang,F.&Li,Y.(2007)Exsitence and uniqueness of periodic solutions fora kind of Duffing type p-Laplacian equation,Nonlinear Analysis-Real WorldApplications,doi:10.1016/j.nonrwa.2007.01.013.[2]Tang,Y.&Li,Y.(2007)New results of periodic solutions for a kind of Duffingtype p-Laplacian equation,Journal of Mathematical Analysis and Applications, doi:10.1016/j.jmaa.2007.10.007.[3]Mawhin,J.(1980)Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary ValueProblems,CBMS40,Journal of the American Mathematical Society,Provi-dence.[4]Gaines,R.E.&Mawhin,J.(1977)Coincidence degree and nonlinear differentialequations,Lecture Notes in Mathematics,568.[5]Peng,L.(2007)Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind ofDuffing equation with two deviating arguments,Mathematical and Computer Modelling,45:378-386.[6]Man´a sevich,R.&Mawhin,J.(1998)Periodic solutions for nonlinear systemswith p-Laplacian-like operators,Journal of Differential Equations,145:367-393.[7]Ding,T.,Iannacci,R.&Zanolin,F.(1993)Existence and multiplicity resultsfor periodic solutions of semilinear Duffing equation,Journal of Differential equations,105:364-409.[8]Hao,D.&Ma,S.(1997)Semilinear Duffing equations crossing resonance points,Journal of Differential Equations,133:98-116.[9]Wang,Z.(1999)Multiplicity of periodic solutions of Duffing equations at res-onance,Journal of Mathematical Analysis and Applications,237:166-187.[10]Wang,Y.&Ge,W.(2006)Periodic Solutions for Duffing Equations with ap-Laplacian-Like Operator,Computers&Mathematics with Applications,52: 1079-1088.7。
一类时滞Duffing型方程周期解的存在性
维普资讯
口 ｓ ＜＋∞ ， 口 ｓ 为 ｓ的非 紧性 测度 ［］ （） 称 （） １． ５
定 义 ２ ３ 设 ＥｌＥ 是实 Ｂ ｎｃ ． ，２ ａａｈ空 间 ， ＤｃＥｌ设 Ａ： — Ｅ 连续 有界 ， ， Ｄ ２ 如果 存在 常数 ｋ ， ≥０ 使得 对 于任 何 有 界集 ＳｃＤ， 满足 都
Ｉ（ Ｉ ｇ ） ．
