2019-2020学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学(文)试题解析

2019-2020学年江西省南昌市八一中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（）A．1 B．2C．3D．2答案：A试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i iz ii i i---===++-，所以1z=，故选A.【考点】复数的运算与复数的模.2．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值答案：B根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.解：散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.点评：本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.3．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥B ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ⋂=，n βγ⋂=，//m n ，则//αβ 答案：B根据线面、面面的相关判定定理及性质定理一一分析可得； 解：解：A ．错误，由βα⊥，得不出β内的直线垂直于α；B ．正确，//m α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线//n m ，m β⊥，n β∴⊥，n ⊂α，αβ∴⊥；C ．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，这两个平面可以平行、相交，不一定得到βγ⊥；D ．错误，m αγ=，n βγ=，//m n ，则α与β可能平行、相交．故选：B ． 点评：考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念，属于中档题．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，M 、N 分别是正方形ABCD 、11BCC B 的中心.则过点1C 、M 、N 的截面是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．梯形D ．直角三角形答案：A连接BN 、BD 、1BC ，可知过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D ，判断该三角形的形状即可得出结论. 解：如下图所示，连接BN 、BD 、1BC ，由于M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则M 、N 分别为BD 、1BC 的中点，所以，过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D ，易知1BC D 为正三角形. 因此，过点1C 、M 、N 三点的截面为正三角形. 故选：A. 点评：本题考查正方体截面形状的判断，作出截面图形是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.5．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（ ） A ．528π B ．6336πC ．704πD ．2112π答案：B求出底面半径，由圆柱体积公式计算， 解：设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =，∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ． 点评：本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得． 6．从11，12，13，14，15中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于（ ） A ．18B ．14C ．25D ．12答案：B由题意求出所有基本事件数，A 发生的基本事件数，AB 发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得P (A ),P (AB )，再利用条件概率的公式即可求解. 解：解：从11，12，13，14，15中任取2个不同的数有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种，其中取到两个数之和为偶数的有（11，13），（11，15），（12，14），（13，15）有4种， 所以42()105P A ==， 其中取到的两个数均为偶数且和为偶数的有：（12，14），所以1()10P AB =， 所以()()1110(|)245P AB P B A P A ===， 故选：B 点评：此题考查了条件概率的求解，考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题. 7．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案：D先判定奇偶性，然后在0x ≥时，利用导数，结合三角函数和指数函数的性质分0x π≤≤和x π>，分别研究函数的单调性，从而做出判定. 解：由于函数满足()()f x f x -=，故函数为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除B ，当0x ≥ 时，cos x y e x =-，sin x y e x =+' ，若0x π≤≤时，0y '> ，当x π>时，3x e e e π>> ，而1sin 1x -≤≤ ，显然sin 0xy e x '=+> ，从而可知，函数在[0,)+∞上为增函数，选D . 点评：本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属中档题. 关键是判定奇偶性，然后在y 轴右侧，利用导数分段研究函数的单调性.8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，M ，N ，H ，R 是各条棱的中点.①直线1//AD 平面MNP ；②1HD CQ ⊥；③P ，Q ，H ，R 四点共面；④1A C ⊥平面11AB D .其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C 由平面MNP平面11ADD A ，易证1AD ∥平面MNP ，①正确；假设1HD CQ ⊥，易证CQ ⊥平面11DD A A ，易证//CQ CD ，与=CQCD C 矛盾，故②错误；因为PQ AC HR ∥∥，故P ，Q ，H ，R 四点共面，③正确；欲证1A C ⊥平面11AB D ，只需证明1A C 垂直于平面11AB D 内的两条相交直线的即可，根据正方体易证. 解： 解：对于①，通过观察，平面MNP平面11ADD A ，所以1AD ∥平面MNP ，①正确；对于②，假设1HD CQ ⊥，显然1DD CQ ⊥，111HD DD D =，1DD ⊂平面11DD A A1HD ⊂平面11DD A A ，所以CQ ⊥平面11DD A A ，又CD ⊥平面11DD A A ，所以//CQ CD ，与=CQCD C 矛盾，故②错误.对于③，因为PQ AC HR ∥∥，故P ，Q ，H ，R 四点共面，③正确；对于④，显然1111AC B D ⊥，111A A B D ⊥，1111A A AC A ⋂=，1A A ⊂平面11AACC ，11A C ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥1A C ，同理可证1B A ⊥1A C ， 又1111B D B A B =，所以1A C ⊥平面11AB D ，故④正确所有正确的是①③④，故选：C 点评：在正方体内已知棱的中点，考查证明线面平行与垂直、线线垂直以及点共面等基础知识，一些常见结论应该让学生熟记，同时考查空间想象能力以及逻辑推理能力，基础题. 9．已知正三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，且球心O 在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为73,2BC =，则球O 的表面积为（ ） A ．25π B ．16πC ．1219πD ．1699π答案：D由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，OAM △中，利用勾股定理求半径R ，最后求球的表面积. 解：作SM ⊥平面ABC ，连结AM 并延长交BC 于点D ，连结SD ， 正三棱锥外接球的球心O 在高SM 上，连结OA ，123732S SD =⨯⨯⨯=，解得：73SD =, 正三角形ABC 中，33DM BC ==，23AM = 224SM SD DM ∴=-=，设SO AO R ==，OAM △中，()2222343R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：136R =, 则球O 的表面积216949S R ππ==.故选：D 点评：本题考查几何体与球的综合问题，意在考查空间想象能力，和推理计算，属于基础题型. 10．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆与PBC ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面PBC ，AC BD ⊥，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．PB AC ⊥ B ．PD ⊥平面ABCD C ．AC PD ⊥ D ．平面PBD ⊥平面ABCD答案：B过BP 中点O 连接,OA OC ,易得,BP OA BP OC BP ⊥⊥⇒⊥ 面OAC BP AC ⇒⊥ ⇒选项A 正确；又AC BD AC ⊥⇒⊥面,BDP AC PD ⇒⊥平面PBD ⊥平面ABCD ,故选项C 、D 正确，故选B.11．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90DBC ADC ∠∠==，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD-的体积比为（ ）A ．19B ．15C ．16D ．13答案：B设四棱锥P ABCD -的高为h ，则三棱锥B CDE -的高为13h ，2AB a =，则3CD a =，由此能求出三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比．解：解：设四棱锥P ABCD -的高为h ， 则三棱锥B CDE -的高为13h ，2ABa =， 则3CD a =，11532P ABCD V a AD h -∴=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDE V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，∴三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为：15B CDE P ABCD V V --=．故选：B ．点评：本题考查三棱锥与四棱锥的体积比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 属于中档题．12．已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ） A ．26+B ．26C 46+D ．46+答案：C根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得. 解：解：21||||2MP PF MP PF a+=++221222MF a b c a c +=+=，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，所以e =故选：C 点评：本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.二、填空题13．已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________．答案：32分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值． 详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3， y =15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+）， 又y 与x 的线性回归方程y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1， 解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14．若一个圆台的母线长为l ，上、下底面半径1r ，2r 满足122l r r =+，且圆台的侧面积为8π，则l =__________.答案：2根据圆台的侧面积公式计算． 解：由题意()21228r r l l πππ+==，解得2l =．故答案为：2． 点评：本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题． 15．甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________. 答案：23计算出两人都没击中的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 解：甲、乙两人各射击一次，都没击中的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率是12133-=. 故答案为：23. 点评：本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：222c a b =+．设想将正方形换成正方体1111ABCD A B C D -，把截线换成截面。