则方 程 （ —１ 至少存 在 一个 一周 期解 ． １ ） ２ 预 备知 识
定义 ２ １ 设 ， 是 赋 范 线 性 空 间 ， Ｄ ｔＬｃ — Ｚ 是 一 个 线 性 映 射 ， — Ｚ 为 连 线 映 射 ． 果 ． Ｚ Ｌ： ｏ ａ Ｎ： 如 ｄ ｅＬ＝ｃｄｍ ｍＬ， ｌ ｉ ｒ ｍＫ ｏｉ Ｉ 且 ｍＬ为 Ｚ 中的 闭子集 ， 则称 映射 为零 指标 的 Ｆｅｈ ｌ 映射 ． ｒｄｏ ｍ
口
（ ｓ） Ａ（ ）
（） ｓ
则称 Ａ是 Ｄ 上 的 ｋ一集 压缩 映 象 ． 定 义 ２４ 设 是指 标为 零 的 Ｆｅｈｌ 子 ， ． ｒ ｏ ｄ ｍ集 定义
Ｚ ＝ｓｐ ’＞ ｌ口 Ｂ）三 （ （ ）ＢｃＤ ｍ （ ） ｕ ｛， ０ （ ＝口 Ｌ Ｂ）， ｙ 三 ｏ Ｌ｝ 引理 ｌ （ ｋ一集 压缩 定理 ［】 １） ６ 设 是指标 为 零 的 Ｆｅｈｌ 子 ， Ｅ Ｙ是 一个 固定 点 ， 设 Ⅳ： — ｙ是 ｋ一集 压 缩算 子 ， ＜Ｚ ， ｃＸ ｒ ｏ ｄ ｍ算 ｙ 假 ｋ （ ）
是有 界 的且关 于 ∈ 是 对称 的 开子集 ， 并且 满足 ：
（ ） ≠Ｘ ｘ＋Ｘ ， 于任 意 的 Ｅａ２ Ｅ（ ，） 口 Ｎ ｙ对 ｇ， ０Ｉ； （ ） Ｑ ） ｙ ］ ［ Ｎ（ ） ｙ ］ ， 于任 意 的 ＥＫ ｒ ｂ ［ Ｎ（ ＋Ｑ ， ・Ｑ 一 ＋Ｑ ， ＜０对 ｅＬＮａ ， 中［ ，］ Ｙ×Ｘ上 的双线 性 其 ・ ・是
duffing方程
非线性电路理论报告——Duffing方程的混沌现象仿真与分析摘要：Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
本文对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析，对于Duffing方程的混沌现象有更深入系统的认识。
关键词： Duffing方程；Matlab仿真；混沌1 引言混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。
Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。
本文用MATLAB对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。
Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究Duffing方程具有重要的意义。
它的标准形式为:其中，为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程通常作如下分类：(1)假设g(x)满足超线性条件:则称Duffing方程是超线性的;(2)假设g(x)满足次线性条件:则称Duffing方程是次线性的;(3)假设g(x)满足半线性条件:则称Duffing方程式半线性的。
若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型：1)2)3)4)其中，类型1为硬特性Duffing方程；类型2和4成为软特性Duffing方程；类型3称为日本型，日本学者上田研究较多，并发现了日本吸引子，也称为Ueda 吸引子；美国科学家P.Holmes对类型4的Duffing方程进行了深入的研究，因此类型4也称为P.Holmes型Duffing方程。
Duffing方程在两类共振条件下的周期解分支与混沌-精选文档
Duffing方程在两类共振条件下的周期解分支与混沌Bifurcations of Periodic Orbits and Chaos in Duffing Equation under Two Resonant ConditionsCai Meixiang*（Institute of Mathematics and Physics， Central South University of Forestry and Technology， Changsha 410004，China）By applying the regular perturbation method and the secondorder averaging method， the sufficient conditions of the periodic solutions and the bifurcations in Duffing equation under the two resonant conditions Ω∶ ω∶ω0=2∶ 3∶ 1 and 1∶ 1/2∶ 1 are investigated. Th e numerical simulations not only show the consistence with the theoretical analysis， but also find some new complex behaviors， including the periodic2 bifurcation and the inverse periodic2 bifurcation to chaos， the chaos suddenly converge to period1，3 orbits， the jumping behaviors of period 1 orbit.________________________________________Duffing方程作为一类经典的动力系统，可以用来描述物理与工程领域中的非线性振动行为.近年来，许多学者对具有1个周期外力的Duffing方程x? ?+δx?+f（x）=γcos ωt进行研究，发现了许多复杂的动态.如Xie等 [1]和Parlitz等 [2]应用Floquet方法和数值模拟方法，讨论了分支行为并发现了分支集的复杂结构；Yagasaki [34]应用二阶平均方法、高阶平均方法与Melnikov方法，研究其谐波解分支、m（m≥2）阶次谐波解分支、超谐波解分支和超次谐波解分支等；Li等 [5]和Huang 等 [6]研究了在周期扰动和拟周期扰动的条件下，由同宿轨或异宿轨横截相交所产生的混沌的存在准则、拟周期吸引子、奇异的非混沌吸引子和各种各样的混沌吸引子等；Lai等[7]应用耦合Newtons方法和harmonic balancing 方法得到了高阶的精确解析解；Nayfeh等[8]和 Chacon等[9]研究了带一个外力的三势能井的Duffing系统，把Melnikov 等价阻尼作为系统的一个全局测度并给出了系统产生混沌的必要条件；Cai等[10]研究了具有1个周期外力和1个相差的Duffing方程x? ?+δx?+ω20x+βx3+αx5=fcos（ωt+θ）的周期解分支与混沌；Jing等[1113]研究了具有2个周期外力的Duffing方程的复杂动态.但是，对于如下具有1个周期外力且具有1个周期阻尼的Duffing方程，目前少有人研究.x? ?+δ（1+ηcos Ωt）x?+γx+βx3+αx5=fcos ωt，（1）这里δ为阻尼或耗散系数，ηcos Ωt为周期阻尼扰动，γx+βx3+αx5 为非线性恢复力，fcos ωt为周期外力.方程（1）的未扰动系统（即δ=η=f=0）的不动点的存在性及其稳定性的分析详见文献[8].设（x0，0）为未扰动系统的中心，f（x）=γx+βx3+αx5，则在此中心附近的周期轨的频率可近似表示为ω0=f′（x0）=γ+3βx20+5αx40，它是Duffing 方程的自然频率.湖南师范大学自然科学学报第36卷第3期蔡美香：Duffing方程在两类共振条件下的周期解分支与混沌本文研究Duffing方程（1）的周期解分支与混沌.与只具有1个周期外力的Duffing方程相比，方程（1）具有3个频率Ω，ω和ω0，当加入第3个频率Ω后，系统的动态有了很大的变化.下面分别在两类共振条件Ω∶ ω∶ ω0=2∶ 3∶ 1和1∶ 1/2∶ 1下，研究方程（1）的周期解及其分支存在的充分条件，并应用数值模拟，验证理论分析结果的正确性，以及发现新的动态.1 在共振条件Ω∶ ω∶ ω0=2∶ 3∶ 1下的周期解及其分支令ε2Γ=（ω2-9ω20）/9，分别用ε2δ与εf（0 应用常规扰动方法，记a1=f′（x0），a2=f″（x0）/（2！），a3=f（x0）/（3！），可得方程（2）具有周期2π/ω0的解为（t）=x0+ε1（t）+ε22-sinlkωt-klωcoslkωt，考虑共振条件Ω∶ ω∶ ω0=2∶ 3∶ 1并应用二阶平均方法，经过复杂的计算，可得二阶平均方程为（4）（5）方程（5）有1个平凡不动点（0，0），非平凡的不动点满足如下方程由sin2θ+cos2θ=1，令x=r2可得1个关于x的9次方程.由伽罗华理论，5次以上的方程一般不能得出解的解析表达式，因此，令γ=-1，β=2，α=-0.36，f=1，δ=1，Γ=1，可得x0=0.745 356，ω0=1.333 33 ，a2=2981 42，a3=2.22×10-16，A=-3.416 67，B=-3，C=-2.5，σ=0.093 75，这个9次方程可近似表示为图1 当η变化时，方程（6）不动点的分支图Fig.1 Bifurcation diagram of fixed points of Eq.（6）when η varies图1为方程（6）不动点的分支图，它显示了方程（6）的不动点是如何产生和消亡的.由平均定理，可得到如下定理.定理1 对方程（2），有（1）方程（2）无非共振解；（2）当ηA≤η≤ηB时，方程（2）有1个稳定的共振解；（3）当η≤ηA和η≥ηB时，方程（2）有3个稳定的共振解；（4）随着η的增大（减小），当η=ηB时（当η=ηA时），在超临界（次临界）鞍结分支附近，2个稳定的共振解出现了（消失了）；（5）共振解可近似表示为x（t）=x0+εrscos（ωt/3+θs）+ε1（t）+ε22（t）+O（ε3），其中（rs，θs）为方程（5）的不动点.2 在共振条件Ω∶ ω∶ ω0=1∶ 1/2∶ 1下的周期解及其分支令ε2Γ=4ω2-ω20，分别用ε2δ和ε3/2f（00时，有如下结论.（i）若Δ′>0，方程（12）有4个实根分别为（ii）若Δ′0且03δω0，A>0或ΓFig.4 （a）～（c） phase portraits for η=02，232，3；（d）～（f） Poincare map for η=02，232，3情形（ii）：令Ω∶ ω∶ ω0=1∶ 1/2∶ 1，γ=-1，β=2，α=1，f=1，δ=0.5，取未扰动系统的中心（x0，0）=（0643 594，0）附近的点（0.6，0）为初始值，方程（1）在（η，x）平面的分支图和与之相对应的最大Lyapunov指数图分别如图5（a）和（b）.从图上可以看到当η=0.65和η=5.62时，周期1轨的跳跃行为；当η∈（210，268），η∈（4.018，4.028）和η∈（4.5，4.58）时，由周期2分支到混沌的过程；当η∈（2.74，2.78）时，由逆周期2分支到混沌的过程；当η≈2.835时，周期2轨突然转变为混沌行为；当η≈3.138时，混沌行为突然收敛到周期3轨；当η≈5.85时，混沌行为突然收敛到周期1轨；当η=2.7，η=5.3，η=6.7时的混沌吸引子的相图与Poincare映射图分别如图6（a）～（c）与（d）～（f）.图5 （a）方程（1）在（η，x）平面的分支图；（b）（a）的最大Lyapunov指数图Fig.5 Bifurcation diagram of Eq.（1） in （η，x） plane；（b） Maximum Lyapunov exponents corresponding to （a）图6 （a）～（c）η=27，53，67时的相图；（d）～（f）η=27，53，67时的Poincare映射图Fig.6 （a）～（c） phase portraits for η=27，53，67；（d）～（f） Poincare map for η=27，53，674 结论本文应用常规扰动方法与二阶平均方法，讨论了在2类共振条件下，Duffing方程的周期解及其分支的存在性，并应用数值模拟验证理论分析结果和发现新的动态.结果显示，当加入第3个频率Ω后，二阶平均方程、共振解的近似表达式以及分支情况更为复杂；阻尼扰动项ηcos Ωt对方程（1）的整个动态变化有很大的影响.。
杜芬方程
文理实验班： 程瑞军 林启富 张乐民 郭宁
杜芬方程概念 杜芬方程的性质分析 杜芬方程的应用
1.杜芬方程概念
Duffing equation 概念
1918年，Duffing在经典力学中引入了一个具有摆动的 非线性方程，现称为Duffing方程。
dx dtຫໍສະໝຸດ xx3Fcos t
1.杜芬方程概念
Duffing方程的一般形式：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
其中 是阻尼系数； k 为常数；F cos t 是系统的外力项； 是外力项频率；
一般取k =-1、1, =1
2.杜芬方程性质分析
势能曲线
无阻尼无驱动杜芬方程：
d2x dt 2
x
x3
0
积分得：
1
dx
2
1
1
x4
kx2
E
2 dt 2 2
E 为积分常数，由初始条件决定。
第一项表示系统动能K ，第二项表示系统势能V， E 是系统的总能量。
dV x3 kx 0 dx
K<0时，只有一个解 K>0时，有三个解
2.杜芬方程性质分析
势能曲线
k<0
k>0
d2x 有阻尼无驱动杜芬方程： dt2
dx dt
x
x3
0
1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2.k<0，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸
引子。
3. k>0，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整
杜芬方程
电机系统的控制：
电力系统长时间连续运行的稳定性、 可靠性与安全性日益受到重视。
通过对电力系统建模与故障分析，避免电 力系统产生混沌振荡。对提高发电机组系统 的控制质量、改善系统动态过程的品质等方 面有重要的实际意义。
保密通信：
同步混沌系统产生的混沌信号 具有宽带、难以预测的类噪声特性。 这些特性为保密通信开辟了一条新 的途径。
文理实验班： 程瑞军 林启富 张乐民 郭宁
杜芬方程概念 杜芬方程的性质分析 杜芬方程的应用
1.杜芬方程概念
Duffing equation 概念
1918年，Duffing在经典力学中引入了一个具有摆动的 非线性方程，现称为Duffing方程。
数学上将含有x 三次项的二阶方程称为Duffing方 程。
杜芬方程是混沌现象的一个典型例子。
1.杜芬方程概念
小角度单摆运动的方程：
2 sin 0
角频率W=1时，一次积分后：
1
d
2
1
2
E
2 dt 2
阻尼单摆
• 无阻尼时：
ml
d 2
dt 2
F
mg sin
有阻尼时：设阻尼力与摆的速度成 l正比：
d 2
ml dt2
F
l d
dt
mg sin
取β＝ / 2m 得：
第一项表示系统动能K ，第二项表示系统势能V， E 是系统的总能量。
dV x3 kx 0 dx
K<0时，只有一个解 K>0时，有三个解
2.杜芬方程性质分析
势能曲线
k<0
k>0
d2x 有阻尼无驱动杜芬方程： dt2
dx dt
x
x3
强迫时滞Duffing方程概周期解的存在性
（ ． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｈ ｍａ ｉｓ Ｈｅ ｈ ｎ ｔ ｕ ｅ Ｙ￣ｈ ｕ ５ ６ ０ ， ｉ ａ １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ， ｃ ｉ ｓｉ ｔ， Ｉ ｔ ｏ ４ ３ ０ Ｃｈｎ ；
２ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｔｅ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ， ａ ｇ ｉ ｒ ｌ ｉｅｓ ｙ Ｇｕｌ ４ ０ ４ Ｃ ｉａ ． ｃ ｏ ｌ ｈ ｍａｉ ｌ ｃｅ ｅＧｕ ｎ ｘ ｍａ ｖ ｒｉ ， ｉｎ５ １ ０ ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｎ Ｎｏ Ｕｎ ｔ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂｙ ｍｅ ｎ ｆ ｈ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏ ｙ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｄ ｓ ｕ ｓ ｓｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｅｐ ｒ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆｆ ｒ ｅ ｓ ｒ ｃ ： ａ ｓｏ ｅ ｆ ｅ ｏ ｎ ｅ ｒ ， ｈ ｓ ａ ｅ ｉｃ ｓ ｅ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｅ ｉ ｉ ｏ ｕ ｉ ｓｏ ｏ ｃ ｄ ｔ ｉ ｔ ｏ ｏ
基 金项 目：广西 教 育厅科 研基 金资助 项 目 （ ０ ７ ８ Ｘ ） ２ ０ ０ Ｌ ｌ３ ６
２ ０ 年 第 ６期 ０８
梧
州
学
院
学
报
第１ ８卷
的限制 条件下 证 明 了系 统 （ ）概周 期解 的存 在性 。 ２
２ 强迫时滞 Ｄ ｆ ｇ ｕｆ ｎ 方程概周期解的存在性 ｉ
下 ，作 者证 明 了系 统 （） １ 存在 概 周期解 。参考 文献 ［］ 方程 （） ８把 １ 中右端 强迫 项 Ｐ（ 代 之 以 Ｐ（， ，这里 ｔ
Ｐｔ （， 是关 于 ｔ对 ｘ的一致概 周期 连续 函数 ，笔者用 类似 于参 考 文献 ［］ ７ 的方 法 ，在证 明方程 存在渐 近
Duffing方程的遥远概周期解
是f 和g 的公共遥远2εM-平移数,则有 f(t+τ)g(t+τ)-f(t)g(t) ≤
f(t+τ)g(t+τ)-f(t+τ)g(t) + f(t+τ)g(t)-f(t)g(t) ≤ f(t+τ) g(t+τ)-g(t) + g(t) f(t+τ)-f(t) ≤
M g(t+τ)-g(t) +M f(t+τ)-f(t) 。 因此,
一性。
引理2 若齐次方程(3)满足指数二分性且A,f 都是 遥远概周期的,则 方 程 (5)存 在 唯 一 有 界 解 A,f,且 它 是遥远概周期的。
证明 证明分如下两个步骤完成。
步骤1:解的存在唯一性。 因为矩阵A 是遥远概周期的,A 在 R上有界,容易 看出方程(3)是有界增长的。因为方程(3)满足指数二 分性,则由引理1可知,对于每一个f∈RAP (R)∈ BC(R),方程(5)一定存在唯一解φ∈BC(R)。 步骤2:解是遥远概周期的。
令X(t)是非线性微分方程组
x'=A(t)x
(3)
的一个基解矩阵且满足X(0)=I,其中A(t)是 R 上一
个连续的n×n 阶系数矩阵。
首先给出指数二分性和有界增长的定义。
定义3[13] 若存在一个投影Q(Q2=Q)和常数 M >0,
λ>0,使得
X(t)QX-1(s) ≤Me-λ(t-s),s≤t
。
x'=A(t)x+f(t)
(5)
对于每一个f∈BC(R)在 R上都存在唯一有界解当且
仅当非齐次方程(3)在 R 上存在关于投影Q 的指数二
分性,且这个有界解可表示为
低频参激下具有分布时滞分数阶Duffing_系统的振动分析
（9）
进一步计算 a 和 φ 的二阶微分，并代入 x 的一阶和二阶导 数中，可以得到公式（10）。
x Z2a sin M
H
§ ¨U ©
cos
M
a
V
sin
M
Z2
wx wM
· ¸ ¹
x Z22a cos M
H
§ ¨ ©
B Ua Z22 U 2
2aZ2V
» » ¼
ª«2G1aZ2 f1a sin 2T f2 sin T
¬««G2aZ2D
sin
§ ©¨
DSπ 2
· ¹¸
B UaZ2 Z22 U 2
2Z2U
º » » ¼»
sin
M
ª « ¬
A a3 4
f1a
cos 2T
在实际工程问题非线性系统模型中，往往将参激信号假 共振、次谐共振及超谐共振情况下的幅频关系公式。此外，参
设为高频形式，然而在很多实际问题中，系统参激也可以表现 为慢变谐波信号 [4]。此外，真实世界和工程实际问题中普遍存 在时滞，可能会引起混沌、共振以及分岔有趣的动力学现象。 以往的绝大多数有关时滞的研究均将时滞项处理为固定的常 数，这并不是完全合理的，原则上时滞不可能在漫长的系统演 化历程中保持不变。事实上，离散延迟只是具有脉冲形式内核
如磁流变流体和聚合物等）中的阻尼进行建模时，分数阶导 为参数激励，即周期性时变刚度系数，且满足 ω/ω1=O（1）（ω2
数可以给出更准确的描述，分数阶扩散方程可以刻画反常扩 为外部简谐激励频率 ；ω1 为参数激励频率 ；O（1）为无穷小 散和反常运移过程 [2]，例如土壤中的污染物或肥料的扩散等。 量）；B 为分布式时滞强度，该文采用了弱核函数形式的分布时
具有奇异性Duffing型p-Laplace方程的周期解
具有奇异性Duffing型p-Laplace方程的周期解
滕博;王在洪
【期刊名称】《首都师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(45)1
【摘要】本文研究Duffing型p-Laplace方程(Φ_(p)(x′))′+g (x)=p(t)周期解的存在性。
当g具有奇异性且满足单边非共振条件时,应用连续性引理和相平面分析的方法,证明了该方程周期解的存在性。
【总页数】8页(P45-51)
【作者】滕博;王在洪
【作者单位】首都师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有偏差变元的Duffing型方程的周期解
2.共振条件下具有奇异性和无界扰动Duffing方程的周期解(下)
3.共振条件下具有奇异性和无界扰动Duffing方程的周期解(上)
4.具有p-Laplace算子的无穷时滞中立型微分方程的周期解
5.一类具有时滞的Duffing型方程多重周期解的存在性
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ｐ ｒｏ ｃ ｓ ｌ ｔｏｎ ｆｄ ｌｙ ｄ Ｄｕｆｉ ｑｕ ｔｏ ｓ ｉ ｎｖ ｓ ｉ ｔ ｄ． ｅ ｉｄｉ ｏ ｕ ｉ ｓ ｏ ｅａ ｅ ｆｎｇ ｅ ａ ｉ ｎ ｓｉ ｅ ｔｇａ ｅ Ｋ ｅ ｒ ｄ ｌｙ ｄ Ｄｕｆｉ ｑ ｔｏ ｓ， ｏ ｒ ｃ ｉ ｎ ｍ ａ ｐｉ ｙ ｗｏ ｄｓ ｅａ ｅ ｆｎｇ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｃ ｎｔａ ｔｏ ｐ ｎｇ， ｌ ｏ ｔｐ ｒｏ ｉ ｏｌ ｔｏ ｅ ｉｔ ｎｃ ｎ ａ ｍ ｓ ｅ ｉｄ ｃ ｓ ｕ ｉｎ， ｘ ｓｅ ｅ ａ ｄ
的 概 周 期 解 ．最 近 ， 献 Ｅ ］把方 程 （ ） （ ） 广 到 文 ４ １、２ 推
更 一般 且 含 有 时滞 的情 形 ， 即考 虑下 述方 程
一
＋
。
Ｊ＇ ２
± （ ｆ— ｒ ）一 ｆ（ ） ｔ，
（） ４
结 合运 用 不 动 点 原 理 ， 献 ［ ］证 明 了方 程 （ ）在 一 文 ４ ４
ｂ ｇ（， 满 足 Ｌ ｐｃ ｉ ． ｆ ） ｉｓｈｔ ｚ条件 ， 即存 在定 正 概周 期 函数
２ ０ １２ ０ １１ ８收 稿 ．２ ０ 一４２ ０ ２ Ｏ ３修 回 。
＊广 西 自然 科 学 基 金 项 目资 助 。
以 下 为 书 写 简 洁 ， ａ一 ＆ ｆ ， （ — ｒ ＝ Ｙ （ — ｒ ＋ 记 （） ｙ ｔ ） ｆ ） Ｙ （ — ｒ ， 理 （ ） 得 ２ｔ ）整 ８ 式
维普资讯
广 西 科 学 Ｇｕ ｎ ｘ Ｓ ｉ ｃｓ２ ０ ，９ （ ） １ ９ １ ０ １ ３ ａ ｇ ｉ ｃ ｎｅ ０ ２ ｅ ３ ： ６ ～ ７ ， ７
时 滞 Ｄｕ ｆ ｇ方 程 的 概 周 期 解 ｆｉ ｎ
Ａ ｌ ｏ ｔＰｅ ｉ ｄｉ ｏ ｔｏ ｆ Ｄｅ ｙ ｄ Ｄｕｆ ｉ ｕ ｔｏ ｓ ｒｏ ｃ Ｓ ｌ ｉ ｎｓ ｏ ｌ ｅ ｍ ｕ ａ ｆｎｇ Ｅｑ ａ ｉ ｎｓ
冯 春 华
Ｆｅ ｕ ｕ ｎｇ Ｃｈ ｎｈ ａ
（ 西师 范大 学 数学 系 桂 林 市 育才 路 ３号 ５ １ ０ ） 广 ４ ０ ４
（ ｐｔ ｏ ａ ｈ．， ａ ｇｘｉＮｏ ｍａ ｎ ｖ ３ Ｙｕ ａ ｌ Ｇｕ ｌ Ｇｕ ｎ Ｄｅ ． ｆＭ ｔ Ｇｕ ｎ ｒ ｌＵ ｉ ．， ｃ ｉ ｕ， ｉｉ ｎ， ａ ｇｘｉ ５ ０ ４， ， ４１ ０ Ｃｈｉ ｎａ）
定 条件 下 ， 在 唯一 的概周 期 解 ．本 文 考虑 下述 时 滞 存
Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ方 程 ｉ
一
＼ －一） ） ｌｇ，ｆｒ＋（ ， 一 ｆ（ ｔ’ —（ — ）ｆ） ｊ ／ ｊ
（ 一 ７ ）
令 ＝ １ Ｐ正矩， 一 Ｐ 去（ ＿ 是交阵 ＝ ： 且
＆ ｆ ＋ ｇ（ ， （ （） ｆ ｆ— ｒ ）一 ｆ（） ） ｔ，
０ ．则我 们 有 ］
定理 １ 在 方 程 （ ） ， ｎ ｆ 为定 正 连续 概 周 ５ 中 设 （） 期 函数 ， ｔ ｆ（）为 实 连 续 概 周 期． 数 ，Ｅ ｕ ｌ ｔ ｛ 函 ｉ ｓ ｐ ｆ（） 一
ｔ ６ Ｒ
（ （ ｆ— ｒ）＋
（ ｆ— ｒ） ））＋ （ ） ｆ （ ８）
（） ５
结 合运 用 压 缩 映 射原 理 ， 究 方程 （ ）概周 期 解 的存 研 ５
在 唯一 性 ．
设 Ｃ — ｃ（ 一 ｒ ０ ， 表 示 全 体连 续 映 射 ［ ［ ，］Ｒ ） 一 ｒ０ 一 尺 构 成 的 Ｂ ｎｃ ，］ ａ ａｈ空 间 ， 范 数定 义 为通 常 的 其 上 确界 范 数 ．记 Ｃ ｛ ∈ Ｃ且 ｌ ｉ Ｈ ， ∈ ，＝ ： ｌ ｌ＜ Ｈ
概 周 期解 的存 在性 ．文献 Ｅ ］ ３ 结合 运 用 变分 方 法 ． 考
虑 下 述 Ｄｕｆ ｇ方 程 ｆｎ ｉ
一
证 明 作 变 换 ｊ － ｊ ｊ 一 ｊ， 方 程 （ ） 为 一 － － ， － 则 ５ 化
（ ３）
１
＆（ ） — Ｖ （ ， ）一 ｈ（ ） ｆ ｆ ｆ
万 １ ｌ
～
、ｌ Ｙ 去 ０ ０ｌ２＋ ／一Ｙ］／ ㈩ Ｙ 。 ， ＋ ＝， （ ／＋Ｙ Ｙ ’ ｆ ｌ ’ Ｊ、 ） ＹＹ］ ＋ ｅ 一＋Ｊ
０
一
致 概周 期 的 ， 其初 始 条件 为 （）＝ ｆ ， ∈ ［ ｒ ｆ （）ｔ 一 ，
ｇ（ ， ｆ —
、 ，
摘要
结 合 运 用 压 缩 映 射 原 理 ， 究 时 滞 Ｄ ｌｎ 研 ｕ ｌ ｇ方 程 概 周 期 解 的 存 在 唯 一 性 ． ｉ
０１ ５ ７
关 键 词 时 滞 Ｄｕｆ ｇ方 程 压缩 映 谢 概 周 期 解 存 在 唯 一 ｆｉ ｎ
中图法分类号
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ Ｂｙ ｍ ｅ ｎ ｏ ｃ ｔ ａ ｔｏ ｍ ａ ｐｉ ｐ ｉ ｃｐｌ ｔ ｅ ｘ ｓ ｅ ｅ ｎ ｕｎ ｑ ｅ ｅ ｓ ｆ ｌ ｏ ｔ ａ ｓ ｆ ｏｎ ｒ ｃ ｉｎ ｐ ｎｇ ｒｎ ｉ ｅ， ｈ ｅ ｉｔ ｎｃ ａ ｄ ｉ ｕ ｎ ｓ ｏ ａ ｍ ｓ
ｕｎｌ ｑｕｅｎｅ ｓｓ
文献 ［ ， ］ １ ２ 分别 研 究 了下 述 非线 性 Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ方 程 ｉ
一 —
）Ｏ （ ＜
）＜
） 使 得 ，
（） ６
。一 ｆ（） ｔ，
（） １ （） ２
一
＋ 。一 ｆ（） ｔ
ｌ ｆ 一 ｇ（，，ｌ Ｌ（） 一 ５ｌ ｇ（， ） ｆ５ ≤ ｆ ） ｔｌ ｆ， ， 则 方程 （ ） 在 唯一 的 概周 期解 ． ５ 存
尺 ．在 方程 （ ） ， ｇ ｔ 关 于 ｔ Ｖ ∈ Ｃ ） ５ 中 设 （， ） 对 Ⅳ是
一
（ 再变 ：ｌＰ 作换 【 Ｙ ￣ ＝ 于是 一 ｌ ｌ一万 Ｙ ＋Ｙ ］ ￣ｌ ｚＪ Ｊ Ｊ／ １ ， 代
Ｊ２ Ｃ ｙｅ ２ ｙ１ Ｙ２